第1章 二次函数（湖南专用，单元测试·基础卷）数学湘教版九年级下册

2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷（湖南专用） 第1章 二次函数·基础通关 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列函数是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．抛物线的对称轴是 （    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 3．抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线解析式为（　） A． B． C． D． 4．如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为时，水面宽度为，那么水位上涨时，水面的宽度为（   ） A． B． C． D． 5．对于抛物线，下列的说法错误的是（　　） A．抛物线的开口向上 B．抛物线的顶点坐标是 C．当时，y随x的减小而增大 D．当时，y随x的增大而增大 6．某同学在用列表描点法画二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象时，列出了下面的表格，那么当x＝5时，y的值为(　　) x … －1 0 1 2 3 … y … 8 3 0 －1 0 … A．8 B．6 C．4 D．3 7．点A（-2，y1）、B（1，y2）、C（2，y3）是抛物线y=ax2+2ax+c(a>0)上的点，则y1、y2、y3的大小关系为（    ） A．y1>y2>y3 B．y1>y3>y2 C．y3>y2>y1 D．y2>y1>y3 8．如图，二次函数：与一次函数：y=mx+n(m≠0)的图象交于A，B两点，则一元二次方程的解为(　　) A． B．， C．， D． 9．在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（          ）． A．B．C． D． 10．已知二次函数的图象如图所示，顶点为，下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（　　）    A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11．若关于的函数是二次函数，则的取值范围是______． 12．函数化为顶点式是________． 13．某件商品原价为100元，经过两次涨价后的价格为元，如果每次涨价的百分率都是，那么关于的函数关系式为______． 14．点在二次函数的图象上，当时，则的取值范围是______. 15．二次函数的最大值是，则____． 16．如图，抛物线与轴相交于，两点，当抛物线与轴围成的区域（阴影部分）面积最小时，a的值为___________． 17．如图，△ABC是直角三角形，∠A＝90°，AB＝8 cm，AC＝6 cm，点P从点A出发，沿AB方向以2 cm/s的速度向点B运动；同时点Q从点A出发，沿AC方向以1 cm/s的速度向点C运动，其中一个动点到达终点，另一个动点也停止运动，则△APQ的最大面积是________． 18．新定义：为二次函数（，，，为实数）的“图象数”，如：的“图象数”为，若“图象数”是的二次函数的图象与轴只有一个交点，则的值为___________________． 三、解答题（第19，20题，每题6分；第21，22题，每题8分；第23，24题，每题9分；第25，26题，每题10分；共8小题，共66分） 19．已知二次函数的图象经过点．求： (1)该函数解析式及对称轴； (2)试判断点是否在此函数的图象上． 20．如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于点A（1，0）和B（2，0），与y轴交于点C． (1)求b和c的值； (2)求直线AC的解析式． 21．如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长． (1)菜园的面积可以为吗？为什么？ (2)这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？ 22．如图，抛物线与轴相交于点A(3，0)和，与轴相交于点． （1）求的值和点的坐标； （2）点D(x，y)是抛物线上一点，若S△ABD= S△ABC，求点的坐标 23．如图，需在一面墙上绘制几个相同的抛物线型图案．按照图中的直角坐标系，最左边的抛物线可以用y＝ax2＋bx(a≠0)表示．已知抛物线上B，C两点到地面的距离均为m，到墙边OA的距离分别为m，m. (1)求该拋物线的函数关系式，并求图案最高点到地面的距离； (2)若该墙的长度为10 m，则最多可以连续绘制几个这样的拋物线型图案？ 24．施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度OM为12米，现在O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系（如图所示）． （1）直接写出点M及抛物线顶点P的坐标； （2）求出这条抛物线的函数解析式； （3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”ABCD，使A、D点在抛物线上，B、C点在地面OM上．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆AB、AD、DC的长度之和的最大值是多少？请你帮施工队计算一下． 25．已知：抛物线：与抛物线关于y轴对称， 抛物线与x轴分别交于点A（-3， 0）， B（m， 0）， 顶点为M． （1）求b和m的值； （2）求抛物线的解析式； （3）在x轴， y轴上分别有点P（t， 0）， Q（0， -2t）， 其中t＞0， 当线段PQ与抛物线有且只有一个公共点时，求t的取值范围．    26．如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接． (1)求抛物线解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点，使的值最小，求出点的坐标； (3)若点是线段上的一动点（不与，重合），轴，且交抛物线于点，交轴于点，求的面积最大值及此时点的坐标． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷（湖南专用） 第1章 二次函数·基础通关（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B C A A C A C C D C 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11． 12． 13． 14． 15． 16． 17．16 cm2 18．或 三、解答题（第19，20题，每题6分；第21，22题，每题8分；第23，24题，每题9分；第25，26题，每题10分；共8小题，共66分） 19．（1）解：∵二次函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴二次函数解析式为， ∴二次函数对称轴为y轴；（4分） （2）解：在中，当时，， ∴点不在此函数的图象上．（6分） 20．（1）解：由A（1，0）和B（2，0）可知， 抛物线解析式为y＝（x﹣1）（x﹣2）， 即y＝x2﹣3x+2， ∴b＝﹣3，c＝2；（3分） （2）当x＝0时，y＝x2﹣3x+2＝2，则C（0，2）， 设直线AC的解析式为y＝mx+n， 把A（1，0），C（0，2）代入得， ，解得， ∴直线AC的解析式为y＝﹣2x+2．（6分） 21．（1）解：设平行于墙的矩形边长为， 则 ， 整理得， 解得，，不合题意，舍去， ∴菜园的面积不可以为；（4分） （2）设菜园的面积为，平行于墙的矩形边长为， ∴， ∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∵， ∴当时，有最大值，为． 此时， 答：矩形的长为，宽为时，菜园的面积最大，最大面积为．（8分） 22．（1）∵抛物线y=−x2+2x+m与x轴相交于点A(3，0)， ∴−32+2×3+m=0，解得：m=3， ∵该抛物线的对称轴为：直线x=1， ∴B(−1，0)；（4分） （2）∵点D(x，y)是抛物线上一点， ∴设D的坐标为(x，−x2+2x+3)， ∵AB=4，OC=3， ∴S△ABC=×4×3=6， ∵S△ABD=S△ABC， ∴∙AB∙|−x2+2x+3|=6，即：−x2+2x+3=3或−x2+2x+3=-3， ∴（舍去），， ∴D的坐标是：(2，3)或(，3)或(，3)．（8分） 23．（1）根据题意得：B（，），C（，）， 把B，C代入y=ax2+bx得， 解得：， ∴拋物线的函数关系式为y=﹣x2+2x； ∴图案最高点到地面的距离=；（5分） （2）令y=0，即﹣x2+2x=0， ∴x1=0，x2=2， ∴10÷2=5， ∴最多可以连续绘制5个这样的拋物线型图案．（9分） 24．（1）M（12，0），P（6，6）（3分） （2）∵顶点坐标（6，6） ∴设y=a（x﹣6）2+6（a≠0） 又∵图象经过（0，0） ∴0=a（0﹣6）2+6 ∴a= ∴这条抛物线的函数解析式为y=（x﹣6）2+6，即y=x2+2x；（6分） （3）设A（x，y） ∴A（x，（x﹣6）2+6） ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=DC=（x﹣6）2+6， 根据抛物线的轴对称性，可得：OB=CM=x， ∴BC=12﹣2x，即AD=12﹣2x， ∴令L=AB+AD+DC=2[（x﹣6）2+6]+12﹣2x=x2+2x+12=（x﹣3）2+15． ∴当x=3，L最大值为15 ∴AB、AD、DC的长度之和最大值为15米．（9分） 25．解：（1）∵抛物线y=2x2+bx+6过点 A（-3，0）， ∴0=18-3b+6， ∴b=8， ∴C1：y=2x2+8x+6， 令y=0，则2x2+8x+6=0， 解得x1=-3，x2=-1 ∴m=-1；（3分） （2）∵C1：y=2x2+8x+6=2（x+2）2-2， ∴M（-2，-2）， ∴点M关于y轴的对称点N（2，-2）， ∴C2：y=2（x-2）2-2=2x2-8x+6，（6分） （3）由题意，点A（-3，0）与D，点B（-1，0）与C关于y轴对称， ∴D（3，0），C（1，0）， ∵P（t，0），Q（0，-2t）， ∴PQ：y=2x-2t， 当PQ过点C时，即P与C重合时，t=1， 当PQ过点D时，即P与D重合时，t=3， 当直线PQ与抛物线C2有且仅有一个公共点时，即方程2x2-8x+6=2x-2t中△=0， 方程整理得x2-5x+3+t=0，△=25-4（3+t）=0， 解得t=． 综上，由图得，当1≤t＜3或t=时，PQ与抛物线C2有且仅有一个公共点．   （10分） 26．（1）解：∵抛物线与轴交于，两点， ， 解得：， ∴抛物线解析式为；（3分） （2）解：∵D是抛物线的对称轴上一点， ∴， ∴的最小值即为的最小值， ∴直线与抛物线对称轴的交点即为D，如下图： ∵抛物线解析式为的对称轴为直线， 令，则， ∴， ∵， 设所在的直线函数解析式为，把点和点代入解析式， 得：， 解得：， ∴直线解析式为， 把代入得：， ∴；（6分） （3）解：设， 又∵点和点， ∴， 由题意得： ， ， 当时，有最大值为， 当时，， ．（10分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷（湖南专用） 第1章 二次函数·基础通关 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列函数是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．抛物线的对称轴是 （    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 3．抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线解析式为（　） A． B． C． D． 4．如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为时，水面宽度为，那么水位上涨时，水面的宽度为（   ） A． B． C． D． 5．对于抛物线，下列的说法错误的是（　　） A．抛物线的开口向上 B．抛物线的顶点坐标是 C．当时，y随x的减小而增大 D．当时，y随x的增大而增大 6．某同学在用列表描点法画二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象时，列出了下面的表格，那么当x＝5时，y的值为(　　) x … －1 0 1 2 3 … y … 8 3 0 －1 0 … A．8 B．6 C．4 D．3 7．点A（-2，y1）、B（1，y2）、C（2，y3）是抛物线y=ax2+2ax+c(a>0)上的点，则y1、y2、y3的大小关系为（    ） A．y1>y2>y3 B．y1>y3>y2 C．y3>y2>y1 D．y2>y1>y3 8．如图，二次函数：与一次函数：y=mx+n(m≠0)的图象交于A，B两点，则一元二次方程的解为(　　) A． B．， C．， D． 9．在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（          ）． A．B．C． D． 10．已知二次函数的图象如图所示，顶点为，下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（　　）    A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11．若关于的函数是二次函数，则的取值范围是______． 12．函数化为顶点式是________． 13．某件商品原价为100元，经过两次涨价后的价格为元，如果每次涨价的百分率都是，那么关于的函数关系式为______． 14．点在二次函数的图象上，当时，则的取值范围是______. 15．二次函数的最大值是，则____． 16．如图，抛物线与轴相交于，两点，当抛物线与轴围成的区域（阴影部分）面积最小时，a的值为___________． 17．如图，△ABC是直角三角形，∠A＝90°，AB＝8 cm，AC＝6 cm，点P从点A出发，沿AB方向以2 cm/s的速度向点B运动；同时点Q从点A出发，沿AC方向以1 cm/s的速度向点C运动，其中一个动点到达终点，另一个动点也停止运动，则△APQ的最大面积是________． 18．新定义：为二次函数（，，，为实数）的“图象数”，如：的“图象数”为，若“图象数”是的二次函数的图象与轴只有一个交点，则的值为___________________． 三、解答题（第19，20题，每题6分；第21，22题，每题8分；第23，24题，每题9分；第25，26题，每题10分；共8小题，共66分） 19．已知二次函数的图象经过点．求： (1)该函数解析式及对称轴； (2)试判断点是否在此函数的图象上． 20．如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于点A（1，0）和B（2，0），与y轴交于点C． (1)求b和c的值； (2)求直线AC的解析式． 21．如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长． (1)菜园的面积可以为吗？为什么？ (2)这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？ 22．如图，抛物线与轴相交于点A(3，0)和，与轴相交于点． （1）求的值和点的坐标； （2）点D(x，y)是抛物线上一点，若S△ABD= S△ABC，求点的坐标 23．如图，需在一面墙上绘制几个相同的抛物线型图案．按照图中的直角坐标系，最左边的抛物线可以用y＝ax2＋bx(a≠0)表示．已知抛物线上B，C两点到地面的距离均为m，到墙边OA的距离分别为m，m. (1)求该拋物线的函数关系式，并求图案最高点到地面的距离； (2)若该墙的长度为10 m，则最多可以连续绘制几个这样的拋物线型图案？ 24．施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度OM为12米，现在O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系（如图所示）． （1）直接写出点M及抛物线顶点P的坐标； （2）求出这条抛物线的函数解析式； （3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”ABCD，使A、D点在抛物线上，B、C点在地面OM上．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆AB、AD、DC的长度之和的最大值是多少？请你帮施工队计算一下． 25．已知：抛物线：与抛物线关于y轴对称， 抛物线与x轴分别交于点A（-3， 0）， B（m， 0）， 顶点为M． （1）求b和m的值； （2）求抛物线的解析式； （3）在x轴， y轴上分别有点P（t， 0）， Q（0， -2t）， 其中t＞0， 当线段PQ与抛物线有且只有一个公共点时，求t的取值范围．    26．如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接． (1)求抛物线解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点，使的值最小，求出点的坐标； (3)若点是线段上的一动点（不与，重合），轴，且交抛物线于点，交轴于点，求的面积最大值及此时点的坐标． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第5页（共8页） 试题 第6页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷（湖南专用） 第1章 二次函数·基础通关 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列函数是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义，形如的函数叫做二次函数． 根据二次函数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、是一次函数，不是二次函数，故该选项不符合题意； B、是二次函数，故该选项符合题意； C、的右边不是整式，不是二次函数，故该选项不符合题意； D、不是二次函数，故该选项不符合题意； 故选： B． 2．抛物线的对称轴是 （    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，由即可得出抛物线的对称轴是直线． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴是直线， 故选：C． 3．抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线解析式为（　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 【详解】解：抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线解析式为， 故选：A． 4．如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为时，水面宽度为，那么水位上涨时，水面的宽度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据已知条件建立坐标系从而求得二次函数解析式是解决问题的关键． 结合已知条件先建立适当的坐标系，然后设出解析式，利用点的坐标求得解析式，再将代入解析式求得相应的x的值，进而求得答案． 【详解】解：以拱顶为坐标原点建立坐标系，如图： ∴设抛物线解析式为：， ∵观察图形可知抛物线经过点， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为：， ∴当水位上涨时，即当时，有， ∴，， ∴水面的宽度为：． 故选：A． 5．对于抛物线，下列的说法错误的是（　　） A．抛物线的开口向上 B．抛物线的顶点坐标是 C．当时，y随x的减小而增大 D．当时，y随x的增大而增大 【答案】C 【分析】根据二次函数解析式可得抛物线开口方向，抛物线与轴交点个数及二次函数的最值，从而判断A，B，D选项，把代入函数解析式可判断C选项． 【详解】解：， 抛物线开口向上，顶点坐标为，抛物线与轴有2个交点，时随增大而增大，当时有最小值为， 选项A，B，D正确， 时，随的减小而增大， 选项C错误． 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的图象性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，二次函数的增减性，顶点坐标． 6．某同学在用列表描点法画二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象时，列出了下面的表格，那么当x＝5时，y的值为(　　) x … －1 0 1 2 3 … y … 8 3 0 －1 0 … A．8 B．6 C．4 D．3 【答案】A 【分析】根据题目提供的满足二次函数解析式的x、y的值，确定二次函数的对称轴，利用抛物线的对称性找到当x=5时，y的值即可． 【详解】由上表可知函数图象经过点（1，0）和点（3，0）， ∴对称轴为x=2， ∴当x=-1时的函数值等于当x=5时的函数值， ∵当x=-1时，y=8， ∴当x=5时，y=8． 故选A． 【点睛】本题考查了二次函数的图象的性质，利用表格找到二次函数的对称点是解决此题的关键． 7．点A（-2，y1）、B（1，y2）、C（2，y3）是抛物线y=ax2+2ax+c(a>0)上的点，则y1、y2、y3的大小关系为（    ） A．y1>y2>y3 B．y1>y3>y2 C．y3>y2>y1 D．y2>y1>y3 【答案】C 【分析】根据函数解析式的特点，其对称轴为x=3，图象开口向上；利用y随x的增大而减小，可判断y2＜y1，根据二次函数图象的对称性可判断y3＞y2；于是y1＞y3＞y2． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线 根据二次函数图象的对称性可知，中，   B（1，y2）、C（2，y3）在对称轴的右侧，y随x的增大而增大， 于是 故选C. 【点睛】本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，同时考查了函数的对称性及增减性． 8．如图，二次函数：与一次函数：y=mx+n(m≠0)的图象交于A，B两点，则一元二次方程的解为(　　) A． B．， C．， D． 【答案】C 【分析】由题意原问题转化为求二次函数与一次函数y=mx+n(m≠0) 的图象交点的横坐标，结合函数图象进行分析即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴一元二次方程的解即为二次函数与一次函数y=mx+n(m≠0) 的图象交点的横坐标， ∵二次函数：与一次函数：y=mx+n(m≠0)的图象交于A，B两点， ∴由图像可得一元二次方程的解为：，． 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握方程的根是所对应两函数图象的交点横轴坐标是解题的关键． 9．在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（          ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数图象与y轴交点的位置和一次函数的增减性，判断出m的符号，即可确定出正确的选项． 【详解】A．由直线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知，＜0，错误； B．由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上可知，m＞0，由直线可知，﹣m＞0，错误； C．由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＜0，错误； D．由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＞0，正确， 故选D． 考点：1．二次函数的图象；2．一次函数的图象． 【点睛】本题考查了二次函数的图象、一次函数的图象以及一次函数图象与系数的关系，由二次函数二次项系数结合选项找出m＜0是解题的关键． 10．已知二次函数的图象如图所示，顶点为，下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（　　）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据二次函数的图象以及顶点坐标，分别找出 、、 之间的关系， 对照 4 条结论判断其正确与否， 由此即可得出结论； 【详解】抛物线开口向上， 则 ， 抛物线与 轴交于正半轴， 则， 对称轴在 轴的左侧， 则 ， ∴， ①错误； 抛物线与 轴只有一个交点， 则 ，②正确； ∵抛物线的顶点坐标为 ， ∴， ∴，即 ，③正确； ∵， ∴，④正确； 故选：C 【点睛】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数 系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与 轴的交点抛物线与 轴交点的个数确定是解题的关键 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11．若关于的函数是二次函数，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据二次函数的定义列不等式求解即可． 【详解】∵函数是关于x的二次函数， ∴， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查二次函数的定义，熟练掌握形如（是常数，）的函数，叫做二次函数是解题的关键． 12．函数化为顶点式是________． 【答案】 【分析】先提取出公因数3，然后利用配方法化为顶点式即可． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】题目主要考查二次函数一般式与顶点式的转化，熟练掌握顶点式的形式是解题关键． 13．某件商品原价为100元，经过两次涨价后的价格为元，如果每次涨价的百分率都是，那么关于的函数关系式为______． 【答案】 【分析】本题考查了根据实际问题列函数关系式，根据现在的价格等于原价乘以（1+涨价的百分率）的平方，即可得解． 【详解】由题意得：， 故答案为：． 14．点在二次函数的图象上，当时，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】将二次函数解析式整理成顶点式形式，然后确定出对称轴，再根据二次函数的增减性求出取值范围内的最大值，然后写出的取值范围即可. 【详解】解：， 所以，对称轴为直线， ∵，， ∴当时，有最小值－1， 当时，有最大值为， 所以，的取值范围是. 故答案为. 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性以及最值问题. 15．二次函数的最大值是，则____． 【答案】 【分析】根据函数有最大值,将顶点坐标代入即可解题. 【详解】解：∵,有最大值,即开口向下, ∴当时,, ∴, 解得：a=9（舍）或a=-1, 故a=-1. 【点睛】本题考查了二次函数的顶点与最值,属于简单题,表示出顶点坐标代入函数解析式是解题关键. 16．如图，抛物线与轴相交于，两点，当抛物线与轴围成的区域（阴影部分）面积最小时，a的值为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质． 根据题意分析出顶点纵坐标越大时，阴影部分面积越小，表示出顶点的纵坐标，然后利用二次函数的图象和性质继续分析即可． 【详解】解：根据题意得，， ∴取任何数时，抛物线与轴都有两个交点， 根据抛物线的性质的，此时抛物线开口大小固定，抛物线顶点纵坐标为负值， 当抛物线的顶点纵坐标越大时，阴影部分面积越小， ∴顶点纵坐标为， ∴顶点纵坐标可看作关于的二次函数，开口向下，顶点纵坐标为最大值， ∴此二次函数的顶点横坐标为， 故答案为：． 17．如图，△ABC是直角三角形，∠A＝90°，AB＝8 cm，AC＝6 cm，点P从点A出发，沿AB方向以2 cm/s的速度向点B运动；同时点Q从点A出发，沿AC方向以1 cm/s的速度向点C运动，其中一个动点到达终点，另一个动点也停止运动，则△APQ的最大面积是________． 【答案】16 cm2 【分析】设经过ts运动停止，列出面积与t之间的函数关系式，然后利用二次函数的性质进行求解即可得． 【详解】设运动时间为t s，则AP＝2t cm，AQ＝t cm，S△APQ＝t2 cm2， ∵0＜t≤4， ∴△APQ的最大面积是16 cm2， 故答案为16 cm2. 【点睛】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键. 18．新定义：为二次函数（，，，为实数）的“图象数”，如：的“图象数”为，若“图象数”是的二次函数的图象与轴只有一个交点，则的值为___________________． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题，根据新定义得出二次函数的解析式为，然后根据判别式的意义得出，计算即可得解． 【详解】解：由题意得：二次函数的解析式为， ∵二次函数的图象与轴只有一个交点， ∴， 整理得：， 解得：，， 故答案为：或． 三、解答题（第19，20题，每题6分；第21，22题，每题8分；第23，24题，每题9分；第25，26题，每题10分；共8小题，共66分） 19．已知二次函数的图象经过点．求： (1)该函数解析式及对称轴； (2)试判断点是否在此函数的图象上． 【答案】(1)，对称轴为y轴 (2)点不在此函数的图象上 【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式，再求出对称轴即可； （2）求出当，y的值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴二次函数解析式为， ∴二次函数对称轴为y轴； （2）解：在中，当时，， ∴点不在此函数的图象上． 【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数的性质，正确求出对应的函数解析式是解题的关键． 20．如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于点A（1，0）和B（2，0），与y轴交于点C． (1)求b和c的值； (2)求直线AC的解析式． 【答案】(1)b＝﹣3，c＝2 (2)y＝﹣2x+2 【分析】（1）根据点A、D即可得抛物线解析式为y=（x﹣1）（x﹣2），化为一般式即可得b、c； （2）由抛物线解析式求出点C，设直线AC的解析式为y＝mx+n，把A（1，0），C（0，2）代入即可求解； 【详解】（1）解：由A（1，0）和B（2，0）可知， 抛物线解析式为y＝（x﹣1）（x﹣2）， 即y＝x2﹣3x+2， ∴b＝﹣3，c＝2； （2）当x＝0时，y＝x2﹣3x+2＝2，则C（0，2）， 设直线AC的解析式为y＝mx+n， 把A（1，0），C（0，2）代入得， ，解得， ∴直线AC的解析式为y＝﹣2x+2． 【点睛】本题主要考查二次函数解析式和一次函数解析式，掌握相关知识并正确计算是解题的关键． 21．如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长． (1)菜园的面积可以为吗？为什么？ (2)这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)菜园的面积不可以为，理由见解析 (2)矩形的长为，宽为时，菜园的面积最大，最大面积为 【分析】（）设平行于墙的矩形边长为，则矩形的宽为，列出方程即可求解； （）设菜园面积为，得出关于的二次函数解析式，然后求二次函数的最大值即可求解． 此题考查了一元二次方程与二次函数的应用，正确理解题意、准确列出一元二次方程与二次函数关系式是解题的关键． 【详解】（1）解：设平行于墙的矩形边长为， 则 ， 整理得， 解得，，不合题意，舍去， ∴菜园的面积不可以为； （2）设菜园的面积为，平行于墙的矩形边长为， ∴， ∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∵， ∴当时，有最大值，为． 此时， 答：矩形的长为，宽为时，菜园的面积最大，最大面积为． 22．如图，抛物线与轴相交于点A(3，0)和，与轴相交于点． （1）求的值和点的坐标； （2）点D(x，y)是抛物线上一点，若S△ABD= S△ABC，求点的坐标 【答案】（1）m=3，B(−1，0)；（2）(2，3)或(，3)或(，3)． 【分析】（1）把点A的坐标代入函数解析式，通过解方程来可求m的值，利用抛物线的对称性可求点B的坐标； （2）设D的坐标为(x，-x2+2x+3)，由已知条件易求S△ABC，并且△ABD的高为D的纵坐标的绝对值，进而可建立方程求出x的值即可． 【详解】（1）∵抛物线y=−x2+2x+m与x轴相交于点A(3，0)， ∴−32+2×3+m=0，解得：m=3， ∵该抛物线的对称轴为：直线x=1， ∴B(−1，0)； （2）∵点D(x，y)是抛物线上一点， ∴设D的坐标为(x，−x2+2x+3)， ∵AB=4，OC=3， ∴S△ABC=×4×3=6， ∵S△ABD=S△ABC， ∴∙AB∙|−x2+2x+3|=6，即：−x2+2x+3=3或−x2+2x+3=-3， ∴（舍去），， ∴D的坐标是：(2，3)或(，3)或(，3)． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数图象的对称性以及图象上点的坐标特征，是解题的关键． 23．如图，需在一面墙上绘制几个相同的抛物线型图案．按照图中的直角坐标系，最左边的抛物线可以用y＝ax2＋bx(a≠0)表示．已知抛物线上B，C两点到地面的距离均为m，到墙边OA的距离分别为m，m. (1)求该拋物线的函数关系式，并求图案最高点到地面的距离； (2)若该墙的长度为10 m，则最多可以连续绘制几个这样的拋物线型图案？ 【答案】（1）1；（2）最多可以连续绘制5个这样的拋物线型图案． 【详解】试题分析：（1）根据题意求得B（，），C（，），解方程组求得拋物线的函数关系式为y=-x2+2x；根据抛物线的顶点坐标公式得到结果； （2）令y=0，即-x2+2x=0，解方程得到x1=0，x2=2，即可得到结论． 试题解析：（1）根据题意得：B（，），C（，）， 把B，C代入y=ax2+bx得， 解得：， ∴拋物线的函数关系式为y=﹣x2+2x； ∴图案最高点到地面的距离=； （2）令y=0，即﹣x2+2x=0， ∴x1=0，x2=2， ∴10÷2=5， ∴最多可以连续绘制5个这样的拋物线型图案． 24．施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度OM为12米，现在O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系（如图所示）． （1）直接写出点M及抛物线顶点P的坐标； （2）求出这条抛物线的函数解析式； （3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”ABCD，使A、D点在抛物线上，B、C点在地面OM上．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆AB、AD、DC的长度之和的最大值是多少？请你帮施工队计算一下． 【答案】（1）M（12，0），P（6，6）；（2）y=x2+2x；（3）15米． 【详解】试题分析：确定了抛物线的顶点式，可以设抛物线的顶点式，又过原点（0，0），就可以确定抛物线解析式；设OB=x，由对称性得CM=x，这样就可以用含x的式子表示AB、AD、CD了，为求三根木杆AB、AD、DC的长度之和的最大值，提供依据． 试题解析：（1）M（12，0），P（6，6） （2）∵顶点坐标（6，6） ∴设y=a（x﹣6）2+6（a≠0） 又∵图象经过（0，0） ∴0=a（0﹣6）2+6 ∴a= ∴这条抛物线的函数解析式为y=（x﹣6）2+6，即y=x2+2x； （3）设A（x，y） ∴A（x，（x﹣6）2+6） ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=DC=（x﹣6）2+6， 根据抛物线的轴对称性，可得：OB=CM=x， ∴BC=12﹣2x，即AD=12﹣2x， ∴令L=AB+AD+DC=2[（x﹣6）2+6]+12﹣2x=x2+2x+12=（x﹣3）2+15． ∴当x=3，L最大值为15 ∴AB、AD、DC的长度之和最大值为15米． 考点：二次函数的应用． 25．已知：抛物线：与抛物线关于y轴对称， 抛物线与x轴分别交于点A（-3， 0）， B（m， 0）， 顶点为M． （1）求b和m的值； （2）求抛物线的解析式； （3）在x轴， y轴上分别有点P（t， 0）， Q（0， -2t）， 其中t＞0， 当线段PQ与抛物线有且只有一个公共点时，求t的取值范围．    【答案】(1) m=-1；(2) y=2x2-8x+6；(3) 当1≤t＜3或t=时，PQ与抛物线C2有且仅有一个公共点． 【分析】（1）把A（-3，0）代入y=2x2+bx+6，即可求得b的值，从而求得解析式，令y=0，j解方程即可求得m的值； （2）根据C1：y=2x2+8x+6=2（x+2）2-2，求得顶点M（-2，-2），即可求得点M关于y轴的对称点N（2，-2），由于a的值不变，根据顶点得出C2：y=2（x-2）2-2=2x2-8x+6； （3）根据P、Q的坐标求得直线PQ的解析式，然后分三种情况讨论求得． 【详解】解：（1）∵抛物线y=2x2+bx+6过点 A（-3，0）， ∴0=18-3b+6， ∴b=8， ∴C1：y=2x2+8x+6， 令y=0，则2x2+8x+6=0， 解得x1=-3，x2=-1 ∴m=-1； （2）∵C1：y=2x2+8x+6=2（x+2）2-2， ∴M（-2，-2）， ∴点M关于y轴的对称点N（2，-2）， ∴C2：y=2（x-2）2-2=2x2-8x+6， （3）由题意，点A（-3，0）与D，点B（-1，0）与C关于y轴对称， ∴D（3，0），C（1，0）， ∵P（t，0），Q（0，-2t）， ∴PQ：y=2x-2t， 当PQ过点C时，即P与C重合时，t=1， 当PQ过点D时，即P与D重合时，t=3， 当直线PQ与抛物线C2有且仅有一个公共点时，即方程2x2-8x+6=2x-2t中△=0， 方程整理得x2-5x+3+t=0，△=25-4（3+t）=0， 解得t=． 综上，由图得，当1≤t＜3或t=时，PQ与抛物线C2有且仅有一个公共点．    【点睛】本题主要考查抛物线与x轴的交点，二次函数与几何变换，解一元二次方程，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键，题目比较典型，难度适中． 26．如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接． (1)求抛物线解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点，使的值最小，求出点的坐标； (3)若点是线段上的一动点（不与，重合），轴，且交抛物线于点，交轴于点，求的面积最大值及此时点的坐标． 【答案】(1)抛物线解析式为 (2) (3)的面积最大值为， 【分析】此题是二次函数综合应用题，主要考查了待定系数法求函数解析式、三角形的面积、二次函数的性质、勾股定理、方程思想等知识． （1）根据待定系数法即可求解； （2）先确定直线与抛物线对称轴的交点即为D，求出直线解析式为，进而求出结论； （3）设，则可表示出与，根据题意，列式求解得，则可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点， ， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：∵D是抛物线的对称轴上一点， ∴， ∴的最小值即为的最小值， ∴直线与抛物线对称轴的交点即为D，如下图： ∵抛物线解析式为的对称轴为直线， 令，则， ∴， ∵， 设所在的直线函数解析式为，把点和点代入解析式， 得：， 解得：， ∴直线解析式为， 把代入得：， ∴； （3）解：设， 又∵点和点， ∴， 由题意得： ， ， 当时，有最大值为， 当时，， ． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $