3.4.3 课时2 空间中的距离问题课件-2025-2026学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

第三章 空间向量与立体几何 3.4.3 课时2 空间中的距离问题 1.能用向量方法解决点到平面、平行于平面的直线到平面、相互平行的平面间的距离问题. 2.经历点到直线距离公式的推导过程，会用公式解决空间内的距离问题. 2 两点间的距离 点到直线的距离 两平行线之间的距离 点到平面的距离 直线到平面的距离 两个平行平面间的距离 用垂直刻画 空间中距离： 问题1：这些距离问题如何归类？ 点到平面的距离 点到直线的距离 两平行线之间的距离 点到平面的距离 直线到平面的距离 两个平行平面间的距离 点到直线的距离 两点间的距离 问题2：如何用向量研究距离？ 距离 向量的模 空间两点间的距离 空间中其它距离 空间向量的模 投影向量/勾股定理 垂直 l 思考1：P 是平面 α外的一点，如何求点P到平面 α的距离？ 过点P作PQ⊥α，垂足为Q， 垂线段PQ的长度为点P到平面α的距离. 平面 α的法向量为n, A是平面α内的定点 P Q α n A 点P到平面α的距离 知识点1：点到平面的距离 思考：已知直线l 的单位方向向量为u，A是直线l 上的定点，P是直线外一点，如何利用这些条件求点P到直线l的距离？ P Q l A u ③应用勾股定理求PQ的长度 ①求出 ②求 在l上的投影向量 设 点P到直线l的距离： 知识点2：点到直线的距离 追问：如果条件改为“直线l 的方向向量”呢？即已知直线l 的方向向量为u，A是直线l 上的定点，P是直线外一点，如何利用这些条件求点P到直线l的距离？ P Q l A u a 为直线l 的单位方向向量 点P到直线l的距离 在直线l 的投影向量 两直线的方向向量为u， P、Q、A分别是直线 l1，l2上的点 思考2：类比点到直线的距离的求法，如何求两条平行直线之间的距离？ l1 l2 u A P Q a 知识点3：平行线间的距离 归纳总结：向量方法求距离的相关公式 距离问题 图示 向量法距离公式 两点间的距离 点到直线的距离 两平行线之间的距离 点到平面的距离 P Q l A u a P Q n α A l1 l2 A P Q a u P Q 分析：根据条件建立直角坐标系，用坐标表示相关的点、直线的方向向量和平面的法向量，再利用有关公式，通过坐标运算得出相应的距离. 例1：在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1 中，E为线段A1B1的中点，F为线段AB的中点. （1）求点B到直线AC1的距离；（2）求直线 FC 到平面AEC1的距离. 解：以D1为原点，D1 A1，D1 C1，D1 D所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(1，0，1)，B(1，1，1)，C(0，1，1)，C1(0，1，0)， 所以 （1）求点B到直线AC1的距离；（2）求直线 FC 到平面AEC1的距离. （1）取 则 所以点B到直线AC1的距离为 设平面AEC1的法向量为 n=(x,y,z)，则 （2）因为 ， 所以 FC∥EC1，所以 FC∥平面AEC1； 所以点F到平面AEC1的距离即为直线FC到平面AEC1的距离. 所以 ；取z=1，则x=1，y=2； ，所以 又因为 ，所以点F到平面AEC1的距离为 即直线FC到平面AEC1的距离为 （2）求直线 FC 到平面AEC1的距离. 所以n=(1，2，1)是平面AEC1的一个法向量. 归纳总结：用空间向量解决立体几何问题的"三步曲": 化为向量问题 进行向量运算 回到图形问题 得到所求距离 建立空间直角坐标系，求所需向量的坐标 应用向量距离计算公式 1.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点，F为线段BB1的中点. (1)求点A1到直线B1E的距离； (2)求直线FC1到直线AE的距离； (3)求点A1到平面AB1E的距离； (4)求直线FC1到平面AB1E的距离. A1 C B D A B1 C1 D1 E F 2.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，求平面A1DB到平面D1CB1的距离. A1 C B D A B1 C1 D1 解：建立如图所示的空间直角坐标系，则 ∴平面A1DB∥平面D1CB， ∴点C到平面A1DB的距离即为两平行平面的距离. x y z 取x=1，得y=-1，z=-1，∴n=(1,-1,-1). 设平面A1DB的法向量n=(x,y,z)，则 ∴平面A1DB到平面D1CB1的距离为 A1 C B D A B1 C1 D1 x y z 根据今天所学，回答下列问题： 1.空间距离公式有哪些？ 2.用自己的话概括用空间向量解决立体几何问题的"三步曲". $