第04讲 平面向量数量积运算﹑数量积的坐标表示讲义（知识解读+题型归纳+随堂测试）-2025-2026学年高一数学《知识解读•题型专练》（人教A版）

本讲义聚焦平面向量数量积运算及坐标表示核心知识点，系统梳理向量垂直与平行的坐标条件、数量积坐标运算公式，以及向量在平面几何和物理中的应用，构建从基础概念到实际应用的递进式学习支架。 资料通过典例与变式分层设计题型，结合易错点剖析培养数学思维，融入航海测量等生活实例体现数学眼光，助力教师课堂高效教学，也便于学生课后查漏补缺，提升用数学语言解决实际问题的能力。

第04讲 平面向量数量积运算﹑数量积的坐标表示 知识点一 平面向量的垂直与平行 知识点二 平面向量数量积的坐标运算 知识点三 向量在平面几何中的应用 知识点四 平面向量在物理中的应用 知识点一 平面向量的垂直与平行 1．平面向量共线的坐标表示 设＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，其中≠0，当且仅当x1y2＝x2y1时，∥． 两个向量共线条件的三种表示方法 已知＝(x1，y1)，＝(x2，y2)． (1)当≠0时，a＝λ（λ为实数）． 这是几何运算，体现了向量与的长度及方向之间的关系． (2)x1y2－x2y1＝0． 这是代数运算，用它解决向量共线问题的优点在于不需要引入参数“λ”，从而减少未知数的个数，而且使问题的解决具有代数化的特点和，程序化的特征． (3)当x2y2≠0时，＝． 即两向量的相应坐标成比例，通过这种形式较易记忆向量共线的坐标表示，而且不易出现搭配错误． 2．平面向量的数量积与向量垂直的坐标表示 设非零向量＝(x1，y1)，＝(x2，y2). 数量积 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即·＝x1x2＋y1y2 两个向量垂直 ⊥⇔x1x2＋y1y2＝0 注意：1.公式·＝||||cos<，>与·＝x1x2＋y1y2都是用来求两向量的数量积的，没有本质区别，只是书写形式上的差异，两者可以相互推导．若题目中给出的是两向量的模与夹角，则可直接利用公式·＝|||b|cos<，>求解；若已知两向量的坐标，则可选用公式·＝x1x2＋y1y2求解． 2．已知非零向量＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，则∥与⊥的坐标表示如下： ∥⇔x1y2＝x2y1，即x1y2－x2y1＝0； ⊥⇔x1x2＝－y1y2，即x1x2＋y1y2＝0． 分别简记为：纵横交错积相等，横横纵纵积相反． 【题型1 坐标判断向量共线问题】 【典例1】下列各组向量中，能作为基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由基底的概念逐项判断即可； 【详解】要使平面中两个向量作为基底，必须满足是非零向量，且不共线，即不存在倍数关系，故A错误； 对于B，由，B错误； 对于D，由，D错误； 对于C，两向量不存在倍数关系，所以C正确. 故选：C. 【变式1】下列向量中，与向量共线的一个单位向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由共线向量的坐标关系逐个判断即可； 【详解】对于A：，不共线； 对于B：，共线且为单位向量； 对于C：，不共线； 对于D：，不共线， 故选：B 【变式2】下列各组向量中，可以作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】AB 【分析】根据共线向量的坐标公式：来进行检验并可作出共线判断，再根据基底一定是不共线向量可以作出选择. 【详解】由于，所以与不共线，故A正确； 由于，所以与不共线，故B正确； 由于，所以与共线，故C错误； 由于，所以与共线，故D错误； 故选：AB. 【变式3】已知向量，则（   ） A．A、B、C三点共线     B．A、B、D三点共线 C．A、C、D三点共线 D．B、C、D三点共线 【答案】B 【分析】先利用向量坐标运算得到相应的向量，再计算向量共线所满足的关系式，看是否为0，得到结论. 【详解】A选项，由于，故不共线， 所以A、B、C三点不共线，A错误； B选项，， 由于，故共线，A、B、D三点共线，B正确； C选项，， 由于，故不共线，A、C、D三点不共线，C错误； D选项，，故不共线，B、C、D三点不共线，D错误. 故选：B 【题型2 由向量共线求参数】 【典例2】已知向量，，若，则实数的值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据平行的坐标关系计算求解. 【详解】， 故选：B. 【变式1】向量，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】结合向量平行的坐标表示，根据“”与“”的相互推出情况判断出属于何种条件即可. 【详解】先讨论充分性，当时，，，此时，，，充分性成立； 再讨论必要性，当时，，即， ，解得或，必要性不成立. 综上，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 【变式2】设向量，若，则（   ） A．2 B．1 C． D．0 【答案】C 【分析】根据共线向量的坐标表示，列出方程，即可求解. 【详解】因为向量， 由，可得，解得. 故选：C. 【变式3】已知向量，且，则 （    ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】根据向量平行的坐标表示进行求解即可. 【详解】由已知，向量， 因为，所以，解得， 故选：C. 【题型3 向量垂直的坐标表示】 【典例3】已知向量 (1)设，若，求实数的值； (2)若与共线，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量垂直的坐标表示可得答案； （2）利用共线向量定理可得答案. 【详解】（1）， . 又， ， 即. （2）与共线，且与不共线， 存在，使得， ， 故，从而. 【变式1】已知平面向量，，若，则 ． 【答案】 【分析】由向量垂直求得，由模的坐标运算公式求解即可. 【详解】已知平面向量，，若，则,解得， 所以. 故答案为：. 【变式2】已知向量，． (1)若，求的值； (2)若向量，夹角为锐角，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）应用向量线性运算坐标表示可得，根据向量垂直的坐标表示即可求参数值； （2）由题设有，注意排除，同向共线时对应x值即可. 【详解】（1）由题设，，又， 所以，即， 可得. （2）由题设，，即， 当，同向共线时，有且，此时，可得，不满足，夹角为锐角， 综上，或. 【变式3】已知平面向量. (1)若，求实数的值； (2)若与的夹角为，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量的坐标运算，由数量积为0即可求解， （2）根据夹角公式即可求解. 【详解】（1）由可得， 由得，解得 （2），故， 解得 知识点二 平面向量数量积的坐标运算 设向量＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，则·＝x1x2＋y1y2 【题型4 平面向量数量积运算的坐标表示】 【典例4】已知向量，，，则m的值为（   ） A．0 B．-2 C．0或-2 D．0或2 【答案】D 【分析】直接利用向量的坐标运算和向量的模，求出结果 【详解】向量，，故， 所以，解得或2． 故选：D． 【变式1】已知点，点在所在平面内，且满足，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据向量的坐标运算及向量相等的充要条件得到方程，求出的坐标，再根据投影向量的定义计算可得. 【详解】设，又， 则，，， 因为，所以， 即，解得， 所以，则，， 所以，， 所以在上的投影向量为. 故选：D 【变式2】（多选题)已知向量，，下列说法正确的是（ ） A． B． C．与向量平行的单位向量仅有 D．向量与向量的夹角为 【答案】ABD 【分析】对于A，计算数量积是否为零，即可得；对B，借助模长公式计算即可得；对C，与向量平行的单位向量有、；对D，夹角公式计算即可得. 【详解】对于A，，，所以，故A正确； 对于B，，所以，故B正确； 对于C，，则有、， 即与向量平行的单位向量有、，故C错误； 对于D，，所以向量与向量的夹角为，故D正确． 故选：ABD 【变式3】已知向量． (1)求的坐标； (2)求与夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量加减运算、数乘运算的坐标表示计算可得结果； （2）利用向量夹角的坐标表示直接代入计算可得结果. 【详解】（1）由可得，； ； 因此. （2）由（1）可知， 所以， 因此与夹角的余弦值为. 知识点三 向量在平面几何中的应用 1.用向量法解决平面几何问题的两种方法 (1)几何法：选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角)，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算． (2)坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算． 【题型5 向量在平面几何中的应用问题】 【典例5】两座灯塔和与海洋观察站的距离分别为，，灯塔在观察站的北偏东方向上，灯塔在观察站的南偏东方向上，则灯塔与的距离为 km. 【答案】7 【分析】首先画出方位图，得到，再利用余弦定理求解即可 【详解】如图所示：由题意可得，且，， 所以由余弦定理可得，即. 故答案为：. 【变式1】3月31日，2025年“广西三月三八桂嘉年华”开幕式暨全国“四季村歌”活动在南宁民歌湖举行，主舞台设在南宁民歌湖边.小明在湖对岸，现想测量与主舞台的距离，如右图所示，A（小明），B（主舞台）两点在湖的两岸，通过确定与A同侧的湖岸边一点C，测出A，C的距离为100m，，，计算出A，B两点的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正弦定理列式计算得解. 【详解】在中，，则，而， 由正弦定理得. 故选：A 【变式2】如图，圭表是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，太阳光与圭面成角也就是太阳高度角．圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，投影点为冬至线．日影长度最短的那一天定为夏至，投影点为夏至线．已知景德镇冬至正午太阳高度角为，夏至正午太阳高度角为，表高42厘米，圭面上冬至线与夏至线之间的距离为50厘米，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理可求的值. 【详解】 如图，，，∴． 又，∴，根据勾股定理． 在中，根据正弦定理可知， 即，解得， 故选：C． 【变式3】一艘轮船从处出发，以海里/小时的速度沿西偏南的方向直线航行，分钟后到达处.在处有一座灯塔，轮船在处观察灯塔，其方向是东偏南，在处观察灯塔，其方向是北偏东，则，两点间的距离为（    ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 【答案】A 【分析】依题意，作出图形，求出相关边长和角，利用正弦定理求解即得. 【详解】 如图，由题意知 , 由正弦定理，， 则 . 故选：A. 知识点四 平面向量在物理中的应用 (1)求力向量、速度向量常用的方法：一般是向量几何化，借助于向量求和的平行四边形法则求解． (2)用向量方法解决物理问题的步骤： ①把物理问题中的相关量用向量表示； ②转化为向量问题的模型，通过向量运算使问题解决； ③结果还原为物理问题． 【题型6 向量在物理中的应用问题】 【典例6】（多选题）在日常生活中，向量无处不在，如图所示的情境，两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为.给出以下结论，其中正确的是（   ）    A．越大越费力，越小越省力 B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】AD 【分析】根据为定值，求出，再对题目中的命题分析、判断正误即可. 【详解】对于A，由为定值， 所以， 解得； 由题意知时，单调递减，且为定值，由符合函数的单调性可得单调递增， 即越大越费力，越小越省力，故A正确； 对于B，当时，，故B错误 对于C，当时，，所以，故C错误； 对于D，当时，，所以，故D正确. 故选：AD. 【变式1】已知三个力，，同时作用于某质点上，若对该质点再施加一个力，该质点恰好达到平衡状态（合力为零），则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用向量加法求出合力，然后利用相反向量求出即可. 【详解】由题意，作用在该质点上的三个力，，， 则． 想要该质点恰好达到平衡状态，只需． 故选：C. 【变式2】冰球运动是以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的一种相互对抗的集体性竞技运动.同学小张在冰球训练的过程中，以力作用于冰球，使冰球从点移动到点，则力对冰球所做的功为（ ） A． B． C．17 D．10 【答案】C 【分析】借助功的定义计算即可得. 【详解】因为，，所以，又， 故力对冰球所做的功为. 故选：C. 【变式3】一条东西方向的河流两岸平行，河宽800m，水流的速度为向东.河南岸有一码头A，码头A正对面有一货站B（AB与河的方向垂直），B的正西方向且与B相距600m另有货站C，已知一货船匀速航行，当货船自码头A航行到货站C航程最短时，合速度为. (1)求货船航行速度的大小； (2)若货船从A出发垂直到达正对岸的货站B处，求货船到达B处所需时间. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立坐标系，利用向量的运算与分解，利用坐标法计算向量的长度，进而求得；（2）货船要垂直到达正对岸B，需使合速度的东向分量为0，进而计算求解. 【详解】（1）以为坐标原点，以东向方向为轴，以垂直对岸的方向为轴建立直角坐标系如图所示. 货船从码头航行到货站的最短路径要求合速度方向由指向. 设货船在静水中的速度为 ，水流速度为4 km/h向东，即, 合速度为水流速度与船速的矢量和： 由题意，合速度方向与向量同向，且大小为. 设合速度为，则： 因此，合速度为 . 联立方程： 货船速度大小为：    （2）货船要垂直到达正对岸，需使合速度的东向分量为0. 设船速为，则： 由（1）知船速大小为 ，故： 合速度的北向分量为 ，河宽，所需时间为： 易错一 向量夹角的范围求坐标的范围 【典例7】已知，，若与的夹角为钝角，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量数量积的坐标表示与共线的坐标表示计算即可求得的取值范围. 【详解】因为，，所以， 的夹角为钝角； ，且不平行； ； 解得，且； 的取值范围为：． 故选：B． 【变式1】若向量，与的夹角为钝角，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由向量的夹角为钝角以及向量的数量积公式，可得且不共线，由此建立关于的不等式组，解之即可得到本题的答案. 【详解】由题意，向量,与的夹角为钝角, ∴，与不共线即， ∴且, ∴实数的取值范围是. 故选：C. 【变式2】在中，向量，，若为锐角，则实数x的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意且与不共线，然后利用数量积的坐标运算及共线的向量坐标运算列不等式求解即可. 【详解】因为为锐角，则且与不共线． 由得，， 则，解得． 若与共线，则，即， 解得或，所以且，即x的取值范围是． 故选：A 易错二 根据向量共线，垂直问题中集合中元素的互异性 【典例8】已知. (1)若，求； (2)若三点共线，求. 【答案】(1)或， (2) 【分析】（1）根据向量垂直的坐标表示，列出方程，求出参数的值. （2）根据向量共线列出方程，求出参数的值. 【详解】（1），， 若，则，即，化简得， 解得或，经检验，均满足要求. （2）若共线，故共线， 又，， 故，解得经检验，均满足要求，. 【变式】在平面直角坐标系中，已知点，，. (1)求向量的坐标； (2)若，求的值； (3)若，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据已知点得出向量坐标； （2）根据向量平行坐标表示计算求参； （3）根据向量垂直坐标表示计算求参； 【详解】（1）因为点，，，所以向量； （2）若，且， 所以，所以； （3）若，且， 所以，所以； 1．已知为不共线向量，，则（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【答案】A 【分析】由已知得，依次判断各项对应点所得向量是否共线，即可判断. 【详解】由题设， ，，，与有公共端点，所以三点共线，A对； ，，不存在，使， 所以与不共线，即三点不共线，B错； ，，不存在，使， 所以与不共线，即三点不共线，C错； ，，不存在，使， 所以与不共线，即三点不共线，D错； 故选：A 2.已知点，，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平面向量的坐标运算即可求解. 【详解】设，则，. 因为，所以，解得， 所以点的坐标为. 故选：B. 3．已知两点，点在轴上，若三点共线，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量共线，结合向量的坐标运算，即可求解. 【详解】设，由可得， 因为，所以，解得，故点的坐标为. 故选：D 4．若向量，且向量在向量上的投影向量为，则（   ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】由投影向量的公式可知，结合条件可得. 【详解】由题意可知，，则， 因为，所以，则. 故选：C 5．（多选题）已知P是边长为1的正六边形内一点（含边界），且，则下列正确的是（    ） A．的面积为定值 B．使得 C．的取值范围是 D．的取值范围是 【答案】AC 【分析】对A，根据可得，从而确定在正六边形的对角线上运动，进而根据到的距离为定值判断即可；对B，根据正六边形的对称性判断即可；对C，根据正六边形的对称性分析最值即可；对D，根据当时，有最小值判断即可. 【详解】对A，由可得， 即，可得， 因此，在正六边形的对角线上运动， 所以到的距离为定值，所以的面积为定值，故A正确； 对B，因为正六边形关于对角线对称，故，故B错误； 对C，根据图形的对称性，当为中点时，取得最大值， 当与重合时取得最小值，即的取值范围是，故C正确； 对D，因为正六边形边长为1，所以平行线的距离， 又当时，有最小值，故D错误. 故选：AC. 6．已知向量，，若//，则k＝ ． 【答案】 【分析】先分别计算向量和的坐标，再根据向量平行的坐标关系列出方程，解方程求出k的值. 【详解】由题得，，， 因为//， 所以，解得， 故答案为：． 7．已知向量，则 . 【答案】 【分析】由平面向量的坐标运算代入计算，即可得到结果. 【详解】因为， 所以. 故答案为： 故答案为：. 8．已知，，则在方向上的数量投影为 ． 【答案】 【分析】由数量投影计算公式可得答案. 【详解】在方向上的数量投影为：． 故答案为： 9．若物体在共点力，的作用下产生位移，则合力对物体所做的功为 . 【答案】13 【分析】先求出合力，再根据向量数量积的坐标表示及功的计算式计算即可. 【详解】已知共点力， 则合力为， 又已知位移为， 所以合力对物体所做的功. 故答案为：13 10．如图，一滑轮组中有两个定滑轮A，B，在从连接点O出发的三根绳的端点处挂着三个重物，它们所受的重力分别为4N，4N，7N，此时整个系统处于平衡状态，则 . 【答案】 【分析】根据给定条件，可得，再利用数量积的运算律及夹角公式计算得解. 【详解】依题意，，则， 即，解得， 所以. 故答案为： 11．在平面直角坐标系中，已知向量．若，且和的夹角为锐角，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先求出特定情况下向量的坐标，再根据向量夹角为锐角的条件列出不等式组求解. 【详解】因为，所以，所以，． 因为和的夹角为锐角， 所以且与不共线， 则，解得, 又，即，所以的取值范围是. 故答案为：. 12．已知向量. (1)求与; (2)求与的夹角的余弦值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据数量积的坐标公式及模的坐标公式计算即可； （2）根据向量夹角的坐标公式计算即可. 【详解】（1）由，得， 而，则； （2）， 即与的夹角的余弦值为. 13．已知向量，求： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)2 (2) (3)2 【分析】（1）直接由数量积的坐标运算公式计算即可求解； （2）根据向量线性运算和模的坐标计算公式求解即可； （3）根据向量线性运算和数量积的坐标计算公式求解即可. 【详解】（1）因为，所以； （2）因为，所以； （3）因为，所以， 所以. 14．已知向量，，，，，． (1)求向量，夹角的余弦值； (2)求实数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量夹角的坐标运算公式求解即可； （2）由题意可得，利用向量数量积的坐标运算求解即可. 【详解】（1）因为，，所以， ，， 所以； （2）因为，所以，所以， 又，，，所以，解得. 15．在中，，，，分别为边、上的点，且，. (1)用向量方法求证：； (2)求. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）要证，只需证. （2）由向量数量积的变形公式即可求得答案. 【详解】（1）因为，所以， 又因为，所以， 因为，，所以， 所以， 即，所以. （2）由题意， ， 由勾股定理可得， 所以. 16．一艘船从码头A出发，计划向正北方向直线航行到对岸的B点，AB距离为100公里.船在静水中的航速为50公里/小时，但河流以25公里/小时的速度持续向东流动. (1)若船头始终指向正北方向，求船到达对岸时实际停靠点与B点的偏离距离； (2)若船需要准确到达正北方向的B点，求船头应调整的方向（即船头方向与正北方向的夹角），以及到达B点所需时间. 【答案】(1)50公里； (2)，小时. 【分析】（1）求出船的实际航行方向与正北方向的夹角正切即可求得答案. （2）利用船实际航行速度与水流速度垂直，结合向量数量积求出夹角及航行时间. 【详解】（1）设船在静水中的速度为，水流速度为，船实际航行速度为，则， 由船头始终指向正北方向，得，而，向量的夹角为， 于是， 所以船到达对岸时实际停靠点与B点的偏离距离为（公里）. （2）由（1）知，，，， 由船需要准确到达正北方向的B点，得， 则，解得， 而，于是，， ，， 所以船头应调整的方向，到达B点所需时间为小时. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 平面向量数量积运算﹑数量积的坐标表示 知识点一 平面向量的垂直与平行 知识点二 平面向量数量积的坐标运算 知识点三 向量在平面几何中的应用 知识点四 平面向量在物理中的应用 知识点一 平面向量的垂直与平行 1．平面向量共线的坐标表示 设＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，其中≠0，当且仅当x1y2＝x2y1时，∥． 两个向量共线条件的三种表示方法 已知＝(x1，y1)，＝(x2，y2)． (1)当≠0时，a＝λ（λ为实数）． 这是几何运算，体现了向量与的长度及方向之间的关系． (2)x1y2－x2y1＝0． 这是代数运算，用它解决向量共线问题的优点在于不需要引入参数“λ”，从而减少未知数的个数，而且使问题的解决具有代数化的特点和，程序化的特征． (3)当x2y2≠0时，＝． 即两向量的相应坐标成比例，通过这种形式较易记忆向量共线的坐标表示，而且不易出现搭配错误． 2．平面向量的数量积与向量垂直的坐标表示 设非零向量＝(x1，y1)，＝(x2，y2). 数量积 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即·＝x1x2＋y1y2 两个向量垂直 ⊥⇔x1x2＋y1y2＝0 注意：1.公式·＝||||cos<，>与·＝x1x2＋y1y2都是用来求两向量的数量积的，没有本质区别，只是书写形式上的差异，两者可以相互推导．若题目中给出的是两向量的模与夹角，则可直接利用公式·＝|||b|cos<，>求解；若已知两向量的坐标，则可选用公式·＝x1x2＋y1y2求解． 2．已知非零向量＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，则∥与⊥的坐标表示如下： ∥⇔x1y2＝x2y1，即x1y2－x2y1＝0； ⊥⇔x1x2＝－y1y2，即x1x2＋y1y2＝0． 分别简记为：纵横交错积相等，横横纵纵积相反． 【题型1 坐标判断向量共线问题】 【典例1】下列各组向量中，能作为基底的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】下列向量中，与向量共线的一个单位向量是（    ） A． B． C． D． 【变式2】下列各组向量中，可以作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式3】已知向量，则（   ） A．A、B、C三点共线     B．A、B、D三点共线 C．A、C、D三点共线 D．B、C、D三点共线 【题型2 由向量共线求参数】 【典例2】已知向量，，若，则实数的值为（   ） A． B． C． D．1 【变式1】向量，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2】设向量，若，则（   ） A．2 B．1 C． D．0 【变式3】已知向量，且，则 （    ） A． B．1 C． D．2 【题型3 向量垂直的坐标表示】 【典例3】已知向量 (1)设，若，求实数的值； (2)若与共线，求实数的值. 【变式1】已知平面向量，，若，则 ． 【变式2】已知向量，． (1)若，求的值； (2)若向量，夹角为锐角，求的取值范围． 【变式3】已知平面向量. (1)若，求实数的值； (2)若与的夹角为，求实数的值. 知识点二 平面向量数量积的坐标运算 设向量＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，则·＝x1x2＋y1y2 【题型4 平面向量数量积运算的坐标表示】 【典例4】已知向量，，，则m的值为（   ） A．0 B．-2 C．0或-2 D．0或2 【变式1】已知点，点在所在平面内，且满足，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（多选题)已知向量，，下列说法正确的是（ ） A． B． C．与向量平行的单位向量仅有 D．向量与向量的夹角为 【变式3】已知向量． (1)求的坐标； (2)求与夹角的余弦值． 知识点三 向量在平面几何中的应用 1.用向量法解决平面几何问题的两种方法 (1)几何法：选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角)，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算． (2)坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算． 【题型5 向量在平面几何中的应用问题】 【典例5】两座灯塔和与海洋观察站的距离分别为，，灯塔在观察站的北偏东方向上，灯塔在观察站的南偏东方向上，则灯塔与的距离为 km. 【变式1】3月31日，2025年“广西三月三八桂嘉年华”开幕式暨全国“四季村歌”活动在南宁民歌湖举行，主舞台设在南宁民歌湖边.小明在湖对岸，现想测量与主舞台的距离，如右图所示，A（小明），B（主舞台）两点在湖的两岸，通过确定与A同侧的湖岸边一点C，测出A，C的距离为100m，，，计算出A，B两点的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，圭表是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，太阳光与圭面成角也就是太阳高度角．圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，投影点为冬至线．日影长度最短的那一天定为夏至，投影点为夏至线．已知景德镇冬至正午太阳高度角为，夏至正午太阳高度角为，表高42厘米，圭面上冬至线与夏至线之间的距离为50厘米，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式3】一艘轮船从处出发，以海里/小时的速度沿西偏南的方向直线航行，分钟后到达处.在处有一座灯塔，轮船在处观察灯塔，其方向是东偏南，在处观察灯塔，其方向是北偏东，则，两点间的距离为（    ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 知识点四 平面向量在物理中的应用 (1)求力向量、速度向量常用的方法：一般是向量几何化，借助于向量求和的平行四边形法则求解． (2)用向量方法解决物理问题的步骤： ①把物理问题中的相关量用向量表示； ②转化为向量问题的模型，通过向量运算使问题解决； ③结果还原为物理问题． 【题型6 向量在物理中的应用问题】 【典例6】（多选题）在日常生活中，向量无处不在，如图所示的情境，两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为.给出以下结论，其中正确的是（   ）    A．越大越费力，越小越省力 B．当时， C．当时， D．当时， 【变式1】已知三个力，，同时作用于某质点上，若对该质点再施加一个力，该质点恰好达到平衡状态（合力为零），则（   ） A． B． C． D． 【变式2】冰球运动是以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的一种相互对抗的集体性竞技运动.同学小张在冰球训练的过程中，以力作用于冰球，使冰球从点移动到点，则力对冰球所做的功为（ ） A． B． C．17 D．10 【变式3】一条东西方向的河流两岸平行，河宽800m，水流的速度为向东.河南岸有一码头A，码头A正对面有一货站B（AB与河的方向垂直），B的正西方向且与B相距600m另有货站C，已知一货船匀速航行，当货船自码头A航行到货站C航程最短时，合速度为. (1)求货船航行速度的大小； (2)若货船从A出发垂直到达正对岸的货站B处，求货船到达B处所需时间. 易错一 向量夹角的范围求坐标的范围 【典例7】已知，，若与的夹角为钝角，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式1】若向量，与的夹角为钝角，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】在中，向量，，若为锐角，则实数x的取值范围为（   ） A． B． C． D． 易错二 根据向量共线，垂直问题中集合中元素的互异性 【典例8】已知. (1)若，求； (2)若三点共线，求. 【变式】在平面直角坐标系中，已知点，，. (1)求向量的坐标； (2)若，求的值； (3)若，求的值. 1．已知为不共线向量，，则（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 2.已知点，，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．已知两点，点在轴上，若三点共线，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 4．若向量，且向量在向量上的投影向量为，则（   ） A． B．1 C．2 D．4 5．（多选题）已知P是边长为1的正六边形内一点（含边界），且，则下列正确的是（    ） A．的面积为定值 B．使得 C．的取值范围是 D．的取值范围是 6．已知向量，，若//，则k＝ ． 7．已知向量，则 . 8．已知，，则在方向上的数量投影为 ． 9．若物体在共点力，的作用下产生位移，则合力对物体所做的功为 . 10．如图，一滑轮组中有两个定滑轮A，B，在从连接点O出发的三根绳的端点处挂着三个重物，它们所受的重力分别为4N，4N，7N，此时整个系统处于平衡状态，则 . 11．在平面直角坐标系中，已知向量．若，且和的夹角为锐角，则实数的取值范围为 ． 12．已知向量. (1)求与; (2)求与的夹角的余弦值. 13．已知向量，求： (1)； (2)； (3)． 14．已知向量，，，，，． (1)求向量，夹角的余弦值； (2)求实数的值． 15．在中，，，，分别为边、上的点，且，. (1)用向量方法求证：； (2)求. 16．一艘船从码头A出发，计划向正北方向直线航行到对岸的B点，AB距离为100公里.船在静水中的航速为50公里/小时，但河流以25公里/小时的速度持续向东流动. (1)若船头始终指向正北方向，求船到达对岸时实际停靠点与B点的偏离距离； (2)若船需要准确到达正北方向的B点，求船头应调整的方向（即船头方向与正北方向的夹角），以及到达B点所需时间. 1 学科网（北京）股份有限公司 $