专题21.1四边形及多边形题型突破讲义(常考题型精析+强化题型+寒假预习)2025-2026学年人教版八年级数学下册

专题21.1四边形及多边形题型突破讲义 . 重点掌握 1. 内角和公式(n−2)×180∘ 会正反用：知边数算内角和，知内角和推边 2. 外角和定理 任意多边形外角和恒为 360∘ 牢记“永远是360°”，不随边数变化。 3. 对角线作用:连对角线，化多边形为三角形 卡壳就想：能否连对角线？ 难点突破 1. 凸四边形概念 默认研究凸多边形；凹陷则非凸，初中不涉。 2. 公式逆向推理 难点在倒推：如知内角或内外角和倍数关系求n。 抓住“内角和是180的倍数”破题。 3. 对角线条数 一顶点引出 (n−3) 条； 总数为 条 一句话通关:遇多边形想 (n−2)×180∘，外角和死记360°，卡壳就连对角线。 1.四边形的不稳定性及其实际应用 2.多边形截角后的边数变化规律探究 3.多边形周长的计算与实际应用 4.网格背景下多边形面积的比较与计算 5.多边形对角线条数的规律推导与计算 6.多边形对角线分割成的三角形个数规律 7.多边形内角和公式的推导与应用 8.正多边形内角度数的计算与性质探究 9.多边形截角后内角和的变化规律分析 10.正多边形外角度数计算与性质探究 11.多边形外角和的性质及实际应用 12.多边形内角和与外角和的综合应用 13.平面镶嵌的原理与图形涉及应用 【知识点01.多边形的定义及其相关概念】 多边形的定义 在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。 按边数分类：三角形（3 条边）、四边形（4 条边）、五边形（5 条边）……n 边形（n 条边，n≥3且n为整数） 多边形的相关概念 顶点：多边形相邻两条线段的公共端点。 边：组成多边形的各条线段。 内角：多边形相邻两边组成的角，也叫多边形的角。 外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角。 对角线：连接多边形不相邻两个顶点的线段。 【知识点02.多边形的内角和与外角和】 多边形的内角和 公式：n边形内角和 = (n−2)×180∘（n≥3且n为整数） 推导思路：从n边形的一个顶点出发，可作(n−3)条对角线，将n边形分成(n−2)个三角形，三角形内角和为180∘，因此n边形内角和为(n−2)×180∘。 特例：四边形内角和 = (4−2)×180∘=360∘ 多边形的外角和 结论：任意多边形的外角和都是360∘（定值，与边数n无关） 推导思路：多边形的每个内角与其相邻外角之和为180∘，n边形内角与外角总和为n×180∘，减去内角和(n−2)×180∘，结果为360∘。 【知识点03.多边形的对角线数量】 公式：n边形对角线条数 = ​（n≥3且n为整数）推导思路：从n边形的一个顶点出发，能作(n−3)条对角线（不能和自身、相邻两个顶点连线），n个顶点共作n(n−3)条，每条对角线被计算 2 次，因此总条数为。 特例：四边形对角线条数 = =2 【知识点04.正多边形】 定义：各边相等且各内角相等的多边形叫做正多边形。 性质：正n边形的每个内角 = ​；每个外角 = ​ 注意：各边相等的多边形不一定是正多边形（如菱形）；各内角相等的多边形也不一定是正多边形（如矩形） 【题型1.四边形的不稳定性及其实际应用】 1．下列图形中，具有稳定性的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的稳定性及应用，四边形的不稳定性，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据三角形的稳定性及应用，四边形的不稳定性，对四个图形逐一分析，再作判断． 【详解】 解：具有稳定性，故A符合； 是四边形，不具有稳定性，故B不符合； 是四边形，不具有稳定性，故C不符合； 是四边形，不具有稳定性，故D不符合， 故选：A． 2．生活中处处有数学，如自行车的三角架是三角形的稳定性的应用，而能够自由开关的活动窗户（如图）的支撑装置（四边形设计成平行四边形，其中应用的数学原理是 ． 【答案】平行四边形具有不稳定性 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，利用平行四边形的不稳定性求解可得． 【详解】解：因为平行四边形具有不稳定性， 所以可以灵活的开关窗户， 故窗户的支撑装置（四边形被设计成平行四边形． 故答案为：平行四边形具有不稳定性． 解答题 3．如图所示，，，是三根长度分别为，，的木棒，它们之间连接处可以活动，在A，D之间拉一根橡皮筋，请根据四边形的不稳定性思考，这根橡皮筋的最大长度可以拉到多少厘米？最短长度为多少厘米？    【答案】这根橡皮筋的最大长度可以拉到，最短长度为 【分析】分两种情况进行讨论，当A，B，C，D形成一条线段时，最长，当A，B，C拉直，B，A落在上时，最短，分别求解即可． 【详解】由于B，C两处可以转动，当A，B，C，D形成一条线段时，最长，它等于；当A，B，C拉直，B，A落在上时，最短，它等于． 答：这根橡皮筋的最大长度可以拉到，最短长度为． 【点睛】本题考查了三角形的稳定性，当三角形三边的长度确定后，三角形的大小和形状就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性． 【题型2.多边形截角后的边数变化规律探究】 4．如图，四边形去掉一个后，剩下的新图形不可能是（   ）边形． A．三边形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】D 【分析】本题考查了多边形，分情况，画出图形即可，能画出符合的所有情况是解题的关键． 【详解】解：如图所示，剩下的新图形可能是①三角形，②四边形，③五边形，不可能是六边形， 故选：D． 5．若一个多边形截去一个角后，变成五边形，则原来的多边形的边数可能为（   ）. A．5或6 B．4或5 C．3或4或5 D．4或5或6 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的知识，一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条．根据一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，依此即可解决问题． 【详解】解：一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条， 则多边形的边数是4或5或6， 故选：D． 6．把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个十八边形，则原多边形纸片的边数可能是 ． 【答案】十七边形，或十八边形，或十九边形 【分析】结合题意，根据多边形截角后边数的性质，分三种截下的方式分析，即可得到答案． 【详解】把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个十八边形，有三种截下的方式： 下图为多边形局部图，如按下图所示沿虚线截下三角形： ∴原多边形纸片的边数是：十七边形 如按下图所示沿虚线截下三角形： ∴原多边形纸片的边数是：十八边形 如按下图所示沿虚线截下三角形： ∴原多边形纸片的边数是：十九边形 ∴原多边形纸片的边数可能是：十七边形，或十八边形，或十九边形 故答案为：十七边形，或十八边形，或十九边形． 【点睛】本题考查了多边形的知识；解题的关键是熟练掌握多边形的性质，从而完成求解． 7．一个多边形的外角和是内角和的，若这个多边形截去一个角后，则所形成的多边形是 边形． 【答案】六或七或八 【分析】首先求得多边形的边数，再分三种情况讨论即可。 【详解】解：设多边形的边数为，依题意，得： ， 解得：， 如图，剪切有下列三种情况： ①不经过顶点剪，则所形成的多边形是八边形； ②只过一个顶点剪，则所形成的多边形是七边形； ③过两个相邻顶点剪，则所形成的多边形是六边形。 故答案为：六或七或八。 【点睛】本题考查多边形的内角和定理和外角和定理，分三种情况解答是关键． 解答题 8．已知一个多边形纸片的内角和比外角和多 (1)求这个多边形的边数． (2)将此多边形裁去一个角，直接写出它的边数与外角和． (3)若这个多边形是正多边形，通过计算说明：每个内角比相邻的外角大还是小？大或小多少度？ 【答案】(1)7 (2)边数可以是6或7或8，外角和仍然是 (3)每个内角比相邻的外角大，大． 【分析】（1）设这个多边形的边数为n．根据内角和比外角和多列方程求解即可； （2）7边形裁去一个角，它的边数可以是6或7或8，外角和仍然是； （3）求出每个内角和每个外角的度数，即可得到答案． 【详解】（1）解：设这个多边形的边数为n．根据题意得， ， 解得， 答：这个多边形的边数是7． （2）7边形裁去一个角，它的边数可以是6或7或8，外角和仍然是． （3）若这个多边形是正七边形，则每个内角为，相邻的外角是， 则， ∴每个内角比相邻的外角大，大． 【点睛】此题考查了多边形的内角和与外角和，熟练掌握内角和公式与外角和定理是解题的关键． 【题型3.多边形周长的计算与实际应用】 9．如图是一个风筝设计图，其主体部分(四边形)关于所在的直线对称，与相交于点O，若，，则四边形的周长是 ． 【答案】/16厘米 【分析】根据轴对称的性质即可解决问题． 【详解】解：∵主体部分(四边形)关于所在的直线对称， ，， ∴四边形的周长， 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称图形的性质，四边形的周长等知识，解题的关键是熟练掌握轴对称图形的性质． 10．如图，一张长方形纸片剪去一个角后，剩下的纸片是一个梯形，则这个梯形的周长为（   ） A．10 B．22 C．24 D．32 【答案】D 【分析】本题主要考查了长方形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理解直角三角形． 根据长方形的性质求出相关边长，再利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：根据长方形的性质得， ，，， 根据勾股定理得， ∴梯形的周长为， 故选：D． 11．如图，在正八边形中，连接，设，四边形的周长分别为，则下列正确的是（    ） A． B． C． D．无法比较的大小 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形两边之和大于第三边的应用，先证明，得到，计算，结合两边之和大于第三边，计算判断即可． 【详解】∵该图是正八边形， ∴， ， ∵， ∴， 同理可证， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选B． 12．在一个正五边形 的主题公园步道上，其总长度为 2000 米，小李和小张分别从 两点同时开启步行之旅，沿着步道的顺时针方向行进，小李的步行速度为每分钟 50 米，小张的步行速度为每分钟 46 米．请问，从出发开始计时，经过 时间，小李和小张首次处于同一段步道上． 【答案】分钟 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的购进． 根据题意求出正五边形 的主题公园步道的边长米，设从出发开始计时，经过分钟，小李比小张多走米，列方程得，解方程再进一步即可得到答案． 【详解】解：正五边形 的主题公园步道的边长为米， 设从出发开始计时，经过分钟，小李比小张多走米， 根据题意得：， 解得：， 从出发开始计时，经过分钟，小李行进， 小张行进， ， ， 如图所示，小李位于点M处，小张位于点N处， 此时，点、分别是边、的中点， 小李从到用时 ， 小张从N到E用时， ， 小李先到达点D，此时两人首次处于同一段步道上， 小李和小张首次处于同一段步道上，用时， 故答案为：分钟． 解答题 13．一个正多边形的周长为60，边长为a，一个外角为b°． (1)若，求b的值； (2)若，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了正多边形，多边形的内角与外角， （1）根据正多边形的周长为，边长为，求得边数为，于是得到； （2）根据多边形的外角和等于，求得边数为，根据正多边形的周长为，边长为，于是得到结论． 【详解】（1）解：正多边形的周长为，边长为， 边数为， 一个外角为， ； （2）一个外角为，＝， ， 正多边形的周长为，边长为， ． 【题型4.网格背景下多边形面积的比较与计算】 14．如图，小个方格都是边长为1的正方形，图中四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】利用大正方形的面积减去四边形周围的小三角形面积即可． 【详解】解：四边形ABCD的面积为： =， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了四边形面积求法，掌握割补法是解题的关键． 15．如图，点O是正六边形对角线上的一点， 若，则阴影部分的面积为 （    ） A．10 B．15 C．20 D．随点O位置而变化 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形的性质．把正多边形分成两个全等的三角形和一个矩形求解即可． 【详解】解：∵正六边形， ∴，四边形是矩形， ∴， ∴阴影部分的面积为， 故选：B． 16．如图，网格图中每个小正方形的边长均为1，以为半径的扇形经过平移到达扇形的位置，那么图中阴影部分的面积是（　　）．    A．8 B．6 C．6.5 D．7.5 【答案】B 【分析】如图：连接和，可以发现，然后求得平行四边形的面积即可解答． 【详解】解：连接和，则 ．    故选：B． 【点睛】本题主要考查了求阴影部分的面积，将阴影部分的面积转换成求平行四边形的面积是解答本题的关键． 17．边长为 的菱形是由边长为 的正方形“形变”得到的，若这个菱形一组对边之间的距离为 ，则称 为这个菱形的“形变度”． （）一个“形变度”为 的菱形与其“形变”前的正方形的面积之比为 ； （）如图，，， 为菱形网格（每个小菱形的边长为 ，“形变度”为 ）中的格点则 的面积为 ． 【答案】 【分析】（1）先分别求出菱形和正方形的面积，然后根据变形度为2求解即可； （2）先把网格中的菱形当成是正方形，然后算出三角形的面积，最后根据变形度求解即可得到答案. 【详解】解：（）∵边长为的正方形面积，边长为的菱形面积， ∴菱形面积：正方形面积， ∵菱形的变形度为，即， ∴． 故答案为：； （）∵菱形边长为，“形变度”为， ∴菱形形变前的面积与形变后面积比为， ∴． 故答案为：9. 【点睛】本题主要考查了网格中面积的计算，解题的关键在于能够准确地读懂题意进行求解. 解答题 18．在平面直角坐标系中，的顶点坐标，， (1)作关于y轴的对称图形，并写出、、的坐标． (2)连接、，求出四边形的面积． 【答案】(1)图见解析，、、； (2)12 【分析】本题主要考查了网格画图，轴对称的性质，求网格图形的面积等知识点，解题的关键是熟练掌握相关性质． （1）利用轴对称的性质即可画出图形； （2）通过对称点的坐标求出边的长度，根据梯形的面积公式即可求得面积． 【详解】（1）解：如图，即为所求； 点、、； （2）解：如图， 根据轴对称的性质，找出点、的对称点、， ∴，， 四边形是等腰梯形， ∴四边形的面积为． 【题型5.多边形对角线条数的规律推导与计算】 19．下列说法正确的是（   ） A．一条直线就是一个平角 B．两点之间的线段就是这两点间的距离 C．从五边形的一个顶点出发可以画3条对角线 D．的底数是x 【答案】D 【分析】本题考查几何和代数基本概念，熟记相关几何和代数基本概念是解决问题的关键． 选项A混淆直线与平角的定义；选项B混淆线段与距离的概念；选项C错误计算五边形对角线的数量；选项D正确识别乘方的底数． 【详解】解：A、由平角是由两条射线从同一端点出发且方向相反所形成的角，而直线没有端点，不是角，选项说法错误，不符合题意； B、由两点间的距离是连接这两点的线段的长度，是一个数值，而线段是图形，选项说法错误，不符合题意； C、由于五边形有5个顶点，从一个顶点出发，有2个相邻顶点（不能画对角线），因此可画对角线的顶点数为，选项说法错误，不符合题意； D、由，可知乘方运算中底数是，选项说法正确，符合题意， 故选：D． 20．已知一个边形的内角和等于，则从这个多边形的一个顶点出发可以画 条对角线． 【答案】10/十 【分析】本题考查了多边形内角和以及多边形对角线，解题关键是掌握边形的内角和为，从一个顶点出发可以画条对角线．设多边形的边数为，利用多边形内角和公式求出边数，再求从一个顶点出发的对角线条数． 【详解】解：设多边形的边数为， 则内角和为， 解得， 即从一个顶点出发的对角线条数为， 故答案为：10． 21．过m 边形的一个顶点有4条对角线，n边形没有对角线，p边形有p条对角线，则 ． 【答案】8 【分析】本题考查了多边形对角线的性质及代数运算，关键在于正确建立方程求解的值．首先根据各边形的对角线数量建立方程，解方程得到各边数后代入计算即可． 【详解】解：过m边形的一个顶点有4条对角线，每个顶点的对角线数为（因为不能与自身及相邻两个顶点连对角线）， ，即； n边形没有对角线， ； 边形有p条对角线， ， 解得（舍去）或， ； , 故答案为：8． 22．把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫作多边形的三角剖分．七边形的三角剖分方法有（    ）种． A．14 B．42 C．28 D．35 【答案】B 【分析】本题考查图形的分割．根据题意列举即可． 【详解】解：如图，共有42种： 故选：B． 23．若某多边形的一个顶点与和它不相邻的其他各顶点连接，可将多边形分成7个三角形，则该多边形的总对角线条数为 ． 【答案】27 【分析】本题考查了多边形的对角线，熟练掌握n边形的总对角线条数公式是解题的关键． 经过n边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成个三角形，由此求出多边形的边数，再根据n边形的总对角线条数公式计算即可． 【详解】解：若某多边形的一个顶点与和它不相邻的其他各顶点连接，可将多边形分成7个三角形， 则这个多边形的边数为， 所以该多边形的总对角线条数为＝27（条）， 故答案为：27． 【题型6.多边形对角线分割成三角形个数规律】 .24．把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干三角形，叫做多边形的三角剖分．若一个多边形可以剖分成5个三角形，则这个多边形是（   ）边形． A．五 B．六 C．七 D．八 【答案】C 【分析】本题考查了多边形的三角剖分规律，解题的关键是掌握“边形三角剖分可得到个三角形”这一关系． 设多边形边数为，根据三角剖分的三角形个数与边数的关系列方程求解． 【详解】解：设这个多边形是边形，根据边形三角剖分得到的三角形个数为， 由题意得，解得， 故这个多边形是七边形． 故选：C． 25．把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫做多边形的三角剖分．如图为八边形的一种三角剖分方法，若在只确定连接线段、的前提下，一共有（　　）种三角剖分方法 A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】B 【分析】此题考查多边形分割为三角形的方法，确定各方法中不重复不遗漏是解题的关键 【详解】如图，共有10种 故选：B 26．把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫作多边形的三角剖分．关于凸边形的三角剖分，下列说法： ①三角剖分后得到的三角形个数为； ②凸5边形的三角剖分方法数为5； ③凸6边形的三角剖分方法数为14，会得到4个三角形； ④凸7边形的三角剖分方法数为42； ⑤一个凸n边形的三角剖分方法数满足递推关系． 其中正确的结论序号为 ． 【答案】②③④ 【分析】本题考查了多边形的特征与性质，图形规律，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先从凸三角形，凸四边形，凸五边形进行分析，然后总结规律，得三角剖分得的三角形个数为个．一个凸n边形的三角剖分方法数满足递推关系．再结合每个选项进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意， ∴当时，三角剖分后得到的三角形个数为，即， 此时凸3边形的三角剖分方法数为1， 或 ∴当时，三角剖分后得到的三角形个数为2，即， 此时凸4边形的三角剖分方法数为2， ∵一个凸n边形的三角剖分方法数 ∴， 或或或或 ∴当时，三角剖分后得到的三角形个数为3，即， 此时凸5边形的三角剖分方法数为5， ∵一个凸n边形的三角剖分方法数 ∴， 依次类推…… ∴对于n边形，三角剖分得的三角形个数为个．一个凸n边形的三角剖分方法数满足递推关系． 故①是不符合题意，⑤是不符合题意； ∵凸5边形的三角剖分方法数为5 故②是符合题意； 当时，则； ∵， ∴， 当时，则， 即凸6边形的三角剖分方法数为14，会得到4个三角形； 故③是符合题意； 当时，则； ∵， ∴ 即凸7边形的三角剖分方法数为42； 故④是符合题意； 故答案为：②③④ 27．把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫作多边形的三角剖分．1751年，瑞士数学家欧拉向德国-俄国数学家哥德巴赫提出了将一个n边形进行三角剖分一共有多少种剖分方法的问题，并归纳得出了n边形的不同三角剖分方法数（）的公式．后来数学家发现并证明：当时．请你利用上述公式，计算八边形的三角剖分方法数为（   ） A．129 B．130 C．131 D．132 【答案】D 【分析】本题考查了多边形对角线问题，代数式求值． 求出的值，进而利用给定的递推公式 逐步计算至 ． 【详解】解：∵四边形三角剖分只有2种方法，即两对角线各一种， ∴， ∴， ， ， ， ∴八边形的三角剖分方法数为132． 故选：D． 28．用对角线把多边形分成几个三角形，叫做“多边形的三角剖分”． 20世纪，数学家乌尔班发现并证明了下面的公式：（其中表示凸n边形的三角剖分数）．如图，凸四边形，有两种剖分方式（即：），请你用上面的公式计算 ． 【答案】14 【分析】本题考查了多边形的对角线，解答本题的关键是发现．根据，可得出，由可得出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴； 故答案为14． 【题型7.多边形内角和公式的推导与应用】 29．一个多边形的内角和是，则这个多边形的边数是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查多边形内角和问题，利用多边形内角和公式求解，设边数为n，则，解方程即可． 【详解】解：∵ 多边形内角和公式为 ， ∴ ， ∴ ， 故选：C． 30．如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，，的垂直平分线分别交，于点，，，的延长线交于点．连接，，若，则的度数为（ ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等边对等角，熟练掌握以上知识是解题的关键． 连接，根据垂直平分线的性质和等边对等角可得，，即，代入中，即可求解． 【详解】解：连接， ∵垂直平分，垂直平分， ∴， ∴，， ∵ ∴， ∴， 故选：B． 31．如图，平分，，垂足为A，，垂足为B．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的性质定理，三角形内角和，四边形内角和．利用角平分线的性质定理可知：，即可证明，利用三角形内角和可知，再利用四边形的内角和为即可求出． 【详解】解：∵平分，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形的内角和为， ∴， 故答案为：． 32．四边形纸片，，与不平行，将四边形纸片沿折叠成如图的形状，点落在点处，点落在点处，若，， ． 【答案】/55度 【分析】本题主要考查了折叠的性质、四边形内角和定理以及平角的定义，解题的关键是明确折叠前后对应角相等．先利用平角性质求出的度数，根据折叠的性质，通过已知角度求出以及的度数，再利用四边形内角和为来求解的度数即可． 【详解】解：如图所示，延长交于点， ， ， 由折叠性质可得，， ， ， ， 由折叠性质可得，， ， ， 故答案为：． 解答题 33．计算： (1)如图，求出图中x的值． (2)一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，求这个多边形的边数． 【答案】(1) (2)这个多边形的边数是8 【分析】此题主要考查了四边形的内角和定理，多边形的内角和与外角和，理解四边形内角和等于，熟练掌握n多边形的内角和为公式，外角和为是解决问题的关键． （1）根据四边形内角和等于列方程并解出即可； （2）设这个多边形的边数为n，依题意得，解此方程即可得出答案． 【详解】（1）解：，，解得． （2）解：设这个多边形是n边形， 由题意得：，解得：． 答：这个多边形的边数是8． 【题型8.正多边形内角度数计算与性质探究】 34．如图，在正五边形中，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查多边形内角及等腰三角形的性质等知识点，解答本题的关键是求出正五边形的内角．在等腰三角形中，求出的度数即可解决问题，再求解即可． 【详解】解：在正五边形中， 又知△是等腰三角形， ， ． ． 故选：D． 35．如图，在正六边形中，延长，交于点，则的度数为 ． 【答案】/60度 【分析】本题考查了正六边形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握正六边形的性质是解题的关键．根据正六边形的性质可得，进而得到，最后根据三角形的内角和定理即可求解． 【详解】解：在正六边形中，每个内角的度数为，即， ， ， 故答案为：． 36．如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是对顶角的性质，多边形和正多边形的内角和，熟练掌握正多边形每个内角的求解公式是解题的关键． 先根据正多边形每个内角为，得到正六边形和正方形每个内角的度数，再结合四边形的内角和以及对顶角的性质可得答案． 【详解】解：如图， 由多边形内外角和定理可知，，， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故选：B． 37．如图，正五边形中，M、N分别为的中点，连接，O为的交点，则的大小为 【答案】72 【分析】本题考查了正五边形的内角和公式，正五边形的对称性，三角形的内角和定理，对顶角相等，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据正五边形的内角和公式求出内角和，再除以5得到，由M、N分别为的中点得是正五边形的对称轴，所以，，最后根据三角形内角和定理和对顶角相等即可求解． 【详解】解：正五边形内角和为：， 正五边形的每个内角为， ， 由题意可得：是正五边形的对称轴， ，， ，， ， ， 故答案为： 解答题 38．已知某正多边形的一个内角比与它相邻外角的4倍还多． (1)求这个正多边形一个内角的度数； (2)求这个正多边形的内角和． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了正多边形的内角问题． （1）设内角度数为，根据题意列出方程求解即可； （2）先求外角，再求边数，最后利用内角和公式计算． 【详解】（1）解：设这个正多边形的一个内角的度数为， ∵内角与相邻外角之和为， ∴相邻外角为， 根据题意，， 解得：， ∴这个正多边形一个内角的度数为； （2）解：每个外角为， ∵正多边形的外角和为， ∴边数， 内角和为， ∴这个正多边形的内角和为． 【题型9.多边形截角后内角和的变化规律分析】 39．若一个多边形截去一个角后，变成十四边形，则原来的多边形的边数可能为（    ） A．13 B．14或15 C．13或15 D．13或14或15 【答案】D 【分析】根据多边形截角的不同情况（截线不过顶点、过一个顶点、过两个顶点），分析原多边形边数的可能情况．本题主要考查了多边形截角后边数的变化情况，熟练掌握多边形截角的三种不同情况是解题的关键． 【详解】解：一个多边形截去一个角，有三种情况： 截线不过任何顶点，此时边数增加，若截后是十四边形，则原多边形边数为； 截线过一个顶点，此时边数不变，若截后是十四边形，则原多边形边数为； 截线过两个顶点，此时边数减少，若截后是十四边形，则原多边形边数为． ∴ 原来的多边形的边数可能为或或． 故选：D． 40．