专题6.4 空间向量基本定理（举一反三讲义）高二数学人教A版选择性必修第二册

本讲义聚焦空间向量基本定理，系统梳理基底概念及辨析、用基底表示向量、求参数、正交分解等核心内容，构建从概念理解到几何应用（平行共线共面、夹角、垂直、距离）的学习支架。 资料以8大题型为框架，例题与变式题结合，强化数学思维的推理能力与数学语言的精确表达，如用基底表示向量及参数求解。课中辅助教师分层教学，课后助力学生通过变式练习查漏补缺，提升空间观念与应用意识。

专题6.4 空间向量基本定理（举一反三讲义） 【苏教版】 【题型1 空间向量基底概念及辨析】 1 【题型2 用空间基底表示向量】 2 【题型3 由空间向量基本定理求参数】 3 【题型4 空间向量的正交分解】 5 【题型5 利用空间向量基本定理证明平行、共线、共面问题】 6 【题型6 利用空间向量基本定理解决夹角问题】 8 【题型7 利用空间向量基本定理证明垂直问题】 10 【题型8 利用空间向量基本定理求距离(长度)问题】 12 知识点1 空间向量基本定理 1．空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc. 我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量． 2．用基底表示向量的步骤 (1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底． (2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果． (3)下结论：利用空间的一个基底{}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含有，不能含有其他形式的向量． 【题型1 空间向量基底概念及辨析】 【例1】（24-25高二上·重庆北碚·期末）若构成空间的一个基底，则下列选项可构成空间的另一个基底的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25高二上·广东深圳·期末）已知为空间的一组基底，则下列各组向量中能构成空间的一组基底的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式1-2】（24-25高二上·广东深圳·期末）若为空间的一个基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25高二上·浙江宁波·期末）已知是空间的一个基底，则下列向量中与向量，能构成空间基底的是（   ） A． B． C． D． 【题型2 用空间基底表示向量】 【例2】（24-25高二上·广东清远·期末）如图，在三棱锥中，．若点分别在棱上，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25高二上·广西桂林·阶段练习）如图，在四面体中，，，，为的重心，为的中点，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25高二上·四川南充·期末）如图，空间四边形中，，点在上，且，点为中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（24-25高二上·湖南邵阳·期中）如图，平行六面体中，AC与BD交于点M，设，，，则（   ） A． B． C． D． 【题型3 由空间向量基本定理求参数】 【例3】（24-25高二上·贵州黔东南·阶段练习）如图，已知空间四边形，其对角线为、，、分别是对边、的中点，点在线段上，且分所成的定比为，现用基向量、、表示向量，设，则、、的值分别为（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式3-1】（24-25高二上·福建泉州·阶段练习）如图所示，在平行六面体中，点为上底面对角线的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高二上·安徽·期末）在四面体中，点为线段靠近的四等分点，为的中点，若，则的值为（   ） A． B．1 C． D． 【变式3-3】（24-25高二上·福建南平·期末）如图，在三棱锥中，点为底面的重心，点是线段的中点，过点的平面分别交，，于点，，，若，，，则（   ） A． B． C． D． 知识点2 空间向量的正交分解 1．空间向量的正交分解 (1)单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底 ，常用{i，j，k}表示． (2)向量的正交分解 由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk使得a＝xi＋yj＋zk. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 【题型4 空间向量的正交分解】 【例4】（24-25高二下·全国·课后作业）设是单位正交基底，已知向量在基底下的坐标为，其中，，，则向量在基底下的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25高二上·山东烟台·阶段练习）设是单位正交基底，已知，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25高二上·河北·期中）已知平面，，，，，则空间的一个单位正交基底可以为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（24-25高二上·河南洛阳·阶段练习）已知是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，向量在基底下的坐标为（    ） A． B． C． D． 知识点3 空间向量基本定理的应用 1．证明平行、共线、共面问题 (1)对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. (2)如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. 2．求夹角、证明垂直问题 (1)θ为a，b的夹角，则cos θ＝. (2)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0. 3．求距离(长度)问题 ． 4．利用空间向量基本定理解决几何问题的思路： (1)平行和点共线都可以转化为向量共线问题；点线共面可以转化为向量共面问题； (2)几何中的求夹角、证明垂直都可以转化为向量的夹角问题，解题中要注意角的范围； (3)几何中求距离(长度)都可以转化为向量的模，用向量的数量积可以求得． 【注】用已知向量表示某一向量的三个关键点： (1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键. (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量. (3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立. 【题型5 利用空间向量基本定理证明平行、共线、共面问题】 【例5】（24-25高二上·上海·课后作业）如图，在平行六面体中，点在对角线上，且，点在对角线上，且．求证：、、三点共线．    【变式5-1】（24-25高二上·全国·课后作业）如图，已知平行六面体，，，，分别是棱，，和的中点，求证：，，，四点共面． 【变式5-2】（24-25高二上·上海·课后作业）四棱柱的六个面都是平行四边形，点在对角线上，且，点在对角线上，且． (1)设向量，，，用、、表示向量、； (2)求证：、、 三点共线． 【变式5-3】（24-25高二上·海南海口·阶段练习）如图所示，平行六面体中，E，F分别在和上，，. (1)求证：A，，，四点共面； (2)若，求的值. 【题型6 利用空间向量基本定理解决夹角问题】 【例6】（24-25高二上·浙江温州·期中）如图，在平行六面体中，为与的交点，且，，两两夹角均为，且长度相等，设，，. (1)试用，，表示； (2)求直线与直线所成角的余弦值. 【变式6-1】（24-25高二上·河南许昌·阶段练习）如图，正四面体ABCD(所有棱长均相等)的棱长为1，E，F，G，H分别是正四面体ABCD中各棱的中点，设，，. (1)用表示，并求EF的长； (2)求与夹角的大小． 【变式6-2】（24-25高二上·广东佛山·阶段练习）如图，平行六面体中，底面是边长为的正方形，，设，，    (1)试用，，表示向量、； (2)若，求向量与所成的角的余弦值. 【变式6-3】（24-25高二下·江苏常州·阶段练习）如图所示，平行六面体中，． (1)用向量表示向量，并求； (2)求． 【题型7 利用空间向量基本定理证明垂直问题】 【例7】（24-25高二上·浙江·期中）如图，在平行六面体中，， (1)求证：； (2)求的长. 【变式7-1】（24-25高二上·河南洛阳·期中）如图，在三棱柱中，，，，设，，，是的中点.    (1)用、、表示向量； (2)在线段上是否存在点，使得？若存在，求出的位置，若不存在，请说明理由. 【变式7-2】（24-25高二上·福建厦门·阶段练习）在平行六面体中，底面是边长为1的正方形， ，.（用基底法） (1)求侧棱的长； (2)若分别为，的中点，求证：． 【变式7-3】（24-25高二上·北京丰台·期中）如图所示，在三棱柱中，，，，，点是棱的中点，点在棱上，且. (1)用表示向量； (2)求； (3)求证：. 【题型8 利用空间向量基本定理求距离(长度)问题】 【例8】（24-25高二上·山东·阶段练习）如图，空间四边形中，，，，且任意两个之间的夹角均为，，，则（    ）    A． B． C． D．2 【变式8-1】（24-25高二上·山西·开学考试）如图，在三棱锥中，是边长为3的正三角形，是上一点，，为的中点，为上一点且，则（    ）    A．5 B．3 C． D． 【变式8-2】（24-25高二上·湖北孝感·期中）如图，平行六面体中，与相交于，设，，. (1)用表示； (2)若该平行六面体所有棱长均为1，且，求． 【变式8-3】（24-25高二上·贵州遵义·期中）在四棱柱中，，，，，点满足．    (1)若，求的值； (2)求． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.4 空间向量基本定理（举一反三讲义） 【苏教版】 【题型1 空间向量基底概念及辨析】 1 【题型2 用空间基底表示向量】 4 【题型3 由空间向量基本定理求参数】 6 【题型4 空间向量的正交分解】 9 【题型5 利用空间向量基本定理证明平行、共线、共面问题】 11 【题型6 利用空间向量基本定理解决夹角问题】 14 【题型7 利用空间向量基本定理证明垂直问题】 18 【题型8 利用空间向量基本定理求距离(长度)问题】 21 知识点1 空间向量基本定理 1．空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc. 我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量． 2．用基底表示向量的步骤 (1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底． (2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果． (3)下结论：利用空间的一个基底{}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含有，不能含有其他形式的向量． 【题型1 空间向量基底概念及辨析】 【例1】（24-25高二上·重庆北碚·期末）若构成空间的一个基底，则下列选项可构成空间的另一个基底的是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据空间向量基底的概念进行判断. 【解答过程】对A：因为，所以向量共面，所以不能构成空间向量的基底； 对B：因为，所以向量共面，所以不能构成空间向量的基底； 对C：因为，所以共面，所以不能构成空间向量的基底； 对D：因为不存在，使得，所以不共面，所以可以作为空间的另一组基底. 故选：D. 【变式1-1】（24-25高二上·广东深圳·期末）已知为空间的一组基底，则下列各组向量中能构成空间的一组基底的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【解题思路】由空间向量的基底的定义建立方程，可得答案. 【解答过程】对于A，设，无解， 所以，，不共面，能构成空间的一组基底，故A正确； 对于B，设，解得， 所以，，共面，不能构成空间的一个基底，故B错误； 对于C，设，解得， 所以，，共面，不能构成空间的一个基底，故C错误； 对于D，设，解得， 所以，，共面，不能构成空间的一个基底，故D错误. 故选：A. 【变式1-2】（24-25高二上·广东深圳·期末）若为空间的一个基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】通过证明ACD选项中的三个向量共面，判断它们错误，利用反证法证明B选项中的三个向量不共面，判断B正确. 【解答过程】对于A，因为，所以共面， 所以不能构成基底， 对于C，因为， 所以共面，所以不能构成基底，C错误； 对于D，， 所以共面，所以不能构成基底，D错误， 对于B，若共面， 则可设，故， 故共面，与条件矛盾， 所以不共面，即能构成基底，B正确； 故选：B. 【变式1-3】（24-25高二上·浙江宁波·期末）已知是空间的一个基底，则下列向量中与向量，能构成空间基底的是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】利用空间向量基本定理依次判断各选项中的向量是否与向量，共面即可，不共面的则可作为平面的一个基底. 【解答过程】对于A，因， 即与向量，共面，故不能构成基底，即A错误； 对于B，因， 即与向量，共面，故不能构成基底，即B错误； 对于C，不妨设， 则有，方程组无解，即与向量，不共面，故可构成基底，故C正确； 对于D，因， 即与向量，共面，故不能构成基底，即D错误. 故选：C. 【题型2 用空间基底表示向量】 【例2】（24-25高二上·广东清远·期末）如图，在三棱锥中，．若点分别在棱上，且，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用空间向量的基本定理及利用向量的加法表示出即可求解． 【解答过程】由， 得， 所以， 故选：C． 【变式2-1】（24-25高二上·广西桂林·阶段练习）如图，在四面体中，，，，为的重心，为的中点，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据三角形重心的性质，结合空间向量线性运算的几何意义、空间向量基本定理进行求解即可. 【解答过程】连接，并延长交于点，连接， 则为的中点，且， . 故选：C. 【变式2-2】（24-25高二上·四川南充·期末）如图，空间四边形中，，点在上，且，点为中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用空间向量基本定理结合题意求解即可 【解答过程】因为空间四边形中，，，，点在上，且，点为中点， 所以 ， 故选：B. 【变式2-3】（24-25高二上·湖南邵阳·期中）如图，平行六面体中，AC与BD交于点M，设，，，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】利用空间向量的加法、减法法则化简可得结果. 【解答过程】. 故选：D. 【题型3 由空间向量基本定理求参数】 【例3】（24-25高二上·贵州黔东南·阶段练习）如图，已知空间四边形，其对角线为、，、分别是对边、的中点，点在线段上，且分所成的定比为，现用基向量、、表示向量，设，则、、的值分别为（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【解题思路】推导出，由题意可得，利用空间向量的线性运算可得出关于、、的表达式，即可得解. 【解答过程】因为为的中点， 则， 由题意可得，则， 所以，，则， 故，，. 故选：D. 【变式3-1】（24-25高二上·福建泉州·阶段练习）如图所示，在平行六面体中，点为上底面对角线的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】结合空间向量基本定理，根据空间向量线性运算法则计算可得. 【解答过程】依题意 ， 又，所以，. 故选：C. 【变式3-2】（24-25高二上·安徽·期末）在四面体中，点为线段靠近的四等分点，为的中点，若，则的值为（   ） A． B．1 C． D． 【解题思路】根据空间向量基本定理结合已知条件求解即可. 【解答过程】因为四面体中，点为线段靠近的四等分点，为的中点， 所以 因为，所以，故． 故选：A. 【变式3-3】（24-25高二上·福建南平·期末）如图，在三棱锥中，点为底面的重心，点是线段的中点，过点的平面分别交，，于点，，，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】由空间向量基本定理，用表示，由，，，四点共面，可得存在实数，使，再转化为，由空间向量分解的唯一性，列方程求其解可得结论. 【解答过程】由题意可知， 因为，，，四点共面， 所以存在实数，使， 所以， 所以 ， 所以，所以． 故选：B. 知识点2 空间向量的正交分解 1．空间向量的正交分解 (1)单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底 ，常用{i，j，k}表示． (2)向量的正交分解 由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk使得a＝xi＋yj＋zk. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 【题型4 空间向量的正交分解】 【例4】（24-25高二下·全国·课后作业）设是单位正交基底，已知向量在基底下的坐标为，其中，，，则向量在基底下的坐标是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】由题意可得出，再结合，，，可得出关于基底的表达式，即可得解. 【解答过程】因为向量在基底下的坐标为，即， 又因为，，， 则， 因此，向量在基底下的坐标是. 故选：A. 【变式4-1】（24-25高二上·山东烟台·阶段练习）设是单位正交基底，已知，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意将向量用表示出来即可. 【解答过程】因为，向量在基底下的坐标为， 所以 ， 所以向量在基底下的坐标是. 故选：A. 【变式4-2】（24-25高二上·河北·期中）已知平面，，，，，则空间的一个单位正交基底可以为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先得到两两垂直，再根据其长度得到空间的一个单位正交基底. 【解答过程】因为平面，平面， 所以，． 因为,即两两垂直， 又，，， 所以空间的一个单位正交基底可以为． 故选：B. 【变式4-3】（24-25高二上·河南洛阳·阶段练习）已知是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，向量在基底下的坐标为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设，根据空间向量基本定理建立关于的方程，解之即可得解. 【解答过程】解：设 ， 所以，解得， 所以向量在基底下的坐标为. 故选：A. 知识点3 空间向量基本定理的应用 1．证明平行、共线、共面问题 (1)对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. (2)如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. 2．求夹角、证明垂直问题 (1)θ为a，b的夹角，则cos θ＝. (2)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0. 3．求距离(长度)问题 ． 4．利用空间向量基本定理解决几何问题的思路： (1)平行和点共线都可以转化为向量共线问题；点线共面可以转化为向量共面问题； (2)几何中的求夹角、证明垂直都可以转化为向量的夹角问题，解题中要注意角的范围； (3)几何中求距离(长度)都可以转化为向量的模，用向量的数量积可以求得． 【注】用已知向量表示某一向量的三个关键点： (1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键. (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量. (3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立. 【题型5 利用空间向量基本定理证明平行、共线、共面问题】 【例5】（24-25高二上·上海·课后作业）如图，在平行六面体中，点在对角线上，且，点在对角线上，且．求证：、、三点共线．    【解题思路】取空间的一个基底，结合图形，利用空间向量的线性运算推理作答. 【解答过程】在平行六面体中，令，，， 则，，， 因此， 又，， 因此， 于是，即有，而与有公共点， 所以、、三点共线． 【变式5-1】（24-25高二上·全国·课后作业）如图，已知平行六面体，，，，分别是棱，，和的中点，求证：，，，四点共面． 【解题思路】利用空间向量的共面定理证明即可. 【解答过程】证明取，，， 则 ， 所以与，共面,即与共面， 即，，，四点共面． 【变式5-2】（24-25高二上·上海·课后作业）四棱柱的六个面都是平行四边形，点在对角线上，且，点在对角线上，且． (1)设向量，，，用、、表示向量、； (2)求证：、、 三点共线． 【解题思路】（1）借助空间向量的线性运算计算即可得； （2）借助向量共线定理证明即可得. 【解答过程】（1）因为，则， 所以， 又因为，则， 所以 ； （2）因为 ，且， 所以，即、、三点共线． 【变式5-3】（24-25高二上·海南海口·阶段练习）如图所示，平行六面体中，E，F分别在和上，，. (1)求证：A，，，四点共面； (2)若，求的值. 【解题思路】（1）根据空间向量基本定理即可证明： （2）把作为一组基底，结合向量的线性运算即可求解. 【解答过程】（1）证明： ， ，，，四点共面. （2） ， ，，， . 【题型6 利用空间向量基本定理解决夹角问题】 【例6】（24-25高二上·浙江温州·期中）如图，在平行六面体中，为与的交点，且，，两两夹角均为，且长度相等，设，，. (1)试用，，表示； (2)求直线与直线所成角的余弦值. 【解题思路】（1）利用向量的线性运算可求解； （2）求得与可求直线与直线所成角的余弦值. 【解答过程】（1） （2）根据题意可设设， 则， 所以直线与直线所成角的余弦值为. 【变式6-1】（24-25高二上·河南许昌·阶段练习）如图，正四面体ABCD(所有棱长均相等)的棱长为1，E，F，G，H分别是正四面体ABCD中各棱的中点，设，，. (1)用表示，并求EF的长； (2)求与夹角的大小． 【解题思路】（1）根据题意结合空间向量的线性运算求，再根据向量的数量积运算求即可； （2）根据题意结合空间向量的线性运算求，再根据向量的数量积运算可得，即可得结果. 【解答过程】（1）因为E，F分别为棱BC，AD的中点，且，，， 可得 ， 因为正四面体ABCD的棱长为1，则，且， 可得 ， 即，所以EF的长为. （2）由题意得 ， 因此 ， 即，即与的夹角为. 【变式6-2】（24-25高二上·广东佛山·阶段练习）如图，平行六面体中，底面是边长为的正方形，，设，，    (1)试用，，表示向量、； (2)若，求向量与所成的角的余弦值. 【解题思路】（1）由空间向量的加法、减法运算即可求解； （2）由（1），结合向量的夹角公式与数量积的运算律即可求解. 【解答过程】（1）， . （2）因为，     ， ， ， 所以， 即向量与所成的角的余弦值为. 【变式6-3】（24-25高二下·江苏常州·阶段练习）如图所示，平行六面体中，． (1)用向量表示向量，并求； (2)求． 【解题思路】（1）借助空间向量的线性运算与模长与数量积的关系计算即可得； （2）结合题意，借助空间向量的线性运算与夹角公式计算即可得. 【解答过程】（1）， 则 ， 所以. （2）由空间向量的运算法则，可得， 因为且， 所以 ， ， 则. 【题型7 利用空间向量基本定理证明垂直问题】 【例7】（24-25高二上·浙江·期中）如图，在平行六面体中，， (1)求证：； (2)求的长. 【解题思路】（1）以为基底向量，，又，计算向量的数量积可证结论； （2）利用向量的模的计算公式可求得的长. 【解答过程】（1）以为基底向量， 则，又， 所以 ， 所以，所以； （2）由（1）可得， 所以 ， 所以，所以的长为. 【变式7-1】（24-25高二上·河南洛阳·期中）如图，在三棱柱中，，，，设，，，是的中点.    (1)用、、表示向量； (2)在线段上是否存在点，使得？若存在，求出的位置，若不存在，请说明理由. 【解题思路】（1）利用空间向量的加法可得出关于、、的表达式； （2）假设存在点，使得，设，将、用基底表示出来，根据题意可得出，利用空间向量数量积的运算性质求出的值，即可得出结论. 【解答过程】（1） （2）假设存在点，使得，设， 则， 因为，所以， 即， 所以，， 设，又，， 所以，， 即，解得， 所以当时，. 【变式7-2】（24-25高二上·福建厦门·阶段练习）在平行六面体中，底面是边长为1的正方形， ，.（用基底法） (1)求侧棱的长； (2)若分别为，的中点，求证：． 【解题思路】（1）设，把作为一组基底，根据题意可得，结合计算即可得出结果； （2）根据题意可得和，结合向量的数量积计算即可得出结果. 【解答过程】（1）设，则作为一组基 ， ， ， 解得，所以； （2） ， 所以，则. 【变式7-3】（24-25高二上·北京丰台·期中）如图所示，在三棱柱中，，，，，点是棱的中点，点在棱上，且. (1)用表示向量； (2)求； (3)求证：. 【解题思路】（1）根据向量的线性运算结合空间向量基本定理求解即可； （2）利用数量积的运算律求解模长即可； （3）先利用向量线性运算得 ，然后利用数量积的运算律及定义求得，即可证明. 【解答过程】（1）； （2） ， 则； （3） ， 所以 ， 所以，即. 【题型8 利用空间向量基本定理求距离(长度)问题】 【例8】（24-25高二上·山东·阶段练习）如图，空间四边形中，，，，且任意两个之间的夹角均为，，，则（    ）    A． B． C． D．2 【解题思路】利用基底法表示出，再根据向量模的计算公式和向量数量积的运算律即可得到答案. 【解答过程】由题意得 ， 而， ， ， 则 . 故选：A. 【变式8-1】（24-25高二上·山西·开学考试）如图，在三棱锥中，是边长为3的正三角形，是上一点，，为的中点，为上一点且，则（    ）    A．5 B．3 C． D． 【解题思路】以为一组基底，表示求解. 【解答过程】解：以为一组基底， 则， ， ， ， ， ， ， 所以. 故选：D. 【变式8-2】（24-25高二上·湖北孝感·期中）如图，平行六面体中，与相交于，设，，. (1)用表示； (2)若该平行六面体所有棱长均为1，且，求． 【解题思路】（1）结合空间向量基本定理，根据空间向量的线性运算表示所求向量. （2）利用空间向量的数量积求向量的模. 【解答过程】（1） . （2）由题意：，，， ， 所以. 【变式8-3】（24-25高二上·贵州遵义·期中）在四棱柱中，，，，，点满足．    (1)若，求的值； (2)求． 【解题思路】（1）由空间向量的线性运算即可求解； （2）由（1），通过平方即可求解. 【解答过程】（1）连接，    因为，所以， 则． （2），，， ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $