第1章 二次函数（复习课件）数学湘教版九年级下册

单元复习课件 第1章 二次函数 湘教版·九年级下册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 4.具备 “数形结合” 转化能力，能根据解析式规范绘制图象，也能从图象中提取顶点、对称轴、交点等关键信息；能运用二次函数解决实际问题。 1．掌握二次函数的概念。 2．理解二次函数与一元二次方程的关联；能通过判别式判断抛物线与轴的交点个数。 3.掌握一般式、顶点式、交点式三种表达式的特征，能根据已知条件（三点坐标、顶点、交点等）灵活设式，并实现三种形式的互化。运用待定系数法、配方法等核心方法，解决解析式求解、最值计算等基础问题. 单元学习目标 单元知识图谱 考点一、二次函数的概念 1． 一般地，形如　 　(是常数， 　) 的函数，叫做二次函数．其中，是自变量，是二次项系数，是一次项系数，是常数项。 注意： (1) 等号右边必须是整式； (2) 自变量的最高次数是 2； (3) 当 时，是特殊的二次函数． (4)自变量的取值范围是所有实数。 考点串讲 2．顶点式：，其中顶点坐标为 。 考点二、二次函数的解析式 1．一般式： 3．交点式：，其中为抛物线与轴交 点的 。 横坐标 4．形式互化 一般式→顶点式：配方法 一般式→交点式：因式分解 一提：提出二次项系数 二配：配成完全平方式 三化：化成顶点式 考点串讲 考点三、二次函数的图象与性质 图像及开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 增减性 开口向上 开口向下 直线 直线 ( ( 考点串讲 考点四 、系数符号与图像特征关系 函数表达式 决定抛物线的开口方向及开口大小 决定对称轴 的位置 决定抛物线与轴的交点的位置 决定抛物线与轴的交点个数 当时，抛物线开口向上； 当时，抛物线开口向下。 当同号， ,对称轴在轴左侧； 当时， ,对称轴为轴； 当异号， 对称轴在轴右侧。 当时，抛物线与轴交于正半轴上； 当时，抛物线经过原点； 当时，抛物线与y轴的交于负半轴上。 当时，抛物线与轴有2个交点； 当时，抛物线经过原点； 当时，抛物线与轴没有交点。 考点串讲 考点五 、二次函数的图象的平移 上下平移个单位 向上或向下 左右平移个单位 向左或向右 左右平移个单位 向左或向右 上下平移个单位 向上或向下 简记：常数项上加下减；自变量左加右减；二次项系数 不变. 考点串讲 考点六 、待定系数法求二次函数解析式 1．用待定系数法求二次函数解析式的基本步骤： ①设→②代→③解→④定。 一般式：已知三点坐标。 顶点式：已知顶点（或最值）及另外一点 交点式：已知与x轴两个交点及另外一点 考点串讲 考点七 、二次函数一元二次方程的联系 二次函数 的图像与轴的公共点 一元二次方程 的实数根 一元二次方程 根的判别式 有两个公共点 有两个不相等的实数根 有两个重合的交点 有两个相等的实数根 没有公共点 没有实数根 考点串讲 考点八 、二次函数的应用 2．类型 拱桥问题 1．基本步骤 利润最大问题 面积最值问题 动点问题 考点串讲 实际问题，设自变量、因变量。 建立二次函数模型，求出取值范围。 利用二次函数的图像和性质求解。 实际问题的解，检验合理性。 题型一、二次函数的概念 例1 下列函数中哪些是二次函数？为什么？（x是自变量） ① ； ② ； ③； ④ ； ⑤； ⑥ 解： ①不一定是，缺少a≠0的条件；④不是，右边是分式； ⑤不是，x的最高次数是3； ⑥不是，可变形为y=6x+9。 ②③符合二次函数的概念，是二次函数。 解析： 判断一个函数是不是二次函数，先看原函数和整理化简后的形式再作判断.除此之外，二次函数除有一般形式外，还有其特殊形式如等. 题型剖析 题型一、二次函数的概念 练一练 已知， （1）取什么值时，此函数是正比例函数？ （2）取什么值时，此函数是二次函数？ 解： （1）由题可知, 解得 （2）由题可知, 解得 m=3. 注意：第（2）问易忽略二次项系数a≠0这一限制条件，从而得出m=3或-3的错误答案，需要引起同学们的重视. 题型剖析 题型二、二次函数的图像和性质 例2 抛物线y＝x2－2x＋3的顶点坐标为______． 解：方法一：配方，得，则顶点坐标为(1,2)． 方法二：代入公式 ， ， 则顶点坐标为(1,2)． （1,2） 解析：解决此类题目可以先把二次函数配方为顶点式的形式，得到：对称轴是直线，最值为，顶点坐标为；也可以直接利用公式求解. 题型剖析 题型二、二次函数的图像和性质 练一练 对于的图象下列叙述正确的是(　　) A．顶点坐标为(－3,2) B．对称轴为 C．当时，随的增大而增大 D．当时，随的增大而减小 解：对于函数：，；顶点坐标为(3,2)，对称轴为直线。 A：顶点坐标为(-3,2) → ❌（正确是(3,2)） B：对称轴为 → ❌（对称轴是直线，不是） C：当时，随的增大而增大 → ✅（开口向上，对称轴右侧随增大而增大），故C对，D错。故选C。 C 题型剖析 题型二、二次函数的图像和性质 例3 二次函数的图象如图所示，若点A(x1，y1)，B(x2，y2)在此函数图象上，且，则y1与y2的大小关系是(　　) AB．C．D． 解：由图象看出，抛物线开口向下，对称轴是直线x＝1，当x＜1时，y随x的增大而增大．∵x1<x2<1，∴y1<y2 . 故选B. B 方法总结： 当二次函数的表达式与已知点的坐标中含有未知字母时，可以用如下方法比较函数值的大小： (1)用含有未知字母的代数式表示各函数值，然后进行比较； (2)在相应的范围内取未知字母的特殊值，采用特殊值法求解； (3)根据二次函数的性质，结合函数图象比较. 题型剖析 题型二、二次函数的图像和性质 练一练 下列函数中，当时，值随值增大而减小的是（ ） AB.C. D. 解析：A. ，这是开口向上的抛物线，对称轴为 轴。当 时， 随 增大而增大。 B. ，这是一次函数，斜率 。当 时， 随 增大而增大。 C. ，这是正比例函数，斜率 。当 时， 随 增大而增大。 D. ，这是开口向下的抛物线，对称轴为 轴。当 时， 随 增大而减小。 综上，只有选项 D 满足“当 时， 值随 值增大而减小”的条件。 D 解析：可画出草图，数形结合，快速判断。 题型剖析 题型三、系数符号与图像特征关系 例4 已知二次函数的图象如图所示，下列结论： ④. 其中正确的个数是 (　　) A．1　　　　　B．2　　　　　C．3　　　　　D．4 解： ① ，所以 ，正确 ②由对称轴-1 < 0 ，且，不等式两边乘（不等号变向）：，整理得即正确 ③是时的函数值，从图像看，在抛物线左侧，对应的函数值小于0 ，正确 ④当时，；当时，，以所，即，所以，正确。 故选D D 解析：从图像可知： 1. 抛物线开口向下，则； 2. 对称轴在轴左侧， <0，结合<0，得<0； 3. 抛物线与轴交于正半轴，则c>0； 4. 对称轴满足-1 < 0； 5. 当时，；当时，；当时，可结合图像判断函数值符号。 题型剖析 题型三、系数符号与图像特征关系 方法总结： 1.可根据对称轴的位置确定b的符号：⇔对称轴是y轴；同号⇔对称轴在y轴左侧；异号⇔对称轴在y轴右侧.这个规律可简记为“左同右异”. 2.可采用特殊值。当x＝1时，函数.当图象上横坐标 x＝1的点在x轴上方时，；当图象上横坐标x＝1的点在x轴上时，；当图象上横坐标x＝1的点在x轴下方时，.同理，可由图象上横坐标的点判断的符号. 题型剖析 题型三、系数符号与图像特征关系 练一练 已知二次函数，当时，的值随值的增大而减小，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 解： ∵二次项系数为－1＜0， ∴抛物线开口向下，在对称轴右侧，的值随值的增大而减小， 由题设可知，当时，的值随值的增大而减小， ∴抛物线的对称轴应在直线的左侧而抛物线对称轴 ， 即，故选择D . D 题型剖析 题型四、二次函数的图象的平移 例5 将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线表达式是(　　) A． B． C． D． 解：因为＝－＋＝－－，所以向上平移2个单位长度，得y＝(x－3)2－4＋2，再向右平移1个单位长度后，得到的表达式为y＝(x－3－1)2－4＋2，即＝(－4)－.故选B. B 解析：抛物线平移的规律可总结如下口诀：自变量左加右减，常数项上加下减.如有括号，注意是括号内整体加减。 题型剖析 题型四、二次函数的图象的平移 练一练 若抛物线 y=－7(x+4)2－1平移得到 y=－7x2，则必须（ ） A.先向左平移4个单位，再向下平移1个单位 B.先向右平移4个单位，再向上平移1个单位 C.先向左平移1个单位，再向下平移4个单位 D.先向右平移1个单位，再向下平移4个单位 B 题型剖析 题型五、待定系数法求二次函数解析式 例6 已知关于的二次函数,当时,函数值为10,当时,函数值为4,当时,函数值为7,求这个二次函数的表达式. 解题思路：利用待定系数法，设表达式，代入已知条件求解。 解：设所求的二次函数为y＝ax2+bx＋c, 由题意得： 解得, a=2,b=－3,c=5. ∴ 所求的二次函数表达式为y＝2x2－3x＋5. 题型剖析 题型五、待定系数法求二次函数解析式 解题总结： 函数形式 适用条件 解题步骤 一般式 已知3个普通点坐标 设解析式→代入得三元一次方程组→求解系数 顶点式 已知顶点+1个点 设解析式→代入点求 →确定解析式 交点式 已知与轴两交点+1个点 设解析式→代入点求 →确定解析式 题型剖析 解：设二次函数的解析式为 。 将点 代入解析式： 解方程：得 代入顶点式并展开（也可不展开）： 因此，二次函数解析式为（顶点式） 或（一般式）。 题型五、待定系数法求二次函数解析式 练一练 已知二次函数的顶点坐标为 ，且图象经过点 ，求这个二次函数的解析式。 题型剖析 解： 设二次函数的解析式为 。 将点 代入解析式： 解方程： 代入交点式并展开（也可不展开）： 因此，二次函数解析式为（交点式） 或（一般式）。 题型五、待定系数法求二次函数解析式 练一练 已知二次函数的图象与 轴交于点 和 ，且经过点 ，求这个二次函数的解析式。 题型剖析 题型六、二次函数一元二次方程的联系 例7 若二次函数的对称轴是，则关于的方程的解为（　　） 解：∵二次函数的对称轴是， ∴，解得， ∴关于x的方程可化为， 即，解得． 故选D． D 题型剖析 题型六、二次函数一元二次方程的联系 解题总结 关系维度 二次函数 一元二次方程 数量关系 与 轴交点个数 实数根的个数 坐标关系 交点横坐标 方程的实数根 判别式 个交点 个不等实根 判别式 个交点 个相等实根 判别式 无交点 无实根 题型剖析 练一练 已知二次函数 的图像与 轴交于 、 两点，求一元二次方程 的根。 题型六、二次函数一元二次方程的联系 解法1：代数法（因式分解） 解得： 解法2：配方法 配方得 ，顶点为 。 当 时，图像与 轴交点横坐标为 和 ，即方程的根。 所以方程的根为 。 题型剖析 练一练 判断下列二次函数的图像与 轴的交点个数，并说明对应的一元二次方程根的情况。 题型六、二次函数一元二次方程的联系 解：(1) 对于 ， 函数图像与 轴有 2 个交点，方程 有两个不相等的实数根。 (2) 对于 ， 函数图像与 轴有 1 个交点，方程 有两个相等的实数根。 (3) 对于 ， 函数图像与 轴无交点，方程 无实数根。 解题思路： 关键是计算 判别式 题型剖析 题型七、二次函数的应用 例8 某广告公司设计一幅周长为的矩形广告牌，广告设计费用每平方米1000元，设矩形的一边长为,面积为 (1)写出与之间的关系式，并写出自变量的取值范围； （2）请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用. 解：（1）设矩形一边长为x，则另一边长为 ∴,其中. （2） ∴当x=3时，即矩形的一边长为3m时，矩形面积最大，为9m2. 这时设计费最多，为9×1000=9000（元）. 题型剖析 题型七、二次函数的应用 解题总结： 二次函数在实际生活中应用广泛，核心是通过建立二次函数模型，利用其顶点坐标、增减性等性质解决“最大值/最小值”“最优方案”等问题。解题关键步骤：1. 设自变量，明确变量含义； 2. 根据题意列出函数关系式； 3. 确定自变量取值范围； 4. 利用二次函数性质求解； 5. 检验结果是否符合实际意义。 题型剖析 练一练 用长为20m的篱笆围成一个矩形菜园，靠墙的一边不需要篱笆（墙足够长），设矩形的宽为m，面积为 m²。（1）求与之间的函数关系式；（2）当宽取多少时，菜园面积最大？最大面积是多少？ 题型七、二次函数的应用 解：（1）设矩形的宽为 m，由于靠墙一边不需要篱笆，篱笆只围另外三边（两个宽和一个长），因此矩形的长为m。 ，整理得：（需满足：，即） （2）对于二次函数， 函数开口向下，顶点为最大值点。 顶点横坐标： 将代入函数， 得最大面积：（m²） 因此，当宽取5m时，菜园面积最大，最大面积为50m²。 题型剖析 1.已知函数 是关于的二次函数． (1)求的值； (2)当为何值时，该函数图象的开口向上？ (3)当为何值时，该函数有最大值？ 解： （1）根据题意，得，解得 （2）∵函数图象的开口向上 ∴,∴,∴ 当时，该函数的图象开口向上。 （3）∵函数有最大值， ∴,∴,∴ 当时，该函数有最大值。 考查二次函数概念和图像性质 针对训练 2.已知二次函数 （），当 时， 随 的增大而减小，求 的取值范围。 解： 二次函数对称轴：； 由题意， 时 随 增大而减小，说明抛物线开口向下，即 ； 且对称轴需在直线 或其左侧，即 ； 解不等式 （，两边乘 变号）： ，即 ； 综上， 的取值范围是 。 考查二次函数概念和图像性质 针对训练 3.把抛物线向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为 。 考查二次函数图像的平移 4.把抛物线向右平移1个单位，然后向下平移3个单位后，其顶点在第四象限，则取值范围是 。 2 4.解：抛物线经平移后，得到的表达式为，即. 其顶点为， 因为在第四象限， 所以.即即2 针对训练 5.求二次函数 在 范围内的最值。 考查配方法求二次函数的最值 解：配方得顶点式：，顶点坐标 ，，开口向上。 因为顶点在取值范围内，所以最小值在顶点处取得。 即当 时，。 求区间端点的函数值： 当 时，； 当 时，。 比较端点值大小： 当 时， 。 综上，在 内， 的最小值为 ，最大值为5。 针对训练 6.已知函数 的图像与 轴只有一个交点，求 的值。 考查函数与方程的联系 解：当时，，是一次函数，此时与轴必有一个交点。 当，函数为二次函数， 此时 所以 所以的值为或 针对训练 7.某工厂生产的一种产品，每件成本为10元，销售价为元时，每月销售量为件，且与之间的关系为。设每月的利润为元，若每月成本不超过2000元，求每月最大利润是多少？ 考查二次函数的应用 解：（1）每件利润为元，销售量为件， 因此利润；得： （2）每月成本 = 每件成本×销售量 ，则，即 即；解得 同时，销售量，得， 因此自变量m的取值范围为 （3）二次函数，，开口向下，对称轴为 对称轴在取值范围内，因此当时，取得最大值。 代入：（元）.因此，每月最大利润为4000元。 针对训练 课堂总结 感谢聆听! $