山东省济南外国语学校2025-2026学年高一上学期1月月考数学试题

济南外国语学校高一1月月考数学试题 2026.1 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要 求的。 l.角a的终边上有一点P(a,a)(a≠0)，则sina的值是 A号 B马 c.1 D.或 2 2.若cos0>0,sin0<0,则角0的终边所在的象限是() A第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.已知角α的终边经过点P(-1,2),则cos(+a)=( A.-25 B.-9C.95 D.9 4.已知扇形的周长为16cm,圆心角为2rad,则该扇形的面积为() A.32cm2 B.16cm2 C.8cm2 D.4cm2 5.m2a-2co0等于(） sin(a-) A.22 cosa B.2cosa C.2sina D.sina 6.下列函数中，f(x)的最小正周期是2π的是() A.f(x)=sinx+cosx B.f(x)=sinxcosx C.f(x)=sin2x+cos2x D.f(x)=sin2x-cos2x 已知B引me+小-3运s血g-与则ua等于(） A B.i DA 8.如图，一个半径为3米的简车按逆时针方向每分钟转1.5圈，简车的轴心O距离水面的高 度为1.5米.设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d(单位：米)（在水面下则d为负数）， 若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t(单位：秒)之间的关系为d=Asin(wt+p)+K (A>0,w>0,-<p<),则() d 水面 A.0=号 B.9=-背 C.盛水简出水后至少经过秒就可到达最低点 D.盛水筒P在转动一圈的过程中，P在水中的时间为秒 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的 要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列说法正确的是() A.若a终边上一点的坐标为(3，-4)，则cosa=-青 B.若角a为锐角，则2a为钝角 C.若圆心角为的扇形的弧长为m,则该扇形的面积为受 D.若sina+cosa=片，且0<a<m,则tana=-音 7 10.已知sina+cosa=写，则下列结论正确的是（） A.sinacosa=12 225 B.sina-cosa=月 C.若2a是锐角，则tana=是 D.若2a是钝角，则cos2a-sin2u=-名 11.下列关于函数f()=2cos2(x-)-2cos(x+)sin(x+T)-1的相关命题，叙述正确的有(） A.f(x)的最小正周期为π B.f)的一条对称轴为x= C.f)的单调增区间为[-号+km,君+km,kez D.若x∈[是可时，函数g)=f-k有两个不同零点，则k∈（←1，-引u(0,) 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.(cos-sin)(cos+sin 2)- 13.设函数f()=cos(ωx+)(ω>0)，已知f(x)=-1,f(x2)=1,且lx1-x2的最小值为将函数f() 的图象向右平移个单位长度，纵坐标交为原来的2倍（横坐标不变），得到g()的图象，则g()在区间匠哥 上的最大值为 14.已知函数f()=cos(ωx+)(ω>0)在凶(0，m)上怡好有3个零点，则ω的取值范围是(） 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15.已知扇形的圆心角是，半径为R,弧长为1. (1)若a=60°，R=10cm,求扇形的弧长： (2)若a=,R=2cm,求扇形的弧所在的弓形的面积： l6.已知a是第二象限角，sina=, 10 (I)求cosc,tana; (2)求2 Zsinacoa+eosa 1 17.已知cos(c-)29sin(6B)=且a∈(（G,m),B∈(0，》求an(a+B), 18.已知函数fx)=Asin(ox+p)+B(A>0,ω>0，lp|<罗的部分图象如图所示. 7元 12 (1)求f(x)的解析式及对称中心坐标； (2)将f()的图象向右平移个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，最后将图象向上平移1个 单位，得到函数g(x)的图象.求不等式g(x)<1的解集. 19.已知函数f(x)=2 sinxcosx+2V3cos2x-V3. (1)求f(x)的图象的对称轴、单调递增区间； 2)当x∈[-]时，求f(x)的最值，以及f()取得最值时x的取值； (3)当xe[,]时，关于x的不等式af(x-)-f(x+)≥4有解，求实数a的取值范围.数学参考答案与解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要 求的。 l.角a的终边上有一点P(a,a)(a≠0)，则sina的值是 A号 B号 C.1 D,是或 2 (2 D设原点0到点P的距离为r,则r=Va2+a2=V2lal,所以sina日- 2 ,a>0, r 2a<0, 所以sima的值是或停 2.若cos0>0,sin0<0,则角0的终边所在的象限是() A第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 D .'cos 0>0, ∴.角日的终边落在第一象限或第四象限或x轴的非负半轴上 ,si0<0,∴.角0的终边落在第三象限或第四象限或y轴的非正半轴上. ∴.角0的终边落在第四象限.故选D 3.已知角a的终边经过点P(-1,2),则cos(任+c)=( A.-295 B.-5 c.9 D.9 【答案】C 【解题思路】根据三角函数定义，结合诱导公式求解可得， 【解答过程】因为角a的终边经过点P(-1,2),所以0P=J(-1)2+22=V5, 所以cos(侵+a)=sina=房= 故选：C 第1页共11页 4.已知扇形的周长为16cm,圆心角为2rad,则该扇形的面积为() A.32cm2 B.16cm2 C.8cm2 D.4cm2 【答案】B 【解题思路】借助扇形周长公式、弧长公式与面积公式计算即可得 2+l=16(a=2 【解答过程】由题意可得 ,0=2.,解得7=4，故5=rl=×4×8=16cm2. 1=lalr (l=8 故选：B 5.n20-2os2a等于( sin(a) A.22 cosa B.2cosa C.2sina D.sina A原式25 c-2o2a-2√2c0sa 当6na-osa） 6.下列函数中，f(x)的最小正周期是2π的是() A.f(x)=sinx+cosx B.f(x)=sinxcosx C.f(x)=sin 2x+cos2x D.f(x)=sin 2x-cos2x A对于A,ix)-in2号inx只osx灯V2sinx+,则T-2n,满足条件，故A选项符合题 意；对于B,fx)-sin xcos=sin2x,则T=π，不满足条件，故B选项不符合题意；对于 C,fx)=sin2x+cos2x=1,为常函数，则不存在最小正周期，不满足条件，故C选项不符合题意；对于 D,fx)=sin2x-cos2x=-cos2x,则T=π，不满足条件，故D选项不符合题意.故选A. 7.已知B∈ e+-9如8-令则ma等 () A马 B D.2 4 B因为Be(0,)simB号 所以cosB2所以mB-号 又a(a+f)9 3V2V2 4W故选B. 所以tana-tan(a+B)上B]6MR=,32x迈直 11 第2页共11页 8.如图，一个半径为3米的简车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心O距离水面的高 度为1.5米.设筒车上的某个盛水简P到水面的距离为d(单位：米)（在水面下则d为负数)， 若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t(单位：秒)之间的关系为d=Asin(wt+p)+K (A>0,w>0,-<p<),则() 水面 A.0=号 B.9=- C.盛水筒出水后至少经过秒就可到达最低点 D.盛水筒P在转动一圈的过程中，P在水中的时间为秒 【答案】D 【解题思路】根据给定条件，求出A,K,o,p判断AB;求出点的位置判断C;解不等式判断D. 【解答过程】点P到水面的距离d与时间t之间的关系为d=Asin(wt+p)+K, 对于A,依题意，A=3,K=15,T=40,则0=华=若=元A错误： 对于B,由t=0时，得d=3sinp+1.5=0,即sinp=-克而-<p<受则p=-B错误； 对于C,d=3sin(20t-8)+1.5,令d=-1.5,得3sin(0t-君)+1.5=-1.5， 解得si如（分t-君）=-1，则t-名=受解得t=9 即盛水筒出水后至少经过秒可到达最低点，C错误； 对于D,由d≤0，得3sin(0t-名)+15≤0，即sin(0t-君)≤-2 则%+2km≤t-名≤1g+2 kr,k EZ,解得g+40k≤t≤40+40k,k∈z, 6 所以盛水筒P在转动一圈的过程中，P在水中的时间为秒，D正确。 第3页共11页 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的 要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列说法正确的是() A.若a终边上一点的坐标为(3，-4)，则cosa=-青 B.若角a为锐角，则2a为钝角 C.若圆心角为的扇形的弧长为元，则该扇形的面积为受 D.若sinc+cosa=片，且0<a<m,则tana=-着 【答案】CD 【解题思路】根据三角函数的定义判断A项；举反例排除B项；利用扇形的弧长与面积公式计算可判断C 项：根据已知求出sina,cosa的值，即可得正切值判断D项. 【解答过程】对于A,因x=3,y=-4,则r=V32+(-=5,则c0sa=产=号故A错误； 对于B,当角a为锐角时，若a=石而2a=号不是纯角，故B错误； 对于C,依题意，扇形的半径为r=营=3，则该扇形的面积为S=××32=受故C正确： 对于D,由sina+cosa=0两边取平方，可s得in2a+2 sino+cos2a=云化简得2 sinace0sa=-斧<0， 因0<a<π，故5<a<π，则sina>cosa, 由(sina-cosa2=1-2 2inco=是，可得sina-cosa=号包， 联立①②，解得sina=,cosm=-?故tana=-等故D正确， 故选：CD 7 10.已知sina+cosa=写，则下列结论正确的是（） A.sinacosa=12 25 B.sine-cosa=号 C.若2a是锐角，则tana=3 D.若2a是钝角，则lcos2a-sin2a=-乙 25 第4页共11页 【答案】ACD 【解题思路】由同角三角函数的平方关关系可判断AB,进而求得sna=}cOsa=?可判断CD。 【解答过程】由sina+cosa=等式两边平方得1+2 sinacosa= 49 251 所以sinacos=号故A正确； (sina-cosa2=1-2 sino=云所以sina-cosa=±号所以B错误； 因为0<2a<所以0<a<开则sina<cosa, 解方程 (sina +cosa Sinacosa号解得sima=影，cosa=所以tana=子，故C正确， 对于D选项，<2a<π.则呀<a<2则sina>cosa, (sina+cosa=号 所以解方程 sinacosa=2’ 解得sina=手cosa=} 所以cos2a-sin2a=-2名 故D正确， 故选：ACD. 11.下列关于函数f()=2cos2(x-)-2cos(x+)sin(x+)-1的相关命题，叙述正确的有() A.f(x)的最小正周期为m B.f四的一条对称轴为x=音 C.f)的单调增区间为[-+km+kn,kEz D.若x∈【-号可时，函数g()=f)-k有两个不同零点，则k∈(1，-到u0, 【答案】ACD 【解题思路】根据三角恒等变换化简得f)=sn(2x+》,利用最小正周期公式求解判断A,根据正弦函数 对称性求对称轴判断B,根据正弦函数单调性求解单调区间判断C,将问题转化为曲线y=sn(2x+)与直 线y=k在区间，是上有且仅有两个交点，画出函数图象数形结合即可求解判断D. 【解答过程】由于f)=2cos2(x-到)-2cos(x+)sin(x+)-1 cos(2x)+2co5(x)sim(xsin2x-cosx+sim(x)sin2x-cosx+cos2x sinzx+cos2x=sin(x) 第5页共11页 故最小正周期T=牙=不，故A正确， 令2x+=km+经k∈Z,解得x=受+kez,令智=受+得k=ez, 所以直线x=不是函数图像的对称轴，故B错误； 令-+2km≤2x+8≤+2 kn,k E Z,所以-背+km≤x≤8+kn,k EZ, 所以函数f()的单调递增区间为[-+km+km,k∈Z,故C正确： 若函数g(x)=f(x)一k有两个不同的零点， 即曲线y=sim(2x+)与直线y=k在区间-吕上有且仅有两个交点， 由xe【-号，得2x+e云2， 设t=2x+后则y=sint,te[-,2n, 函数图象如图所示， y=sint 2元 由图可知：k∈（-1，-)U(0,1),故D正确 故选：ACD. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.(cos-sin (cos+sin 13.设函数f()=cos(ωx+君（ω>0），已知f(x1)=-1,f(x2)=1,且x1-一x2的最小值为牙将函数f() 的图象向右平移个单位长度，纵坐标交为原来的2倍（横坐标不变），得到g()的图象，则g()在区间匠哥 上的最大值为 【答案】1 【解题思路】根据已知条件得出ω=4，从而得出f)=cos(4x+),平移变化得到g()=2f(x-)= 第6页共11页 2os(4x-),分析g()在，上的单调性，得到最大值点在区间左端，从而求解。 【解答过程】已知函数f()=cos(@x+)(ω>0)，最小值fx)=-1,最大值f(x2)=1, 且x1一x2的最小值为器 函数取最大值和最小值时，相位差为π的奇数倍， 故最小相位差为π，对应最小距离： alx1-x2l=π→x1-x2l==牙→0=4， 验证：w=4时fx)=cos(4x+),取最大值时4x+g=2km,如x=一分 6 取最小值时4x+名=(2k+1)元，如x=器 距离为器-烈=景符合条件. 所以f)=c0s(4x+A f的图象向右平移5得f-孕)=cos(4(x-用)+)=cos(4x-) 纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变)，得到g(x)的图象， 得g)=2fx-)=2cos(4x-) 当xe跃时，计算角6=4x-的范围：0=4x-ge后，， 在6∈G,到上，cos9在G上递减，在到上单调递增， c0s5=2,c0s=0,故g6)max=2×=1. 故答案为：1. 14.已知函数f()=cos(ωx+)(ω>0)在区间(0，m)上恰好有3个零点，则ω的取值范围是（） 【答案】（别 【解题思路】利用余弦函数的图像性质列出关于ω的不等式，进而求得ω的取值范围 【解答过程】当x∈(0，m)时，wx+号∈(G,ωT+ 由题意函数f)=c0s(ωx+)(ω>0)在区间(0，m)上恰好有3个零点， 则根据余弦函数的图象与性质知受<wr+号≤受结合仙>0解得号<ω≤号 第7页共11页 即o的取值范围是（侣， 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15.已知扇形的圆心角是a,半径为R,弧长为1. (1)若a=60°，R=10cm,求扇形的弧长： (2)若a=,R=2cm,求扇形的弧所在的弓形的面积： 【答案】(l=1g(cm) (2g-v3)cm2 【解题思路】(1)直接根据弧长公式进行计算即可； (2)由己知利用扇形面积，三角形面积公式即可得解弓形的面积. 【解答过程】(1)a=60°=系，l=10×号=号(cm). (2)设号形面积为S号·由题知l=号cm. S号=S形-5三角形=×行×2-×22×sin号=（传-V3)cm2, l6.已知a是第二象限角，sina=, 10 (I)求cos,tanc; (2)求2 2im+osa 1 【答案】(1)cosa=- 3W1 10 ,ana=- 2号 【解题思路】(1)根据同角三角函数关系，由平方关系求出余弦，再由商数关系求出正切 (2)把分子1转换为sin2a+cos2a,在由弦化切，求出结果. 【解答过程】(1)已知a是第二象限角，sina= 10 10 .cosa =-V1-sin2a=3v10 sina 10 1 10 ,tana cosa 3v10 10 sin2a+cos2a (2) 1 sin2a+cos2a cos2a tan2a+1 2sinacosa+cos2a 2sinacosa+cos2a 2sinacosa+cos2a 2tana+1' cos-a 第8页共11页 1 tand sinacosatos'ama 2tana+1 17.已知cos(a-)29sin传-B)-且a∈(G),B∈(o,》求am(a+B) 解：受a<x0<受a号元晋<号p受sin(a)=、1-cos2(c)=牙 cos侵）-sin2(侣9)=o9coc身-（侵月 cos(aeos(侵-p）+sin(a-)sin(受P) （9×+呀x分罕 :ae50∈07.<9<n生-、cs2“9- 2 14 .tam=sin生e 2tan+ 53 2 gaa cos 1-tan20牛p=1T 2 18. 已知函数fx)=Asin(ωx+p)+B(A>0,ω>0，lp<)的部分图象如图所示. -3 (1)求f(x)的解析式及对称中心坐标 (2)将f()的图象向右平移个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，最后将图象向上平移1个 单位，得到函数g(x)的图象.求不等式g(x)<1的解集. 【答案】(0)f6=2sin(2x+)-1,(受-，-1)，kez (2)x2kn-<x<2kn+kEZ} 【解题思路】(1)根据最值求出A,B,根据周期求出，然后利用f(母=1求出，即可求出f()的解析式， 最后令2x+=km,k∈Z即可求出对称中心； (2)根据图象变换得出g(x)=2sinx,最后结合正弦函数图象即可求出. 第9页共11页 【保答过程】(D由图象可得{A十8二3得A=2,8=-1, 由图象可知T=登-音=骨所以=受即ω=2， 即f(x)=2sin(2x+p)-1; 又因为f(a)=2sin(g+p)-1=1,即sin(g+p)=1, 所以g+p=+2km,k∈Z,则p=+2km,k∈Z, 结合p<2可得p=7 所以f()=2sin(2x+)-1; 令2x+号=km,k∈z得x=受-名kEz, 所以曲线f)的对称中心为（受--1），k∈Z. (2)把曲线f()向右平移个单位后的曲线为y=2sin[2(x-)+胃-1=2sin2x-1: 把曲线y=2sin2x-1上每一点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到曲线y=2sinx-1; 把曲线y=2sinx-1向上平移1个单位，得到曲线g(x)=2sinx; 令g)<1,得sinx< 结合正弦函数图象可得不等式sinx<的解集为{x2km-g<x<2km+,k∈z} =sinx 19.已知函数f(x)=2 sinxcosx+2V3cos2x-V3. (1)求f(x)的图象的对称轴、单调递增区间； (2)当x∈[-]时，求f()的最值，以及f)取得最值时x的取值； (3)当x∈[]时，关于x的不等式af(x-名)-fx+量)≥4有解，求实数a的取值范围. 【答案】()对称轴x=受+是k∈2)，增区间为[kπ-受kπ+]k∈)： (2)当x=-时，f(x)取最小值-V3,当x=时，f()取最大值2； (3)a≥1. 第10页共11页