19.3.1二次根式的加法与减法 课件 -2025-2026学年人教版数学八年级下册

新人教版数学8年级下册培优备课课件 19.3.1二次根式的加法与减法 第十九章　二次根式 授课教师： Home . 班 级： . 时 间：2026年01月19日 . 新疆吐鲁番市托克逊县第一中学 1 1．会识别同类二次根式并进行合并．（重点） 2．会利用二次根式的加减法则进行计算．（重点） 3.二次根式加减法的实际应用.（难点） 学 习 目 标 问题1 某新建医院计划在院内修建一个正方形的花坛，在花坛中央还要修一个正方形的小喷水池．如果小喷水池的面积是2平方米，花坛的边长是小喷水池的3倍，问花坛的外周与小喷水池的周长一共是多少米？ 2 4＋12（米） 4 (＋3)（米） 或 合 作 探 究 8 10 问题2 如果小喷水池的面积是8平方米，花坛的绿化面积是10平方米，你能求出花坛的外周与喷水池的周长一共是多少米吗？ 4＋4（米） 4＋（米） 或 合 作 探 究 问题1： 4＋12 4 (＋3) 或 问题2： 4＋4 4 ＋) 或 2 3 二次根式的加减是如何计算的？ 合 作 探 究 返回 A 1. 中考考法 6 返回 2. C 下列二次根式化简后可以合并的是(　　) 中考考法 返回 3. B 中考考法 计算： （1）3x2＋2x2＝______； （2）x2＋2x2＋4y＝________． 5x2 3x2＋4y 4＋1 4＋ 4 类比合并同类项的方法，下列二次根式能合并吗？ 合 作 探 究 二次根式加减运算的基本方法 结论1：如果几个二次根式的被开方数相同，那么可直接根据分配律进行加减运算． …… (利用分配律合并) 4＋1 ＝(4＋12) ＝16 合 作 探 究 结论2：如果所给的二次根式不是最简二次根式，应该先化简，再考虑进行加减运算． ……(化为最简二次根式) ……(利用分配律合并) 4＋ 4 ＝8＋1 ＝(8＋12) ＝2 二次根式加减运算的基本方法 合 作 探 究 返回 4. 中考考法 返回 5. 计算： 2 1 3 1 6 中考考法 注意：被开方数不同的二次根式(如与)不能合并． 判断：下列计算是否正确？为什么？ （1）＋ ＝； （2）2＋ ＝2； （3） ＝＋ ＝2＋3＝5． 二次根式的加减法则 一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并． × × × 合 作 探 究 14 被开方数相同的二次根式 几个二次根式化成_______________以后，如果__________相同，这几个二次根式就是被开方数相同的二次根式 ． 最简二次根式 被开方数 判断几个二次根式是被开方数相同的二次根式的方法： 一是化每个二次根式为最简二次根式； 二是看化简后的二次根式中被开方数是否相同． 合 作 探 究 例1 计算： （1）－； （2）＋; (3). 解：（1）－； （2）＋; （3）. 合 作 探 究 返回 6. 0 中考考法 返回 7. D 中考考法 二次根式加减运算的一般步骤 1．化：将每个二次根式都化成最简二次根式； 2．找：找出被开方数相同的二次根式； 3．合：将被开方数相同的二次根式合并成一项． 合 作 探 究 解： ＝ 2＋ ＝4． 解：() ＝ ＝ ． 计算后根号外的因数是分数的要写成假分数形式，不能写成带分数形式． 例2 计算： （1）;（2）(－)． 合 作 探 究 运算 二次根式的乘除 二次根式的加减 系数 被开方数 化简 二次根式的乘除与二次根式的加减的对比 系数相乘除 系数相加减 被开方数相乘除 被开方数不变 结果化为最简 二次根式 先化为最简二次根式，再合并同类二次根式 合 作 探 究 返回 8. A 中考考法 7.5 dm 5 dm 8 dm2 18 dm2 例3　现有一块长 7.5 dm、宽 5 dm 的木板，能否采用如图的方式，在这块木板上截出两个面积分别是 8 dm2 和18 dm2 的正方形木板？ 分析：由图可以看出，只有木板的宽大于大正方形的边长，木板的长大于两个正方形木板的边长的和，就能截出所要求的两个正方形木板. 合 作 探 究 7.5 dm 5 dm 8 dm2 18 dm2 解：大正方形木板的边长为dm.因为，所以这块木板够宽. 两个正方形木板的边长的和为 dm，而 . 由可知5，即两个正方形木板的边长的和小于这块木板的长，所以这块木板够长. 因此，可以用这块木板按要求截出两个面积分别是 8 dm2 和18 dm2 的正方形木板. 合 作 探 究 9. 中考考法 25 返回 中考考法 返回 10. D 中考考法 27 返回 11. 11 中考考法 28 返回 12. 中考考法 29 返回 13. 中考考法 14. (8分) 淇淇玩一个摸球计算游戏，在一个不透明的容器中放入如图①所示的四个小球，每个小球上分别标有一个数．现从容器中摸取小球，规定：若摸取到白色球，就加上球上的数；若摸取到灰色球，就减去球上的数． 中考考法 (1)若淇淇摸取到如图②所示的两个小球，请计算出结果． 中考考法 返回 中考考法 法则 二次根式的乘除与二次根式的加减的对比 二次根式的加减 同类二次根式 一般步骤 化、找、合 课 堂 总 结 下列二次根式中，能与进行合并的是(　　) A． B． C． D． A．和 B．和 C．和 D．和 若最简二次根式与二次根式可以合并，则x的值为(　　) A．6 B．3 C．4 D．2 4 ， 在二次根式2，，，4，中，能与合并的是________，能与合并的是__________________． 3 3 2 (1)2＋＝(____＋____)＝______； (2)－＝________－＝(________－________)＝________． 3 计算： (1)[2025吉林中考]＋＝______； (2)[2025自贡中考]－3 ＝______． 下列计算正确的是(　　) A．＋＝ B．3－2＝1 C．3＋2＝5 D．－＝ 一个三角形的三边长分别是 cm， cm， cm，则此三角形的周长为(　　) A．9 cm B．8 cm C．7 cm D．6 cm 原式＝2 ＋＝ . (20分)[教材P14练习T2变式]计算： (1)－； (2)＋； 解：原式＝－2 ＝－. 原式＝2 ＋2 －3 ＋＝3 －. 原式＝×2 ＋×2 －3×3 ＋3 ＝＋－9 ＋3 ＝4 －8 . (3)＋； (4)＋2 －(－)； (5)(＋2 )－3(－)． 原式＝4 ＋8 ＝12 . 若＋＝2 ，则a和b的值不可能是(　　) A．a＝2，b＝2 B．a＝，b＝ C．a＝0，b＝8 D．a＝4，b＝2 若3 －＝a－＝b，则a＋b的值为________． 4 － 我们规定运算符号“△”的意义是：当a＞b时，a△b＝a＋b；当a≤b时，a△b＝a－b，其他运算符号的意义不变，计算：(△)－(2 △3 )＝__________． 解：原式＝3 －15×＋×4 ＝3 －5 ＋＝－. 原式＝2 －＋2×－＋＝－. (8分)计算： (1)－15 ＋ ； (2)－． 解：－ ＝2 －＝. (2)若淇淇摸取出全部的四个球，计算结果为x，嘉嘉说x的值与属于同类二次根式，你认为嘉嘉的说法对吗？请说明理由． 解：嘉嘉的说法对，理由如下： － ＋－2 ＝＋－＝，即x＝. ∵＝4 ，与是同类二次根式，∴嘉嘉的说法对． $ 第十九章 二次根式一、教学基本信息 课题：二次根式的加法与减法 学科：数学 学段：初中八年级 课时：1课时（45分钟） 学情分析：学生已掌握二次根式的概念、性质及化简方法，能将二次根式化为最简二次根式，具备了学习二次根式加减运算的基础。但学生对“同类”运算的本质理解不足，容易出现混淆同类二次根式与非同类二次根式的问题，且在运算过程中易忽略化简步骤，需通过具象类比、分层练习突破难点。 二、教学目标 （一）知识与技能 1. 理解同类二次根式的概念，能准确判断几个二次根式是否为同类二次根式。 2. 3. 掌握二次根式加法与减法的运算法则，能熟练进行二次根式的加减运算。 4. （二）过程与方法 1. 通过类比同类项的概念及合并同类项法则，推导同类二次根式及二次根式加减法则，培养学生的类比推理能力。 2. 3. 通过动手练习、小组讨论，提升学生的运算能力和合作探究意识。 4. （三）情感态度与价值观 1. 感受数学知识的连贯性和逻辑性，激发学生对数学运算的探究兴趣。 2. 3. 培养学生严谨的运算习惯和规范的书写能力，体验运算成功的成就感。 4. 三、教学重难点 重点：同类二次根式的概念识别，二次根式加减运算的法则应用。 难点：准确化简二次根式并判断同类二次根式，解决含括号、混合运算的二次根式加减问题。 四、教学准备 多媒体课件（包含同类项复习题、二次根式化简习题、例题及练习题）、课堂练习单。 五、教学过程 （一）复习导入，类比迁移（5分钟） 1. 复习旧知 课件出示问题，引导学生回顾： · 什么是同类项？请举例说明（如3x与5x，2xy²与-7xy²）。 · · 合并同类项的法则是什么？（同类项的系数相加，字母和字母的指数不变） · · 化简下列二次根式：√12、√27、√(1/2)、√24（学生独立完成，指名板演，师生共同订正）。 · 2. 导入新课 提问：化简后的二次根式中，有些形式相似，如√12=2√3，√27=3√3，它们能否像同类项一样进行加减运算？引出课题——《二次根式的加法与减法》。 （二）探究新知，突破核心（15分钟） 1. 同类二次根式的概念 展示化简后的二次根式：2√3、3√3、√2、2√2、√5，引导学生观察对比： · 2√3与3√3有什么共同特征？（被开方数都是3，且都是最简二次根式） · · √2与2√2、√5单独一类，又有什么特点？（被开方数相同，最简二次根式形式） · 师生共同总结：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。 即时练习：判断下列各组是否为同类二次根式（课件出示）： · √8与√18（化简后为2√2与3√2，是同类二次根式） · · √6与√24（化简后为√6与2√6，是同类二次根式） · · √3与√(1/3)（化简后为√3与√3/3，是同类二次根式） · · √5与√10（被开方数不同，不是同类二次根式） · 强调：判断同类二次根式的前提是“化为最简二次根式”，被开方数相同是核心条件。 2. 二次根式的加减法则 类比合并同类项法则，引导学生探究二次根式加减： 例1：计算2√3 + 3√3。 讲解：2√3表示2个√3，3√3表示3个√3，合起来是（2+3）个√3，即5√3。 例2：计算√12 - √27。 步骤：①先化简：√12=2√3，√27=3√3；②再合并同类二次根式：2√3 - 3√3 =（2-3）√3 = -√3。 师生共同总结二次根式加减法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式分别合并，合并方法与合并同类项类似，系数相加减，被开方数和根指数不变。 强调：非同类二次根式不能合并，如√2 + √3无法进一步计算。 （三）例题讲解，规范运算（10分钟） 1. 基础例题（不含括号） 例3：计算√24 + √(1/2) - √6 - √8。 讲解步骤（板书规范书写）： 1. 化简各二次根式：√24=2√6，√(1/2)=√2/2，√8=2√2； 2. 3. 找出同类二次根式：2√6与-√6是同类，√2/2与-2√2是同类； 4. 5. 合并同类二次根式：(2√6 - √6) + (√2/2 - 2√2) = √6 - (3√2)/2。 6. 2. 进阶例题（含括号） 例4：计算(√18 - √48) - (√(1/8) - √27)。 讲解要点：先去括号（括号前是负号，括号内各项要变号），再化简合并： 1. 去括号：√18 - √48 - √(1/8) + √27； 2. 3. 化简：3√2 - 4√3 - √2/4 + 3√3； 4. 5. 合并：(3√2 - √2/4) + (-4√3 + 3√3) = (11√2)/4 - √3。 6. 强调：运算过程中要保持步骤清晰，化简彻底，符号正确。 （四）分层练习， 19.3 二次根式的加法与减法 第1课时 二次根式的加法与减法 教学设计 课题 19.3第1课时 二次根式的加法与减法 授课人 教学目标 1. 知道什么是同类二次根式，会辨别两个根式是否是同类二次根式； 2.会进行二次根式的加减法运算. 3.经历探索二次根式加减运算法则的过程，培养学生的运算能力. 4.关注学生思考问题的过程，培养学生主动探索、敢于实践、善于发现的科学精神以及合作精神，树立创新意识. 教学重点 掌握二次根式的加减法运算法则，会用它进行简单的二次根式的加减法运算. 教学难点 经历知识产生的过程，化简二次根式. 授课类型 新授课 课时 1 教学步骤 师生活动 设计意图 复习导入 下列哪些是最简二次根式？依据是什么？ × × √ × × √ × √ √ （1）被开方数不含分母； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫作最简二次根式． 通过回顾旧知为学习新知做好准备. 探究新知 1.被开方数相同的最简二次根式 问题1 某新建医院计划在院内修建一个正方形的花坛，在花坛中央还要修一个正方形的小喷水池．如果小喷水池的面积是2平方米，花坛的边长是小喷水池的3倍，问花坛的外周与小喷水池的周长一共是多少米？ 4＋12（米）或 4 (＋3)（米） 问题2 如果小喷水池的面积是8平方米，花坛的绿化面积是10平方米，你能求出花坛的外周与喷水池的周长一共是多少米吗？ 4＋4（米） 或4＋（米） 问题1：4＋12（米）或 4 (＋3)（米） 问题2：4＋4（米） 或4＋（米） 二次根式的加减是如何计算的？ 计算： （1）3x2＋2x2＝__5x2__； （2）x2＋2x2＋4y＝__3x2＋4y__． 类比合并同类项的方法，下列二次根式能合并吗？ 4＋1 4＋ 4 二次根式加减运算的基本方法 4＋1 ＝(4＋12)…… (利用分配律合并) ＝16 二次根式加减运算的基本方法 4＋ 4 ＝8＋1……(化为最简二次根式) ＝(8＋12)……(利用分配律合并) ＝20 结论2：如果所给的二次根式不是最简二次根式，应该先化简，再考虑进行加减运算． 一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并． 2.二次根式的加法与减法 判断：下列计算是否正确？为什么？ （1）＋ ＝； × （2）2＋ ＝2； × （3） ＝＋ ＝2＋3＝5． × 注意：被开方数不同的二次根式(如与)不能合并． 被开方数相同的二次根式 几个二次根式化成 最简二次根式 以后，如果 被开方数 相同，这几个二次根式就是被开方数相同的二次根式 ． 判断几个二次根式是被开方数相同的二次根式的方法： 一是化每个二次根式为最简二次根式； 二是看化简后的二次根式中被开方数是否相同． （链接例1） 二次根式加减运算的一般步骤 1．化：将每个二次根式都化成最简二次根式； 2．找：找出被开方数相同的二次根式； 3．合：将被开方数相同的二次根式合并成一项． （链接例2） 3.二次根式加法与减法的实际应用 （链接例3） 通过猜想验证强化“先化简再合并”的规则；演绎证明深化运算律的理解，培养推理能力. 典例精析 【例1（教材P13例题）】 计算： （1）－； （2）＋; (3). 【解】（1）－； （2）＋; （3）. 【例2（教材P13例题）】 计算： （1）;（2）(－)． 【解】（1） ＝ 2＋ ＝4． （2）() ＝ ＝ ． 教师提醒：计算后根号外的因数是分数的要写成假分数形式，不能写成带分数形式． 【例3】　现有一块长 7.5 dm、宽 5 dm 的木板，能否采用如图的方式，在这块木板上截出两个面积分别是 8 dm2 和18 dm2 的正方形木板？ 【分析】由图可以看出，只有木板的宽大于大正方形的边长，木板的长大于两个正方形木板的边长的和，就能截出所要求的两个正方形木板. 【解】大正方形木板的边长为dm.因为，所以这块木板够宽. 两个正方形木板的边长的和为 dm，而 . 由可知5，即两个正方形木板的边长的和小于这块木板的长，所以这块木板够长. 因此，可以用这块木板按要求截出两个面积分别是 8 dm2 和18 dm2 的正方形木板. 示范含系数和字母的二次根式加减，强调化简的普适性. 随堂检测 1．下列选项中和是同类二次根式的是（　D　） A．3　　　　B．　　　　C．　　　　D．－ 2．若最简二次根式－2和可以合并，那么a＝ 5 ． 3．下列等式中正确的是 ⑤ ． ①－＝；　　　　　　　 ②5－＝5； ③3－2＝；　　　　　　　　 ④－＝； ⑤－＝2；　　　　　　　 ⑥2＋3＝5． 4. 计算下列各式： （1）2－3－； （2）(－10)－3(－)． 【解】（1）2－3－ ＝ 4－－3 ＝ 0． （2）(－10)－3(－) ＝ 4－10×－3(3－) ＝ 4－2－9＋ ＝ 5－11． 5．计算： （1）(－3＋)；　　（2） ＋6－2． 【解】（1）(－3＋) ＝ (2－＋) ＝． （2） ＋6－2 ＝2＋6×－2× ＝2＋3－2 ＝3． 通过设置随堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的. 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 小结： 1．最简二次根式 2．二次根式的加减 巩固所学知识，加深对本节知识的理解. 作业布置 板书设计 19.3.1 二次根式的加法与减法 1.被开方数相同的最简二次根式 一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并 2.二次根式的加法与减法 3.二次根式加法与减法的实际应用 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $