精品解析：山东省德州市宁津县育新中学、第四实验中学2025-2026学年八年级上学期1月月考数学试题

2025-2026学年上学期八年级数学第二次素养监测 一、选择题 1. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：A、是轴对称图形，故此选项符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选A． 2. 已知的两边长分别为2和，则能使得第三边长取到10的最小正整数是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理； 根据三角形两边之和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，由题意得到，即可得到答案 【详解】解：设三角形的第三边长是， 由三角形三边关系定理得： ， ， 第三边长取到10， ， ， 能使得第三边长取到10的最小正整数是． 故选：C． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是同底数幂的除法运算，完全平方公式的应用，单项式乘以多项式，积的乘方运算，再利用各自的运算法则逐一分析即可，熟记运算法则是解本题的关键． 【详解】解：A、，本选项不符合题意； B、，本选项不符合题意； C、，本选项不符合题意； D、，本选项符合题意； 故选：D． 4. 将第一象限的“小旗”各点的横坐标分别乘以，纵坐标保持不变，符合上述要求的图形 是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是关于x轴、y轴对称的点的坐标，直接根据关于x轴、y轴对称的点的坐标进行解答即可． 【详解】解：∵第一象限的“小旗”各点的纵坐标保持不变，横坐标分别乘以， ∴所得小旗的点与原来的小旗的点关于y轴对称， 故选：C． 5. 下列分式从左到右的变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质“分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变”，熟练掌握分式的基本性质是解题关键．根据分式的基本性质逐项判断即可得． 【详解】解：A、假设，所以，，则此项不一定正确，不符合题意； B、当时，，则此项不一定正确，不符合题意； C、，所以只有当时，，则此项不一定正确，不符合题意； D、，则此项一定正确，符合题意； 故选：D． 6. 某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中射线为的平分线的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查角平分线的判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，中垂线的性质和判定，根据作图痕迹，逐一进行判断即可． 【详解】解：第一个图为尺规作角平分线的方法，为的平分线； 第二个图，由作图可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为的平分线； 第三个图，由作图可知， ∴，， ∴ ∴， ∴为的平分线； 第四个图，由作图可知：，， ∴为的平分线； 故选D． 7. 已知，，则的值为（ ） A. 12 B. 7 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据同底数幂乘法运算法则求解即可． 【详解】， 故选：． 【点睛】本题考查同底数幂乘法运算，熟记法则是解题关键． 8. 如图，△ABC中，AC＝8，BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为（ ） A. 13 B. 14 C. 18 D. 21 【答案】A 【解析】 【分析】根据垂直平分线的性质可得，根据三角形的周长公式即可求解． 【详解】解：∵DE是AB的垂直平分线， ∴， AC＝8，BC＝5， △BCE的周长为， 故选A 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 9. 若关于的分式方程无解，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式方程无解的条件，分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于．先去分母得到整式方程，解整式方程得，利用分式方程无解得到，所以，然后解关于的方程即可． 【详解】解：去分母得， 解得， 原分式方程无解， ， 即，解得， 当时，关于的分式方程无解． 故选：D ． 10. 如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于，交于，过点作于，下列五个结论：其中一定正确的结论有（ ）个． ①；②；③；④点到各边的距离相等；⑤设，，则．（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形的内角和定理：①根据角平分线定义及可得出，，由此可得出结论；②由于与不一定相等，则与不一定相等，进而得到与不一定相等；③先根据角平分线的性质得出，再由三角形内角和定理即可得出结论；④根据角平分线的性质即可得出结论；⑤连接，根据三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】解：和的平分线相交于点G， ， ， ， ， ， 同理可得， ，故①正确； ∵与不一定相等，， ∴与不一定相等， ∴与不一定相等，故②错误； 和的平分线相交于点G， ， ，故③错误； 和的平分线相交于点G， 点G到的距离相等，到的距离相等， 点G到各边的距离相等，故④正确； 如图所示，连接， 点G到各边的距离相等，，， ，故⑤正确． 故选：C． 二、填空 11. 分解因式____________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，因式分解的方法有：提公因式法，公式法，分组分解法，十字相乘法等，灵活运用因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解：, ， ， 故答案为：． 12. 若分式无意义，则__________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】此题主要考查了分式无意义的条件，关键是掌握分式无意义的条件是分母等于零． 根据分式无意义的条件可得，解方程即可． 【详解】解：分式无意义，则， 解得：， 故答案为：． 13. 华为搭载的华为麒麟芯片应该达到或者接近7纳米工艺制程．7纳米也就是米，用科学记数法表示为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 14. 如图，在和中，已知，，要使，还需添加一个条件，那么这个条件可以是______（只需写一个，不添加辅助线）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查的知识点是添加条件使两个三角形全等，熟记判定定理并根据题目条件灵活运用是解此题的关键． 要使，已知，，具备了一组边和一组角对应相等，还缺少边或角对应相等的条件，结合判定方法及图形进行选择即可． 【详解】解：要使，已知，， 则可以添加，运用来判定其全等； 也可添加一组角或来判定其全等． 故答案为：或或． 15. 如图，在中，CD是AB边上的高线，BE平分，交CD于点E，，，则的面积等于____． 【答案】6 【解析】 【分析】作于，根据角平分线的性质求出，根据三角形的面积公式计算即可．本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 【详解】解：作于， 平分 的面积为 故答案为：6． 16. 日常生活中，如取款、上网都需要密码．有一种因式分解产生的密码，方便记忆．其原理是：对于多项式，其因式分解的结果是，若用8代入，用8代入，则各个因式的值分别是，于是就把“”作为一个六位数的密码．对于多项式，若用23代入，用5代入，用上述方法产生的密码是___________． 【答案】232818 或 231828 或 282318 或 182328 或 281823 或 182823（填对一个即可） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的实际应用，将正确分解是解题关键．所求的代数式分解因式后整理成条件中所给出的代数式的形式，然后整体代入即可． 【详解】解：， ∴取时， ∴可以产生的密码为：共6个， 故答案为：232818 或 231828 或 282318 或 182328 或 281823 或 182823（填对一个即可）． 三、解答题 17. 计算： （1）； （2）解方程：. 【答案】（1）34 （2）无解 【解析】 【分析】本题考查有理数混合运算、解分式方程，涉及乘方运算、零指数幂运算、负整数指数幂运算、解一元一次方程等知识，熟练掌握有理数加减运算法则及分式方程解法是解决问题的关键． （1）先计算乘方运算、零指数幂运算、负整数指数幂运算，再由有理数加减运算法则求解即可得到答案； （2）先去分母，再解一元一次方程，分式方程一定要注意验根才能确定解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， 去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，， 检验：把代入得，，即分母为0， 该方程无解． 18. 先化简：，再从0或1或2中选一个合适的a值代入求值． 【答案】， 【解析】 【分析】根据分式的混合运算法则可以化简题目中的式子，然后从0，1，2这三个数中选取一个使得原分式有意义的值，代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】解： = = = =， 当a=-2或0或1时，原分式无意义， ∴当a=2时， 原式=． 【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法． 19. 如图，已知和直线m（直线m上各点的横坐标都为2）． （1）画出关于直线m的对称图形； （2）的坐标是_______，若点在内部，P，关于直线m对称，则的坐标是________； （3）请通过画图直接在直线m上找一点Q，使得最小． 【答案】（1） 解：如下图所示； （2）， （3） 解：点Q即为所求． 【解析】 【分析】本题考查轴对称的性质，利用轴对称关系作图，确定直角坐标系中点的坐标， （1）根据轴对称关系确定点、、的坐标，顺次连线即可； （2）根据轴对称的性质解答即可； （3）连接，与x轴交点即为点P． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 根据上述图形可知：， 直线m上各点的横坐标都为2， ， 由轴对称的性质可知，点关于直线m对称的点的横坐标为，纵坐标为b， 即点关于直线m对称的点的坐标为， 故答案为：，； 【小问3详解】 解：理由如下： 点B和点关于直线m对称， ， ， 即当点Q在上时，最小． 20. 如图，，D为延长线上一点． （1）尺规作图：过D作，垂足为E，与相交于点F．（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）求证：； （3）若F为的中点，求证：． 【答案】（1） 如图，为所求． （2） 证明：∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3） 证明：过点A作于点G ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵F为中点， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查尺规作图——作垂线，等腰三角形的判定及性质，三角形全等的判定及性质． （1）根据尺规作图——作垂线的方法作图即可； （2）由可得，，，又由得到，从而，因此得证； （3）过点A作于点G，根据等腰三角形的“三线合一”可得，证明得到，从而得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 21. 【项目式学习】根据以下素材，探索完成任务． 【素材1】在入夏之际，我县某奶茶品牌店推出两款爆款水果茶“满杯杨梅”和“芝士杨梅”．每杯“芝士杨梅”的售价比“满杯杨梅”贵2元，购买1杯“芝士杨梅”和2杯“满杯杨梅”共需53元． 【素材2】某天销售“芝士杨梅”共获利润400元，“满杯杨梅”共获利润480元，其中每杯“芝士杨梅”和每杯“满杯杨梅”的利润比为，“满杯杨梅”比“芝士杨梅”多卖20杯． 【问题解决】 任务1：每杯“芝士杨梅”和“满杯杨梅”的售价是多少？ 任务2：每杯“芝士杨梅”和“满杯杨梅”的利润是多少？ 【答案】任务1：每杯“满杯杨梅”的售价是17元，每杯“芝士杨梅”的售价是19元；任务2：每杯“满杯杨梅”的利润是8元，每杯“芝士杨梅”的利润是10元 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，分式方程的应用． 任务1：设每杯“满杯杨梅”的售价是x元，则每杯“芝士杨梅”的售价是元，依题意得，，计算求解，然后作答即可； 任务2：设每杯“满杯杨梅”的利润是元，则每杯“芝士杨梅”的利润是元，根据“满杯杨梅”比“芝士杨梅”多卖20杯，列出分式方程，然后计算求解即可． 【详解】解：任务1：设每杯“满杯杨梅”的售价是x元，则每杯“芝士杨梅”的售价是元， 依题意得，， 解得：， ， 答：每杯“满杯杨梅”的售价是17元，每杯“芝士杨梅”的售价是19元； 任务2：设每杯“满杯杨梅”的利润是元，则每杯“芝士杨梅”的利润是元， 由题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的解， （元） （元）， 答：每杯“满杯杨梅”的利润是8元，每杯“芝士杨梅”的利润是10元． 22. 如图1，将边长的正方形剪出两个边长分别为的正方形（阴影部分）和两个全等的长方形，观察图形，解答下列问题： （1）用两种不同的方法表示图1阴影部分的面积，即用两个不同的代数式表示阴影部分的面积．方法1： ；方法2： ；从中你发现什么结论呢： （2）根据上述结论，初步解决问题：已知求的值； （3）解决问题：如图2，C是线段上一点，以为边向两边作等腰直角三角形，记若求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）；； （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查的知识点是完全平方公式的几何背景、通过对完全平方公式变形求值． （1）方法1可采用两个正方形的面积和；方法2可以用大正方形减去两个长方形的面积；根据两种方式表示的面积是相等的，即可得出结论； （2）根据完全平方公式变形求值，即可求解； （3）设，，根据已知条件可列方程组，求出的值，由于阴影部分的面积为，即可得出答案． 【小问1详解】 解：方法1：阴影部分面积即为边长为和边长为的正方形面积之和， ； 方法2：阴影部分面积边长为的正方形面积长为，宽为的长方形面积， ． 两种方式表示的面积是相等可知：． 故答案为：；；． 【小问2详解】 解：∵ 由（1）得：， 【小问3详解】 设 ∵， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为． 23. （1）【问题发现】 如图1，在中，，，为上一点（点不与，重合），分别过点，作射线的垂线，垂足分别为点，，连接，求的度数． 小明发现，如图2，利用“一边一角造全等”，在线段上截取，连接，构造出全等三角形，经过推理和计算就能够求出的度数．请直接填空： ； （2）【拓展探究】 小明通过探究发现，（1）中的线段，，之间存在固定的数量关系．证明小明发现的结论； （3）【类比迁移】 和中，，，，连接，，过点作交的延长线于点，与交于点，求值． 【答案】（1）； （2），理由如下： ， ， ， ， 由（1）可知： , ； （3） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的性质和判定是解题的关键； （1）由“”可证，可得，，，由等腰直角三角形的性质可求解； （2）由等腰直角三角形的性质可得，即可求解； （3）由“”可证，可得，由可证，可得，即可求解． 【详解】解：（1）在上取一点，使，连接， ， ， ， ， ， ， ，， ， ，，， 又， ， 即， ， ， ， 故答案为：； （2） 略 （3）如图，在上取一点，使 ，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， 且， ， ， ， ， ， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上学期八年级数学第二次素养监测 一、选择题 1. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知的两边长分别为2和，则能使得第三边长取到10的最小正整数是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 将第一象限的“小旗”各点的横坐标分别乘以，纵坐标保持不变，符合上述要求的图形 是（ ） A. B. C. D. 5. 下列分式从左到右的变形正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中射线为的平分线的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7. 已知，，则的值为（ ） A. 12 B. 7 C. D. 8. 如图，△ABC中，AC＝8，BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为（ ） A. 13 B. 14 C. 18 D. 21 9. 若关于的分式方程无解，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于，交于，过点作于，下列五个结论：其中一定正确的结论有（ ）个． ①；②；③；④点到各边的距离相等；⑤设，，则．（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空 11. 分解因式____________ ． 12. 若分式无意义，则__________． 13. 华为搭载的华为麒麟芯片应该达到或者接近7纳米工艺制程．7纳米也就是米，用科学记数法表示为__________． 14. 如图，在和中，已知，，要使，还需添加一个条件，那么这个条件可以是______（只需写一个，不添加辅助线）． 15. 如图，在中，CD是AB边上的高线，BE平分，交CD于点E，，，则的面积等于____． 16. 日常生活中，如取款、上网都需要密码．有一种因式分解产生的密码，方便记忆．其原理是：对于多项式，其因式分解的结果是，若用8代入，用8代入，则各个因式的值分别是，于是就把“”作为一个六位数的密码．对于多项式，若用23代入，用5代入，用上述方法产生的密码是___________． 三、解答题 17. 计算： （1）； （2）解方程：. 18. 先化简：，再从0或1或2中选一个合适的a值代入求值． 19. 如图，已知和直线m（直线m上各点的横坐标都为2）． （1）画出关于直线m的对称图形； （2）的坐标是_______，若点在内部，P，关于直线m对称，则的坐标是________； （3）请通过画图直接在直线m上找一点Q，使得最小． 20. 如图，，D为延长线上一点． （1）尺规作图：过D作，垂足为E，与相交于点F．（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）求证：； （3）若F为的中点，求证：． 21. 【项目式学习】根据以下素材，探索完成任务． 【素材1】在入夏之际，我县某奶茶品牌店推出两款爆款水果茶“满杯杨梅”和“芝士杨梅”．每杯“芝士杨梅”的售价比“满杯杨梅”贵2元，购买1杯“芝士杨梅”和2杯“满杯杨梅”共需53元． 【素材2】某天销售“芝士杨梅”共获利润400元，“满杯杨梅”共获利润480元，其中每杯“芝士杨梅”和每杯“满杯杨梅”的利润比为，“满杯杨梅”比“芝士杨梅”多卖20杯． 【问题解决】 任务1：每杯“芝士杨梅”和“满杯杨梅”的售价是多少？ 任务2：每杯“芝士杨梅”和“满杯杨梅”的利润是多少？ 22. 如图1，将边长的正方形剪出两个边长分别为的正方形（阴影部分）和两个全等的长方形，观察图形，解答下列问题： （1）用两种不同的方法表示图1阴影部分的面积，即用两个不同的代数式表示阴影部分的面积．方法1： ；方法2： ；从中你发现什么结论呢： （2）根据上述结论，初步解决问题：已知求的值； （3）解决问题：如图2，C是线段上一点，以为边向两边作等腰直角三角形，记若求图中阴影部分的面积． 23. （1）【问题发现】 如图1，在中，，，为上一点（点不与，重合），分别过点，作射线的垂线，垂足分别为点，，连接，求的度数． 小明发现，如图2，利用“一边一角造全等”，在线段上截取，连接，构造出全等三角形，经过推理和计算就能够求出的度数．请直接填空： ； （2）【拓展探究】 小明通过探究发现，（1）中的线段，，之间存在固定的数量关系．证明小明发现的结论； （3）【类比迁移】 和中，，，，连接，，过点作交的延长线于点，与交于点，求值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $