第02讲 等腰三角形的性质与判定（知识解读+例题精讲+随堂检测）-2025-2026学年北师大版八年级数学下册《知识解读·题型专练》

本讲义聚焦等腰三角形的性质与判定核心知识点，从概念出发，系统梳理“等边对等角”“三线合一”等性质及“等角对等边”的判定方法，通过求边长/周长、角度计算、判断个数、存在性找点等题型构建完整知识链，形成从基础到综合应用的学习支架。 资料以生活实例（如晾衣架）培养数学眼光，通过分类讨论（腰/底、顶角/底角）强化推理意识，典例与变式结合助学生构建模型。重点标注易错点，辅助线添加指导提升几何直观，课中便于教师突出重难点，课后练习题覆盖全面，助力学生查漏补缺。

第02讲 等腰三角形的性质与判定 考点1：等腰三角形的性质 考点2：等腰三角形的判定 考点3：等腰三角形的综合应用 重点： （1）性质双向用：等边→等角（求角度）；三线合一（证线段 / 角相等）。 （2）判定核心：等角→等边，结合定义快速判定等腰三角形。 难点： （1）类讨论（易错高发）：已知边长 / 角度时，需分 “腰 / 底”“顶角 / 底角” 讨论，避免漏解。 （2）三线合一的条件限制：仅适用于顶角平分线、底边上的高 / 中线，腰上的三线不重合，易误用。 （3）辅助线添加：证明题常需作底边上的高 / 中线 / 顶角平分线，构造全等或等量关系。 知识点1：等腰三角形的概念与性质 1. 等腰三角形概念 有两边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的边叫做腰，另一边叫做底，两条腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角． 2.等腰三角形的性质 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”． 【题型1根据等腰三角形的性质求有关的边长/周长】 【典例1】已知等腰三角形的周长为，一边长为，则此等腰三角形的底边长是（    ） A． B． C．或 D．或 【变式1】已知等腰三角形的两边长分别为3和4，则该等腰三角形的周长为（    ） A．10 B．11 C．10或11 D．12 【变式2】等腰三角形一边长5cm，另一边长2cm，则该三角形的周长是（    ） A．9cm B．12cm C．12cm或9cm D．7cm 【变式3】等腰三角形的周长为，其中一条边是，则该等腰三角形的腰长为（） A． B． C．或 D．无法确定 【题型2根据等腰三角形的性质求角度】 【典例2】如果等腰三角形有一个角是，则它的顶角是（   ） A． B． C． D．或 【变式1】如图1，这是我们生活中常见的晾衣架，其形状可以近似地看成如图2所示的图形．若是等腰三角形，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知等腰三角形的一个内角为，则顶角的度数是（   ） A． B． C．或 D．或 【变式3】如图，在中，，，平分交于点，交于点，则（   ） A． B． C． D． 【题型3判断等腰三角形的个数】 【典例3】如图，在中，，点在内，，图中一共有（    ）个等腰三角形． A．4 B．3 C．2 D．1 【变式1】如图所示，共有等腰三角形（    ） A．2 B．3 C．5 D．4 【变式2】如图所示，共有等腰三角形（    ） A．4个 B．3个 C．5个 D．1个 【变式3】如图，，，则图中的等腰三角形有 个． 【题型4根据等腰三角形的存在性找点的个数】 【典例4】如图，在的正方形网格中，点、在格点上，要找一个格点，使是等腰三角形（是其中一腰），则图中符合条件的格点有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式1】如图的正方形网格中，像点、点这样网格线的交点称为格点．以为边的等腰三角形的三个顶点都属于格点，这样的等腰三角形的个数（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（1，）．M为坐标轴上一点，且使得△MOA为等腰三角形，则满足条件的点M的个数为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在轴上，且使为等腰三角形，符合题意的点的个数为（    ）． A．2 B．3 C．4 D．5 知识点2：等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边. 要点诠释： (1)要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆．判定定理得到的结论是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边和角关系. （2）不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰三角形． 【题型5等腰三角形的判定】 【典例5】如图，，与相交于点，且，求证：是等腰三角形． 【变式1】如图，是等腰三角形的底边上的高，，交于点． (1)求证：是等腰三角形； (2)求证：． 【变式2】如图，B，E，C，F是直线l上的四点，相交于点G，，，．求证： (1)； (2)是等腰三角形． 【变式3】如图，在四边形中，F是的延长线上一点，连接交于点E，，点G在边上，连接，平分．求证：是等腰三角形． 【题型6等腰三角形的判定与性质】 【典例6】如图，，的角平分线交于点M． (1)求证：是等腰三角形； (2)作，垂足为N，若，，求的长． 【变式1】如图，在中，平分交于点D，E为上一点，连接，，F是的中点，连接． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【变式2】如图，在中，，是上的一点，过点作的垂线，分别交于点，交的延长线于点． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的长． 【变式3】如图，点在线段AB上， ． (1)求证：是等腰三角形． (2)若，求的长． 1．一个等腰三角形的底角为，则它的顶角为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，平分，若，则的长为（   ） A．4 B．8 C．6 D．5 3．如图，在中，点D在边上，，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．如图，，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．大观公园是国家4A级旅游景区，始建于明朝洪武元年（公元1368年），位于昆明市以西约2公里的滇池湖畔，完好保存着许多古典园林建筑群，既反映中国清代古建筑的风格，又具有云南地方民族建筑的特色，是云南清代园林建筑的博览苑．如图，建筑的顶端可看作等腰三角形，，是的中点．下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 6．如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东方向的A处，它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东方向的B处，则B处与灯塔P的距离为（   ） A．40海里 B．70海里 C．80海里 D．110海里 7．如图，在△中，平分，平分，与交于点，经过点，分别交，于点，．，已知，，则梯形的周长为（    ） A．39 B．41 C．43 D．45 8．在中，，，则 ． 9．等腰三角形底角的度数为，则顶角的度数为 ． 10．如图，在中，，是中线，是角平分线，．求和的度数． 11．图①、图②都是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点为格点，每个小正方形的边长均为1，在图①、图②中已画出AB，点A、B均在格点上，按下列要求画图： （1）在图①中，画一个以AB为腰且三边长都是无理数的等腰三角形ABC，点C为格点； （2）在图②中，画一个以AB为底的等腰三角形ABD，点D为格点． 12．如图，在中，和的角平分线交于点，过点作交于点，交于点．若， (1)求的长度； (2)若的周长为25，，求的周长． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 等腰三角形的性质与判定 考点1：等腰三角形的性质 考点2：等腰三角形的判定 考点3：等腰三角形的综合应用 重点： （1）性质双向用：等边→等角（求角度）；三线合一（证线段 / 角相等）。 （2）判定核心：等角→等边，结合定义快速判定等腰三角形。 难点： （1）类讨论（易错高发）：已知边长 / 角度时，需分 “腰 / 底”“顶角 / 底角” 讨论，避免漏解。 （2）三线合一的条件限制：仅适用于顶角平分线、底边上的高 / 中线，腰上的三线不重合，易误用。 （3）辅助线添加：证明题常需作底边上的高 / 中线 / 顶角平分线，构造全等或等量关系。 知识点1：等腰三角形的概念与性质 1. 等腰三角形概念 有两边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的边叫做腰，另一边叫做底，两条腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角． 2.等腰三角形的性质 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”． 【题型1根据等腰三角形的性质求有关的边长/周长】 【典例1】已知等腰三角形的周长为，一边长为，则此等腰三角形的底边长是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】等腰三角形的周长为，一边长为，分类讨论，是腰长是或者底边长是，再根据构成三角形的三边的关系判断是否符合，由此即可求解． 【详解】解：①周长为，腰长为， ∴三角形的底边长是，即三角形的两条腰长为，底边长是，根据构成三角形的三边的关系可知，不能构成三角形，更不可以构成等腰三角形，不符合题意； ②周长为，底边长为， ∴三角形的腰长是，即三角形的两条腰长为，底边长是，根据构成三角形的三边的关系可知，可以构成等腰三角形，符合题意， 故选：． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，构成三角形的三边的关系，理解和掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【变式1】已知等腰三角形的两边长分别为3和4，则该等腰三角形的周长为（    ） A．10 B．11 C．10或11 D．12 【答案】C 【分析】分3是腰长或4是腰长讨论即可． 【详解】解：当腰长为3时，三边长分别为：3，3，4，周长为：， 当腰长为4时，三边长分别为：3，4，4，周长为：， 故选C． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的分类讨论，根据腰长不确定进行分类讨论是解题关键． 【变式2】等腰三角形一边长5cm，另一边长2cm，则该三角形的周长是（    ） A．9cm B．12cm C．12cm或9cm D．7cm 【答案】B 【分析】由等腰三角形可知第三边长为5cm或2cm，由三角形中两边之和大于第三边可确定第三边长为5cm，进而计算该三角形的周长即可． 【详解】解：由于该三角形是等腰三角形， ∴第三边长为5cm或2cm， 又∵三角形中两边之和大于第三边， ∴第三边长为5cm， 故该三角形的周长为cm， 故选B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系的应用．解题的关键在于掌握三角形的三边关系． 【变式3】等腰三角形的周长为，其中一条边是，则该等腰三角形的腰长为（） A． B． C．或 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的性质与三角形三边关系，涉及知识点：等腰三角形的腰与底的分类讨论、三角形三边关系（两边之和大于第三边）．根据等腰三角形的性质，分两种情况讨论：为腰或底边，结合三角形三边关系验证． 【详解】设腰长为． ∵周长为 ，一条边为 ， ∴若 为腰，则底边为 ， ，不满足三角形三边关系，故不成立； 若 为底边，则，解得 ， 此时三边为 、 、 ，满足三角形三边关系， ∴腰长为 ． 故选：B． 【题型2根据等腰三角形的性质求角度】 【典例2】如果等腰三角形有一个角是，则它的顶角是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形性质，三角形内角和定理，掌握相关知识是解决问题的关键．等腰三角形中，已知角可能是顶角或底角，需分情况讨论顶角． 【详解】解：∵等腰三角形有一个角是， ∴当为顶角时，顶角为； 当为底角时，另一个底角也为，顶角为． ∴顶角为或， 故选D． 【变式1】如图1，这是我们生活中常见的晾衣架，其形状可以近似地看成如图2所示的图形．若是等腰三角形，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理，根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵是等腰三角形，， ∴， ∴． 故选：D． 【变式2】已知等腰三角形的一个内角为，则顶角的度数是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理，分两种情况：顶角的度数为和底角的度数为，当底角的度数为时，根据等腰三角形两底角相等，以及三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：① 当已知的角为顶角时，则顶角的度数是； ② 当已知的角为底角时，则另一个底角也为，顶角的度数为， 综上所述，顶角的度数为或， 故选：C． 【变式3】如图，在中，，，平分交于点，交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等边对等角，角平分线的定义，平行线的性质，由等边对等角可得，由角平分线的定义可得，再由平行线的性质即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【题型3判断等腰三角形的个数】 【典例3】如图，在中，，点在内，，图中一共有（    ）个等腰三角形． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，根据等腰三角形的定义，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴是等腰三角形； ， ∴是等腰三角形， 综上分析可知：等腰三角形有：， 故选：A． 【变式1】如图所示，共有等腰三角形（    ） A．2 B．3 C．5 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定，根据有两个角相等的三角形是等腰三角形，结合三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴是等腰三角形，， ∴ ， ∴，， ∴、是等腰三角形， ∵，， ∴，， ∴、是等腰三角形， 故图中共有5个等腰三角形， 故选：C． 【变式2】如图所示，共有等腰三角形（    ） A．4个 B．3个 C．5个 D．1个 【答案】C 【分析】由已知条件，根据三角形内角和定理，求出图形中未知度数的角，即可根据等角对等边求得等腰三角形的个数． 【详解】解：根据三角形的内角和定理，得：， 根据三角形的外角的性质，得 ． 再根据等角对等边，得 等腰三角形有，，，和，共个． 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定、三角形内角和定理，解题的关键是掌握等腰三角形的判定定理． 【变式3】如图，，，则图中的等腰三角形有 个． 【答案】6 【分析】本题考查等腰三角形的判定，三角形的外角定理，三角形的内角和定理． 利用三角形的外角定理和三角形的内角和定理求出图中其他角的度数，根据“等角对等边”即可判定等腰三角形． 【详解】∵， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． 综上所述：图中等腰三角形有6个． 故答案为：6 【题型4根据等腰三角形的存在性找点的个数】 【典例4】如图，在的正方形网格中，点、在格点上，要找一个格点，使是等腰三角形（是其中一腰），则图中符合条件的格点有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，解决本题的关键是根据题意画出符合实际条件的图形．以为圆心，长为半径画圆，看与网格格点有几个交点，再以为圆心长为半径画弧，看与网格格点有几个交点，可得答案． 【详解】解：如图所示：图中符合条件的点有个， 故选：C． 【变式1】如图的正方形网格中，像点、点这样网格线的交点称为格点．以为边的等腰三角形的三个顶点都属于格点，这样的等腰三角形的个数（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，分为底和腰两种情况解答即可求解，掌握等腰三角形的定义是解题的关键． 【详解】解：如图所示，分以下情况讨论： ①当为等腰底边时，符合条件的点有个：； ②当为等腰其中的一条腰时，符合条件的点有个：； ∴点的个数是个， 故选：A． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（1，）．M为坐标轴上一点，且使得△MOA为等腰三角形，则满足条件的点M的个数为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】分别以O、A为圆心，以OA长为半径作圆，与坐标轴交点即为所求点M，再作线段OA的垂直平分线，与坐标轴的交点也是所求的点M，作出图形，利用数形结合求解即可． 【详解】解：如图，满足条件的点M的个数为6． 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，利用数形结合求解更形象直观． 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在轴上，且使为等腰三角形，符合题意的点的个数为（    ）． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】以O为圆心，AO长为半径画圆可得与x轴有2个交点，再以A为圆心，AO长为半径画圆可得与x轴有1个交点，然后再作AO的垂直平分线可得与x轴有1个交点． 【详解】解：如图所示： 点P在x轴上，且使△AOP为等腰三角形，符合题意的点P的个数共4个， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了等腰三角形的判定，关键是考虑全面，作图不重不漏． 知识点2：等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边. 要点诠释： (1)要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆．判定定理得到的结论是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边和角关系. （2）不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰三角形． 【题型5等腰三角形的判定】 【典例5】如图，，与相交于点，且，求证：是等腰三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定以及等腰三角形的判定，证明是解题的关键． 根据“边边边”判定，由全等三角形的性质可得 ，进而可得，判定即可． 【详解】证明：在 和 中， ， ， ， 即 是等腰三角形． 【变式1】如图，是等腰三角形的底边上的高，，交于点． (1)求证：是等腰三角形； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，等角对等边，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据等腰三角形的三线合一得，再结合平行线的性质，得，即，进行作答． （2）根据等腰三角形的性质得，再结合平行线的性质，得，故，又因为等角对等边，得，由（1）得是等腰三角形，则，即可作答． 【详解】（1）证明： 是等腰三角形的底边上的高， ， ， 根据平行线的性质得，， ， 是等腰三角形； （2）解：是等腰三角形的底边上的高， ∴， ， ， ， ， ， 由（1）得是等腰三角形； ∴， ． 【变式2】如图，B，E，C，F是直线l上的四点，相交于点G，，，．求证： (1)； (2)是等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、等腰三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键． （1）根据即可证明； （2）由全等三角形得到，再由等角对等边即可证明． 【详解】（1）证明： ， ， 即 在和中， （2）证明：由（1）可知，≌， ， ， 是等腰三角形． 【变式3】如图，在四边形中，F是的延长线上一点，连接交于点E，，点G在边上，连接，平分．求证：是等腰三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是等腰三角形的判定，先证明，结合，可得，从而可得结论． 【详解】证明：平分， ， ， ， ， 是等腰三角形． 【题型6等腰三角形的判定与性质】 【典例6】如图，，的角平分线交于点M． (1)求证：是等腰三角形； (2)作，垂足为N，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理． （1）根据平行线的性质以及角平分线的定义可得，从而得到，即可求证； （2）根据等腰三角形的性质可得，再由勾股定理解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：∵是等腰三角形，， ， ∴， 在中，∵， ∴． 【变式1】如图，在中，平分交于点D，E为上一点，连接，，F是的中点，连接． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，平行线的性质，角平分线的定义，熟知等腰三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）由平行线的性质和角平分线的定义可证明，据此可证明结论； （2）由平行线的性质可得的度数，再由三线合一定理即可得到答案． 【详解】（1）证明：平分 ， ， ， ， ； （2）解：， ， ，F是的中点， ． 【变式2】如图，在中，，是上的一点，过点作的垂线，分别交于点，交的延长线于点． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据等边对等角得，结合，故，，再运用对顶角相等得，结合有两个角相等的三角形是等腰三角形，即可作答． （2）先设的长为，因为，得，由（1）得是等腰三角形，故，又因为，，即，解得，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∵， ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴是等腰三角形 （2）解：设的长为， 则， ∵， ∴， 由（1）得是等腰三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即的长为． 【变式3】如图，点在线段AB上， ． (1)求证：是等腰三角形． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定定理和等腰三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）先由平行线的性质得到，再证明，得到，据此可证明结论； （2）根据等边等等角得到，由全等三角形的性质得到，则可证明，得到，据此可得答案． 【详解】（1）证明：， ， ， ． ． 是等腰三角形． （2）解：， ， ， ． , ， ， ． 1．一个等腰三角形的底角为，则它的顶角为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．根据等腰三角形的性质，两个底角相等，已知一个底角为，则另一个底角也为，再根据三角形内角和定理，顶角等于减去两个底角之和计算即可． 【详解】解：等腰三角形的两个底角相等，且一个底角为， 另一个底角也为， 三角形内角和为， 顶角， 故选：D． 2．如图，在中，，平分，若，则的长为（   ） A．4 B．8 C．6 D．5 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质． 根据“三线合一”的性质即可求解． 【详解】解：，为的平分线，， ． 故答案为：D． 3．如图，在中，点D在边上，，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 根据等腰三角形的性质得到，通过三角形内角和为，求出的度数，进而求出的度数． 【详解】解：、 故选：C． 4．如图，，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握相关知识．由平行线的性质可得，由可得，最后根据三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解： ， ， ， ， ， 故选：C． 5．大观公园是国家4A级旅游景区，始建于明朝洪武元年（公元1368年），位于昆明市以西约2公里的滇池湖畔，完好保存着许多古典园林建筑群，既反映中国清代古建筑的风格，又具有云南地方民族建筑的特色，是云南清代园林建筑的博览苑．如图，建筑的顶端可看作等腰三角形，，是的中点．下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的性质，根据等腰三角形的等边对等角可判断选项A，根据三线合一可判断选项B、C，据此即可解答． 【详解】解：∵， ∴，故选项A正确； ∵，是的中点， ∴，，故选项B、C正确． 由已知得不到，故D不正确； 故选：D 6．如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东方向的A处，它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东方向的B处，则B处与灯塔P的距离为（   ） A．40海里 B．70海里 C．80海里 D．110海里 【答案】C 【分析】本题考查了方向角、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握等腰三角形的判定是解题关键．如图（见解析），先根据题意可得，，，海里，再求出，然后根据等腰三角形的判定即可得． 【详解】解：如图，由题意得：，，，（海里）， ∴，， ∴， ∴海里， 即处与灯塔的距离为80海里， 故选：C． 7．如图，在△中，平分，平分，与交于点，经过点，分别交，于点，．，已知，，则梯形的周长为（    ） A．39 B．41 C．43 D．45 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形判定、平行线的性质和角平分线的定义，关键是根据角平分线的定义得出，解答．根据角平分线的定义得出，，进而利用平行线的性质得出，，进而解答即可． 【详解】解：平分，平分， ，， ， ，， ，， ，， ，， 梯形的周长， 故选：． 8．在中，，，则 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据等腰三角形的性质，即可解答． 【详解】解：，， ， 故答案为：． 9．等腰三角形底角的度数为，则顶角的度数为 ． 【答案】/80度 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质；三角形的内角和，掌握知识点是解题的关键． 等腰三角形中，给出了底角的度数为，可以结合等腰三角形的性质及三角形的内角和定理直接求出顶角，答案可得． 【详解】解：∵三角形为等腰三角形，且底角的度数为， ∴顶角的度数为． 故答案为：． 10．如图，在中，，是中线，是角平分线，．求和的度数． 【答案】， 【分析】此题考查等腰三角形的性质，关键是根据等腰三角形的三线合一解答．根据等腰三角形的性质求出，进而解答即可． 【详解】，， ， ，是中线， ，即． ． ，是的平分线， ． 是的外角， ． 11．图①、图②都是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点为格点，每个小正方形的边长均为1，在图①、图②中已画出AB，点A、B均在格点上，按下列要求画图： （1）在图①中，画一个以AB为腰且三边长都是无理数的等腰三角形ABC，点C为格点； （2）在图②中，画一个以AB为底的等腰三角形ABD，点D为格点． 【答案】（1）答案见详解；（2）答案见详解． 【分析】（1）直接利用网格结合勾股定理得出符合题意的图形； （2）直接利用网格结合勾股定理得出符合题意的图形． 【详解】（1）如图所示：即为所求； （2）如图所示：即为所求． 【点睛】本题考查了应用设计与作图，正确应用勾股定理是解题的关键． 12．如图，在中，和的角平分线交于点，过点作交于点，交于点．若， (1)求的长度； (2)若的周长为25，，求的周长． 【答案】(1)7 (2)15 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义及等腰三角形的判定， 对于（1），先根据角平分线定义得，再根据“两直线平行内错角相等”得，进而得出，同理可得,然后根据得出答案； 对于（2），先根据题意求出，再根据的周长得出答案． 【详解】（1）解：是的平分线， ． ， ， 即， ； 同理是的平分线 ， ； ， ； 即， , ； （2）解：的周长为25，， ， 的周长． 学科网（北京）股份有限公司 $