4.1 (第1课时) 数列的概念及通项公式课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

人教A版2019选择性必修第二册 第四章 数列 4.1 数列的概念 学习目标 学科素养 1.通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念和表示方法（列表法、图象法、通项公式法）.(重点) 2.了解数列是一种特殊的函数.(难点) 3.能根据数列的通项公式，写出数列的任意项，或根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式.(难点) 数学抽象 数学运算 逻辑推理 4.1 (第1课时)数列的概念及通向公式 新课导入 对数列的研究源于现实生产、生活的需要. 人们常用这样的一列数有序地表达一类事物，或者记录一个过程. 例如：一棵树在某一时刻的高度是2m，如果在每年同一时刻都记录下这棵树的高度，并按先后顺序排列起来，就得到一列数 .通过对记录下来的这列数分析，可以研究树的生长规律. 按照确定的顺序排列的一列数称为数列. 本章我们将学习数列的概念和表示方法，并研究两类特殊的数列—等差数列和等比数列，探索它们的取值规律，建立它们的通项公式、 前n项和公式，并应用它们解决一些问题. 我们将把数列看成一类特殊的函数，并用函数的思想方法研究数列. 探究新知 在现实生活和数学学习中, 我们经常需要根据问题的意义, 通过对一些数据按特定顺序排列的方法来刻画研究对象. 例如： 实例1：王芳从1岁到17岁每年的身高依次排成一列数： 75， 87， 96， 103，110，116，120，128，138， 145，153，158，160，162，163，165，168． ① 第三岁 第一岁 第二岁 ....... 追问1：这列数中的第3、第8个数的实际意义是什么？ 追问2：这列数中的数据能否交换位置？具有确定顺序吗？ 追问3：能否用与顺序相关的符号来表示这列数？ 不能交换位置！具有确定顺序！ 记王芳第i岁时的身高为hi，则h175，h287,h396，…，h17168. hi中的i反映了身高按岁数从1到17的顺序排列时的确定位置. 所以, ①是具有确定顺序的一列数. 第八岁 探究新知 实例2 在两河流域发掘的一块泥版（编号K90，约产生于公元前7世纪）上，有一列依次表示一个月中从第1天到第15天每天月亮可见部分的数： 5，10， 20，40，80，96，112，128，144，160，176，192，208，224，240. ② 注：把满月分成240份，则从初一到十五每天月亮的可见部分可用一个代表份数的数来表示. 追问1：这列数中的数据能否交换位置？具有确定顺序吗？ 追问2：能否用与顺序相关的符号来表示这列数？ 不能交换位置！具有确定顺序！ 记第i天月亮可见部分的数为si，则s1＝5，s2＝10，s3＝20，…，s15＝240. 所以, ②是具有确定顺序的一列数. si中的i反映了月亮可见部分的数按日期从1到15的顺序排列时的确定位置. 1 2 4 5 6 7 8 3 10 11 14 12 13 15 9 探究新知 实例3 将的n次幂按1次幂、2次幂、3次幂、4次幂……依次排成一列数. 追问2：你能仿照前两个实例的叙述，说明③也是具有确定的顺序的一列数吗？ 追问1：这列数是什么呢？请你列出来. ③ 所以,③是具有确定顺序的一列数. ai中的i反映了的次幂从小到大的顺序排列时的确定位置. 探究新知 ① 75，87，96，103，110，116，120，128，138，145，153， 158，160，162，163，165，168. ② 5，10，20，40，80，96，112，128，144，160，176，192， 208，224，240. 问题：上述例子的共同特征是什么？ ③ 一列数 顺序 把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项. 探究新知 首项 第2项 第n项 数列的一般形式是a1，a2，a3，…，an，… (n∈N*). 简记作{an} . 注: 右下角标表示这一项在数列中的位置序号 思考1：{an}与an的意思一样吗？ {an}表示一个数列：a1，a2，a3，…，an，…. ； an 表示数列{an}中的第n项. 定义： 探究新知 思考2：1，3，5，7是一个数列，7，5，3，1也是一个数列，这两个数列是不是同一个数列？ 不是 思考3：数列与集合有什么区别？ 集合讲究：无序性、互异性、确定性， 数列讲究：有序性、可重复性、确定性. 探究新知 问题2：数列中的各项ai与各项序号i（i=1，2，3，...，n，...)间的对应关系是什么关系？ 由于数列{an}中的每一项an与它的序号n有下面的对应关系: 序号 项 数列本质上是特殊的函数. ①数列是以序号为自变量,以对应的项为函数值的函数,即 ②定义域为正整数集或它的有限子集 an=f(n) 数列是自变量为离散的数的函数. 正整数集 实数集 (或它的有限子集{1,2,…,n}) 探究新知 练习: 问题3:函数有列表法，图象法，解析式法三种表示方法，数列作为一种特殊的函数，也应当有这三种表示方法，你能利用不同的方法表示数列吗？ 实例1：的王芳身高可以表示为： 列表法： 解析式法： 探究新知 实例1：的王芳身高可以表示为： 列表法： 图象法： 以序号为横坐标，相应的项为纵坐标，数列的图象是由一些孤立的点构成的. 追问1：数列的图象有什么特点？ 追问2：从实例1的表和图中，你能发现数列随序号的变化呈现出什么特点吗？ 探究新知 数列的分类 与函数类似，我们可以定义数列的单调性： 递减数列：从第2项起,每一项都小于它的前一项的数列. 递增数列：从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列. 摆动数列:从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列. 常数列：各项相等的数列. 对任意n∈N*，总有an+1>an (或an+1-an>0). 对任意n∈N*，总有an+1<an (或an+1-an<0). 对任意n∈N*，总有an+1=an (或an+1-an=0). 如：2，4，6，8，10，… 如：2，3，2，5，2，7，… 如：1，，，，，… 如：1，1，1，1，… 按数列中项的个数进行分类 有穷数列：个数有限的的数列 无穷数列：个数无限的的数列 周期数列：项呈周期性变化. 探究新知 问题4：数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系?这一关系可否用一个公式表示? 数列的通项公式： 如果数列{an}的第 n 项an与与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的通项公式，简称通项. an=()n 追问2：数列5, 10, 20, 40, 80, 96, 112, 128, 144, 160, 176, 192, 208, 224, 240有通项公式吗？ 追问1：数列通项公式的作用是什么？ 通项公式就是数列的函数解析式，根据通项公式可以写出数列的各项. 并不是每个数列都能写出通项公式. 探究新知 例1.根据下列数列的通项公式，写出数列的前5项，并画出它们的图象. n 1 2 3 4 5 1 3 6 10 15 n 1 2 3 4 5 1 0 -1 0 1 探究新知 例2.根据下列数列的前4项或前5项，写出数列的一个通项公式. 常用(-1)n或(-1)n+1来表示各项正负相间的变化规律 一些数列的通项公式不是唯一的. 不是每一个数列都能写出它的通项公式. 如：1，24，8，3，19 探究新知 问题5：通过上述实例的研究，你觉得该如何求数列的通项公式？ 求数列通项公式的一般方法： ①由各项的特点，找出各项共同的构成规律。 ②通过观察、猜想归纳出数列中的项an与序号n之间的关系，写出一个满足条件的最简捷的公式。 (多选题)下列说法错误的是( @12@ ) A. 数列 ， ， ， 可表示为 B. 数列 ， ， ， 与数列 ， ， ， 是同一数列 C. 数列 ， ， ， ， 是递增数列 D. 数列 ， ， ， 与数列 ， ， ， ， 是同一数列 ABD [解析] A中说法错误，构成数列的数是有顺序的，而集合中的元素是无序的； B中说法错误，两个数列的数的排列顺序不相同，所以不是同一数列； D中说法错误，数列 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> 是有穷数列，而数列 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> 是无穷数列.故选ABD. 探究新知 题型一 数列的概念 例1 探究新知 根据下面数列的前4项，写出数列 <m></m> 的一个通项公式. （1） <m></m> , <m></m> , <m></m> , <m></m> , <m></m> ； [解析] 易知该数列的一个通项公式为 <m></m> . （2） <m></m> , <m></m> , <m></m> , <m></m> , <m></m> ； [解析] 正负号可用 <m></m> 调节，整数部分为奇数 <m></m> ，故该数列的一个通项公式为 <m></m> . 题型二 求数列的通项公式 例2 探究新知 （3） <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ； [解析] 数列中的项有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察： <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ，易知该数列的一个通项公式为 <m></m> . （4） <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> . [解析] 将原数列改写为 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ，故所求的数列的一个通项公式为 <m></m> . 根据下面数列的前4项，写出数列 <m></m> 的一个通项公式. 题型二 求数列的通项公式 例2 探究新知 要由数列的前几项写出数列的一个通项公式，只需观察分析数列中项的构成规律，看哪些部分不随序号的变化而变化，哪些部分随序号的变化而变化，确定变化部分随序号变化的规律，进而表示出 <m></m> . 方法总结 归纳数列通项公式的方法技巧 2.下列数列中，递增数列是________,递减数列是_______________, 常数列是________. （1） <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ； （2） <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ； （3） <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ； （4） <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ； （5） <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> . （2） （1）（4）（5） （3） 探究新知 例题1 题型二 数列的单调性的判断 探究新知 题型二 数列的单调性的判断 例题2 【解析】 探究新知 方法总结 数列单调性的判断方法 探究新知 题型二 数列的单调性的判断 变式训练 【解析】 探究新知 题型三 根据数列单调性求参数问题 例题2 【解析】 探究新知 【解析】 题型三 根据数列单调性求参数问题 例题2 探究新知 题型三 根据数列单调性求参数问题 探究新知 题型三 根据数列单调性求参数问题 变式训练 【解析】 变式训练 【解析】 题型三 根据数列单调性求参数问题 探究新知 课堂小结 1.数列的定义：把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项. 2.数列的表示：数列的一般形式是 a1，a2，a3，…，an，… (n∈N*). 简记作{an} . 3.数列的分类：①有穷数列，无穷数列； 3. 数列②递增数列，递减数列，常数列，摆动数列，周期数列. 4.数列的通项： an＝f(n) 作业布置 1.导学案:P1-P7. 2.课时作业（一） 1. 写出下列数列的前10项，并作出它们的图象: (1) 所有正整数的倒数按从大到小的顺序排列成的数列; (2) 当自变量x依次取1, 2, 3, ‧‧‧时，函数f(x) =2x +1的值构成的数列; 练习答案（教科书第5页练习） 练习答案（教科书第5页练习） 2. 根据数列{an }的通项公式填表: n 1 2 ‧‧‧ 5 ‧‧‧ ‧‧‧ ‧‧‧ n an ‧‧‧ ‧‧‧ 153 ‧‧‧ 273 ‧‧‧ 3(3+4n) 21 33 69 12 22 3. 除数函数y=d(n) (n∈N*)的函数值等于n的正因数的个数, 例如, d(1)=1, d(4)=3. 写出数列d(1), d(2) , ‧‧‧, d(n), ‧‧‧的前10项. 练习答案（教科书第5页练习） 4. 根据下列数列的前5项，写出数列的一个通项公式: 练习答案（教科书第9页练习第7题） 详解 练习答案（教科书第9页练习第7题） 详解 2的次幂按1次幂、2次幂、3次幂、4次幂……依次排成一列数： 2，4，8，16，……③ 已知函数，设数列的通项公式为，其中； (1)求证：；(2)判断是递增数列还是递减数列，并说明理由. （1）由题意可知， 又因为，所以，因此，即. （2）因为， 又因为，，所以，从而， 即，因此是递增数列. (1)利用数列所对应的函数的单调性确定数列的单调性（注意数列中只能取整数）. (2)结合数列单调性定义，从第2项起，观察每一项与它的前一项的大小关系， 作差或作商（作商需满足().）判断. 若满足，则是递增数列； 若满足，则是递减数列； 若满足，则是常数列. 已知数列的通项公式为，试判断数列的单调性. ， 当时，，即， 当时，，即， 当时，，即， 所以在时单调递增，在时单调递减； 已知数列满足，记，若数列为递增数列， 求的取值范围. 由题可得：， 则， 若数列为递增数列，则对 任意恒成立，可得， 已知数列满足，记，若数列为递增数列， 求的取值范围. 所以，即的取值范围为. 令，则 对任意恒成立，可知数列为递增数列，则， 反思感悟：利用数列单调性求参数的求解方法 （1）将对应数列转化为对一个函数，利用相应函数的单调性判断求解，需要注意 函数的自变量为； （2）根据数列单调性的定义，利用（）将问题转化为对任 意恒成立问题，进而结合恒成立问题求解. 已知数列的通项公式是，试求的取值范围， 使得数列为递增数列. 数列为递增数列，则有，即， 解得，由，则. 所以的取值范围为. 依题意，可得，即，解得． 已知实数，通项为的数列是 单调递增数列，求的取值范围． 7.已知函数，设数列的通项公式为. （1）求证. （2）是递增数列还是递减数列？为什么？ （1） 由题意得，因为为正整数， 所以，所以； 7.已知函数，设数列的通项公式为. （1）求证. （2）是递增数列还是递减数列？为什么？ （2）是递增数列， 证明：因为，所以， 所以，所以是递增数列. $