专题04 二项分布与超几何分布（高效培优讲义，2知识&7题型精讲+强化训练）高二数学北师大版2019选择性必修第一册

专题04 二项分布与超几何分布 教学目标 1.理解二项分布与超几何分布的概念； 2.掌握二项分布的均值与方差公式，掌握超几何分布的均值公式. 教学重难点 重点：二项分布的均值与方差公式，超几何分布的均值公式. 难点：对公式的理解和应用. 知识点01 二项分布 1.n重伯努利试验 一般地，在相同条件下重复做n次伯努利试验，且每次试验的结果都不受其他试验结果的影响，称这样的n次 为n重伯努利试验. 2.二项分布 一般地，在n重伯努利试验中，用X表示这n次试验中成功的次数，且每次成功的概率均为p，则X的分布列可以表示为P(X＝k)＝ . 若一个随机变量X的分布列如上所述，则称X服从参数为n，p的二项分布，简记为 . 3.两点分布与二项分布的均值、方差 （1）若随机变量X服从参数为p的两点分布，则EX＝p，DX＝ . （2）若X～B(n，p)，则EX＝np，DX＝ . 说明：两点分布是二项分布在参数n＝1时的特殊情况. 【即学即练】 1．（24-25高二下·江苏宿迁·期末）在重伯努利试验中，每次试验发生的概率均为，且2次试验中恰好发生1次的概率为，若随机变量，则的方差为（    ） A． B． C．1 D．2 2．（多选）（23-24高二下·江苏淮安·期中）若随机变量， 则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 知识点02 超几何分布 1.定义 一般地，设有N件产品，其中有M(M≤N)件次品，从中任取n(n≤N)件产品，用X表示取出的n件产品中次品的件数，那么P(X＝k)＝ ，max{0，n－(N－M)}≤k≤min{n，M}，其中n≤N，M≤N，n，M，N∈N＋. 若一个随机变量X的分布列由上式确定，则称随机变量X服从参数为N，M，n的超几何分布. 2.超几何分布的均值 当随机变量X服从参数为N，M，n的超几何分布时，其均值为EX＝ . 【易错警示】 “二项分布”与“超几何分布”的区别 (1)超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要. (2)有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问题对应超几何分布，当总体容量很大时，超几何分布可近似为二项分布来处理. 【即学即练】 1．（24-25高二下·辽宁锦州·期末）一包装箱内有12件产品，其中有10件合格品.现从中随机取出4件，设取出的4件产品中有件合格品，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·山东威海·期末）已知随机变量，若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 题型01 独立重复试验中的概率计算 【典例1-1】（2025高二上·全国·专题练习）已知某批矿物晶体中含有大量水分子，且经过测量发现其中轻水分子、重水分子、超重水分子的比例为6：3：1.现利用仪器从一块矿物晶体中分离出3个水分子，用频率估计概率，则至少分离出2个轻水分子的概率为（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】（24-25高二下·北京·阶段练习）某项羽毛球单打比赛规则是3局2胜制，运动员甲和乙进入了男子羽毛球单打决赛，假设甲每局获胜的概率为，则由此估计甲获得冠军的概率为（   ） A． B． C． D． n重伯努利试验概率求解的策略 (1)首先判断问题中涉及的试验是否为n重伯努利试验，判断时注意各次试验之间是否相互独立，并且每次试验的结果是否只有两种，在任何一次试验中，某一事件发生的概率是否都相等，全部满足n重伯努利试验的要求才能用相关公式求解. (2)解此类题时常用互斥事件概率加法公式，相互独立事件概率乘法公式及对立事件的概率公式. 【变式1-1】（25-26高二上·辽宁朝阳·期末）如图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，小球从上方的通道口落下后，将与层层小木块碰撞，最后掉入下方的某一个球槽内．若小球下落过程中每次与小木块碰撞后，向左、向右落下的机会均等，则小球最终落入③号球槽和⑥号球槽的概率之和为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25高二下·广东深圳·期中）一枪手进行射击训练，共射击6次，每次命中概率相同，且每次射击相互独立，总共命中2次的概率和总共脱靶3次的概率相同，则其命中的概率为 . 题型02 二项分布中的概率计算 【典例2-1】（24-25高二下·安徽·月考）设，且，那么（   ） A． B． C． D． 【典例2-2】（24-25高二下·上海·期中）将一枚均匀的硬币投掷5次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率是 . 若一个变量服从二项分布，可先写出其分布列，再根据分布列求得相应的概率. 【变式2-1】（23-24高二下·河南商丘·期末）设随机变量，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25高二下·安徽安庆·期末）某研究所在试验一批种子，已知该批种子的发芽率是，从中随机选择4粒种子进行播种，则恰有3粒种子发芽的概率是 . 题型03 二项分布的均值与方差 【典例3】（25-26高三上·重庆·月考）校园科技节举办“无人机操控挑战”活动，共有名学生报名参赛，每位学生需完成“首轮悬停定位”和“次轮障碍穿越”两项任务．已知每位学生首轮悬停定位成功的概率为，且不同学生首轮成功与否相互独立；若某学生首轮悬停定位成功，其次轮障碍穿越成功的概率为；若首轮悬停定位失败，其次轮障碍穿越成功的概率为．两项任务均成功即最终挑战成功． (1)若随机抽取一名参赛学生，求其次轮障碍穿越成功的概率． (2)记为参赛学生中挑战成功的学生人数，求的数学期望与方差． 与二项分布有关的期望、方差的求法 (1)求随机变量X的期望与方差时，可首先分析X是否服从二项分布，如果X～B(n，p)，则用公式EX＝np，DX＝np(1－p)求解，可大大减少计算量. (2)有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用E(aX＋b)＝aEX＋b以及EX＝np，求出E(aX＋b)，同样还可求出D(aX＋b). 【变式3】（25-26高二上·全国·单元测试）建盏为宋代名瓷之一，是中国古代黑瓷的巅峰之作，其采用福建建阳特有的高铁黏土和天然釉矿为原料烧制而成，工艺难度大，成功率低．假设建盏烧制开窑后经检验分为成品和废品两类，现有建盏6个，其中3个由工匠甲烧制，3个由工匠乙烧制，甲、乙两人烧制建盏的成品率分别为，． (1)求甲烧制的3个建盏中至多有2个成品的概率； (2)设乙烧制的这3个建盏中成品的个数为，求的分布列与数学期望. 题型04 二项分布与超几何分布的辨别 【典例4】（2025高三·全国·专题练习）下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是（   ） A．将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X B．从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回地任取3件，取得的次品数为X C．某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为X D．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，X是首次摸出黑球时的总次数 【变式4-1】（24-25高二下·上海·期中）下列随机事件中的随机变量 服从超几何分布的是（    ）． A．将一枚硬币连抛 3 次，记正面向上的次数为 B．盒中有 4 个白球和 3 个黑球，每次从中摸出 1 个球且不放回，记第一次摸出黑球时摸取的次数为 C．某射手的射击命中率为 0.8 ，现对目标射击 1 次，记命中的次数为 D．从 7 男 3 女共 10 名学生干部中随机选出 5 名学生干部，记选出女生的人数为 【变式4-2】（多选）（24-25高二下·江苏无锡·期中）下列说法正确的是（    ） A．随机变量表示重复抛掷一枚骰子n次中出现点数是3的倍数的次数，则随机变量服从二项分布. B．有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用有放回抽取方法，表示n次抽取中出现次品的件数（），则随机变量服从二项分布. C．有一批种子的发芽率为，任取10颗种子做发芽试验，把试验中发芽的种子的个数记为X，则随机变量X服从超几何分布. D．某班级有男生25人，女生20人，选派4名学生参加学校组织的活动，其中女生人数记为X，则随机变量X服从超几何分布. 题型05 超几何分布的概率计算 【典例5-1】（24-25高二下·陕西西安·阶段练习）已知6名同学中有名男生，若从这6名同学中随机抽取2名作为学生代表，恰好抽到1名男生的概率是，则（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【典例5-2】（24-25高二下·河南郑州·期末）一个袋子中装有5个白球，3个黑球，从中任选4个球，取到一个白球得1分，取到一个黑球得3分，设得分为随机变量，则为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25高二下·广西百色·期末）一批零件共有10个，其中有2个不合格品，从这批零件中随机抽取2个进行检测，则恰有1个不合格品的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2025高二·全国·专题练习）某年级7个班级中有3个是先进班级，现从中任意选3个班级，则下列事件中概率等于的是（    ） A．至少有1个先进班级 B．有1个或2个先进班级 C．有2个或3个先进班级 D．恰有2个先进班级 题型06 超几何分布的分布列与期望 【典例6】（24-25高二下·全国·课后作业）已知外形完全一样的某品牌电子笔6支装一盒，每盒中最多有一支次品，每盒电子笔有次品的概率为． (1)现有一盒电子笔，抽出两支进行检测． ①求抽出的两支均是正品的概率； ②已知抽出的两支是正品，求剩余产品有次品的概率； (2)已知甲、乙两盒电子笔中均有次品，由于某种原因将两盒电子笔完全随机地混在一起，现随机选3支电子笔进行检测，记为选出的3支电子笔中的次品数，求的期望和方差． 求超几何分布的分布列、均值的步骤 【变式6-1】（2025·辽宁辽阳·二模）一个盒子中有5个白色乒乓球和4个橘黄色乒乓球．现从盒子中任取3个乒乓球，记取出的3个乒乓球中的颜色为橘黄色的个数为，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【变式6-2】（24-25高二下·上海松江·月考）我区举办“中小学生国防知识竞赛”中，随机抽查了100名学生，其中共有4名男生和2名女生的成绩在90分以上，从这6名同学中每次随机抽1人在全校作经验分享，每位同学最多分享一次（不放回抽样），记第一次抽到女生为事件A，第二次抽到男生为事件B． (1)求，； (2)若把抽取学生的方式更改为：从这6名学生中随机抽取3人进行经验分享，记被抽取的3人中女生的人数为X，求X的分布列、数学期望和方差． 题型07 二项分布中的概率最大问题 【典例7-1】（24-25高二下·江苏南通·阶段练习）抛掷一枚质地均匀的硬币8次，若正面朝上次的概率最大，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【典例7-2】（24-25高二下·四川广元·期末）若随机变量X服从二项分布，则取得最大值时，（   ） A．2或3 B．2 C．3 D．4 【变式7】（24-25高二下·湖南郴州·期末）在某军事训练基地，新兵小张进行实弹射击考核，考核要求连续进行10次移动靶射击，每次击中目标可获得优秀评分．根据小张平日训练记录，他每次射击命中目标的概率为．小张在这10次射击考核中，求： (1)恰好有8次击中目标的概率是多少？（精确到0.01） (2)至少有8次击中目标的概率是多少？（精确到0.01） (3)最有可能击中目标多少次？ （参考数据：） 题型07 概率的综合计算问题 【典例8】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）体育锻炼有助于学生全面发展，为研究某市学生体育锻炼时长，随机抽取了100名学生进行调查，并绘制频率分布直方图如下：    (1)估计这100名学生日均体育锻炼时长的平均数； (2)若规定“日均锻炼时长不少于40分钟为运动积极型学生”. （i）采用分层随机抽样抽取8人，再从这8人中随机抽出3人，记抽到运动积极型学生人数为X，求X的分布列和数学期望； （ii）用样本估计总体，从本市任选4名学生，求这4名学生中运动积极型学生个数Y的期望与方差. 【变式8-1】（25-26高三上·河南·月考）某学校为了解本校历史、物理方向学生的学业水平模拟测试的数学成绩情况，分别从物理方向的学生中随机抽取60人的数学成绩得到样本甲，从历史方向的学生中随机抽取50人的数学成绩得到样本乙，根据两个样本数据分别得到如下频率分布直方图： (1)求a的值，并估计该校历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)采用按比例分配的分层随机抽样的方法从甲样本数据中分数落在区间和内的学生中抽取6人，并从这6人中任取2人，求这2人分数落在区间内的人数X的分布列及数学期望． 【变式8-2】（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期中）一盒子中有大小与质地均相同的20个小球，其中白球个，其余为黑球. (1)当盒中的白球数时，从盒中不放回地随机取两次，每次取一个球，用A表示事件“第一次取到白球”，用B表示事件“第二次取到白球”，求和，并判断事件A与B是否相互独立； (2)某同学要策划一个抽奖活动，参与者从盒中一次性随机取10个球，若其中恰有3个白球，则获奖，否则不获奖，要使参与者获奖的可能性最大、最小，该同学应该分别如何放置白球的数量n？ (3)若，参与者从盒子中有放回的随机取m次球，若其中取到白球的个数为，（），则m为何值时，概率. 一、单选题 1．（24-25高三·上海·随堂练习）以下分布中是伯努利分布的是（    ）． A．掷一枚硬币正面次数的分布 B．掷两枚硬币正面次数的分布 C．抛一颗骰子点数的分布 D．从一个放有2个白球，和2个黑球的袋子中摸出两个球，用表示白球个数的分布 2．（24-25高二下·甘肃白银·期末）若随机变量服从超几何分布，则（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 3．（24-25高二下·安徽·月考）设，且，那么（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·天津·期中）若随机变量服从二项分布，且，则（   ） A．39 B．65 C．50 D．63 5．（23-24高二下·山东青岛·期中）若随机变量服从二项分布，且，则（    ） A． B．10 C． D．11 6．（2025高二·全国·专题练习）某年级7个班级中有3个是先进班级，现从中任意选3个班级，则下列事件中概率等于的是（    ） A．至少有1个先进班级 B．有1个或2个先进班级 C．有2个或3个先进班级 D．恰有2个先进班级 7．（2025·云南·一模）设随机变量服从二项分布，则函数有零点的概率是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高三上·湖北·开学考试）小明有一枚质地不均匀的骰子，每次掷出后出现1点的概率为，他掷了k次骰子，最终有6次出现1点，但他没有留意自己一共掷了多少次骰子.设随机变量X表示每掷N次骰子出现1点的次数，现以使最大的N值估计N的取值并计算.（若有多个N使最大，则取其中的最小N值）.下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．与6的大小无法确定 二、多选题 9．（24-25高二上·辽宁·期末）从6名女生和8名男生中任选5人去阳光敬老院参加志愿服务，用表示所选5人中女生的人数，用表示所选5人中男生的人数，则下列结论正确的是（    ） 备注：一般地，若一个随机变量的分布列为，其中，则称. A． B． C． D． 10．（25-26高三上·湖南·月考）已知随机变量，则下列说法正确的是（   ） A． B．若，则 C．若，则 D．存在，使得 11．（25-26高三上·四川绵阳·月考）如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点O出发，每隔1秒等可能地向左或向右移动一个单位，共移动6次，设质点位于点n的概率为.则下列结论正确的是（   ） A． B． C．若出发点改变，其余不变，则不变 D．若出发点改变，其余不变，则不变 三、填空题 12．（2025·广东清远·一模）甲､乙两人进行象棋比赛，每局胜者得1分，负者得0分．设每局甲胜的概率为，乙胜的概率为，且各局胜负相互独立，五局比赛结束后甲比乙至少多得2分的概率为 ．（结果用数字作答） 13．（24-25高二下·广东佛山·月考）位于坐标原点的一个点按下述规则移动：每次只能向下或向左移动一个单位长度，且向左移动的概率为.那么移动4次后位于点的概率是 . 14．（2025·江西·模拟预测）为了保持某自然生态保护区的生态平衡，现用重捕法了解该保护区内某种动物的大致数量（单位：只），随机在保护区内捕捉了100只该动物并做上标记，一段时间后再随机捕捉100只，用表示第二次捕捉的100只中有标记的数量．若以使得的概率最大时的值作为该保护区内这种动物的数量的估计值，则的估计值是 ． 四、解答题 15．（25-26高二上·辽宁朝阳·期末）2025年春节期间，电影《哪吒之魔童降世2》票房破百亿，整个电影界都为之欢腾，这是中国动画电影的一大步，也是世界电影史上的一次壮丽篇章．现随机抽取100位市民，将市民按年龄分为“青年组”和“非青年组”，同时统计是否看过电影《哪吒之魔童降世2》的样本观测数据整理如下： 看过 没看过 合计 青年组 30 20 50 非青年组 15 35 50 合计 45 55 100 记表示“抽取到的市民没看过《哪吒之魔童降世2》”，其概率为表示“抽取到的市民为非青年组”，其概率为． (1)给出的估计值； (2)现从抽取的青年组市民中，按是否看过《哪吒之魔童降世2》用分层抽样的方法选出5人组成一个小组，从抽取的5人中再抽取3人赠送《哪吒之魔童降世2》的电影票，求这3人中看过《哪吒之魔童降世2》的人数的分布列和数学期望． 16．（24-25高二下·内蒙古赤峰·月考）某校从高三年级选拔一个班级代表学校参加“学习强国知识大赛”，经过层层选拔，甲、乙两个班级进入最后决赛，规定选手回答道相关题目．根据最后的评判选择由哪个班级代表学校参加大赛.每个班级有名选手.现从每个班级的名选手中随机抽取人回答这道题目.已知甲班的名选手中只有人可以正确回答这道题目，乙班的名选手能正确回答这道题目的概率均为，甲、乙两个班每名学生题目的回答是否正确都是相互独立的. (1)设甲班被抽取的选手能正确回答的人数为，求随机变量的分布列和数学期望； (2)并利用所学的知识分析由哪个班级代表学校参加大赛更好. 17．（24-25高二下·江苏盐城·期末）某电商平台促销盲盒商品，盲盒的外层包装分A、B两种类型．外层包装为A型的概率为，每个A型盲盒中含限量版商品的概率为；外层包装为B型的概率为，每个B型盲盒中含限量版商品的概率为．小王一次性随机购买5个盲盒（假设各盲盒包装类型及所含商品相互独立） (1)求每个盲盒含限量版商品的概率； (2)设随机变量X为小王抽中含限量版商品的盲盒数量，求X的概率分布； (3)若抽中的某个盲盒含限量版商品，求该盲盒外层包装为A型的概率． 18．（24-25高二下·浙江·阶段练习）已知一个不透明的盒中有个小球（小球除编号不同外其余均相同），这个小球的编号分别为1，2，3，…，（，）．现进行如下摸球活动： (1)若，从盒中一次性摸取2个小球，求这2个小球编号不相邻的概率； (2)如果摸球前约定“固定重叠原则”：即随机摸取盒中个小球（，），记录编号后放回，再重复以上操作一次，记这两次操作中被重复摸取的小球数为． （ⅰ）若，，求概率； （ⅱ）求使概率取得最大值时m的值． 19．（24-25高二下·河南·阶段练习）某机构历年的招聘笔试题皆由某公司命制，试题设计了12道单选题和4道多选题，其中单选题每道答对得5分，不答或答错得0分，多选题每道答对得10分，不答或答错得0分.小张拟参加该机构今年的招聘笔试，他搜集到该机构的往届笔试招聘试题，发现答对一道单选题和多选题的概率分别为0.8和0.6.假设该机构今年的笔试试题难度与往年相当. (1)假设该机构从今年命制好的试题中一次性随机抽取3道请内部员工试做，求抽到2道单选题的概率； (2)假设小张在参加今年的招聘考试时先随机选取了3道不同的题初试牛刀，以增添考试的信心.若所选的3道试题全部答对，求在3道试题的得分不低于25分的条件下，他选到3道多选题的概率； (3)设该机构今年的笔试分数线为70分，试从概率论的角度判断小张今年能否通过笔试，请说明理由. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 二项分布与超几何分布 教学目标 1.理解二项分布与超几何分布的概念； 2.掌握二项分布的均值与方差公式，掌握超几何分布的均值公式. 教学重难点 重点：二项分布的均值与方差公式，超几何分布的均值公式. 难点：对公式的理解和应用. 知识点01 二项分布 1.n重伯努利试验 一般地，在相同条件下重复做n次伯努利试验，且每次试验的结果都不受其他试验结果的影响，称这样的n次独立重复试验为n重伯努利试验. 2.二项分布 一般地，在n重伯努利试验中，用X表示这n次试验中成功的次数，且每次成功的概率均为p，则X的分布列可以表示为P(X＝k)＝pk(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n). 若一个随机变量X的分布列如上所述，则称X服从参数为n，p的二项分布，简记为X～B(n，p). 3.两点分布与二项分布的均值、方差 （1）若随机变量X服从参数为p的两点分布，则EX＝p，DX＝p(1－p). （2）若X～B(n，p)，则EX＝np，DX＝np(1－p). 说明：两点分布是二项分布在参数n＝1时的特殊情况. 【即学即练】 1．（24-25高二下·江苏宿迁·期末）在重伯努利试验中，每次试验发生的概率均为，且2次试验中恰好发生1次的概率为，若随机变量，则的方差为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】首先根据题意求出的值，然后根据二项分布的方差公式求出方差即可. 【详解】因为2次试验中恰好发生1次的概率为， 所以，化简得. 解得或. 因为随机变量，所以. 当时，； 当时，. 综上，. 故选：B. 2．（多选）（23-24高二下·江苏淮安·期中）若随机变量， 则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由二项分布概率公式和期望、方差计算公式计算，即可判断各选项. 【详解】对于A，因，故，故A正确； 对于B，因，故，故B正确； 对于C，因，故,故C错误； 对于D，由C项得，则，故D正确. 故选：ABD. 知识点02 超几何分布 1.定义 一般地，设有N件产品，其中有M(M≤N)件次品，从中任取n(n≤N)件产品，用X表示取出的n件产品中次品的件数，那么P(X＝k)＝，max{0，n－(N－M)}≤k≤min{n，M}，其中n≤N，M≤N，n，M，N∈N＋. 若一个随机变量X的分布列由上式确定，则称随机变量X服从参数为N，M，n的超几何分布. 2.超几何分布的均值 当随机变量X服从参数为N，M，n的超几何分布时，其均值为EX＝. 【易错警示】 “二项分布”与“超几何分布”的区别 (1)超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要. (2)有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问题对应超几何分布，当总体容量很大时，超几何分布可近似为二项分布来处理. 【即学即练】 1．（24-25高二下·辽宁锦州·期末）一包装箱内有12件产品，其中有10件合格品.现从中随机取出4件，设取出的4件产品中有件合格品，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由超几何分布的均值公式即可求解. 【详解】由题可得服从超几何分布，且， 所以. 故选：D 2．（24-25高二下·山东威海·期末）已知随机变量，若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据二项分布和超几何分布的期望公式计算即可. 【详解】由题意得 因为， 所以解得 故选：B. 题型01 独立重复试验中的概率计算 【典例1-1】（2025高二上·全国·专题练习）已知某批矿物晶体中含有大量水分子，且经过测量发现其中轻水分子、重水分子、超重水分子的比例为6：3：1.现利用仪器从一块矿物晶体中分离出3个水分子，用频率估计概率，则至少分离出2个轻水分子的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二项分布的概率公式计算，注意至少分离出2个轻水分子含有分离出2个轻水分子和分离出3个轻水分子两种情况 【详解】设事件“至少分离出2个轻水分子”， 由题意知分离出1个轻水分子的概率为， 分离出1个非轻水分子的概率为， 所以， 故至少分离出2个轻水分子的概率为． 故选：D. 【典例1-2】（24-25高二下·北京·阶段练习）某项羽毛球单打比赛规则是3局2胜制，运动员甲和乙进入了男子羽毛球单打决赛，假设甲每局获胜的概率为，则由此估计甲获得冠军的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】按照以下两种情形，利用独立事件同时发生用乘法，结合二项分布概率公式进行计算即可. 【详解】甲获得冠军分以下二类： 第一类：甲获胜的概率为：； 第二类：甲获胜的概率为：； 所以甲获胜的概率为， 故选：D. n重伯努利试验概率求解的策略 (1)首先判断问题中涉及的试验是否为n重伯努利试验，判断时注意各次试验之间是否相互独立，并且每次试验的结果是否只有两种，在任何一次试验中，某一事件发生的概率是否都相等，全部满足n重伯努利试验的要求才能用相关公式求解. (2)解此类题时常用互斥事件概率加法公式，相互独立事件概率乘法公式及对立事件的概率公式. 【变式1-1】（25-26高二上·辽宁朝阳·期末）如图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，小球从上方的通道口落下后，将与层层小木块碰撞，最后掉入下方的某一个球槽内．若小球下落过程中每次与小木块碰撞后，向左、向右落下的机会均等，则小球最终落入③号球槽和⑥号球槽的概率之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析下落过程碰撞的次数和向左向右落下的概率，分别分析落入③号球槽和⑥号球槽的情况，分析求解，即可得答案. 【详解】下落过程中，需要经过6次碰撞，每次向左、向右落下的概率均为， 落入③号球槽需向左4次，向右2次，则, 落入⑥号球槽需向左1次，向右5次，则， 则小球最终落入③号球槽和⑥号球槽的概率之和为. 故选：B 【变式1-2】（24-25高二下·广东深圳·期中）一枪手进行射击训练，共射击6次，每次命中概率相同，且每次射击相互独立，总共命中2次的概率和总共脱靶3次的概率相同，则其命中的概率为 . 【答案】 【分析】依题意，判断这是伯努利概型，利用二项分布概率公式列式计算即得. 【详解】设枪手命中的概率为p，因总共命中2次的概率和总共脱靶3次的概率相同， 则， 因，化简得：，解得. 故答案为：. 题型02 二项分布中的概率计算 【典例2-1】（24-25高二下·安徽·月考）设，且，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由二项分布的概率公式代入计算，即可得到结果. 【详解】由二项分布的概率公式可得，所以， 则. 故选：C 【典例2-2】（24-25高二下·上海·期中）将一枚均匀的硬币投掷5次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率是 . 【答案】/ 【分析】根据正面次数多和反面次数多各占一半即可得解，或者利用二项分布概率公式求解即可. 【详解】因为正面出现次数和反面出现次数不可能相等， 将每一种正面出现次数多的结果的所有硬币翻转，即可得到反面次数多于正面次数的结果， 所以正面次数多和反面次数多各占一半，故所求概率为. 另解：记抛掷一枚质地均匀的硬币正面向上为事件，则， 则抛掷5次硬币，正面出现的次数服从二项分布， 则正面向上的次数多于反面向上的次数的概率为： . 故答案为：． 若一个变量服从二项分布，可先写出其分布列，再根据分布列求得相应的概率. 【变式2-1】（23-24高二下·河南商丘·期末）设随机变量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据二项分布方差的计算公式求，再根据求解. 【详解】由题意知，，解得， 所以. 故选：D 【变式2-2】（24-25高二下·安徽安庆·期末）某研究所在试验一批种子，已知该批种子的发芽率是，从中随机选择4粒种子进行播种，则恰有3粒种子发芽的概率是 . 【答案】 【分析】由题知种子发芽的粒数，，根据二项分布求概率即可. 【详解】根据题意，种子发芽的粒数，， ， 所以恰有3粒种子发芽的概率是. 故答案为：. 题型03 二项分布的均值与方差 【典例3】（25-26高三上·重庆·月考）校园科技节举办“无人机操控挑战”活动，共有名学生报名参赛，每位学生需完成“首轮悬停定位”和“次轮障碍穿越”两项任务．已知每位学生首轮悬停定位成功的概率为，且不同学生首轮成功与否相互独立；若某学生首轮悬停定位成功，其次轮障碍穿越成功的概率为；若首轮悬停定位失败，其次轮障碍穿越成功的概率为．两项任务均成功即最终挑战成功． (1)若随机抽取一名参赛学生，求其次轮障碍穿越成功的概率． (2)记为参赛学生中挑战成功的学生人数，求的数学期望与方差． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据题意设事件，结合已知条件利用全概率公式求出次轮障碍穿越成功的概率； （2）先求出挑战成功的概率，利用独立事件的性质得出挑战成功人数符合二项分布，最后利用二项分布的期望、方差公式计算求解． 【详解】（1）设事件为“首轮悬停定位成功”，事件为“次轮障碍穿越成功”， ， 根据全概率公式，次轮障碍穿越成功的概率为： ， 随机抽取一名参赛学生，次轮障碍穿越成功的概率为． （2）挑战成功需要两项任务均成功，即为事件，其概率为： ， 不同学生的首轮成功相互独立，并且次轮成功概率仅依赖于自身首轮结果， 各学生的挑战成功事件相互独立， 记为名学生中挑战成功的人数，则服从二项分布， 数学期望：， 方差：． 与二项分布有关的期望、方差的求法 (1)求随机变量X的期望与方差时，可首先分析X是否服从二项分布，如果X～B(n，p)，则用公式EX＝np，DX＝np(1－p)求解，可大大减少计算量. (2)有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用E(aX＋b)＝aEX＋b以及EX＝np，求出E(aX＋b)，同样还可求出D(aX＋b). 【变式3】（25-26高二上·全国·单元测试）建盏为宋代名瓷之一，是中国古代黑瓷的巅峰之作，其采用福建建阳特有的高铁黏土和天然釉矿为原料烧制而成，工艺难度大，成功率低．假设建盏烧制开窑后经检验分为成品和废品两类，现有建盏6个，其中3个由工匠甲烧制，3个由工匠乙烧制，甲、乙两人烧制建盏的成品率分别为，． (1)求甲烧制的3个建盏中至多有2个成品的概率； (2)设乙烧制的这3个建盏中成品的个数为，求的分布列与数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析 【分析】（1）利用间接法求解； （2）判断X属于二项分布，并求出X的可能取值, 求出每个取值对应的概率，列表即可 【详解】（1）设甲烧制的3个建盏中成品的个数为，则的对立事件为， ，故． （2）由题可知． 的可能取值为0，1，2，3， 所以， ， ， ， 所以的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以X的期望为EX=np=. 题型04 二项分布与超几何分布的辨别 【典例4】（2025高三·全国·专题练习）下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是（   ） A．将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X B．从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回地任取3件，取得的次品数为X C．某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为X D．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，X是首次摸出黑球时的总次数 【答案】B 【分析】由超几何分布的定义分别判断各个选项即可． 【详解】对于A:将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X,是二项分布，A选项错误； 对于B:从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回地任取3件，取得的次品数为X,是超几何分布，B选项正确； 对于C:某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为X,是两点分布，C选项错误； 对于D:盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，X是首次摸出黑球时的总次数,不是超几何分布，D选项错误. 故选：B. 【变式4-1】（24-25高二下·上海·期中）下列随机事件中的随机变量 服从超几何分布的是（    ）． A．将一枚硬币连抛 3 次，记正面向上的次数为 B．盒中有 4 个白球和 3 个黑球，每次从中摸出 1 个球且不放回，记第一次摸出黑球时摸取的次数为 C．某射手的射击命中率为 0.8 ，现对目标射击 1 次，记命中的次数为 D．从 7 男 3 女共 10 名学生干部中随机选出 5 名学生干部，记选出女生的人数为 【答案】D 【分析】由超几何分布的定义分别判断各个选项即可. 【详解】对于A，将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数服从二项分布，A不是； 对于B，盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，第一次摸出黑球时的总次数不是超几何分布，B不是； 对于C，某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为服从两点分布，C不是； 对于D，从 7 男 3 女共 10 名学生干部中随机选出 5 名学生干部，记选出女生的人数服从超几何分布，D是. 故选：D 【变式4-2】（多选）（24-25高二下·江苏无锡·期中）下列说法正确的是（    ） A．随机变量表示重复抛掷一枚骰子n次中出现点数是3的倍数的次数，则随机变量服从二项分布. B．有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用有放回抽取方法，表示n次抽取中出现次品的件数（），则随机变量服从二项分布. C．有一批种子的发芽率为，任取10颗种子做发芽试验，把试验中发芽的种子的个数记为X，则随机变量X服从超几何分布. D．某班级有男生25人，女生20人，选派4名学生参加学校组织的活动，其中女生人数记为X，则随机变量X服从超几何分布. 【答案】ABD 【分析】根据二项分布和超几何分别的特征逐项分析判断即可. 【详解】对于选项A：因为每次概率相同且相互独立，符合n次独立重复性实验， 所以随机变量服从二项分布，故A正确； 对于选项B：因为采用有放回抽取方法，则每次概率相同且相互独立，符合n次独立重复性实验， 所以随机变量服从二项分布，故B正确； 对于选项C：因为每次概率相同且相互独立，符合n次独立重复性实验， 所以随机变量X服从二项分布，故C错误； 对于选项D：因为样本都分为两类，随机变量X表示抽取4名样本中某类样本被抽取的人数， 所以随机变量X服从超几何分布，故D正确； 故选：ABD. 题型05 超几何分布的概率计算 【典例5-1】（24-25高二下·陕西西安·阶段练习）已知6名同学中有名男生，若从这6名同学中随机抽取2名作为学生代表，恰好抽到1名男生的概率是，则（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】由超几何分布的概率公式求解即可. 【详解】设抽到的男生数为，则服从超几何分布，，解得3. 故选：C. 【典例5-2】（24-25高二下·河南郑州·期末）一个袋子中装有5个白球，3个黑球，从中任选4个球，取到一个白球得1分，取到一个黑球得3分，设得分为随机变量，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合组合、古典概型的概率公式，超几何分布，由进行求解即可. 【详解】由题意，从中任选4个球，除取到4个白球得4分外，其他取法的得分都不小于6， 故. 故选：C. 【变式5-1】（24-25高二下·广西百色·期末）一批零件共有10个，其中有2个不合格品，从这批零件中随机抽取2个进行检测，则恰有1个不合格品的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意结合超几何分布分析求解即可 【详解】根据题意，恰有1个不合格品的概率为. 故选：B. 【变式5-2】（2025高二·全国·专题练习）某年级7个班级中有3个是先进班级，现从中任意选3个班级，则下列事件中概率等于的是（    ） A．至少有1个先进班级 B．有1个或2个先进班级 C．有2个或3个先进班级 D．恰有2个先进班级 【答案】B 【分析】用X表示选取的3个班级中先进班级的个数，则X服从超几何分布，则，分别求得概率，再验证各选项即可. 【详解】用X表示选取的3个班级中先进班级的个数，则X服从超几何分布， 故， 所以， ，， 对于A，因为，故A不正确； 对于B，因为．故B正确； 对于C，因为.故C不正确； 对于D，因为，故D不正确. 故选：B． 题型06 超几何分布的分布列与期望 【典例6】（24-25高二下·全国·课后作业）已知外形完全一样的某品牌电子笔6支装一盒，每盒中最多有一支次品，每盒电子笔有次品的概率为． (1)现有一盒电子笔，抽出两支进行检测． ①求抽出的两支均是正品的概率； ②已知抽出的两支是正品，求剩余产品有次品的概率； (2)已知甲、乙两盒电子笔中均有次品，由于某种原因将两盒电子笔完全随机地混在一起，现随机选3支电子笔进行检测，记为选出的3支电子笔中的次品数，求的期望和方差． 【答案】(1)①；② (2)； 【分析】（1）根据全概率公式和条件概率公式求事件的概率. （2）根据超几何分布概率的计算方法求对应值的概率，进而求的期望与方差. 【详解】（1）①记事件：该盒有次品，事件：抽出的两支均是正品， 则，，， ． ②． （2）由题意知，两盒电子笔中共有10支正品，2支次品， 的可能取值为0，1，2， ， ， ， ，． （另解：由超几何分布的期望公式可知） 求超几何分布的分布列、均值的步骤 【变式6-1】（2025·辽宁辽阳·二模）一个盒子中有5个白色乒乓球和4个橘黄色乒乓球．现从盒子中任取3个乒乓球，记取出的3个乒乓球中的颜色为橘黄色的个数为，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】盒中有两种颜色的球，任取3个，橘黄色的可能有0个，1个，2个，3个，属于超几何分布，套公式求期望即可. 【详解】盒中有两种颜色的球，任取3个，橘黄色的可能有0个，1个，2个，3个，属于超几何分布， 取出的3个乒乓球中的颜色为橘黄色的个数为，则． 故选：C. 【变式6-2】（24-25高二下·上海松江·月考）我区举办“中小学生国防知识竞赛”中，随机抽查了100名学生，其中共有4名男生和2名女生的成绩在90分以上，从这6名同学中每次随机抽1人在全校作经验分享，每位同学最多分享一次（不放回抽样），记第一次抽到女生为事件A，第二次抽到男生为事件B． (1)求，； (2)若把抽取学生的方式更改为：从这6名学生中随机抽取3人进行经验分享，记被抽取的3人中女生的人数为X，求X的分布列、数学期望和方差． 【答案】(1)，； (2)分布列见解析，，. 【分析】（1）由题设写出相关概率值，再应用全概率公式求； （2）由题意可能值为并求出对应概率，即得分布列，进而求期望和方差. 【详解】（1）由题设，则，且，， 所以. （2）由题意，可能值为，且，，， 所以的分布列如下， 0 1 2 则，. 题型07 二项分布中的概率最大问题 【典例7-1】（24-25高二下·江苏南通·阶段练习）抛掷一枚质地均匀的硬币8次，若正面朝上次的概率最大，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】由二项分布的概率公式计算的概率，再结合组合数性质即可得解. 【详解】设抛掷一枚质地均匀的硬币8次，正面朝上次，则， 则正面朝上次的概率为， 所以. 故选：A. 【典例7-2】（24-25高二下·四川广元·期末）若随机变量X服从二项分布，则取得最大值时，（   ） A．2或3 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】利用计算即可. 【详解】由题可知：， 所以化简得到，又，所以2或3. 故选：A 【变式7】（24-25高二下·湖南郴州·期末）在某军事训练基地，新兵小张进行实弹射击考核，考核要求连续进行10次移动靶射击，每次击中目标可获得优秀评分．根据小张平日训练记录，他每次射击命中目标的概率为．小张在这10次射击考核中，求： (1)恰好有8次击中目标的概率是多少？（精确到0.01） (2)至少有8次击中目标的概率是多少？（精确到0.01） (3)最有可能击中目标多少次？ （参考数据：） 【答案】(1)0.30 (2)0.68 (3)8次． 【分析】（1）由条件可得，记事件“小张恰好击中8次目标”，结合二项分布概率公式求结论； （2）记事件“小张至少击中8次目标”，结合二项分布概率公式求； （3）设击中k次概率最大，列不等式组求其解即可. 【详解】（1）记击中目标的次数为，则， 则，其中，1，2，…，10 记事件“小张恰好击中8次目标”，则 （2）记事件“小张至少击中8次目标”， 则 （3）设击中k次概率最大，则 ，即 化简得，解得， 小张在10次射击中，最有可能击中目标8次． 题型07 概率的综合计算问题 【典例8】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）体育锻炼有助于学生全面发展，为研究某市学生体育锻炼时长，随机抽取了100名学生进行调查，并绘制频率分布直方图如下：    (1)估计这100名学生日均体育锻炼时长的平均数； (2)若规定“日均锻炼时长不少于40分钟为运动积极型学生”. （i）采用分层随机抽样抽取8人，再从这8人中随机抽出3人，记抽到运动积极型学生人数为X，求X的分布列和数学期望； （ii）用样本估计总体，从本市任选4名学生，求这4名学生中运动积极型学生个数Y的期望与方差. 【答案】(1)46.5 (2)（i）分布列见解析，2.25；（ii）， 【分析】（1）求各组的频率，以每组区间中间值为代表，结合平均数公式运算求解； （2）（i）根据分层抽样可知运动积极型学生有6人，其他2人，结合超几何分布求分布列和期望；（ii）分析可知，结合二项分布求期望和方差. 【详解】（1）由频率分布直方图可知各组频率依次为：， 以每组区间中间值为代表，估计这100名学生日均体育锻炼时长的平均数为 . （2）（i）由直方图可得日均锻炼时长不少于40分钟为运动积极型学生占的比例为， 分层抽样抽取的8人中运动积极型学生有人，其他2人， 由题意可知：的可能取值有1，2，3， 则，，， 故X的分布列为 X 1 2 3 P 所以数学期望； （ii）由题意可知：， 所以，. 【变式8-1】（25-26高三上·河南·月考）某学校为了解本校历史、物理方向学生的学业水平模拟测试的数学成绩情况，分别从物理方向的学生中随机抽取60人的数学成绩得到样本甲，从历史方向的学生中随机抽取50人的数学成绩得到样本乙，根据两个样本数据分别得到如下频率分布直方图： (1)求a的值，并估计该校历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)采用按比例分配的分层随机抽样的方法从甲样本数据中分数落在区间和内的学生中抽取6人，并从这6人中任取2人，求这2人分数落在区间内的人数X的分布列及数学期望． 【答案】(1)， (2)分布列见解析， 【分析】（1）根据频率之和为1即可求出,利用平均数的公式即可求解； （2）写出分布列，利用期望公式求解即可. 【详解】（1）由题意得，解得． 估计该校历史方向的学生本次模拟测试的数学成绩的平均值为 ． （2）采用按比例分配的分层随机抽样的方法 从甲样本数据中分数落在区间和内的学生中抽取6人， 则抽取分数落在区间内的学生有2人，落在区间内的学生有4人． X的所有可能取值为0，1，2， 所以，，， 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 故． 【变式8-2】（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期中）一盒子中有大小与质地均相同的20个小球，其中白球个，其余为黑球. (1)当盒中的白球数时，从盒中不放回地随机取两次，每次取一个球，用A表示事件“第一次取到白球”，用B表示事件“第二次取到白球”，求和，并判断事件A与B是否相互独立； (2)某同学要策划一个抽奖活动，参与者从盒中一次性随机取10个球，若其中恰有3个白球，则获奖，否则不获奖，要使参与者获奖的可能性最大、最小，该同学应该分别如何放置白球的数量n？ (3)若，参与者从盒子中有放回的随机取m次球，若其中取到白球的个数为，（），则m为何值时，概率. 【答案】(1)，，事件与相互不独立 (2)当时，参与者获奖的可能性最大；当时，参与者获奖的可能性最小 (3)或14时，概率的值最大 【分析】（1）根据给定条件，利用古典概率及条件概率公式性质求解，再利用全概率公式求出，利用相互独立事件定义判断即可； （2）求出获奖的概率，再构造函数，结合组合数公式探讨单调性确定概率最大、最小值； （3）由题可得，结合二项分布的概率可得，再根据最大可得，解不等式组即可得此时的值. 【详解】（1）当时，盒中有6个白球，14个黑球， 则，，， 所以， 则，所以事件与相互不独立． （2）从20个球中取10个球，恰有3个白球的概率，, 设， 当时，， ， 当时，， 当时，， 因此， 而， 则，， 所以当时，参与者获奖的可能性最大；当时，参与者获奖的可能性最小． （3）若，盒中有9个白球，11个黑球，则每次取到白球的概率为， 参与者从盒子中有放回的随机取m次球，若其中取到白球的个数为，则， 所以， 若概率最大，则有， 所以，解得，又，故或14， 所以或14时，概率的值最大. 一、单选题 1．（24-25高三·上海·随堂练习）以下分布中是伯努利分布的是（    ）． A．掷一枚硬币正面次数的分布 B．掷两枚硬币正面次数的分布 C．抛一颗骰子点数的分布 D．从一个放有2个白球，和2个黑球的袋子中摸出两个球，用表示白球个数的分布 【答案】A 【分析】根据伯努利分布的概念即可判断. 【详解】只取两个值的随机变量称为伯努利型，其分布称为伯努利分布． 则选项A符合，选项BCD不符合. 故选：A. 2．（24-25高二下·甘肃白银·期末）若随机变量服从超几何分布，则（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】C 【分析】根据超几何分布计算，然后利用期望的性质计算. 【详解】因为服从超几何分布，所以， 所以. 故选：C 3．（24-25高二下·安徽·月考）设，且，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由二项分布的概率公式代入计算，即可得到结果. 【详解】由二项分布的概率公式可得，所以， 则. 故选：C 4．（24-25高二下·天津·期中）若随机变量服从二项分布，且，则（   ） A．39 B．65 C．50 D．63 【答案】D 【分析】先利用二项分布的概率公式求出的值，再利用排列数公式和组合数公式求解. 【详解】随机变量服从二项分布，且， ， ， ， . 故选：D 5．（23-24高二下·山东青岛·期中）若随机变量服从二项分布，且，则（    ） A． B．10 C． D．11 【答案】C 【分析】根据求出，根据的分布列求出的分布列，再求期望可得答案. 【详解】因为，所以 因为，所以， 解得， ，， ，， ，， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 4 5 6 所以的分布列为 0 1 4 9 16 25 36 所以 . 故选：C. 6．（2025高二·全国·专题练习）某年级7个班级中有3个是先进班级，现从中任意选3个班级，则下列事件中概率等于的是（    ） A．至少有1个先进班级 B．有1个或2个先进班级 C．有2个或3个先进班级 D．恰有2个先进班级 【答案】B 【分析】用X表示选取的3个班级中先进班级的个数，则X服从超几何分布，则，分别求得概率，再验证各选项即可. 【详解】用X表示选取的3个班级中先进班级的个数，则X服从超几何分布， 故， 所以， ，， 对于A，因为，故A不正确； 对于B，因为．故B正确； 对于C，因为.故C不正确； 对于D，因为，故D不正确. 故选：B． 7．（2025·云南·一模）设随机变量服从二项分布，则函数有零点的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据根的判别式得到不等式，求出，由二项分布求概率公式得到. 【详解】中，，解得， ，故. 故选：C 8．（24-25高三上·湖北·开学考试）小明有一枚质地不均匀的骰子，每次掷出后出现1点的概率为，他掷了k次骰子，最终有6次出现1点，但他没有留意自己一共掷了多少次骰子.设随机变量X表示每掷N次骰子出现1点的次数，现以使最大的N值估计N的取值并计算.（若有多个N使最大，则取其中的最小N值）.下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．与6的大小无法确定 【答案】B 【分析】先求得的表达式，由此列不等式，结合数学期望的知识确定正确答案. 【详解】X服从二项分布，则， 最大即为满足， 解得， 又，故为整数时，结合题设要求，； 不为整数时N为小于，，故， 故选：B 二、多选题 9．（24-25高二上·辽宁·期末）从6名女生和8名男生中任选5人去阳光敬老院参加志愿服务，用表示所选5人中女生的人数，用表示所选5人中男生的人数，则下列结论正确的是（    ） 备注：一般地，若一个随机变量的分布列为，其中，则称. A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据超几何分布的概念和性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意，从6名女生和8名男生中任选5人， 则所选5人中女生的人数和男生的人数Y服从超几何分布， 即，所以选项A错误，选项B正确； 又由超几何分布的均值公式，可得: ,, 所以, ,所以选项C，D正确. 故选：BCD 10．（25-26高三上·湖南·月考）已知随机变量，则下列说法正确的是（   ） A． B．若，则 C．若，则 D．存在，使得 【答案】ABC 【分析】由二项分布的概率计算公式计算可判断AB；由二项分布的期望计算公式计算可判断C；由二项分布的方差计算公式计算可判断D. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，， 若，则，即， 因为，， 所以，解得，故B正确； 对于C，若，则，故C正确； 对于D，， 当且仅当时，有最大值为，故D错误. 故选：ABC 11．（25-26高三上·四川绵阳·月考）如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点O出发，每隔1秒等可能地向左或向右移动一个单位，共移动6次，设质点位于点n的概率为.则下列结论正确的是（   ） A． B． C．若出发点改变，其余不变，则不变 D．若出发点改变，其余不变，则不变 【答案】ABD 【分析】设质点向右移动的次数为，分析出服从二项分布.由二项分布的概率公式求出，即可判断A；先分析得到，求出期望，再根据期望的性质求出，即可判断B；假设出发点为，分析得到，再求出，即可判断C；先求出，再根据方差的性质求出，即可判断D. 【详解】设质点向右移动的次数为，因为质点每隔1秒等可能地向左或向右移动一个单位， 移动6次，所以离散型随机变量服从二项分布. 所以由二项分布的概率公式可得，故A正确； 由二项分布的期望公式可得. 因为质点移动6次位于点n，所以， 所以，故B正确； 假设出发点为，则， 所以， 所以若出发点改变，其余不变，会随着出发点的变化而变化，故C错误； 由二项分布的方差公式可得. 假设出发点为，则， 所以， 所以若出发点改变，其余不变，则不变，故D正确. 故选：ABD 三、填空题 12．（2025·广东清远·一模）甲､乙两人进行象棋比赛，每局胜者得1分，负者得0分．设每局甲胜的概率为，乙胜的概率为，且各局胜负相互独立，五局比赛结束后甲比乙至少多得2分的概率为 ．（结果用数字作答） 【答案】 【分析】利用二项分布概率公式来分两类计算即可. 【详解】事件：甲胜5局，得5分，乙得0分，则， 事件：甲胜4局，负1局，得4分，乙得1分，则， 所以五局比赛结束后甲比乙至少多得2分的概率为 故答案为： 13．（24-25高二下·广东佛山·月考）位于坐标原点的一个点按下述规则移动：每次只能向下或向左移动一个单位长度，且向左移动的概率为.那么移动4次后位于点的概率是 . 【答案】 【分析】根据题意，点必须向左移动3次，向下移动1次，结合独立重复试验的概率计算公式，即可求解. 【详解】由题意知，点向左移动的概率为，所以向下移动的概率为， 要使得点移动4次后位于，则必须向左移动3次，向下移动1次， 所以概率为. 14．（2025·江西·模拟预测）为了保持某自然生态保护区的生态平衡，现用重捕法了解该保护区内某种动物的大致数量（单位：只），随机在保护区内捕捉了100只该动物并做上标记，一段时间后再随机捕捉100只，用表示第二次捕捉的100只中有标记的数量．若以使得的概率最大时的值作为该保护区内这种动物的数量的估计值，则的估计值是 ． 【答案】 【分析】根据超几何分布，得到，求得，得到，结合，求得，进而得到答案． 【详解】由题意得，随机变量服从超几何分布，即， 记，则， 所以． 当时，，解得， 当时，，故当时，最大，的估计值为． 故答案为：. 四、解答题 15．（25-26高二上·辽宁朝阳·期末）2025年春节期间，电影《哪吒之魔童降世2》票房破百亿，整个电影界都为之欢腾，这是中国动画电影的一大步，也是世界电影史上的一次壮丽篇章．现随机抽取100位市民，将市民按年龄分为“青年组”和“非青年组”，同时统计是否看过电影《哪吒之魔童降世2》的样本观测数据整理如下： 看过 没看过 合计 青年组 30 20 50 非青年组 15 35 50 合计 45 55 100 记表示“抽取到的市民没看过《哪吒之魔童降世2》”，其概率为表示“抽取到的市民为非青年组”，其概率为． (1)给出的估计值； (2)现从抽取的青年组市民中，按是否看过《哪吒之魔童降世2》用分层抽样的方法选出5人组成一个小组，从抽取的5人中再抽取3人赠送《哪吒之魔童降世2》的电影票，求这3人中看过《哪吒之魔童降世2》的人数的分布列和数学期望． 【答案】(1)的估计值为，的估计值为，的估计值为； (2)分布列见解析，. 【分析】（1）根据古典概型求解，法一：利用条件概率公式求解；法二利用缩小样本空间法求解即可； （2）根据分层抽样求出看过和没看过《哪吒之魔童降世2》的人数，进而可知的所有可能取值，求出相应的概率即可得到分布列，进而可求数学期望（或者利用超几何分布结论求解）. 【详解】（1）A表示抽取到的市民没看过《哪吒之魔童降世2》，B表示抽取到的市民为非青年组． 样本容量，没看过电影的总人数55，抽取到的市民没看过《哪吒之魔童降世2》的频率为， 因此的估计值为， 抽取到的市民为非青年组的总人数50，抽取到的市民为非青年组的频率为， 因此的估计值为. 法一：， 在抽取到的市民没看过《哪吒之魔童降世2》条件下，抽到的市民为青年组的频率为， 因此的估计值为； 法二：， 在抽取到的市民没看过《哪吒之魔童降世2》条件下，抽到的市民为青年组的频率为， 因此的估计值为； （2）按照分层抽样，抽取的5人中看过《哪吒之魔童降世2》的有3人，没看过《哪吒之魔童降世2》的有2人， 则看过《哪吒之魔童降世2》的人数的取值范围为， 由题意，看过《哪吒之魔童降世2》的人数，则， 此时，，. 则的分布列为： X 1 2 3 所以，或． 16．（24-25高二下·内蒙古赤峰·月考）某校从高三年级选拔一个班级代表学校参加“学习强国知识大赛”，经过层层选拔，甲、乙两个班级进入最后决赛，规定选手回答道相关题目．根据最后的评判选择由哪个班级代表学校参加大赛.每个班级有名选手.现从每个班级的名选手中随机抽取人回答这道题目.已知甲班的名选手中只有人可以正确回答这道题目，乙班的名选手能正确回答这道题目的概率均为，甲、乙两个班每名学生题目的回答是否正确都是相互独立的. (1)设甲班被抽取的选手能正确回答的人数为，求随机变量的分布列和数学期望； (2)并利用所学的知识分析由哪个班级代表学校参加大赛更好. 【答案】(1)分布列见解析，数学期望 (2)甲班代表更好 【分析】（1）分析可知，随机变量的可能取值有、、，结合超几何分布可得出随机变量的分布列，进而可得出的值； （2）设乙班被抽取的选手能正确回答的人数为，则，计算出、的值，并求出的值，比较大小后可得出结论. 【详解】（1）由题意可知，随机变量的可能取值有、、， 则，，， 所以，随机变量的分布列如下表所示： 故. （2）设乙班被抽取的选手能正确回答的人数为，则， 所以，， 由方差公式可得， 所以， 因此，派甲班代表更好. 17．（24-25高二下·江苏盐城·期末）某电商平台促销盲盒商品，盲盒的外层包装分A、B两种类型．外层包装为A型的概率为，每个A型盲盒中含限量版商品的概率为；外层包装为B型的概率为，每个B型盲盒中含限量版商品的概率为．小王一次性随机购买5个盲盒（假设各盲盒包装类型及所含商品相互独立） (1)求每个盲盒含限量版商品的概率； (2)设随机变量X为小王抽中含限量版商品的盲盒数量，求X的概率分布； (3)若抽中的某个盲盒含限量版商品，求该盲盒外层包装为A型的概率． 【答案】(1)； (2)分布列见解析； (3). 【分析】（1）根据给定条件，利用全概率公式列式计算. （2）求出的可能值，结合（1）中概率，利用二项分布求出概率分布列. （3）由（1）的信息，利用条件概率公式求解. 【详解】（1）设事件表示盲盒为型包装，事件表示盲盒为型包装，事件表示盲盒含限量版商品， 则，， 所以每个盲盒含限量版商品的概率. （2）由（1）知，1个盲盒含限量版商品的概率为，随机变量的可能值为，， ，，， ，，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 4 5 （3）抽中的某个盲盒含限量版商品，该盲盒外层包装为A型的概率为. 18．（24-25高二下·浙江·阶段练习）已知一个不透明的盒中有个小球（小球除编号不同外其余均相同），这个小球的编号分别为1，2，3，…，（，）．现进行如下摸球活动： (1)若，从盒中一次性摸取2个小球，求这2个小球编号不相邻的概率； (2)如果摸球前约定“固定重叠原则”：即随机摸取盒中个小球（，），记录编号后放回，再重复以上操作一次，记这两次操作中被重复摸取的小球数为． （ⅰ）若，，求概率； （ⅱ）求使概率取得最大值时m的值． 【答案】(1)； (2)（ⅰ）；（ⅱ）. 【分析】（1）先找出编号相邻的情况有4种.用组合数算出从5个里选2个的总情况数，再用1减去编号相邻的概率，就得到不相邻概率. （2）（i）运用古典概型，结合组合数计算得到概率. （ii）先确定“”的事件总数，再得出表达式.通过与1比较大小，得到的范围.比较和、大小.最后根据能否被整除，得出取最大值时的值.当时，也符合不能整除的情况. 【详解】（1）编号相邻的可能有“1，2”、“2，3”、“3，4”、“4，5”四种可能，所以2个小球编号不相邻的概率为． （2）（ⅰ）． （ⅱ）当时，整数m满足，其中为0和的较大者，即． “”所包含的事件总数为， ∴， 设， ． 令． ①当时，（比较与k大小） ②当时，（比较与大小） ∴． 则当能被整除即时，在或处达到最大值： 当不能被整除即时，在（表示不超过x的最大整数）． 当时，只能取，此时符合上述不能被整除的情况． 综上：使概率取得最大值时． 19．（24-25高二下·河南·阶段练习）某机构历年的招聘笔试题皆由某公司命制，试题设计了12道单选题和4道多选题，其中单选题每道答对得5分，不答或答错得0分，多选题每道答对得10分，不答或答错得0分.小张拟参加该机构今年的招聘笔试，他搜集到该机构的往届笔试招聘试题，发现答对一道单选题和多选题的概率分别为0.8和0.6.假设该机构今年的笔试试题难度与往年相当. (1)假设该机构从今年命制好的试题中一次性随机抽取3道请内部员工试做，求抽到2道单选题的概率； (2)假设小张在参加今年的招聘考试时先随机选取了3道不同的题初试牛刀，以增添考试的信心.若所选的3道试题全部答对，求在3道试题的得分不低于25分的条件下，他选到3道多选题的概率； (3)设该机构今年的笔试分数线为70分，试从概率论的角度判断小张今年能否通过笔试，请说明理由. 【答案】(1)； (2)； (3)能，理由见解析. 【分析】（1）由超几何分布的概率公式求概率； （2）应用独立事件乘法公式、互斥事件加法求相关概率，再由条件概率公式求目标概率； （3）设为单选题答对个数，，为多选题答对个数，，通过题意分析，应用独立事件的概率求法依次求出、，、，、，、的对应概率，即可得结论. 【详解】（1）由题设，抽到2道单选题的概率； （2）由题意，3道试题的情况有{2道多选1道单选}、{3道多选}， 所以它们的概率依次为、， 得分不低于25分，即上述两种情况的3道题均答对， 所以、， 综上，在3道试题的得分不低于25分，选到3道多选题的概率； （3）设为单选题答对个数，，为多选题答对个数，， 当时，小张总分不可能达到70分， 当时，，总分刚好70分，且，， 当时，，总分大于等于70分，且， 当时，，总分大于等于70分，且， 而 当时，，总分大于等于70分，， 而 所以，小张所得总分，则. 所以从概率论的角度小张今年能通过笔试. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $