7.2.2单位圆与三角函数线（知识梳理+题型演练+同步训练）讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第三册

7.2.2　单位圆与三角函数线（解析版） 知识点一　单位圆 (1)一般地，在平面直角坐标系中，坐标满足x2＋y2＝1的点组成的集合称为单位圆． (2)角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标． [注意]　半径为1的圆是单位圆，这里的1不是1 cm，也不是1 m，而是指1个单位长度，即作图时，规定的1个单位的长度． 知识点二　三角函数线 (1)正弦线与余弦线 如图所示，如果过角α终边与单位圆的交点P作x轴的垂线，垂足为M，则可以直观地表示cosα：的方向与x轴的正方向相同时，表示cosα是正数，且cosα＝||；的方向与x轴的正方向相反时，表示cosα是负数，且cosα＝－||.习惯上，称为角α的余弦线．类似地，图中的可以直观地表示sinα，因此称为角α的正弦线． (2)正切线 如图所示，设角α的终边与直线x＝1交于点T，则可以直观地表示tanα，因此称为角α的正切线．当角的终边在第二、三象限或x轴的负半轴上时，终边与直线x＝1没有交点，但终边的反向延长线与x＝1有交点，而且交点的纵坐标也正好是角的正切值． (3)正弦线、余弦线和正切线都称为三角函数线． (4)三角函数线中应注意的问题 ①方向：正弦线由垂足指向角α的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂足；正切线由直线x＝1与x轴的交点指向直线x＝1与α的终边(或其反向延长线)的交点． ②正负：三角函数线中，与x轴或y轴正方向同向的对应的三角函数值为正，与x轴或y轴正方向反向的对应的三角函数值为负． ③书写：书写三角函数线时，始点字母在前，终点字母在后． 题型一　三角函数线的意义 【例】．作出下列角的正弦线､余弦线和正切线，并求出角的正弦、余弦、正切值． 【答案】正弦线､余弦线和正切线见解析，，， 【详解】作出单位圆，交角的终边于，过作轴于点， 过点作轴，交角的终边于点，如下图所示， 则角的正弦线为，余弦线为，正切线为；    在中，， 由此可得，，所以，， 于是，，． 【练1】在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边． (1)sinα＝； (2)cosα＝－； (3)tanα＝2. 解：(1)作直线y＝交单位圆于P，Q两点，则OP与OQ为角α的终边，如图①. (2)作直线x＝－交单位圆于M，N两点，则OM与ON为角α的终边，如图②. (3)在直线x＝1上截取AT＝2，其中点A的坐标为(1，0)．设直线OT与单位圆交于C，D两点，则OC与OD为角α的终边，如图③. 【练2】如图所示，P是角α的终边与半径为1的圆的交点，轴于M，AT和均是半径为1的圆的切线，则下列关于角α的说法正确的是（   ） A．正弦线是，正切线是 B．正弦线是，正切线是 C．正弦线是，正切线是 D．正弦线是，正切线是 【答案】C 【详解】由正弦线，正切线的定义可知，是正弦线，是正切线. 故选：C. 【感悟提升】　 1．作三角函数线的四个步骤 (1)确定角的始边，单位圆与x轴交点A(1，0)； (2)确定角的终边与单位圆的交点P； (3)过P作x轴的垂线，垂足为M，过A作x轴的垂线，与角的终边(或其反向延长线)交于T(S)； (4)得正弦线，余弦线，正切线(或)． 2．单位圆中求作角的终边的方法 应用三角函数线可以求作满足形如f(α)＝m的三角函数的角的终边，具体作法是先作出直线y＝m或x＝m与单位圆的交点，再将原点与交点连接所得射线即为所求角的终边． 题型二　三角函数线的应用 角度1 比较三角函数值的大小 【例1】　利用三角函数线比较下列各组数的大小： (1)sin与sin； (2)cos与cos； (3)tan与tan. 【解析】　如图，在单位圆中，的终边为OP1，的终边为OP2，过P1，P2分别作x轴的垂线，垂足分别为M1，M2，延长P1O，P2O交经过A(1，0)的单位圆的切线于T1，T2. (1)sin＝||，sin＝||，∵||>||，∴sin>sin. (2)cos＝－||，cos＝－||，∵－||>－||，∴cos>cos. (3)tan＝－||，tan＝－||，∵－||<－||，∴tan<tan. 【练1】利用三角函数线比较，，的大小． （1），，（2），， 【详解】（1）如图，在单位圆O中分别作出角的正弦线和的余弦线，正切线． 由知，又，易知，故． （2）作出角的三角函数线如下图所示：    由图象知：，又，. 【练2】下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】   作出单位圆，用三角函数线进行求解，如图所示，有， 所以， 故选：A. 【练3】把，，，由小到大排列为 ． 【答案】 【分析】由三角函数的定义，利用三角函数线即可比较大小. 【详解】如图所示，在平面直角坐标系中,以为圆心作单位圆，分别作出已知角， 则，， ，． 而， ∴， ∴． 故答案为： 角度2 解三角不等式 【例2】在上，使不等式成立的x的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，则，又，所以所求集合为．故选：A． 【练1】．已知是△ABC的一个内角，且，则的取值范围是    （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，则，又，由，得． 作出的正切线，如图所示．    由图可得，当时，此时，故的取值范围是．故选：A． 【练2】．已知，且，则的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【详解】画出单位圆以及，，， ∵，且， 从图中可知的取值范围是 故选：D. 【练3】．若点在第一象限，则在内的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由题意可得， 由，可得或， 当，即为第一象限角，则， ∵，则，∴； 当，即为第三象限角，则， ∵，则，∴； 综上所述：. 【练4】利用三角函数线，写出满足下列条件的角x的集合： (1)且； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）分别作出三角函数线图象如下所示：    由图（1）知当且时， 角满足的集合. （2）由图（2）知：当时， 角满足的集合， 即； 所以的解集为. 【感悟提升】　三角函数线是一个角的三角函数值的体现，从三角函数线的方向可以看出三角函数值的正负，三角函数线的长度是三角函数值的绝对值，因此，对于同名三角函数值的大小比较，利用三角函数线求解比较直观、形象． (1)sinα与sinβ：作出以坐标原点为圆心的单位圆，分别作出角α，β的终边与单位圆的交点P1，P2，然后比较P1，P2两点纵坐标的大小即可得sinα与sinβ的大小． (2)cosα与cosβ：作出以坐标原点为圆心的单位圆，分别作出角α，β的终边与单位圆的交点P1，P2，然后比较P1，P2两点横坐标的大小即可得cosα与cosβ的大小． (3)tanα与tanβ：作出以坐标原点为圆心的单位圆，分别作出角α，β的终边，过点(1，0)作x轴的垂线，设与角α，β的终边所在直线分别交于点T1，T2，然后比较T1，T2两点的纵坐标的大小即可得tanα与tanβ的大小． 角度3 利用三角函数线证明三角不等式 【例3】．若，证明： (1)； (2). 【详解】（1）如图，在平面直角坐标系中作出角，角的正弦线和余弦线.    由，为直角三角形，且，，， 在中，，所以. （2）如图，，分别为角的正弦线和正切线，连结，    由，显然有， 而，， ， 所以，即. 【练】已知为锐角，求证： (1)； (2)．（提示：） 【详解】（1）如图所示，设角的终边与单位圆相交于，过作轴，轴，、为垂足，连接、． 依题意可得，， 在中，，∴． ∵，， ， 又四边形被扇形所覆盖， ∴．∴， 即，从而． （2）∵，，∴，． ∴，． ∴，， 从而有， 即． 【感悟提升】　利用三角函数线证明不等式的策略 一般先根据条件作出三角函数线，在进一步证明不等式的过程中往往需要借助于三角形和扇形的面积，按题意适当放大或缩小证明结论． 一、选择题 1．如图，已知点A是单位圆与x轴的交点，角的终边与单位圆的交点为P，PM⊥x轴于M，过点A作单位圆的切线交角的终边于T，则角的正弦线､余弦线､正切线分别是（    ） A．有向线段OM，AT，MP B．有向线段OM，MP，AT C．有向线段MP，AT，OM D．有向线段MP，OM，AT 【答案】D 【详解】由题图知：圆O为单位圆，则， 且， 故角的正弦线､余弦线､正切线分别是有向线段MP，OM，AT. 故选：D 2．下面四个选项中大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，在单位圆中作出角的正弦线DP、余弦线OD、正切线AT， 角的正弦线、余弦线、正切线， 由于，因此和的终边关于y轴对称， 由图可得，，， ∴，∴A，C，D均错误，B正确．故选：B 3．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意知，即得， 在单位圆中分别画出不等式①②的解集对应的区域P与Q， 则区域P的解集为， 区域Q的解集为， 其公共区域为不等式组的解即为， 故函数的定义域为. 故选：B. 4．已知，那么下列命题成立的是（    ） A．若，是第一象限角，则 B．若，是第二象限角，则 C．若，是第三象限角，则 D．若，是第四象限角，则 【答案】D 【详解】对于A中，若，是第一象限角，且，作出三角函数线，如图1所示， 则，因为，所以，所以A错误；      对于B中，若，是第二象限角，且，作出三角函数线得到有向线段， 如图2所示，则，所以，所以B错误；    对于C中，若，是第三象限角，且，作出三角函数线得到有向线段， 如图3所示，则，所以，所以C错误；    对于D中，若，是第四象限角，且，作出三角函数线得到有向线段， 如图4所示，则，所以，所以D正确. 故选：D.    5．若θ∈（，），则下列各式中正确的有的个数是（    ） ①sinθ+cosθ<0；②sinθ﹣cosθ>0；③|sinθ|<|cosθ|；④sinθ+cosθ>0. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】如图，因为θ∈（，），所以，且， 所以，，， 所以①错误，②正确，③错误，④正确，故选：B 6（多选）下列说法正确的是（ ） A．一定时，单位圆中的正弦线也一定 B．在单位圆中，有相同正弦线的角相等 C．和有相同的余弦线 D．具有相同正切线的两角的终边在同一条直线上 【答案】AD 【详解】对于A，单位圆中，一定时，单位圆中的正弦线一定，所以A正确． 对于B，与有相同的正弦线，但，所以B错 对于C，和的余弦线相反，所以C错， 对于D，一三象限角的正切线相同，二四象限角的正切线相同，即具有相同正切线的两个角终边一定在同一条直线上，所以D正确． 故选：AD 二、填空题 7．在内，则满足不等式的取值集合是 . 【答案】或 【分析】作出图形，根据三角函数线找出使得对应的角的集合. 【详解】作出单位圆如下图所示： 满足不等式的角的区域如图中的阴影部分所示（位于直线的下方）， 故在内，则满足不等式的取值集合是或. 故答案为：或. 8．设，，，则a､b､c的大小顺序为 (按从小到大的顺序排列). 【答案】 【详解】如图，在单位圆中分别作出角的正弦线，角的余弦线､正切线. 由知，又， 易知，∴，故.故答案为： 三．解答题 9．作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线，并利用它们求出各角的正弦值、余弦值和正切值． (1)； (2)； (3)． 【详解】（1）作出单位圆，交角的终边于， 过作轴，交轴于， 过点作轴平行线，交角的终边于，如下图： 则角的正弦线为、余弦线为、正切线为； 根据直角三角形的知识可知，MP＝，OM＝，AT＝，所以sin(－)＝－，cos(－)＝，tan(－)＝－. （2）作出单位圆，交角的终边于， 过作轴，交轴于， 过点作轴平行线，交角的终边的反向延长线于，如下图： 则角的正弦线为、余弦线为、正切线为； 根据直角三角形的知识可知，MP＝，OM＝，AT＝1，所以，， （3）作出单位圆，交角的终边于， 过作轴，交轴于， 过点作轴平行线，交角的终边的反向延长线于，如下图： 则角的正弦线为、余弦线为、正切线为． 根据直角三角形的知识可知，，，，所以，， 10．利用三角函数线比较：和，和，和的大小． 【答案】，，． 【分析】作出和的三角函数线，根据图形可得. 【详解】如图，和的正弦线分别为， 余弦线分别为，正切线分别为， 所以，，．    11．在平面直角坐标系中，，，，是单位圆上的四段弧(如图)，点P在其中一段上，角α以Ox为始边，OP为终边．若tanα<cosα<sinα，则点P所在的圆弧是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，若点P在上，由图1可知，||<||，即sinα<cosα，故A不符合题意；对于B，若点P在上，由图2可知，||<||<||，即cosα<sinα<tanα，故B不符合题意；对于C，若点P在上，由图3可知，cosα＝－||<0，sinα＝||>0，tanα＝－||<0，且||<||，所以－||<－||<||，即tanα<cosα<sinα，故C符合题意；对于D，若点P在上，由图4可知，tanα＝||>0，cosα＝－||<0，sinα＝－||<0，故D不符合题意．故选C. 12．sinsinsin…sin________(填“>”“<”或“＝”)． 【答案】< 【解析】因为，，，…，均为小于的正数，又利用三角函数线可知，当0<x<时，sinx<x，所以sin<，sin<，sin<，…，sin<.因为当0<x<时，sinx>0，所以sinsinsin…sin<×××…×＝，即sinsinsin·…·sin<. 13．古人把正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、余矢函数这八种三角函数的函数线合称为八线.其中余切函数，正割函数，余割函数，正矢函数，余矢函数.如图角始边为轴的非负半轴，其终边与单位圆交点，、分别是单位圆与轴和轴正半轴的交点，过点作垂直轴，作垂直轴，垂足分别为、，过点作轴的垂线，过点作轴的垂线分别交的终边于、，其中、、、为有向线段，下列表示正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意，易得△OMP∽△OAT∽△SBO∽△PNO， 对于A，因为，即，故A错误； 对于B，根据三角函数定义结合相似三角形相似比可得，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，根据三角函数定义结合相似三角形相似比可得，故D错误. 故选：C. 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.2.2　单位圆与三角函数线（学生版） 知识点一　单位圆 (1)一般地，在平面直角坐标系中，坐标满足____________的点组成的集合称为单位圆． (2)角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位圆交点的____________和____________． [注意]　半径为1的圆是单位圆，这里的1不是1 cm，也不是1 m，而是指1个单位长度，即作图时，规定的1个单位的长度． 知识点二　三角函数线 (1)正弦线与余弦线 如图所示，如果过角α终边与单位圆的交点P作x轴的垂线，垂足为M，则可以直观地表示cosα：的方向与x轴的正方向相同时，表示cosα是______，且cosα＝||；的方向与x轴的正方向相反时，表示cosα是_______，且cosα＝－||.习惯上，称为角α的______．类似地，图中的可以直观地表示sinα，因此称为角α的_______. (2)正切线 如图所示，设角α的终边与直线x＝1交于点T，则可以直观地表示tanα，因此称为角α的__________．当角的终边在第二、三象限或x轴的负半轴上时，终边与直线x＝1没有交点，但终边的反向延长线与x＝1有交点，而且交点的纵坐标也正好是角的正切值． (3)正弦线、余弦线和正切线都称为_____________． (4)三角函数线中应注意的问题 ①方向：正弦线由垂足指向角α的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂足；正切线由直线x＝1与x轴的交点指向直线x＝1与α的终边(或其反向延长线)的交点． ②正负：三角函数线中，与x轴或y轴正方向同向的对应的三角函数值为正，与x轴或y轴正方向反向的对应的三角函数值为负． ③书写：书写三角函数线时，始点字母在前，终点字母在后． 题型一　三角函数线的意义 【例】．作出下列角的正弦线､余弦线和正切线，并求出角的正弦、余弦、正切值． 【练1】在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边． (1) sinα＝； (2)cosα＝－； (3)tanα＝2. 【练2】如图所示，P是角α的终边与半径为1的圆的交点，轴于M，AT和均是半径为1的圆的切线，则下列关于角α的说法正确的是（   ） A．正弦线是，正切线是 B．正弦线是，正切线是 C．正弦线是，正切线是 D．正弦线是，正切线是 【感悟提升】　 1．作三角函数线的四个步骤 (1)确定角的始边，单位圆与x轴交点A(1，0)； (2)确定角的终边与单位圆的交点P； (3)过P作x轴的垂线，垂足为M，过A作x轴的垂线，与角的终边(或其反向延长线)交于T(S)； (4)得正弦线，余弦线，正切线(或)． 2．单位圆中求作角的终边的方法 应用三角函数线可以求作满足形如f(α)＝m的三角函数的角的终边，具体作法是先作出直线y＝m或x＝m与单位圆的交点，再将原点与交点连接所得射线即为所求角的终边． 题型二　三角函数线的应用 角度1 比较三角函数值的大小 【例1】　利用三角函数线比较下列各组数的大小： (1)sin与sin； (2)cos与cos； (3)tan与tan. 【练1】利用三角函数线比较，，的大小． （1），，（2），， 【练2】下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【练3】把，，，由小到大排列为 ． 角度2 解三角不等式 【例2】在上，使不等式成立的x的集合为（    ） A． B． C． D． 【练1】．已知是△ABC的一个内角，且，则的取值范围是    （    ） A． B． C． D． 【练2】．已知，且，则的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 【练3】．若点在第一象限，则在内的取值范围是 ． 【练4】利用三角函数线，写出满足下列条件的角x的集合： (1) 且； (2)． 【感悟提升】　三角函数线是一个角的三角函数值的体现，从三角函数线的方向可以看出三角函数值的正负，三角函数线的长度是三角函数值的绝对值，因此，对于同名三角函数值的大小比较，利用三角函数线求解比较直观、形象． (1)sinα与sinβ：作出以坐标原点为圆心的单位圆，分别作出角α，β的终边与单位圆的交点P1，P2，然后比较P1，P2两点纵坐标的大小即可得sinα与sinβ的大小． (2)cosα与cosβ：作出以坐标原点为圆心的单位圆，分别作出角α，β的终边与单位圆的交点P1，P2，然后比较P1，P2两点横坐标的大小即可得cosα与cosβ的大小． (3)tanα与tanβ：作出以坐标原点为圆心的单位圆，分别作出角α，β的终边，过点(1，0)作x轴的垂线，设与角α，β的终边所在直线分别交于点T1，T2，然后比较T1，T2两点的纵坐标的大小即可得tanα与tanβ的大小． 角度3 利用三角函数线证明三角不等式 【例3】．若，证明： (1)； (2). 【练】已知为锐角，求证： (1)； (2)．（提示：） 【感悟提升】　利用三角函数线证明不等式的策略 一般先根据条件作出三角函数线，在进一步证明不等式的过程中往往需要借助于三角形和扇形的面积，按题意适当放大或缩小证明结论． 一、选择题 1．如图，已知点A是单位圆与x轴的交点，角的终边与单位圆的交点为P，PM⊥x轴于M，过点A作单位圆的切线交角的终边于T，则角的正弦线､余弦线､正切线分别是（    ） A．有向线段OM，AT，MP B．有向线段OM，MP，AT C．有向线段MP，AT，OM D．有向线段MP，OM，AT 2．下面四个选项中大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 3．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 4．已知，那么下列命题成立的是（    ） A．若，是第一象限角，则 B．若，是第二象限角，则 C．若，是第三象限角，则 D．若，是第四象限角，则 5．若θ∈（，），则下列各式中正确的有的个数是（    ） ①sinθ+cosθ<0；②sinθ﹣cosθ>0；③|sinθ|<|cosθ|；④sinθ+cosθ>0. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6（多选）下列说法正确的是（ ） A．一定时，单位圆中的正弦线也一定 B．在单位圆中，有相同正弦线的角相等 C．和有相同的余弦线 D．具有相同正切线的两角的终边在同一条直线上 二、填空题 7．在内，则满足不等式的取值集合是 . 8．设，，，则a､b､c的大小顺序为 (按从小到大的顺序排列). 三．解答题 9．作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线，并利用它们求出各角的正弦值、余弦值和正切值． (1)； (2)； (3)． 10．利用三角函数线比较：和，和，和的大小． 11．在平面直角坐标系中，，，，是单位圆上的四段弧(如图)，点P在其中一段上，角α以Ox为始边，OP为终边．若tanα<cosα<sinα，则点P所在的圆弧是(　　) A． B． C． D． 12．sinsinsin…sin________(填“>”“<”或“＝”)． 13．古人把正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、余矢函数这八种三角函数的函数线合称为八线.其中余切函数，正割函数，余割函数，正矢函数，余矢函数.如图角始边为轴的非负半轴，其终边与单位圆交点，、分别是单位圆与轴和轴正半轴的交点，过点作垂直轴，作垂直轴，垂足分别为、，过点作轴的垂线，过点作轴的垂线分别交的终边于、，其中、、、为有向线段，下列表示正确的是（    ）    A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $