第05讲 角平分线与垂直平分线（知识解读+例题精讲+随堂检测）-2025-2026学年北师大版八年级数学下册《知识解读·题型专练》

第05讲 角平分线与垂直平分线 考点1：垂直平分线的性质定理 考点2：垂直平分线的判定定理 考点3：三角形的垂直平分线（外心） 考点4：角平分线的性质定理 考点5：角平分线的判定定理 重点： （1）垂直平分线性质与判定的应用 （2）角平分线性质与判定的应用 难点： （1）角平分线与垂直平分线的综合证明 （2）三角形内心与外心的辨析 知识点1：线段垂直平分线 1.定义 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线。 2.作图 （1）分别以点 A、B 为圆心，以大于AB 的长为半径作弧，两弧相交于 C、D 两点； （2）作直线 CD，CD 为所求直线 3.性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 4.判定定理 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 【题型1 利用垂直平分线的性质求解】 【典例1】如图，在中，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接．若的周长是，，则的周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握垂直平分线上的点到两端的距离相等． 先根据垂直平分线的性质得出，再根据的周长是，即可求解． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∵的周长是， ∴， ∴的周长=． 故选：A． 【变式1】如图，在中，为直角，是的垂直平分线，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，直角三角形两锐角互余，先求出的度数，再由线段垂直平分线的性质得到，最后根据等边对等角即可得到答案． 【详解】解：∵在中，为直角，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， 故选：B． 【变式2】如图，在中，，，的垂直平分线交于，交于，若，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，连接，根据三角形的内角和定理及等腰三角形的性质可求解，利用线段垂直平分线的性质和等边对等角可得，即可得，再利用含角的直角三角形的性质可求解的长． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【变式3】如图，中，的垂直平分线交边于点E，的垂直平分线交边于点F，若，则的周长为（   ） A．16 B．24 C．28 D．30 【答案】B 【详解】本题考查垂直平分线的性质，熟练掌握垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是关键．由垂直平分线的性质可得，，的周长可转化为的长度． 【解答】解：由垂直平分线的性质定理可得：，， ∴， ∴的周长为24． 故选：B． 【题型2 垂直平分线的判定】 【典例2】如图，，，点E是线段上任意一点，连接，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查线段垂直平分线的判定，熟练掌握线段垂直平分线的性质与判定是解题的关键． 连接，证得是线段的垂直平分线，根据垂直平分线的性质证得即可． 【详解】证明：连接， ，， 在线段的垂直平分线上，B在线段的垂直平分线上， 即是线段的垂直平分线， 在上， ． 【变式1】已知：如图，内部一点P在的垂直平分线上，且．求证：点P在的垂直平分线上． 【答案】见详解 【分析】本题考查垂直平分线的性质及判定，解题的关键是熟练掌握垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等及到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上．根据到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上即可得到答案； 【详解】证明：连接， ∵点P在的垂直平分线上， ∴， ∵， ∴， ∴点P在的垂直平分线上． 【变式2】筝形是指有一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形，利用此定义证明如下问题：如图，，．求证：四边形是筝形． 【答案】见解析 【分析】此题考查了垂直平分线的判定，等边对等角和等角对等边性质，解题的关键是掌握以上知识点． 如图所示，连接，由得到，然后得到，推出，进而得到垂直平分，即可证明四边形是筝形． 【详解】如图所示，连接 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴点A和点C都在的垂直平分线上 ∴垂直平分 ∴四边形是筝形． 【变式3】如图，在中，，，的角平分线，相交于点O． (1)求证：是等腰三角形； (2)连接，求证：垂直平分． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质与判定及线段垂直平分线的判定，熟练掌握等腰三角形的性质与判定及线段垂直平分线的判定是解题的关键； （1）由题意易得，，则有，然后问题可求证； （2）根据线段垂直平分线的判定定理可进行求证． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，的角平分线，相交于点O． ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）证明：如图， ∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分． 【题型3 尺规作图-垂线】 【典例3】如图，在中，，． (1)请用无刻度的直尺和圆规作线段的垂直平分线，分别交，于点D，E；（保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查了尺规作图，垂直平分线的性质，直角三角形的性质，掌握相关知识点正确作图是解题的关键． （1）分别以点A、B为圆心，大于长度为半径画圆弧，连接两交点，交，于点D，E，即可求解； （2）连接，根据垂直平分线的性质，可得，通过角度变换可得，，则，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，直线即为所作． （2）解：线段与的数量关系为； 证明，连接， ， ， 又， ， 点E在线段的垂直平分线上， ， ， ， 在中，， ， ． 【变式1】如图，已知直线及外一点P．求作：经过点P且垂直于的直线． 【答案】见解析 【分析】本题考查了作垂线(尺规作图) ，解题关键是掌握作垂线(尺规作图)． 以P为圆心大到P到的距离为半径作圆弧，交于两点，以这两点为圆心，同样长度为半径，在下方作圆弧，两圆弧交于点C，连线，，以此求解． 【详解】解：如图，，直线即为所求作． 【变式2】如图，在中，． (1)尺规作图：作边上的高（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，求和的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了作垂线，勾股定理，等面积法，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）直接利用过直线外一点作已知直线的垂线的作法即可解答； （2）先结合勾股定理算出的长，再运用等面积法，得，则，即可作答． 【详解】（1）解：如图，为所求； （2）解：∵，， ∴， ∴ 由（1）得， ∴， 则 ∴． 【变式3】如图，在中，． (1)尺规作图：作的垂直平分线交于点不写作法，保留作图痕迹； (2)在的条件下，若，求的度数． 【答案】(1)图见详解 (2) 【分析】本题考查了作图复杂作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了三角形内角和、线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质． 利用基本作图作的垂直平分线即可； 先根据线段垂直平分线的性质得到，由于，所以，再根据等腰三角形的性质得到，所以为等腰直角三角形，从而得到的度数． 【详解】（1）解：如图，点为所作； （2）解：的垂直平分线交于点， ， ， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， ． 知识点2：1 角的平分线的性质与判定 （一）作已知角的平分线 （已知：∠AOB，求作：∠AOB的平分线） 1、以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N。 2、分别以M,N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C。 3、画射线OC，射线OC即为所求。 （二）角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 几何表示：∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E。∴PD=PE。 （三）角的平分线的判定 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 几何表示： ∵点P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE， ∴点P在∠AOB的平分线OC上。 【题型4 利用角平分线的性质求解】 【典例4】如图，在中，，按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于的长为半径画弧，分别交，于点E，F；②分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点G；③作射线交边于点D．若，则点D到的距离是（    ） A．3 B．4 C．5 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了尺规作图、角平分线的性质，掌握角平分线的性质是解题的关键． 过点作于点，由作图可得平分，再根据角平分线的性质得到，即可得出答案． 【详解】解：如图，过点作于点， 由作图可得，平分， 又∵，， ∴， ∴点D到的距离是5． 故选：C． 【变式1】如图，在中，，，是的角平分线，于点，若，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握“角平分线上的点到角两边的距离相等”是解题的关键． 先利用角平分线的性质确定，再通过线段长度计算，进而得到的长． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的角平分线，（），， ∴， 故选：A． 【变式2】如图，在中，，平分交于点D，点E为的中点，若，，则的面积是（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【分析】本题考查角平分线的性质，作于点，根据角平分线的性质，得到，再利用三角形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：作于点， ∵平分交于点D，，即， ∴， ∵点E为的中点，， ∴， ∴； 故选C． 【变式3】如图，是的角平分线，，垂足为E，，，，则长为（ ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质，过点D作于点F，根据角平分线性质求出，根据三角形面积公式可求出的面积，即可求出的面积，即可求出答案． 【详解】解：过D作于F， 是的角平分线，，， ， ， 的面积为9， 的面积为， ， ， ， 故选：B． 【题型5 角平分线的判定】 【典例5】已知：垂足分别为D、E，且相交于点F．求证：平分． 【答案】见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据得，又因为，证明，结合到角的两边距离相等的点在角的平分线上，进行作答即可． 【详解】解：∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴平分． 【变式1】已知中，平分交于点E，平分交于点D，与交于点O，连接．求证：平分． 【答案】见解析 【分析】本题考查了角平分线的性质定理和判定定理． 过点O作于点N，于点M，于点K．则有和，即，即可得到点O在的平分线上． 【详解】证明：如图，过点O作于点N，于点M，于点K． ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴点O在的平分线上， ∴平分． 【变式2】如图，在中，，于点，，点在上，，求证：平分． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理，同角的补角相等，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 证明，可得，再由角平分线的判定定理即可求证． 【详解】证明：∵，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴平分． 【变式3】如图，的外角的平分线与内角的平分线交于点． (1)延长至点，求证：平分； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查的是角平分线的判定与性质及三角形外角性质，熟练掌握判定与性质是解题的关键． （1）过点P作于点F，于点N，于点M，根据角平分线的性质得出，，根据角平分线的判定得出平分； （2）设，根据角平分线定义得出，即可得出，求出，即可求出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：如图，过点P作于点F，于点N，于点M，如图所示： 又∵平分，平分， ∴，， ∴， 又∵，， ∴平分． （2）解：设，由（1）知，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【题型6 角平分线的实际应用】 【典例6】某市政府为促进旅游发展，准备在三条公路围成的三角形平地上修建一个度假村，如图所示．要使度假村到三条公路的距离相等，这个度假村应修建在（   ） A．三条高线的交点处 B．三条角平分线的交点处 C．三条中线的交点处 D．以上都不对 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质解答． 【详解】解：∵度假村在三条公路围成的平地上且到三条公路的距离相等， ∴度假村应该在三条角平分线的交点处． 故选：B． 【变式1】某学校内有三条主干道，分别连接教学楼A、实验楼B、图书馆C，形成了一个如图所示的三角形区域，学校计划在这个三角形区域内修建一个校园超市，要求校园超市到三条主干道的距离都相等，那么这个校园超市应建在的位置是（   ） A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线判定定理的应用．根据“到角两边的距离相等的点在角的平分线上”，即可获得答案．理解到角两边的距离相等的点在角的平分线上是解题的关键． 【详解】解：要求校园超市到三条主干道的距离都相等，那么这个校园超市应建在的位置是三条角平分线的交点． 故选：C． 【变式2】如图，直线，，表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（    ）． A．处 B．处 C．处 D．处 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，掌握其概念，作图分析是关键．根据角平分线上的点到角两边的距离相等，作图分析即可求解． 【详解】解：如图所示， 根据角平分线的性质定理“角平分线上的点到角两边的距离相等”得到点到三条公路的距离相等， ∴可供选择的地址有4个， 故选：D ． 【变式3】如图，的三边AC、BC、AB的长分别是8、12、16，点O是三条角平分线的交点，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点O作于点D，于点E，于点F，根据角平分线的性质定理可知．再由三角形的面积公式计算，作比即可． 【详解】如图，过点O作于点D，于点E，于点F， ∵点是三条角平分线的交点， ∴． ∵， ， ， ∴． 故选A． 【点睛】本题主要考查角平分线的性质定理．正确作出辅助线，由角平分线的性质定理得出是解题关键． 【题型7 尺规作图-角平分线】 【典例7】如图，两条公路与相交于点，在的内部有两个小区与，现要在的内部修建一个市场，使市场到两条公路的距离相等，且到两个小区的距离相等． (1)市场应修建在什么位置？（请用文字加以说明） (2)在图中标出点的位置（要求：用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并写出结论）． 【答案】(1)的角平分线和线段的垂直平分线的交点处 (2)见解析 【分析】本题考查了作图的应用与设计作图，正确掌握角平分线的性质以及线段垂直平分线的性质是解题的关键，直接利用角平分线的作法以及线段垂直平分线的作法即可得出答案． 【详解】（1）解：点应修建在的角平分线和线段的垂直平分线的交点处； （2）解：如图所示，点即为所求． 【变式1】如图，车站O位于两条公路的交汇处，在公路上还有一个车站C，现要在两条公路之间修一个中转站P，使它到两条公路的距离相等，且到两个车站的距离也相等．请你在图中作出点P的位置． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线和角平分线的实际应用，点P到两条公路的距离相等，则点P在的角平分线，点P到两个车站的距离相等，则点P在线段的垂直平分线上，据此作图即可． 【详解】解：如图所示，分别作线段的垂直平分线和的角平分线，二者的交点P即为所求． 【变式2】如图，中，． (1)用直尺和圆规在边上确定点P，使点P到的距离等于．（不写作法，保留作图痕迹） (2)若，，则（1）中线段的长为 ． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了角平分线的性质和作法． （1）由可知点到直线的距离即是，故点到、的距离相等，故点在的角平分线，画出的角平分线与交点即为所求作点， （2）作，由角平分线性质可知，再根据面积法即可求解． 【详解】（1）解：如图，作的平分线交于点P，即P点为所求； （2）作，垂足为E， 由（1）可知是的角平分线， 又∵， ∴， ∵，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 解得． 故答案为：3． 【变式3】如图，，请用无刻度的直尺和圆规作图（不写作法，保留作图痕迹）． (1)作出的角平分线． (2)在（1）的基础上，若是的平分线，且交于点，交于点，求证：点在的平分线上． 【答案】(1)图见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查作图－复杂作图，角平分线的性质和判定定理，解题的关键是熟练掌握五种基本作图． （1）根据尺规作角平分线的方法作图即可； （2）根据角平分线的性质得到，，等量代换得到，即可证明点在的平分线上． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求． （2）证明：如图，过点作于点，于点，于点M． 平分 ． 同理 ． 点O在的平分线上． 1．如图，已知平分，于点，于点，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查角平分线的性质，根据角平分线的性质定理，即可得出结果． 【详解】解：∵平分，于点，于点， ∴； 故选：A． 2．如图，在中，，通过尺规作图，得到直线，仔细观察作图痕迹，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查垂直平分线的性质，等边对等角，垂直的定义，先根据作图得出是的垂直平分线，得出，推出，再根据垂直的定义得出，求出，最后可得出答案． 【详解】解：根据作图可知，是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 3．如果三角形三条边的垂直平分线的交点落在三角形的边上，这个三角形一定是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】B 【分析】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记三种三角形三边垂直平分线的交点的位置是解题的关键．根据三种三角形三边垂直平分线上的交点的位置解答即可． 【详解】解：∵锐角三角形三边垂直平分线的交点在三角形的内部，钝角三角形三边垂直平分线的交点在三角形的外部，直角三角形三边垂直平分线的交点在三角形的斜边上， ∴该三角形是直角三角形． 故选：B． 4．如图，已知在中，，垂直平分边，交边于点D，交边于点E．若，，的周长为（   ） A．7 B．8 C．9 D．14 【答案】D 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等． 由线段垂直平分线的性质可得，然后根据“的周长”即可得解． 【详解】解：垂直平分边， ， 的周长 ， 故选：． 5．某校曾开展了“喜迎二十大，争做好少年”的数学知识应用能力竞赛活动，活动中小明同学用两把完全相同的直尺就作出一个角的平分线．如图，将一把直尺的边与射线重合，另一把直尺的边与射线重合，两把直尺的另一边在角的内部交于点，作射线，小明说：“射线就是的角平分线．”他这样做的依据是（  ） A．在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 B．角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 C．三角形的三条高交于一点 D．三角形三边的垂直平分线交于一点 【答案】A 【分析】本题考查的是角平分线的判定，如图，过点作于点，于点，再结合，从而可得结论． 【详解】解：如图，过点作于点，于点． 直尺的宽度相等， ， ，， 平分． 故选：A． 6．如图，平分交于点，于点，若，，，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，掌握角平分线的性质得到是解题的关键． 过点作于点，由角平分线的性质可得，根据三角形的面积计算方法，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点， ∵是的角平分线，， ∴， ∵， ∴， 故选：A ． 7．某考古队在一片古代遗址中发现了三处疑似重要文物埋藏点，，，为了更高效地开展勘探工作，考古队计划设置一个中央勘探站，要求该勘探站到这三个埋藏点的距离都相等，则勘探站应建在（    ） A．三条中线的交点处 B．三条高线的交点处 C．三个角的角平分线的交点处 D．三条边的垂直平分线的交点处 【答案】D 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质即可解答． 【详解】解：由题意可知：当该勘探站到这三个埋藏点A，B，C的距离都相等时，则该勘探站应建在的三条边的垂直平分线的交点处． 故选D． 8.如图，在中，，点为内一点，过点的直线分别交于点M，N，且点在的垂直平分线上，点沿折叠后与点重合，连接，则的度数为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握线段的垂直平分线的性质及利用等腰三角形的性质与三角形内角和定理找出各角之间的等量关系是解题的关键． 由，可得，根据线段垂直平分线的性质可得∶，，推出 ，再结合三角形的外角性质可得，最后根据，即可求解． 【详解】解:∵， ∴， ∵点A沿折叠后与点P重合，N在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∵， ， ∴ ∴ ． 故选B． 9．如图，在中，，平分，，，则点到的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，过点作于点，根据题意可得，由角平分线的性质可得，即可得解． 【详解】解：如图，过点作于点， ，， ， 平分，，， ， 即点到的距离为， 故答案为：． 10．如图，平分，于点，点在上，若，，则的面积为 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了角平分线的性质（角平分线上的点到角两边的距离相等 ）以及三角形面积公式（，为底，为高 ），熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．利用角平分线的性质，得出点到的距离等于的长，再根据三角形面积公式求解的面积． 【详解】解：过点作于点． 平分，，， （角平分线上的点到角两边的距离相等）． ， ． 又， ． 故答案为：． 11．如图，在中，边、的垂直平分线分别交于、．若的周长为15．则 ． 【答案】15 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的性质，熟练掌握该性质是解题的关键．根据线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，可得，，然后通过等量代换即可得到答案． 【详解】解：垂直平分，垂直平分 ， 的周长 故答案为：15． 12．如图，在中，． (1)用尺规作的平分线，交于点．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，若，，，求的长． 【答案】(1)图见解析 (2) 【分析】本题主要考查了作角平分线、以及角平分线的性质.解题的关键在于作出角平分线并利用其性质证明线段相等. （1）先以为圆心，小于长为半径画弧，交，于两点；再分别以这两点为圆心，大于这两点距离一半的长为半径画弧，两弧交于一点，最后过点及这一交点画射线交于； （2）过点作，垂足为，由角平分线的性质定理证明，再由等面积法列方程求解即可. 【详解】（1）解：以为圆心，小于长为半径画弧，交，于两点；再分别以这两点为圆心，大于这两点距离一半的长为半径画弧，两弧在内部交于一点，最后过点及这一交点画射线交于； 如图，即为所求． （2）解：如图，过点作于点． ∵，平分， ∴． ∵， ∴， 解得． 13．如图，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接． (1)尺规作图（保留作图痕迹）作出的垂直平分线，并标记D，E两点； (2)若，，的周长为19，求的长． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． （1）根据垂直平分线的尺规作图，作出线段即可； （2）根据线段垂直平分线的性质证得，，进而证得，，根据的周长求出的长即可． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：垂直平分， ，， ， ， ， ， ， 答：的长为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 角平分线与垂直平分线 考点1：垂直平分线的性质定理 考点2：垂直平分线的判定定理 考点3：三角形的垂直平分线（外心） 考点4：角平分线的性质定理 考点5：角平分线的判定定理 重点： （1）垂直平分线性质与判定的应用 （2）角平分线性质与判定的应用 难点： （1）角平分线与垂直平分线的综合证明 （2）三角形内心与外心的辨析 知识点1：线段垂直平分线 1.定义 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线。 2.作图 （1）分别以点 A、B 为圆心，以大于AB 的长为半径作弧，两弧相交于 C、D 两点； （2）作直线 CD，CD 为所求直线 3.性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 4.判定定理 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 【题型1 利用垂直平分线的性质求解】 【典例1】如图，在中，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接．若的周长是，，则的周长是（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，在中，为直角，是的垂直平分线，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在中，，，的垂直平分线交于，交于，若，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式3】如图，中，的垂直平分线交边于点E，的垂直平分线交边于点F，若，则的周长为（   ） A．16 B．24 C．28 D．30 【题型2 垂直平分线的判定】 【典例2】如图，，，点E是线段上任意一点，连接，．求证：． 【变式1】已知：如图，内部一点P在的垂直平分线上，且．求证：点P在的垂直平分线上． 【变式2】筝形是指有一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形，利用此定义证明如下问题：如图，，．求证：四边形是筝形． 【变式3】如图，在中，，，的角平分线，相交于点O． (1)求证：是等腰三角形； (2)连接，求证：垂直平分． 【题型3 尺规作图-垂线】 【典例3】如图，在中，，． (1)请用无刻度的直尺和圆规作线段的垂直平分线，分别交，于点D，E；（保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【变式1】如图，已知直线及外一点P．求作：经过点P且垂直于的直线． 【变式2】如图，在中，． (1)尺规作图：作边上的高（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，求和的长． 【变式3】如图，在中，． (1)尺规作图：作的垂直平分线交于点不写作法，保留作图痕迹； (2)在的条件下，若，求的度数． 知识点2：角的平分线的性质与判定 （一）作已知角的平分线 （已知：∠AOB，求作：∠AOB的平分线） 1、以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N。 2、分别以M,N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C。 3、画射线OC，射线OC即为所求。 （二）角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 几何表示：∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E。∴PD=PE。 （三）角的平分线的判定 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 几何表示： ∵点P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE， ∴点P在∠AOB的平分线OC上。 【题型4 利用角平分线的性质求解】 【典例4】如图，在中，，按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于的长为半径画弧，分别交，于点E，F；②分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点G；③作射线交边于点D．若，则点D到的距离是（    ） A．3 B．4 C．5 D．10 【变式1】如图，在中，，，是的角平分线，于点，若，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2】如图，在中，，平分交于点D，点E为的中点，若，，则的面积是（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 【变式3】如图，是的角平分线，，垂足为E，，，，则长为（ ） A．5 B．4 C．3 D．2 【题型5 角平分线的判定】 【典例5】已知：垂足分别为D、E，且相交于点F．求证：平分． 【变式1】已知中，平分交于点E，平分交于点D，与交于点O，连接．求证：平分． 【变式2】如图，在中，，于点，，点在上，，求证：平分． 【变式3】如图，的外角的平分线与内角的平分线交于点． (1)延长至点，求证：平分； (2)若，求的度数． 【题型6 角平分线的实际应用】 【典例6】某市政府为促进旅游发展，准备在三条公路围成的三角形平地上修建一个度假村，如图所示．要使度假村到三条公路的距离相等，这个度假村应修建在（   ） A．三条高线的交点处 B．三条角平分线的交点处 C．三条中线的交点处 D．以上都不对 【变式1】某学校内有三条主干道，分别连接教学楼A、实验楼B、图书馆C，形成了一个如图所示的三角形区域，学校计划在这个三角形区域内修建一个校园超市，要求校园超市到三条主干道的距离都相等，那么这个校园超市应建在的位置是（   ） A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 【变式2】如图，直线，，表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（    ）． A．处 B．处 C．处 D．处 【变式3】如图，的三边AC、BC、AB的长分别是8、12、16，点O是三条角平分线的交点，则的值为（　　） A． B． C． D． 【题型7 尺规作图-角平分线】 【典例7】如图，两条公路与相交于点，在的内部有两个小区与，现要在的内部修建一个市场，使市场到两条公路的距离相等，且到两个小区的距离相等． (1)市场应修建在什么位置？（请用文字加以说明） (2)在图中标出点的位置（要求：用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并写出结论）． 【变式1】如图，车站O位于两条公路的交汇处，在公路上还有一个车站C，现要在两条公路之间修一个中转站P，使它到两条公路的距离相等，且到两个车站的距离也相等．请你在图中作出点P的位置． 【变式2】如图，中，． (1)用直尺和圆规在边上确定点P，使点P到的距离等于．（不写作法，保留作图痕迹） (2)若，，则（1）中线段的长为 ． 【变式3】如图，，请用无刻度的直尺和圆规作图（不写作法，保留作图痕迹）． (1)作出的角平分线． (2)在（1）的基础上，若是的平分线，且交于点，交于点，求证：点在的平分线上． 1．如图，已知平分，于点，于点，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，通过尺规作图，得到直线，仔细观察作图痕迹，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如果三角形三条边的垂直平分线的交点落在三角形的边上，这个三角形一定是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 4．如图，已知在中，，垂直平分边，交边于点D，交边于点E．若，，的周长为（   ） A．7 B．8 C．9 D．14 5．某校曾开展了“喜迎二十大，争做好少年”的数学知识应用能力竞赛活动，活动中小明同学用两把完全相同的直尺就作出一个角的平分线．如图，将一把直尺的边与射线重合，另一把直尺的边与射线重合，两把直尺的另一边在角的内部交于点，作射线，小明说：“射线就是的角平分线．”他这样做的依据是（  ） A．在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 B．角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 C．三角形的三条高交于一点 D．三角形三边的垂直平分线交于一点 6．如图，平分交于点，于点，若，，，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．某考古队在一片古代遗址中发现了三处疑似重要文物埋藏点，，，为了更高效地开展勘探工作，考古队计划设置一个中央勘探站，要求该勘探站到这三个埋藏点的距离都相等，则勘探站应建在（    ） A．三条中线的交点处 B．三条高线的交点处 C．三个角的角平分线的交点处 D．三条边的垂直平分线的交点处 8.如图，在中，，点为内一点，过点的直线分别交于点M，N，且点在的垂直平分线上，点沿折叠后与点重合，连接，则的度数为（） A． B． C． D． 9．如图，在中，，平分，，，则点到的距离为 ． 10．如图，平分，于点，点在上，若，，则的面积为 ． 11．如图，在中，边、的垂直平分线分别交于、．若的周长为15．则 ． 12．如图，在中，． (1)用尺规作的平分线，交于点．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，若，，，求的长． 13．如图，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接． (1)尺规作图（保留作图痕迹）作出的垂直平分线，并标记D，E两点； (2)若，，的周长为19，求的长． 学科网（北京）股份有限公司 $