第03讲 等边三角形的性质与判定（知识解读+例题精讲+随堂检测）-2025-2026学年北师大版八年级数学下册《知识解读·题型专练》

本讲义聚焦等边三角形的性质（对称性、内角60°）与判定（三角相等、等腰+60°角），衔接含30°角直角三角形性质，延伸至反证法应用，构建“性质-判定-应用-思想方法”的学习支架。 通过典例与变式分层设计（如求边长角度、综合证明），融入滑雪道等生活情境题，培养几何直观与推理意识。反证法专题强化逻辑表达，课中助力分层教学，课后多样化练习帮助学生查漏补缺，提升用数学语言解决问题的能力。

第03讲 等边三角形的性质与判定 考点1：等边三角形的性质 考点2：等边三角形的判定 考点3：等边三角形的综合应用 考点4：含30°角的直角三角形的性质 考点5：反证法的应用 重点： （1）等边三角形的性质与判定的综合运用。 （2）反证法的应用 难点： （1）“三线合一” 的灵活运用 （2）反证法中 “假设” 的准确书写 知识点1：等边三角形的概念与性质 1. 概念 三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形. 注意： （1） 等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）. ∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ . （2）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形. 2.性质 （1）等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴. （2）三个角都是60° 【题型1根据等边三角形的性质求有关的边长】 【典例1】已知等边的一边长为4，则它的周长是（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】C 【分析】本题考查的是等边三角形的性质，根据等边三角形的三边相等可得答案． 【详解】解：等边的一边长为4，则它的周长是， 故选：C 【变式1】在中，，，则的周长为（    ） A．24 B．18 C．12 D．6 【答案】B 【分析】先判定是等边三角形，进而即可求解． 【详解】解：∵在中，，， ∴是等边三角形， ∴的周长=． 故选B． 【点睛】本题主要考查等边三角形的判定，掌握有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形是关键． 【变式2】已知是等边三角形的高，且，那么的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查等边三角形“三线合一”的性质，理解等边三角形的性质是解题关键．根据题意作出图形，然后利用等边三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图所示： ∵是等边三角形， 是等边三角形的高，， ∴， 故选：B． 【变式3】如图，等边，点O是上任意一点，、分别与两边垂直，等边三角形的高为4．则的值为（    ）． A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等边三角形的面积求法等知识点，根据，由是等边三角形，得出三个三角形是等底的三角形，进而可得出高高等于三角形的高，熟练掌握三角形的面积求法是解决此题的关键． 【详解】连接， ∵是等边三角形， ∴， ∵，，，等边三角形的高为4， ∴，即， ∴， 故选：C． 【题型2根据等边三角形的性质求角度】 【典例2】如图，过等边三角形的顶点A作直线．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质和平角的定义，先根据等边三角形的性质得出，再根据平角的定义即可得出答案． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 故选：A 【变式1】如图， 在等边三角形ABC中， AD⊥BC于点D， 则∠BAD的度数为（    ） A．60° B．50° C．40° D．30° 【答案】D 【分析】根据等边三角形的 “三线合一”，即可求解． 【详解】解：∵三角形ABC为等边三角形， ∴∠BAC=60°， ∵AD⊥BC于点D， ∴ ． 故选：D 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的 “三线合一”是解题的关键． 【变式2】如图，在等边三角形中，于点，于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形内角和定理，由等边三角形的性质可得，，，再根据三角形内角和定理即可求解，掌握等边三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 故选：． 【变式3】如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的等边上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等边三角形的性质，三角形外角性质，平行线的性质，对顶角性质解答即可． 【详解】解：∵等边， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形外角性质，平行线的性质，对顶角性质，熟练掌握相关图形的性质是解题的关键． 知识点2：等边三角形的判定 （1）三个角相等的三角形是等边三角形. （2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 【题型3 等边三角形的判定】 【典例3】已知a，b，c是的三条边，若a，b，c满足，则的形状为（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】本题考查非负数的性质，根据绝对值和平方数的非负性可得，，进而可得，由此可知是等边三角形． 【详解】解： ， ，， ，， ， 的形状为等边三角形． 故选B． 【变式1】如图，下列哪个条件能推出是等边三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等边三角形的判定方法（三边相等或三个角都是60度，或有一个角是的等腰三角形是等边三角形）进行判断，解答即可．本题考查了等腰三角形的判定与等边三角形的判定． 【详解】解：A、，只能说明是等腰三角形，该选项不符合题意； B、，，只能说明是等腰三角形，该选项不符合题意； C、∵∴，∴是等腰三角形，∵，∴，∴是等边三角形，该选项符合题意； D、，，只能说明是等腰三角形，该选项不符合题意； 故选：C． 【变式2】下列三角形：①有两个角等于的三角形；②有一个角等于的等腰三角形；③三个角都相等的三角形；④三边都相等的三角形．其中是等边三角形的有（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】根据等边三角形的判定定理可进行求解． 【详解】解：①有两个角等于的三角形是等边三角形；②有一个角等于的等腰三角形是等边三角形；③三个角都相等的三角形是等边三角形，可根据三角形内角和为求得每个内角的度数为；④三边都相等的三角形是等边三角形；综上所述：是等边三角形的有①②③④； 故选D． 【点睛】本题主要考查等边三角形的判定定理，熟练掌握等边三角形的判定是解题的关键． 【题型4 等边三角形的判定和性质综合】 【典例4】如图，在中，，点F在上，点D在的延长线上，，，且平分． (1)求证：是等边三角形． (2)若，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握等边三角形的判定与性质． （1）根据角平分线定义结合平行线的性质得到，再由等边三角形的判定即可证明； （2）先求出，即可求出的周长． 【详解】（1）证明：∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形； （2）解：∵，， ∴， ∵是等边三角形， ∴的周长为． 【变式1】如图，是等腰三角形，，点D是上一点，过点D作交于点E，交的延长线于点F． (1)证明：是等腰三角形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质等知识点， （1）由，可知，再由，可知，然后余角的性质可推出，再根据对顶角相等进行等量代换即可推出，于是得到结论； （2）根据含30度的直角三角形的性质和等边三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 而， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 【变式2】如图，在等边中，点，分别在边、上，过点作，过点作，交的延长线于点． (1)求证：为等边三角形； (2)若，则_____． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，含的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）由等边三角形的性质求得，利用平行线的性质求出，最后利用等边三角形的判定求解； （2）根据， 易得，利用等边三角形的性质求出，利用含的直角三角形的性质求出，即可求解． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ． ， ． ， ， ， 是等边三角形． （2）解： ， ， ， ． 是等边三角形，， ． 在中，， ． 故答案为：． 【变式3】如图，在△ABC中，，，交于点D，平分． (1)求证：； (2)若，且，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）本题主要考查等腰三角形的判刑和性质，由平分，可得，可得结论． （2）本题主要考查等边三角形的判定和性质，直接根据，证明，通过证明为等边三角形，可得． 【详解】（1）证明：∵平分； ∴； ∵； ∴； ∴， ∴， （2）∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴是等边三角形， ∴． 知识点3：含30度角的直角三角形的定理 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半 【题型5 含30°角的直角三角形的性质的有关运算】 【典例5】如图，在中，，，，交于点D．若，则的长为（   ） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了含度角的直角三角形的性质：度角所对的直角边是斜边的一半，等边对等角，三角形的外角性质等知识点，由题意得；，求出，即可求解； 【详解】解：∵，，， ∴，， ∵， ∴； ∴， ∴； ∴， 故选：B 【变式1】如图，在中，，则的长为（ ） A．7 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质：在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半，掌握性质是解题的关键．根据在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半可得． 【详解】解：中， ，，， ． 故选：B． 【变式2】为了实现“村村通数字网络”，移动公司对相邻的、、、四村进行了测量．如图所示，在中，，是边上的高，，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，特别是含角的直角三角形的性质：在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半，从而来判断各选项的正确性． 【详解】解：在中，，则是直角三角形， ， 是边上的高， ， ， ， ，， 故选． 【变式3】右面是某个机械装置的连杆装置及简易图，杆可以绕转轴A点在竖直平面内自由转动，在A点正上方固定一小定滑轮C，细绳通过定滑轮与杆的另一端B相连，将杆从水平位置缓慢向上拉起．已知，当杆与水平面夹角为时，测得，则此时点B到的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，等边三角形，作辅助线构造直角三角形是解题的关键． 作交于点，构造直角三角形，再利用等边三角形的性质，得出，求解即可． 【详解】解：如图：作交于点， ∵， 又∵， ∴为等边三角形， ， 中，， ， 故选：A 知识点4：反证法 1. 基本定义 一种间接证明方法：通过假设原命题结论不成立，推导出矛盾，从而肯定原命题成立。 2. 三步流程 假设：完整否定原命题的结论（关键：不能只否定一部分）。 推矛盾：从假设出发，推理出与已知条件、定义、定理或公理相矛盾的结果。 下结论：由矛盾判定假设不成立，从而肯定原命题结论正确。 3. 常见结论的否定 原结论 假设（否定） 是 不是 平行 相交（不平行） 至少1个 1个也没有 至多1个 至少2个 都是 不都是（至少1个不是） 等边三角形 不是等边三角形（三边不全相等 【题型6 反证法证明中的假设】 【典例6】用反证法证明“三角形的三个外角中至少有两个钝角”时，假设正确的是（    ） A．假设三个外角都是钝角 B．假设三个外角中至少有一个钝角 C．假设三个外角中至多有两个钝角 D．假设三个外角中至多有一个钝角 【答案】D 【分析】本题主要考查了反证法，掌握原命题的否定与原命题的关系是解题的关键．“至少有两个”的反面为“至多有一个”，据此即可解答． 【详解】解：∵至少有两个”的反面为“至多有一个”，而反证法的假设即原命题的否定． ∴应假设：三角形三个外角中至多有一个钝角． 故选：D． 【变式1】用反证法证明命题“在中，若，则”，首先应假设（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立． 【详解】解：用反证法证明命题“在中，若，则”，首先应假设． 故选：A． 【变式2】用反证法证明命题“一个三角形中至少有一个角不小于60度”，应先假设这个三角形中（    ） A．至多有两个角小于60度 B．三个内角都小于60度 C．至少有一个角是小于60度 D．三个内角都大于60度 【答案】B 【分析】此题主要考查了反证法，解题的关键是熟练掌握反证法的定义和步骤． 利用反证法的步骤进行判断即可． 【详解】解：用反证法证明命题“一个三角形中至少有一个角不小于60度”，应先假设这个三角形中，三个内角都小于60度， 故选：B． 【变式3】用反证法证明命题“在中，如果，那么”时，应假设（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是反证法的应用，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可． 【详解】解：用反证法证明命题“若在中，，则”时，首先应假设， 故选：C． 【题型 7用反证法证明命题】 【典例7】用反证法证明“三角形的三个内角中，至少有一个内角小于或等于60°” 证明：假设所求证的结论不成立，即 ∠A　　60°，∠B　　60°，∠C　　60°， 则∠A+∠B+∠C＞　　． 这与　　相矛盾． ∴　　不成立． ∴　　． 【答案】，，，，内角和为，假设，求证的命题正确． 【分析】 根据反证法证明方法，先假设结论不成立，然后得到与定理矛盾，从而证得原结论成立． 【详解】 证明：假设所求证的结论不成立，即 ，，， 则． 这与内角和为相矛盾． ∴假设不成立． ∴求证的命题正确． 故答案为： 【点睛】 本题结合三角形内角和定理考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 【变式1】用反证法证明：等腰三角形的底角小于． 【答案】见详解 【分析】此题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 假设等腰三角形的底角大于或等于，然后根据等腰三角形的性质得出假设不成立，从而证得原结论成立． 【详解】证明：假设等腰三角形的底角大于或等于， ∵等腰三角形的两个底角相等， 则两个底角的和大于或等于，则该三角形的三个内角的和一定大于， ∵这与三角形的内角和定理相矛盾， 故假设不成立． 即等腰三角形的底角小于． 【变式2】用反证法证明在中至多有两个角大于． 【答案】证明见解析． 【分析】本题主要考查了反证法，三角形内角和定理，先假设中有三个内角大于，进而推出三个内角度数之和大于180度，这与三角形内角和定理矛盾，由此即可证明结论． 【详解】证明：假设中有三个内角大于， 则大于，大于，大于， 、、三个角之和大于， 这与三角形内角和等于相矛盾， 故在中至多有两个角大于． 【变式3】阅读下列文字，回答问题． 题目：在中，，若，所以． 证明：假设， ，， ， ，这与假设矛盾． ． 问题1：上面的证明方法用的是______． 问题2：上面的证明有错误，请予以纠正． 【答案】问题1：反证法；问题2：见解析 【分析】问题1：由假设可知本题的证明方法； 问题2：按照正确的方法写出过程即可． 【详解】问题1：由假设可知本题的额证明方法为反证法． 故答案为：反证法； 问题2：改正： 假设，则， 又， ，这与矛盾， 不成立， ． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，以及反证法，解此题关键要懂得反证法的步骤． 1．在中，，若，则的长为（　　） A．10 B．5 C．12 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质；根据可得是等边三角形，进而可得答案. 【详解】解：∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴． 故选：A. 2．等边三角形的对称轴有（   ） A．1条 B．3条 C．9条 D．无数条 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】解：如图所示，共有3条对称轴， 故选：B． 3．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个角不大于60°”时，应假设（   ） A．三个内角都不大于60° B．三个内角都大于60° C．三个内角中至多有一个角大于60° D．三个内角中至多有一个角不大于60° 【答案】B 【分析】本题主要考查求一个命题的否定，用反证法证明数学命题，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，是解题的突破口． 熟记反证法的步骤，从命题的反面出发假设出结论，直接得出答案即可． 【详解】解：∵用反证法证明在一个三角形中，至少有一个内角不大于， ∴第一步应假设结论不成立，即假设三个内角都大于60°． 故选：B． 4．如图，滑雪场有一坡角为的滑雪道，滑雪道长200米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度的长为（ ） A．50米 B．100米 C．150米 D．200米 【答案】B 【分析】本题考查的是角的直角三角形的性质，根据含角的直角三角形的性质计算即可． 【详解】解：在中，米， 则米， 故选：B． 5．由于木质衣架没有柔性，所以在挂置衣服的时候不太方便操作．小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，套进衣服后松开即可．如图1.衣架杆．若衣架收拢时，，如图2，则此时A，B两点之间的距离是（    ）       图1                        图2 A．9 cm B．16 cm C．18 cm D．20 cm 【答案】C 【分析】根据有一个角是的等腰三角形的等边三角形进行解答即可． 【详解】解：解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， 故选：C． 【点睛】此题考查等边三角形的判定和性质，关键是掌握有一个角是的等腰三角形是等边三角形． 6．下列说法中，正确的个数是（    ） ①三条边都相等的三角形是等边三角形； ②有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形； ③有两个角为60°的三角形是等边三角形； ④底角的角平分线所在的直线是这等腰三角形的对称轴，则这个三角形是等边三角形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据等边三角形的判定、轴对称的性质即可判断． 【详解】解：①三条边都相等的三角形是等边三角形，此选项符合题意． ②有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，此选项符合题意． ③有两个角为60°的三角形是等边三角形，此选项符合题意． ④底角的角平分线所在的直线是这等腰三角形的对称轴，则这个三角形是等边三角形，此选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、轴对称等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 7．如图，直线，等边的顶点C在直线b上，，则为 度． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质，等边三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解题关键． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴． 故答案为：． 8．如图所示，点，分别为等边的边，上的点，连接，于点，点为延长线上一点，且，连接交于点，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，过作的平行线交于点，所以，又是等边三角形，得，，，然后证明，故有，因为，是等边三角形，所以，，设，则，，最后通过线段的和与差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过作的平行线交于点， ∴， ∵是等边三角形， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，是等边三角形， ∴，， 设，则，， ∵， ∴， ∴，即， 故答案为：． 9．用反证法证明：已知中，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了反证法，三角形内角和定理，根据反证法的步骤，先假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立，进行作答即可，掌握反证法的步骤是解题的关键． 【详解】证明：假设 ∵ ∴ ∵ 又因为：在一个三角形中，三个内角和为180度， ∴不可能有两个内角和大于或等于180度 ∴假设矛盾 ∴假设不成立 ． 10．如图，为等边三角形，，于点，若的周长为，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握直角三角形的性质，是解题的关键．根据等边三角形性质得出，，根据平行线的性质得出，根据直角三角形的性质得出，即可得出答案． 【详解】解：为等边三角形， ，， 的周长为， ， ， ， ， ， ， ， 在中，，， ， ． 11．如图，和都是等边三角形，点、、在同一直线上，连接 (1)求证： (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)13 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的边和角的特征，以及利用判定三角形全等是解题的关键． （1）通过等边三角形的性质得到对应边相等、对应角相等，再推导出差角相等，利用证明三角形全等； （2）借助全等三角形的性质得到对应边相等，结合等边三角形的边长关系，计算得出的长度． 【详解】（1）证明：和都是等边三角形， ，，， ． 即， 在与中，   ， （）； （2）解：由（1）， ． 是等边三角形， ． ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 等边三角形的性质与判定 考点1：等边三角形的性质 考点2：等边三角形的判定 考点3：等边三角形的综合应用 考点4：含30°角的直角三角形的性质 考点5：反证法的应用 重点： （1）等边三角形的性质与判定的综合运用。 （2）反证法的应用 难点： （1）“三线合一” 的灵活运用 （2）反证法中 “假设” 的准确书写 知识点1：等边三角形的概念与性质 1. 概念 三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形. 注意： （1） 等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）. ∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ . （2）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形. 2.性质 （1）等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴. （2）三个角都是60° 【题型1根据等边三角形的性质求有关的边长】 【典例1】已知等边的一边长为4，则它的周长是（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 【变式1】在中，，，则的周长为（    ） A．24 B．18 C．12 D．6 【变式2】已知是等边三角形的高，且，那么的长是（    ） A． B． C． D． 【变式3】如图，等边，点O是上任意一点，、分别与两边垂直，等边三角形的高为4．则的值为（    ）． A．2 B． C．4 D． 【题型2根据等边三角形的性质求角度】 【典例2】如图，过等边三角形的顶点A作直线．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图， 在等边三角形ABC中， AD⊥BC于点D， 则∠BAD的度数为（    ） A．60° B．50° C．40° D．30° 【变式2】如图，在等边三角形中，于点，于点，则（   ） A． B． C． D． 【变式3】如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的等边上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 知识点2：等边三角形的判定 （1）三个角相等的三角形是等边三角形. （2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 【题型3 等边三角形的判定】 【典例3】已知a，b，c是的三条边，若a，b，c满足，则的形状为（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【变式1】如图，下列哪个条件能推出是等边三角形的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】下列三角形：①有两个角等于的三角形；②有一个角等于的等腰三角形；③三个角都相等的三角形；④三边都相等的三角形．其中是等边三角形的有（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①②③④ 【题型4 等边三角形的判定和性质综合】 【典例4】如图，在中，，点F在上，点D在的延长线上，，，且平分． (1)求证：是等边三角形． (2)若，，求的周长． 【变式1】如图，是等腰三角形，，点D是上一点，过点D作交于点E，交的延长线于点F． (1)证明：是等腰三角形； (2)若，求的长． 【变式2】如图，在等边中，点，分别在边、上，过点作，过点作，交的延长线于点． (1)求证：为等边三角形； (2)若，则_____． 【变式3】如图，在△ABC中，，，交于点D，平分． (1)求证：； (2)若，且，求的长度． 知识点3：含30度角的直角三角形的定理 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半 【题型5 含30°角的直角三角形的性质的有关运算】 【典例5】如图，在中，，，，交于点D．若，则的长为（   ） A．4 B．6 C．7 D．8 【变式1】如图，在中，，则的长为（ ） A．7 B．8 C．10 D．12 【变式2】为了实现“村村通数字网络”，移动公司对相邻的、、、四村进行了测量．如图所示，在中，，是边上的高，，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】右面是某个机械装置的连杆装置及简易图，杆可以绕转轴A点在竖直平面内自由转动，在A点正上方固定一小定滑轮C，细绳通过定滑轮与杆的另一端B相连，将杆从水平位置缓慢向上拉起．已知，当杆与水平面夹角为时，测得，则此时点B到的距离为（    ） A． B． C． D． 知识点4：反证法 1. 基本定义 一种间接证明方法：通过假设原命题结论不成立，推导出矛盾，从而肯定原命题成立。 2. 三步流程 假设：完整否定原命题的结论（关键：不能只否定一部分）。 推矛盾：从假设出发，推理出与已知条件、定义、定理或公理相矛盾的结果。 下结论：由矛盾判定假设不成立，从而肯定原命题结论正确。 3. 常见结论的否定 原结论 假设（否定） 是 不是 平行 相交（不平行） 至少1个 1个也没有 至多1个 至少2个 都是 不都是（至少1个不是） 等边三角形 不是等边三角形（三边不全相等 【题型6 反证法证明中的假设】 【典例6】用反证法证明“三角形的三个外角中至少有两个钝角”时，假设正确的是（    ） A．假设三个外角都是钝角 B．假设三个外角中至少有一个钝角 C．假设三个外角中至多有两个钝角 D．假设三个外角中至多有一个钝角 【变式1】用反证法证明命题“在中，若，则”，首先应假设（   ） A． B． C． D． 【变式2】用反证法证明命题“一个三角形中至少有一个角不小于60度”，应先假设这个三角形中（    ） A．至多有两个角小于60度 B．三个内角都小于60度 C．至少有一个角是小于60度 D．三个内角都大于60度 【变式3】用反证法证明命题“在中，如果，那么”时，应假设（   ） A． B． C． D． 【题型 7用反证法证明命题】 【典例7】用反证法证明“三角形的三个内角中，至少有一个内角小于或等于60°” 证明：假设所求证的结论不成立，即 ∠A　　60°，∠B　　60°，∠C　　60°， 则∠A+∠B+∠C＞　　． 这与　　相矛盾． ∴　　不成立． ∴　　． 【变式1】用反证法证明：等腰三角形的底角小于． 【变式2】用反证法证明在中至多有两个角大于． 【变式3】阅读下列文字，回答问题． 题目：在中，，若，所以． 证明：假设， ，， ， ，这与假设矛盾． ． 问题1：上面的证明方法用的是______． 问题2：上面的证明有错误，请予以纠正． 1．在中，，若，则的长为（　　） A．10 B．5 C．12 D．6 2．等边三角形的对称轴有（   ） A．1条 B．3条 C．9条 D．无数条 3．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个角不大于60°”时，应假设（   ） A．三个内角都不大于60° B．三个内角都大于60° C．三个内角中至多有一个角大于60° D．三个内角中至多有一个角不大于60° 4．如图，滑雪场有一坡角为的滑雪道，滑雪道长200米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度的长为（ ） A．50米 B．100米 C．150米 D．200米 5．由于木质衣架没有柔性，所以在挂置衣服的时候不太方便操作．小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，套进衣服后松开即可．如图1.衣架杆．若衣架收拢时，，如图2，则此时A，B两点之间的距离是（    ）       图1                        图2 A．9 cm B．16 cm C．18 cm D．20 cm 6．下列说法中，正确的个数是（    ） ①三条边都相等的三角形是等边三角形； ②有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形； ③有两个角为60°的三角形是等边三角形； ④底角的角平分线所在的直线是这等腰三角形的对称轴，则这个三角形是等边三角形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．如图，直线，等边的顶点C在直线b上，，则为 度． 8．如图所示，点，分别为等边的边，上的点，连接，于点，点为延长线上一点，且，连接交于点，若，，则的长为 ． 9．用反证法证明：已知中，，求证：． 10．如图，为等边三角形，，于点，若的周长为，求的长． 11．如图，和都是等边三角形，点、、在同一直线上，连接 (1)求证： (2)若，，求的长． 学科网（北京）股份有限公司 $