将一块长方形木板锯掉一个角，则锯掉后剩下的多边形木板的内角和为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或或 【答案】D 【分析】本题主要考查了多边形的内角和，理解一个长方形锯掉一个角以后得到的多边形的形状是解题的关键． 长方形木板锯掉一个角后可能是三角形或四边形或五边形，再根据多边形的内角和定理即可解决． 【详解】解：长方形木板锯掉一个角以后可能是：三角形或四边形或五边形， 则剩下的多边形木板的内角和是或或． 故选：D． 41．在一张凸n边形纸片上剪去一个三角形纸片，得到一个内角和为的凸多边形纸片，则n的值为 ． 【答案】5或6或7 【分析】本题考查多边形内角和定理、剪纸问题，掌握多边形的内角和定理及分类讨论问题是解题的关键．设剪去一个角后的多边形边数为n，利用多边形内角和公式则有，解出方程就可以得到新多边形的边数；然后通过分析当沿的是对角线和沿的不是对角线这两种方式剪角，就可以求出原来多边形的边数． 【详解】解：设内角和为的多边形的边数为n，则， 解得， 即得到的多边形是6边形， 当沿的是一条对角线剪去一个角，则原来的是7边形， 当沿的直线并不是对角线时，分为两种情况： ①过多边形的一个顶点，则原来的是6边形； ②不过多边形的顶点，则原来的是5边形， 综上所述，原多边形的边数为5或6或7， 故答案为：5或6或7． 解答题 42．已知一个多边形的内角和与外角和相加等于， (1)求这个多边形的边数及对角线的条数； (2)当这个多边形剪去一个角后，所形成的新多边形内角和是______． 【答案】(1)边数是12，对角线的条数是54 (2)或或 【分析】本题考查多边形内角和定理：多边形内角和为． （1）已知一个多边形的内角和与外角和的和为，外角和是，因而内角和是．边形的内角和是，代入就得到一个关于的方程，就可以解得边数，从而得到这个多边形的对角线的条数． （2）剪掉一个角以后，多边形的边数可能增加了1条，也可能减少了1条，或者不变，根据多边形的内角和定理可以知道，边数增加1，相应内角和就增加180度，由此即可求出答案． 【详解】（1）解：设这个多边形的边数为， ， 解得：； 对角线的条数为：； 所以这个多边形的边数是12，它的对角线的条数是54； （2）解：因为剪掉一个角以后，多边形的边数可能增加了1条，也可能减少了1条，或者不变，分以下三种情况： 当沿两边中间点剪时，多边形多出一条边，边数为， 内角和； 当沿一边中间点与一顶点剪时，多边形边数不变，边数为12， 内角和； 当沿两顶点剪时，多边形边减少1边，边数为， 内角和； 综上所述：当新多边形有13条边时内角和为，12条边时内角和为，11条边时内角和为． 故答案为：或或． 【题型10.正多边形外角度数计算与性质探究】 43．游戏中有数学智慧，找起点游戏规则：如图，从起点走九段相等直路后回到起点，要求每走完一段直路后向右边偏行，成功的招数不止一招，下列可助我们成功的一招是（   ） A．每走完一段直路后沿向右偏方向行走 B．每段直路要短 C．每走完一段直路后沿向右偏方向行走 D．每段直路要长 【答案】A 【分析】此题主要考查了求正多边形外角的度数．根据题意可知封闭的图形是正九边形，求出正九边形的每个外内角的度数即可解决问题． 【详解】解：根据题意可知，从起点走九段相等直路之后回到起点的封闭图形是正九边形， ∵正九边形的每个外角的度数为： ∴每走完一段直路后沿向右偏方向行走， 故选：A． 44．如图所示，小杨从点A出发，沿直线前进后左转，再沿直线前进后左转，……照这样走下去，他第一次回到出发地点A时，一共走的路程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形外角的性质，掌握此性质是关键． 根据多边形外角和为可得所走的多边形是正八边形，则可求得其周长，从而得所走的路程． 【详解】解：依题意，每次沿直线前进后向左转，再回到出发点时走了一个正多边形， ∵， ∴正好走了一个正八边形，其周长为． ∴一共走的路程是． 故选：B． 45．如图，一个正五边形纸片可裁成五个全等的等腰三角形和一个五边形，则图中的度数是 ． 【答案】36 【分析】本题考查等腰三角形的性质，正多边形的性质，关键是由多边形的外角和是，求出等腰三角形底角的度数． 由多边形的外角和是，得到等腰三角形的底角，由三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：由题意可得中间的五边形为正五边形， ∴等腰三角形的底角， ． 故答案为：36． 46．小亮从点出发前进15m，向右转，再前进，又向右转，…，这样一直走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了 ． 【答案】 【分析】本题考查了多边形的外角和，理解转向角度与外角的对应关系是解题的关键． 先根据外角和定理直接求边数，进而计算总路程． 【详解】【详解】解：该多边形的边数 小亮需走完18段才能首次回到出发点A； 总路程为． 故答案为： 【题型11.多边形外角和的性质及实际应用】 47．如图，是的三个外角，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了多边形的外角和性质，根据三角形外角和为以及进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵是的三个外角， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 48．图①是我国古代建筑中的一种窗格，称为“冰裂纹”．图②是从图①冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是多边形的内角和外角，掌握多边形的外角和等于是解题的关键．根据多边形的外角和等于解答即可． 【详解】解：由多边形的外角和等于可知， ， 故选：C． 49．如图，小明沿一个正多边形广场周围的小路按顺时针方向跑步，从点O出发，前进10米后向右转，再前进10米后再向右转，这样一直跑下去，直到他第一次回到出发点O为止，则这个正多边形的周长为 米． 【答案】90 【分析】本题考查多边形的外角和定理，解决本题的关键是求解出正多边形的边数． 利用多边形外角和为求出正多边形的边数，进而求得其周长． 【详解】解：因为小明每次向右转的角度就是这个正多边形的外角， 已知每次向右转，且多边形的外角和是固定的． 设这个正多边形的边数为，可得， 即这个正多边形是九边形． 已知小明每次前进米， 可得该正多边形的周长米． 故答案为：． 50．如图，五边形中，，分别是的外角，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，多边形的外角和定理，根据两直线平行，同旁内角互补得到以点B、点C为顶点的五边形的两个外角的度数之和等于，再根据多边形的外角和定理列式计算即可得解． 【详解】解：延长，，如图： ， ∵， ∴， 根据多边形的外角和定理可得， ∴． 故答案为：． 解答题 51．如图是由射线，，，，组成的平面图形，若，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了多边形外角和公式和平行线的性质，准确计算是解题的关键． 根据多边形的外角和等于，即可得到的度数，进而得出的度数，再根据平行线的性质进行解答即可． 【详解】解：如图， 由多边形的外角和等于可知，， 又， ， ， 又， ． 【题型12.多边形内角和与外角和的综合应用】 52．一个多边形的内角和是外角和的4倍，则这个多边形是（   ） A．五边形 B．七边形 C．八边形 D．十边形 【答案】D 【分析】本题考查了多边形内角和公式和外角和性质． 根据多边形内角和公式和外角和性质，设边数为n，列方程求解． 【详解】解：设多边形的边数为n， ∵多边形的内角和为，外角和恒为，且内角和是外角和的4倍， ∴， ∴， ∴， ∴这个多边形是十边形． 故选：D． 53．一个多边形的每一个外角都等于，则该多边形的内角和等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多边形的内角与外角．任何多边形的外角和等于，据此求得这个多边形的边数．再根据多边形的内角和公式即可求解． 【详解】解：这个多边形的边数为：， 这个多边形的内角和为：， 则该多边形的内角和等于． 故选：C． 54．如图，是五边形的4个外角，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了多边形的外角和，先求出相邻的外角为，由多边形的外角和为，即可求解． 【详解】解：， 与相邻的外角为， ， 故答案为． 解答题 55．一个多边形的内角和比它的外角和的5倍多，求这个多边形的边数． 【答案】这个多边形的边数是13 【分析】本题考查多边形的内角和与外角和．n边形的内角和为，外角和为．根据“内角和比它的外角和的5倍多”列出方程，求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数是n， ， 解得， 答：这个多边形的边数是13． 【题型13.平面镶嵌的原理与图形设计应用】 56．如图所示是三个完全相同的正多边形拼成的无缝隙、不重叠的图形的一部分，这种多边形是（  ）边形． A．四 B．五 C．六 D．八 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形的判断，掌握正多边形的内角和是解决本题的关键． 先判断出图形由三个完全相同的正多边形拼成的镶嵌，再根据正多边形的内角和进行求解即可． 【详解】解：是三个完全相同的正多边形拼成的镶嵌， 每个内角度数， 那么边数为：． 故这种多边形是正六边形． 故选C． 57．下列正多边形的组合中，不能铺满地面的是（　　） A．正三角形和正六边形 B．正方形和正六边形 C．正三角形和正十二边形 D．正三角形、正方形和正六边形 【答案】B 【分析】本题主要考查了平面镶嵌，几何图形镶嵌成平面的关键是围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角． 看位于同一顶点处的几个角之和能否为．若能，则说明能铺满；反之，则说明不能铺满，据此即可解答． 【详解】解：A．正三角形和正六边形内角分别为，因为，所以能构成的周角，故能铺满，不符合题意； B．正方形和正六边形内角分别为，不能构成360°的周角，故不能铺满，符合题意； C．正三角形和正十二边形内角分别为，因为，所以能构成的周角，故能铺满，不符合题意； D．正三角形、正方形和正六边形内角分别为，因为，所以能构成的周角，故能铺满，不符合题意． 故选：B． 58．如图所示，是工人师傅用边长均为a的两块正方形和一块正三角形地砖绕着点O进行的铺设．若将一块边长为a的正多边形地砖恰好能无空隙、不重叠地拼在处，则这块正多边形地砖的边数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面密铺的问题．正多边形的组合进行平面镶嵌，位于同一顶点处的几个角之和为，从而可得的度数，计算正多边形的外角，由此可得边数． 【详解】解：正三角形和正方形的内角分别为与， ， 这块正多边形地砖的边数为， 故答案为：． 59．小芳用三个全等的正边形硬纸片和一个正三角形硬纸片拼了一个平面图形，这四个硬纸片的拼接处无空隙，不重叠．如图所示，是所拼的这个平面图形的一部分，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了无缝拼接的条件，多边形的内角和，正多边形的定义，理解无缝拼接的条件和正多边形的定义，掌握多边形的内角和公式：是解题的关键．由无缝拼接的条件得，由多边形的内角和公式和正多边形的定义，进行列式计算，即可求解； 【详解】解：由题意得：正m边形的内角为， ， 解得：， 故答案为：． 解答题 60．簪花结束后，小强和爸爸牵着妈妈的手，到蟳埔村参观游玩拍照纪念，精美的镂空窗花搭配蚵壳墙，极具泉州古民居特色，给小强一家留下来极其深刻的印象，在感叹泉州人民的勤劳与智慧的同时，聪明的小强发现有的窗花是由几种形状的正多边形组合镶嵌而成，具有很好的对称美，小强爸爸给他出了如下两个题目，请帮帮小强一起解决． (1)已知一扇窗户在某个结点处由两种边长相等的正多边形镶嵌而成，其中一种是等边三角形，另一个种不能是下列哪种形状的正多边形______（填序号） ①正三角形 ②正四边形 ③正五边形 ④正六边形 (2)小强发现某个花纹用4个全等的正八边形进行拼接，使相等的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形，如图1，小强猜想，如果用n个全等的正六边形按这种方式进行拼接，如图2，若围成一圈后中间形成一个正多边形，则n的值为______，并简要说明理由 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平面镶嵌，熟练掌握平面图形的镶嵌是解题的关键：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌． （1）分别求出各多边形内角的度数，再由密铺的条件即可得出结论； （2）根据正六边形各内角的度数即可得出结论． 【详解】（1）解：①正三角形的内角是，，可以密铺，不符合题意； ②正四边形的内角是，，可以密铺，不符合题意； ③正五边形的内角是，，不能密铺，符合题意； ④正六边形的内角是，，可以密铺，不符合题意； 故答案为：③； （2）解：，理由如下： 由题意得，这个正六边形围成的图形是一个正多边形，由图可知，围成的这个正多边形的每个内角的度数是， ， 解得：， 故答案为：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题21.1四边形及多边形题型突破讲义 . 重点掌握 1. 内角和公式(n−2)×180∘ 会正反用：知边数算内角和，知内角和推边 2. 外角和定理 任意多边形外角和恒为 360∘ 牢记“永远是360°”，不随边数变化。 3. 对角线作用:连对角线，化多边形为三角形 卡壳就想：能否连对角线？ 难点突破 1. 凸四边形概念 默认研究凸多边形；凹陷则非凸，初中不涉。 2. 公式逆向推理 难点在倒推：如知内角或内外角和倍数关系求n。 抓住“内角和是180的倍数”破题。 3. 对角线条数 一顶点引出 (n−3) 条； 总数为 条 一句话通关:遇多边形想 (n−2)×180∘，外角和死记360°，卡壳就连对角线。 1.四边形的不稳定性及其实际应用 2.多边形截角后的边数变化规律探究 3.多边形周长的计算与实际应用 4.网格背景下多边形面积的比较与计算 5.多边形对角线条数的规律推导与计算 6.多边形对角线分割成的三角形个数规律 7.多边形内角和公式的推导与应用 8.正多边形内角度数的计算与性质探究 9.多边形截角后内角和的变化规律分析 10.正多边形外角度数计算与性质探究 11.多边形外角和的性质及实际应用 12.多边形内角和与外角和的综合应用 13.平面镶嵌的原理与图形涉及应用 【知识点01.多边形的定义及其相关概念】 多边形的定义 在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。 按边数分类：三角形（3 条边）、四边形（4 条边）、五边形（5 条边）……n 边形（n 条边，n≥3且n为整数） 多边形的相关概念 顶点：多边形相邻两条线段的公共端点。 边：组成多边形的各条线段。 内角：多边形相邻两边组成的角，也叫多边形的角。 外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角。 对角线：连接多边形不相邻两个顶点的线段。 【知识点02.多边形的内角和与外角和】 多边形的内角和 公式：n边形内角和 = (n−2)×180∘（n≥3且n为整数） 推导思路：从n边形的一个顶点出发，可作(n−3)条对角线，将n边形分成(n−2)个三角形，三角形内角和为180∘，因此n边形内角和为(n−2)×180∘。 特例：四边形内角和 = (4−2)×180∘=360∘ 多边形的外角和 结论：任意多边形的外角和都是360∘（定值，与边数n无关） 推导思路：多边形的每个内角与其相邻外角之和为180∘，n边形内角与外角总和为n×180∘，减去内角和(n−2)×180∘，结果为360∘。 【知识点03.多边形的对角线数量】 公式：n边形对角线条数 = ​（n≥3且n为整数）推导思路：从n边形的一个顶点出发，能作(n−3)条对角线（不能和自身、相邻两个顶点连线），n个顶点共作n(n−3)条，每条对角线被计算 2 次，因此总条数为。 特例：四边形对角线条数 = =2 【知识点04.正多边形】 定义：各边相等且各内角相等的多边形叫做正多边形。 性质：正n边形的每个内角 = ​；每个外角 = ​ 注意：各边相等的多边形不一定是正多边形（如菱形）；各内角相等的多边形也不一定是正多边形（如矩形） 【题型1.四边形的不稳定性及其实际应用】 1．下列图形中，具有稳定性的是（   ） A． B． C． D． 2．生活中处处有数学，如自行车的三角架是三角形的稳定性的应用，而能够自由开关的活动窗户（如图）的支撑装置（四边形设计成平行四边形，其中应用的数学原理是 ． 解答题 3．如图所示，，，是三根长度分别为，，的木棒，它们之间连接处可以活动，在A，D之间拉一根橡皮筋，请根据四边形的不稳定性思考，这根橡皮筋的最大长度可以拉到多少厘米？最短长度为多少厘米？    【题型2.多边形截角后的边数变化规律探究】 4．如图，四边形去掉一个后，剩下的新图形不可能是（   ）边形． A．三边形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 5．若一个多边形截去一个角后，变成五边形，则原来的多边形的边数可能为（   ）. A．5或6 B．4或5 C．3或4或5 D．4或5或6 6．把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个十八边形，则原多边形纸片的边数可能是 ． 7．一个多边形的外角和是内角和的，若这个多边形截去一个角后，则所形成的多边形是 边形． 解答题 8．已知一个多边形纸片的内角和比外角和多 (1)求这个多边形的边数． (2)将此多边形裁去一个角，直接写出它的边数与外角和． (3)若这个多边形是正多边形，通过计算说明：每个内角比相邻的外角大还是小？大或小多少度？ 【题型3.多边形周长的计算与实际应用】 9．如图是一个风筝设计图，其主体部分(四边形)关于所在的直线对称，与相交于点O，若，，则四边形的周长是 ． 10．如图，一张长方形纸片剪去一个角后，剩下的纸片是一个梯形，则这个梯形的周长为（   ） A．10 B．22 C．24 D．32 11．如图，在正八边形中，连接，设，四边形的周长分别为，则下列正确的是（    ） A． B． C． D．无法比较的大小 12．在一个正五边形 的主题公园步道上，其总长度为 2000 米，小李和小张分别从 两点同时开启步行之旅，沿着步道的顺时针方向行进，小李的步行速度为每分钟 50 米，小张的步行速度为每分钟 46 米．请问，从出发开始计时，经过 时间，小李和小张首次处于同一段步道上． 解答题 13．一个正多边形的周长为60，边长为a，一个外角为b°． (1)若，求b的值； (2)若，求a的值． 【题型4.网格背景下多边形面积的比较与计算】 14．如图，小个方格都是边长为1的正方形，图中四边形的面积为 ． 15．如图，点O是正六边形对角线上的一点， 若，则阴影部分的面积为 （    ） A．10 B．15 C．20 D．随点O位置而变化 16．如图，网格图中每个小正方形的边长均为1，以为半径的扇形经过平移到达扇形的位置，那么图中阴影部分的面积是（　　）．    A．8 B．6 C．6.5 D．7.5 17．边长为 的菱形是由边长为 的正方形“形变”得到的，若这个菱形一组对边之间的距离为 ，则称 为这个菱形的“形变度”． （）一个“形变度”为 的菱形与其“形变”前的正方形的面积之比为 ； （）如图，，， 为菱形网格（每个小菱形的边长为 ，“形变度”为 ）中的格点则 的面积为 ． 解答题 18．在平面直角坐标系中，的顶点坐标，， (1)作关于y轴的对称图形，并写出、、的坐标． (2)连接、，求出四边形的面积． 根据轴对称的性质，找出点、的对称点、， ∴，， 四边形是等腰梯形， ∴四边形的面积为． 【题型5.多边形对角线条数的规律推导与计算】 19．下列说法正确的是（   ） A．一条直线就是一个平角 B．两点之间的线段就是这两点间的距离 C．从五边形的一个顶点出发可以画3条对角线 D．的底数是x 20．已知一个边形的内角和等于，则从这个多边形的一个顶点出发可以画 条对角线． 21．过m 边形的一个顶点有4条对角线，n边形没有对角线，p边形有p条对角线，则 ． 22．把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫作多边形的三角剖分．七边形的三角剖分方法有（    ）种． A．14 B．42 C．28 D．35 23．若某多边形的一个顶点与和它不相邻的其他各顶点连接，可将多边形分成7个三角形，则该多边形的总对角线条数为 ． 【题型6.多边形对角线分割成三角形个数规律】 .24．把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干三角形，叫做多边形的三角剖分．若一个多边形可以剖分成5个三角形，则这个多边形是（   ）边形． A．五 B．六 C．七 D．八 25．把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫做多边形的三角剖分．如图为八边形的一种三角剖分方法，若在只确定连接线段、的前提下，一共有（　　）种三角剖分方法 A．8 B．10 C．12 D．14 26．把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫作多边形的三角剖分．关于凸边形的三角剖分，下列说法： ①三角剖分后得到的三角形个数为； ②凸5边形的三角剖分方法数为5； ③凸6边形的三角剖分方法数为14，会得到4个三角形； ④凸7边形的三角剖分方法数为42； ⑤一个凸n边形的三角剖分方法数满足递推关系． 其中正确的结论序号为 ． 27．把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫作多边形的三角剖分．1751年，瑞士数学家欧拉向德国-俄国数学家哥德巴赫提出了将一个n边形进行三角剖分一共有多少种剖分方法的问题，并归纳得出了n边形的不同三角剖分方法数（）的公式．后来数学家发现并证明：当时．请你利用上述公式，计算八边形的三角剖分方法数为（   ） A．129 B．130 C．131 D．132 28．用对角线把多边形分成几个三角形，叫做“多边形的三角剖分”． 20世纪，数学家乌尔班发现并证明了下面的公式：（其中表示凸n边形的三角剖分数）．如图，凸四边形，有两种剖分方式（即：），请你用上面的公式计算 ． 【题型7.多边形内角和公式的推导与应用】 29．一个多边形的内角和是，则这个多边形的边数是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 30．如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，，的垂直平分线分别交，于点，，，的延长线交于点．连接，，若，则的度数为（ ）． A． B． C． D． 31．如图，平分，，垂足为A，，垂足为B．若，则的度数为 ． 32．四边形纸片，，与不平行，将四边形纸片沿折叠成如图的形状，点落在点处，点落在点处，若，， ． 解答题 33．计算： (1)如图，求出图中x的值． (2)一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，求这个多边形的边数． 【题型8.正多边形内角度数计算与性质探究】 34．如图，在正五边形中，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 35．如图，在正六边形中，延长，交于点，则的度数为 ． 36．如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则（    ） A． B． C． D． 37．如图，正五边形中，M、N分别为的中点，连接，O为的交点，则的大小为 解答题 38．已知某正多边形的一个内角比与它相邻外角的4倍还多． (1)求这个正多边形一个内角的度数； (2)求这个正多边形的内角和． 【题型9.多边形截角后内角和的变化规律分析】 39．若一个多边形截去一个角后，变成十四边形，则原来的多边形的边数可能为（    ） A．13 B．14或15 C．13或15 D．13或14或15 40．将一块长方形木板锯掉一个角，则锯掉后剩下的多边形木板的内角和为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或或 41．在一张凸n边形纸片上剪去一个三角形纸片，得到一个内角和为的凸多边形纸片，则n的值为 ． 解答题 42．已知一个多边形的内角和与外角和相加等于， (1)求这个多边形的边数及对角线的条数； (2)当这个多边形剪去一个角后，所形成的新多边形内角和是______． 【题型10.正多边形外角度数计算与性质探究】 43．游戏中有数学智慧，找起点游戏规则：如图，从起点走九段相等直路后回到起点，要求每走完一段直路后向右边偏行，成功的招数不止一招，下列可助我们成功的一招是（   ） A．每走完一段直路后沿向右偏方向行走 B．每段直路要短 C．每走完一段直路后沿向右偏方向行走 D．每段直路要长 44．如图所示，小杨从点A出发，沿直线前进后左转，再沿直线前进后左转，……照这样走下去，他第一次回到出发地点A时，一共走的路程是（   ） A． B． C． D． 45．如图，一个正五边形纸片可裁成五个全等的等腰三角形和一个五边形，则图中的度数是 ． 46．小亮从点出发前进15m，向右转，再前进，又向右转，…，这样一直走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了 ． 【题型11.多边形外角和的性质及实际应用】 47．如图，是的三个外角，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 48．图①是我国古代建筑中的一种窗格，称为“冰裂纹”．图②是从图①冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 49．如图，小明沿一个正多边形广场周围的小路按顺时针方向跑步，从点O出发，前进10米后向右转，再前进10米后再向右转，这样一直跑下去，直到他第一次回到出发点O为止，则这个正多边形的周长为 米． 50．如图，五边形中，，分别是的外角，则 ． 解答题 51．如图是由射线，，，，组成的平面图形，若，，求的度数． 【题型12.多边形内角和与外角和的综合应用】 52．一个多边形的内角和是外角和的4倍，则这个多边形是（   ） A．五边形 B．七边形 C．八边形 D．十边形 53．一个多边形的每一个外角都等于，则该多边形的内角和等于（   ） A． B． C． D． 54．如图，是五边形的4个外角，若，则 ． 解答题 55．一个多边形的内角和比它的外角和的5倍多，求这个多边形的边数． 【题型13.平面镶嵌的原理与图形设计应用】 56．如图所示是三个完全相同的正多边形拼成的无缝隙、不重叠的图形的一部分，这种多边形是（  ）边形． A．四 B．五 C．六 D．八 57．下列正多边形的组合中，不能铺满地面的是（　　） A．正三角形和正六边形 B．正方形和正六边形 C．正三角形和正十二边形 D．正三角形、正方形和正六边形 58．如图所示，是工人师傅用边长均为a的两块正方形和一块正三角形地砖绕着点O进行的铺设．若将一块边长为a的正多边形地砖恰好能无空隙、不重叠地拼在处，则这块正多边形地砖的边数是 ． 59．小芳用三个全等的正边形硬纸片和一个正三角形硬纸片拼了一个平面图形，这四个硬纸片的拼接处无空隙，不重叠．如图所示，是所拼的这个平面图形的一部分，则 ． 解答题 60．簪花结束后，小强和爸爸牵着妈妈的手，到蟳埔村参观游玩拍照纪念，精美的镂空窗花搭配蚵壳墙，极具泉州古民居特色，给小强一家留下来极其深刻的印象，在感叹泉州人民的勤劳与智慧的同时，聪明的小强发现有的窗花是由几种形状的正多边形组合镶嵌而成，具有很好的对称美，小强爸爸给他出了如下两个题目，请帮帮小强一起解决． (1)已知一扇窗户在某个结点处由两种边长相等的正多边形镶嵌而成，其中一种是等边三角形，另一个种不能是下列哪种形状的正多边形______（填序号） ①正三角形 ②正四边形 ③正五边形 ④正六边形 (2)小强发现某个花纹用4个全等的正八边形进行拼接，使相等的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形，如图1，小强猜想，如果用n个全等的正六边形按这种方式进行拼接，如图2，若围成一圈后中间形成一个正多边形，则n的值为______，并简要说明理由 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $