第04讲 直角三角形（知识解读+例题精讲+随堂检测）-2025-2026学年北师大版八年级数学下册《知识解读·题型专练》

本初中数学讲义聚焦直角三角形核心知识，系统梳理角的性质（两锐角互余、30°角对边等于斜边一半等）与判定（直角、两锐角互余、勾股定理逆定理），衔接命题与逆命题、互逆定理的逻辑关系，最终落脚于HL定理判定直角三角形全等，构建从性质到应用的完整学习支架。 资料通过典例与变式题分层设计，如直角三角形锐角互余的角度计算、逆命题书写与真假判断等题型，培养学生推理能力与几何直观。课中助力教师清晰授课，课后练习题帮助学生巩固性质应用与定理辨析，提升用数学语言表达逻辑关系的能力。

第04讲 直角三角形 考点1：直角三角形角的性质与判定 考点2：命题与逆命题 考点3：定理与互逆定理 考点4：直角三角形全等的HL定理 重点： （1）直角三角形角的性质与判定的应用 （2）逆命题的书写与真假判断 难点： （1）互逆命题与互逆定理的辨析 （2）直角三角形相关定理的综合证明 知识点1：直角三角形的性质与判定 性质： （1）直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方; （2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半; （3）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。 （4）两个锐角互余。 判定： （1）有一个角是90的三角形是直角三角形。 （2）有两个角互余的三角形是直角三角形。 （3）若三角形三边长a,b,c满足 a²+b²=c²（c为最长边），则该三角形是直角三角形。 【题型1 直角三角形的两个锐角互余】 【典例5】如图，在中，，于点D，平分，交于点E．若，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【变式1】如图，在中，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在中，，点在边上，将沿折叠，使点恰好落在边上的点处．若，则（   ） A． B． C． D． 【变式3】将一副三角板按照如图方式摆放，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【题型2 直角三角形的判定】 【典例2】在中，的对边分别是，则下列条件中不能说明是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】下列条件不能判定是直角三角形的是（   ） A． B． C． D．， 【变式2】在中，，，的对边分别是a，b，c，下列条件： ①； ②； ③，，； ④，其中可以判定是直角三角形的有 个． 知识点2：命题与逆命题 1. 逆命题定义：将原命题的条件与结论互换，得到的新命题就是原命题的逆命题。 → 示例：原命题 “直角三角形的两个锐角互余”，逆命题为 “两个锐角互余的三角形是直角三角形”。 2.互逆命题：若两个命题的条件和结论恰好互相交换，则这两个命题为互逆命题（其中一个是原命题，另一个是逆命题）。 【注意】原命题为真，逆命题不一定为真（需单独判断真假）。 知识点3：定理与互逆定理 1.定理的概念：经过证明为真命题的命题叫做定理。 2.互逆定理定义：如果一个定理的逆命题经过证明也是真命题，那么这两个定理叫做互逆定理（其中一个是另一个的逆定理）。→ 示例：“直角三角形的两个锐角互余” 与 “两个锐角互余的三角形是直角三角形” 是互逆定理；“勾股定理” 与 “勾股定理的逆定理” 也是互逆定理。 【注意】不是所有定理都有逆定理（如 “对顶角相等” 的逆命题是假命题，故无逆定理） 【题型3 写出命题的逆命题】 【典例3】命题“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命题是（　　） A．如果|x|≠|y|，那么x2≠y2 B．如果|x|＝|y|，那么x2≠y2 C．如果x2＝y2，那么|x|＝|y| D．如果x2≠y2，那么|x|≠|y| 【变式1】“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是（    ） A．在同一个三角形中，等边对等角 B．两个底角相等的三角形是等腰三角形 C．如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形 D．如果一个三角形有两条边相等，那么这个三角形是等腰三角形 【变式2】命题“若，则或．”的逆命题为 ． 【变式3】写出“如果，那么”的逆命题． ． 【题型4 互逆定理】 【典例4】下列定理中，没有逆定理的是（    ） A．两直线平行，同位角相等 B．三个角都相等的三角形是等边三角形 C．全等三角形的对应角相等 D．等角对等边 【变式1】下列定理中，有逆定理的是（    ） A．对顶角相等 B．全等三角形的对应角相等 C．两个全等三角形的面积相等 D．平面内，线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 【变式2】定理“如果两个三角形全等，那么它们的三条边对应相等”的逆定理是（   ） A．如果两个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形全等 B．对应角相等的两个三角形全等 C．对应边不相等的两个三角形不全等 D．全等三角形的对应边相等 【变式3】关于定理和逆定理，下列说法正确的是（   ） A．定理的逆命题一定是定理 B．定理的逆命题如果正确，就是逆定理 C．每个真命题都有逆定理 D．所有定理都有逆定理 知识点4：直角三角形的判定（直角边、斜边） 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成"斜边、直角边"或"HL"）。 注意：用“HL”证明两个直角三角形全等，书写时两个三角形符号前面要加上“Rt”。 【题型5 利用（HL)判定直角三角形全等】 【典例5】如图，已知，求证：． 【变式1】如图，，，求证：． 【变式2】如图所示，是的中线，，，垂足分别为F，E，．求证：．    【变式3】已知：如图，，D为上一点，连接相交于F，，求证：． 1．直角中，，则另一个锐角的度数为（    ） A． B． C． D． 2．定理“直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方”的逆定理是（   ） A．如果一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形 B．直角三角形的边长满足勾股关系 C．不满足勾股关系的三角形不是直角三角形 D．勾股定理的逆定理 3．在中，，则是（   ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 4．如图，，，垂足分别为，．已知，，则（   ） A． B． C． D． 5．已知命题“如果，那么”，则该命题的逆命题是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 6．如图，在和中，若，，，且边始终在直线上方，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 7．在中，，，则的度数为 ． 8．定理“如果，那么”的逆定理是： ． 9．如图，在中，，沿翻折使得点A与点B重合，若，则 ． 10．如图，在中，，，的平分线交于点，若，则的长是 ． 11．如图，在中，，，，于点，是斜边的中点，则线段的长为 ． 12．如图所示，在中，． 求证：是直角三角形． 13．如图，点在同一条直线上，，，， (1)求证：； (2)若，，求的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 直角三角形 考点1：直角三角形角的性质与判定 考点2：命题与逆命题 考点3：定理与互逆定理 考点4：直角三角形全等的HL定理 重点： （1）直角三角形角的性质与判定的应用 （2）逆命题的书写与真假判断 难点： （1）互逆命题与互逆定理的辨析 （2）直角三角形相关定理的综合证明 知识点1：直角三角形的性质与判定 性质： （1）直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方; （2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半; （3）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。 （4）两个锐角互余。 判定： （1）有一个角是90的三角形是直角三角形。 （2）有两个角互余的三角形是直角三角形。 （3）若三角形三边长a,b,c满足 a²+b²=c²（c为最长边），则该三角形是直角三角形。 【题型1 直角三角形的两个锐角互余】 【典例5】如图，在中，，于点D，平分，交于点E．若，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是直角三角形的性质，先根据直角三角形的性质求出，再根据角平分线的定义求出，根据直角三角形的性质计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在中，，， ∴， 故选：C． 【变式1】如图，在中，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形两个锐角互余，掌握直角三角形两个锐角互余是解题的关键． 根据直角三角形两个锐角互余即可求解． 【详解】解：∵中，， ， 故选：B． 【变式2】如图，在中，，点在边上，将沿折叠，使点恰好落在边上的点处．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质、直角三角形的性质、三角形外角的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据折叠的性质可得，，结合得到，再利用三角形外角的性质得到，即可得出答案． 【详解】解：由折叠的性质得，，， 又， ， ， ， ． 故选：C． 【变式3】将一副三角板按照如图方式摆放，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形的性质，三角形内角和定理，对顶角的定义，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据自己三角形的性质求出，，根据三角形内角和定理求出，得到，即可得到答案． 【详解】解：根据题意得，， ， ， 故选：B． 【题型2 直角三角形的判定】 【典例2】在中，的对边分别是，则下列条件中不能说明是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的判定，熟练掌握勾股定理逆定理、三角形内角和定理、三角形三边关系是解题的关键 根据勾股定理逆定理、三角形内角和定理、三角形三边关系分析各选项是否满足直角三角形的条件即可． 【详解】解：分析各选项如下： 选项A、∵展开得即符合勾股定理逆定理，故是直角三角形； 选项B、∵ ∴． 又∵三角形内角和为， ∴，故是直角三角形； 选项C、设, 则,不能构成三角形，故该选项符合题意； 选项D、设则． ∵， ∴，解得，则，故是直角三角形． 故选：C． 【变式1】下列条件不能判定是直角三角形的是（   ） A． B． C． D．， 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的判定，三角形的内角和，根据三角形内角和定理，直角三角形的判定逐项判断即可，掌握三角形内角和定理及直角三角形的定义是解题的关键． 【详解】、由题意可设三角形的三个内角度数分别为、、， ∴， ∴，故三角形三个内角的度数分别为、、， ∴此选项中是直角三角形，不符合题意； 、∵， ∴， ∴， ∴此选项中是直角三角形，不符合题意； 、设，，（为正数）， ∵， ∵， ∴， ∴，，， ∴此选项中不是直角三角形，符合题意； 、∵，， ∴， ∴此选项中是直角三角形，不符合题意； 故选：． 【变式2】在中，，，的对边分别是a，b，c，下列条件： ①； ②； ③，，； ④，其中可以判定是直角三角形的有 个． 【答案】2 【分析】本题主要考查了直角三角形的判定，对于①④，求出各内角的度数，判断即可；对于②③，根据勾股定理逆定理判断即可． 【详解】∵，， ∴， ∴是直角三角形， 则①正确； ∵， ∴， 即， ∴是直角三角形， 则②正确； ∵，，， ∴， ∴不是直角三角形． 则③不正确； 设，根据三角形内角和定理，得 ， 解得， ∴，，， ∴不是直角三角形． 则④不正确． 正确的有2个． 故答案为：2． 知识点2：命题与逆命题 1. 逆命题定义：将原命题的条件与结论互换，得到的新命题就是原命题的逆命题 → 示例：原命题 “直角三角形的两个锐角互余”，逆命题为 “两个锐角互余的三角形是直角三角形”。 2.互逆命题：若两个命题的条件和结论恰好互相交换，则这两个命题为互逆命题（其中一个是原命题，另一个是逆命题）。 【注意】原命题为真，逆命题不一定为真（需单独判断真假）。 知识点3：定理与互逆定理 1.定理的概念：经过证明为真命题的命题叫做定理。 2.互逆定理定义：如果一个定理的逆命题经过证明也是真命题，那么这两个定理叫做互逆定理（其中一个是另一个的逆定理）。 → 示例：“直角三角形的两个锐角互余” 与 “两个锐角互余的三角形是直角三角形” 是互逆定理；“勾股定理” 与 “勾股定理的逆定理” 也是互逆定理。 【注意】不是所有定理都有逆定理（如 “对顶角相等” 的逆命题是假命题，故无逆定理） 【题型3 写出命题的逆命题】 【典例3】命题“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命题是（　　） A．如果|x|≠|y|，那么x2≠y2 B．如果|x|＝|y|，那么x2≠y2 C．如果x2＝y2，那么|x|＝|y| D．如果x2≠y2，那么|x|≠|y| 【答案】C 【分析】交换题设和结论，即可得到答案． 【详解】解：“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命题是：如果x2＝y2，那么|x|＝|y|， 故选：C． 【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握求一个命题的逆命题，就是交换原命题的题设与结论． 【变式1】“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是（    ） A．在同一个三角形中，等边对等角 B．两个底角相等的三角形是等腰三角形 C．如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形 D．如果一个三角形有两条边相等，那么这个三角形是等腰三角形 【答案】C 【分析】本题主要考查了求一个命题的逆命题，逆命题是将原命题的题设和结论互换，原命题题设为“三角形是等腰三角形”，结论为“两个底角相等”，故逆命题为“如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形”． 【详解】解：“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形， 而B选项中，说的是两个底角相等，则前提是该三角形已经是等腰三角形， 故选：C． 【变式2】命题“若，则或．”的逆命题为 ． 【答案】若或，则 【分析】本题考查了命题和逆命题，将原命题的条件和结论互换即可求解，找出原命题的条件和结论是解题的关键． 【详解】解：命题“若，则或．”的逆命题为“若或，则”， 故答案为：若或，则． 【变式3】写出“如果，那么”的逆命题． ． 【答案】如果，那么 【分析】本题考查写出逆命题，根据逆命题的定义，将原命题的题设和结论互换即可． 【详解】解：原命题的题设是“”，结论是“”，互换后得到逆命题“如果 ，那么 ”． 故答案为：如果 ，那么 ． 【题型4 互逆定理】 【典例4】下列定理中，没有逆定理的是（    ） A．两直线平行，同位角相等 B．三个角都相等的三角形是等边三角形 C．全等三角形的对应角相等 D．等角对等边 【答案】C 【分析】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键在于判断其逆命题的真假． 分别写出各选项中定理的逆命题，再判断真假即可． 【详解】解：选项A：逆命题为“同位角相等，两直线平行”，是真命题，故A有逆定理，不符合题意要求； 选项B：逆命题为“等边三角形的三个角都相等” ，是真命题，故B有逆定理，不符合题意要求； 选项C：逆命题为“对应角相等的两个三角形全等”，是假命题，故C没有逆定理，符合题意要求； 选项D：逆命题为“等边对等角”，是真命题，故D有逆定理，不符合题意要求； 故选：C． 【变式1】下列定理中，有逆定理的是（    ） A．对顶角相等 B．全等三角形的对应角相等 C．两个全等三角形的面积相等 D．平面内，线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 【答案】D 【分析】本题考查逆定理的定义；判断每个定理的逆命题是否成立，若成立则有逆定理. 【详解】解：A、其逆命题为“相等的角是对顶角”，可举“等腰三角形的两个底角相等，但不是对顶角”，作为反例，所以逆命题不成立，无逆定理，故A不符合题意； B、其逆命题为“对应角相等的两个三角形是全等三角形”，可举“大小不一样的等边三角形所有的角都相等，但不是全等三角形”，作为反例，所以逆命题不成立，无逆定理，故B不符合题意； C、其逆命题为“面积相等的两个三角形是全等三角形”，可举“面积相同，但形状不一样的两个三角形”，作为反例，所以逆命题不成立，无逆定理，故C不符合题意； D、其逆命题为“到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”，逆命题成立，有逆定理，故D符合题意. 故选：D. 【变式2】定理“如果两个三角形全等，那么它们的三条边对应相等”的逆定理是（   ） A．如果两个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形全等 B．对应角相等的两个三角形全等 C．对应边不相等的两个三角形不全等 D．全等三角形的对应边相等 【答案】A 【分析】本题考查互逆定理． 将原定理的题设和结论互换，判断逆命题的真假，若逆命题为真命题，即为原定理的逆定理． 【详解】解：“如果两个三角形全等，那么它们的三条边对应相等”的逆命题为“如果两个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形全等”， ∵“如果两个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形全等”是真命题， ∴定理“如果两个三角形全等，那么它们的三条边对应相等”的逆定理是“如果两个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形全等”． 故选：A． 【变式3】关于定理和逆定理，下列说法正确的是（   ） A．定理的逆命题一定是定理 B．定理的逆命题如果正确，就是逆定理 C．每个真命题都有逆定理 D．所有定理都有逆定理 【答案】B 【分析】本题考查定理与逆定理的概念．定理的逆命题不一定为真，因此不一定是定理；只有逆命题为真时，才是逆定理． 【详解】解：∵定理的逆命题不一定为真，∴ A错误； ∵定理的逆命题如果为真，就是逆定理，∴ B正确； ∵真命题的逆命题不一定为真，∴ 不一定有逆定理，∴ C错误； ∵并不是所有的定理都有逆定理，∴ D错误， 故选B． 知识点4：直角三角形的判定（直角边、斜边） 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成"斜边、直角边"或"HL"）。 注意：用“HL”证明两个直角三角形全等，书写时两个三角形符号前面要加上“Rt”。 【题型5 利用（HL)判定直角三角形全等】 【典例5】如图，已知，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，直接根据即可证明． 【详解】解：在和中， ， ∴． 【变式1】如图，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】根据直角三角形定理，即可求解， 本题考查了，直角三角形定理，解题的关键是：熟练掌握应用定理证明三角形全等． 【详解】证明：， 和都是直角三角形． 在和中， ， ． 【变式2】如图所示，是的中线，，，垂足分别为F，E，．求证：．    【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理--，熟记定理内容是解题关键． 【详解】证明：∵是的中线， ∴ ∵，， ∴ ∵ ∴ 【变式3】已知：如图，，D为上一点，连接相交于F，，求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查的是全等三角形的判定，掌握利用判定两个三角形全等是解决此题的关键． 【详解】证明：∵ ∴， 在和中， ， ∴． 1．直角中，，则另一个锐角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了直角三角形两个锐角互余，根据直角三角形两个锐角互余求解即可． 【详解】解：直角中，， ∴另一个锐角的度数为． 故选：B． 2．定理“直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方”的逆定理是（   ） A．如果一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形 B．直角三角形的边长满足勾股关系 C．不满足勾股关系的三角形不是直角三角形 D．勾股定理的逆定理 【答案】A 【分析】本题考查了逆定理．勾股定理的逆定理是判断三角形是否为直角三角形的定理，即如果一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，则该三角形是直角三角形． 【详解】解： 勾股定理的逆定理是：如果一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形． 选项A正确描述了该逆定理． 选项B描述的是勾股定理本身，不是逆定理． 选项C是原定理的逆否命题，与原定理等价，不是逆定理． 选项D没有具体描述内容． 故选：A． 3．在中，，则是（   ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形的判定． 由三角形的内角和定理，结合已知可得，即可求解． 【详解】解：∵在中，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴是直角三角形． 故选：B． 4．如图，，，垂足分别为，．已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，直角三角形的两个锐角互余，依据直角三角形两锐角互余，即可得到的度数，再根据全等三角形的对应角相等，即可得到结论，熟记性质并准确识图判断出对应角是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：． 5．已知命题“如果，那么”，则该命题的逆命题是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】B 【分析】本题主要考查了求一个命题的逆命题，把原命题的题设和结论互换即可得到原命题的逆命题． 【详解】解：命题“如果，那么”的逆命题是如果，那么， 故选：B． 6．如图，在和中，若，，，且边始终在直线上方，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】此题考查了直角三角形两锐角互余，平行线的性质等知识，根据直角三角形两锐角互余，平行线的性质逐项求解判断即可． 【详解】A．∵ ∴ ∴，故A正确； B． ，故B正确； C．∵， ∴ ∵ ∴ ∴，故C正确； D． ∵， ∴故D错误； 故选：D． 7．在中，，，则的度数为 ． 【答案】/72度 【分析】本题考查直角三角形两锐角互余．在直角三角形中，已知，则与互余，再根据角度比例关系求解． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 8．定理“如果，那么”的逆定理是： ． 【答案】 如果 ，那么 【分析】本题考查互逆定理． 将原定理的题设和结论互换得到逆命题，如果一个定理的逆命题是真命题，则该逆命题为原定理的逆定理． 【详解】解：“如果，那么”的逆命题为“如果，那么”， ∵“如果，那么”是真命题， ∴定理“如果，那么”的逆定理是“如果，那么”． 故答案为：如果，那么． 9．如图，在中，，沿翻折使得点A与点B重合，若，则 ． 【答案】32° 【分析】本题考查了折叠问题和三角形内角和与外角的性质，解题关键是明确翻折角相等的性质，熟练运用三角形内角和解决问题；求出的度数，再根据翻折及三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 由翻折可得，． 故答案为：． 10．如图，在中，，，的平分线交于点，若，则的长是 ． 【答案】6 【分析】本题考查含角的直角三角形，等角对等边，直角三角形两锐角互余，首先求出，然后结合角平分线得到，根据角所对直角边是斜边的一半和等角对等边得到． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故答案为：6． 11．如图，在中，，，，于点，是斜边的中点，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是直角三角形斜边上的中线的性质、等腰直角三角形的性质．二次根式，根据直角三角形的性质求出，根据直角三角形斜边上的中线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据三角形的外角性质求出，根据等腰直角三角形的性质求出． 【详解】解：在中，，， 则， 在中，，，是斜边的中点， 则， ， ， ， ， ， 故答案为：． 12．如图所示，在中，． 求证：是直角三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是直角三角形的性质，可证明．在中，已知，等量代换可证是直角三角形，熟记直角三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】证明：， ， ， ， 是直角三角形． 13．如图，点在同一条直线上，，，， (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定、线段的和与差，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． （1）利用全等三角形判定定理证明即可； （2）设，利用线段的和差列出方程，求出的值即可解答． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴； （2）解：由（1）得，， 设， ∵， ∴， 解得 ∴的长为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $