4.2.1指数函数的概念 课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高二数学组 成豪华 4.2.1指数函数的概念 学习目标 PART ONE 温故知新 概念 指数函数 实际情境 数量关系 抽象 函数形式 归纳 图象、性质 研究 实际应用 解决 复习巩固 对于幂运算,我们已经将指数的范围拓展到了实数。上一章我们学习了函数的概念与基本性质，通过对幂函数的研究，进一步理解了研究一类函数的过程与方法。 下面，我们继续研究其它类型的初等函数：指数函数 单调性、最值、奇偶性、对称性 复习巩固 4 学习目标 PART ONE 学习目标 学习目标 1.通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念。 2. 3. 模型 实例 指数函数的概念 定州旅游业迅猛发展 指数增长与指数衰减模型 学习目标 数学抽象 数学建模 学习目标 PART TWO 新知探究 例1 随定州旅游资源的发展,到定州旅游人数不断增加，定州汉墓石刻馆和开元寺广场两个景区自2011年起采取了不同的应对措施，石刻馆提高了门票价格,开元寺广场则取消了门票。 下表给了汉墓石刻馆、开元寺广场两个景区2011至2025年的游客人次及逐年增加量。 石刻馆 开元寺广场 年份 人次（千人） 增加量 人次（千人） 增加量 2011 600 278 2012 609 9 309 31 2013 620 11 344 35 2014 631 11 383 39 2015 641 10 427 44 2016 650 9 475 48 2017 661 11 528 53 2018 671 10 588 60 2019 681 10 655 67 2020 691 10 729 74 2021 702 11 811 82 2022 711 9 903 92 2023 721 10 1005 102 2024 732 11 1118 113 2025 743 11 1224 126 问题1 比较一下两地景区旅游人次的变化情况，你发现了怎样的规律？ 单纯的数据，我们无法观测出里面的变化！ 我们得借用工具进行协助观察！ 表格、图像 新知探究 10 石刻馆 年份 人次（千人） 增加量 2011 600 2012 609 9 2013 620 11 2014 631 11 2015 641 10 2016 650 9 2017 661 11 2018 671 10 2019 681 10 2020 691 10 2021 702 11 2022 711 9 2023 721 10 2024 732 11 2025 743 11 列表 对石刻馆景区数据进行分析，你能发现有什么规律？ 1.表格中，数据的增长量相同，为10(左右) 2.图像中，连线近似域一条直线 新知探究 11 石刻馆 人次（千人） 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 2025 600 609 620 631 641 650 661 671 681 691 702 711 721 732 743 石刻馆 人次（千人） 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 201 8 2019 2020 2021 2022 2023 2024 2025 600 609 620 631 641 650 661 671 681 691 702 711 721 732 743 问题3 从表格与图像中，石刻馆景区人次与年份是不是函数关系？如果是，你能用函数表达式表示吗？ 对于石刻馆景区，设年份为自变量x，游客人次y为因变量。用中间量10刻画它的增长规律： 你能否用相同的方法判断开元寺广场游客人次与年份是否有函数关系？有的话求出它的解析式！ 新知探究 12 石刻馆 人次（千人） 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 201 8 2019 2020 2021 2022 2023 2024 2025 600 609 620 631 641 650 661 671 681 691 702 711 721 732 743 石刻馆 人次（千人） 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 2025 600 609 620 631 641 650 661 671 681 691 702 711 721 732 743 开元寺广场 年份 人次（千人） 增加量 2011 278 2012 309 31 2013 344 35 2014 383 39 2015 427 44 2016 475 48 2017 528 53 2018 588 60 2019 655 67 2020 729 74 2021 811 82 2022 903 92 2023 1005 102 2024 1118 113 2025 1224 126 追问 我们能否通过对开元寺广场每年的游客人次做其他运算来发现规律呢？ 除法！ …… 结果表明，B景区的游客人次的年增长率都约为1.11-1=0.11，是一个常数。 新知探究 增加量=变后量-变前量 增长率= 增加量 原始量 = 原始量 变后量-原始量 = 原始量 变后量 -1 增长量、增长率都是描述事物变化规律的两个量 13 开元寺广场人次增加量不稳定，越来越大！ 开元寺广场 年份 人次（千人） 增加量 2011 278 2012 309 31 2013 344 35 2014 383 39 2015 427 44 2016 475 48 2017 528 53 2018 588 60 2019 655 67 2020 729 74 2021 811 82 2022 903 92 2023 1005 102 2024 1118 113 2025 1224 126 新知探究 增加量=变后量-变前量 非线性增长 年增加量是对相邻两年的游客人次做减法得到的。 14 开元寺广场 人次（千人） 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 2025 278 309 344 383 427 475 528 588 655 729 811 903 1005 1118 1224 开元寺广场 人次（千人） 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 2025 278 309 344 383 427 475 528 588 655 729 811 903 1005 1118 1224 增长率为常数的变化方式，我们称为指数增长。因此，开元寺广场景区的游客人次的年增长率都约为0.11，游客人次近似于指数增长。显然，从2011年开始，开元寺广场游客人次的变化规律可以近似描述为： 新知探究 1年后，游客人次是2001年的___________倍； 2年后，游客人次是2001年的___________倍； 3年后，游客人次是2001年的___________倍； …… x年后，游客人次是2001年的___________倍。 如果设经过x年后的游客人次为2001年的y倍，那么 y＝__________________________________. 这是一个函数，其中指数x是自变量。 1.111 1.112 1.113 1.11x 1.11x （x∈[ 0，＋∞））． ① 问题2 生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期“.按照上述变化规律，生物体内碳14含量y与死亡年数x之间有怎样的关系？生物死亡后体内碳14含量年衰减率是多少？ 若将衰减率设为，把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位，完成表格. ······ 死亡年数 1年 2年 3年 ······ 5730年 年 碳14含量 新知探究 将衰减率设为，把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位，完成表格。 若死亡生物体内碳14含量记为，死亡年数记为，死亡生物体内碳14含量与死亡年数间的关系式是： ······ 死亡年数 1年 2年 3年 ······ 5730年 年 碳14含量 你能求出衰减率的值吗？ 追问 新知探究 我们把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位 经过5730年衰减为原来的一半， ∴, （x∈[0，＋∞）） ②． 这也是一个函数，指数x是自变量． 像这样，衰减率为常数的变化方式，我们称为指数衰减。 你能求出的值吗？ 追问 新知探究 问题3 根据的上述的两个引例得到的两个方程，有什么相同点？ y =1.11x , x∈[0，＋∞） , x∈[０，＋∞） 相同点： (1)均为幂的形式； (2)底数是一个正的常数； (3)自变量在指数位置。 新知探究 指数函数 一般地，把形如的函数叫做指数函数，其中指数是自变量，定义域是 为什么要规定a>0且a≠1？ 思考 当时,无研究意义； 当时，如时，在实数范围内的函数值不存在； 当时，是一个常量，没有研究的意义。 要点归纳 常数（大于0且不等于1） 自变量x在指数位置 系数为1 y＝1 · ax 一般地，把形如的函数叫做指数函数，其中指数是自变量，定义域是 要点归纳 学习目标 PART THREE 典例剖析 1.给出下列函数：①y＝2·3x；②y＝3x＋1；③y＝3x；④y＝x3； ⑤y＝(－2)x.其中，指数函数的个数是( ) A.0 　　 B.1 　　 C.2 　　 D.4 解析：①中，3x的系数是2，故①不是指数函数； ②中，y＝3x＋1的指数是x＋1，不是自变量x，故②不是指数函数； ③中，3x的系数是1，幂的指数是自变量x，且只有3x一项，故③是指数函数； ④中，y＝x3的底数为自变量，指数为常数，故④不是指数函数； ⑤中，底数－2<0，不是指数函数. B 实践应用 2.指数函数,有， 3.函数是指数函数,求a的值。 实践应用 求指数函数解析式的步骤： (1)设指数函数的解析式为f(x)＝ax(a>0，且a≠1)； (2)利用已知条件求底数a； (3)得指数函数的解析式。 24 判断一个函数是否为指数函数只需判定其解析式是否符合这一结构形式,其具备的特点为 归纳总结 25 随定州旅游业迅猛发展，平均每位游客出游一次可给该景区带来1000元门票之外的收入，汉墓石刻馆的门票价格为15元，比较这15年间汉墓石刻馆与开元寺广场两地旅游收入变化情况。 联系实际 在实际问题中，常遇到类似于上述的指数增长模型,设原有量为N,每次的增长率为p,经过x次增长，该量增长到y,则(x∈N)。 形如(k∈R,且k≠0,,且)的函数是刻画指数增长或指数衰减变化规律的非常有用的函数模型。 数学建模 谨防贷款陷阱，远离校园贷！ 常见的几类函数模型: (1)指数增长模型 设原有量为N，每次的增长率为p，则经过x次增长，该量增长到y，则y＝N(1＋p)x(x∈N)． (2)指数减少模型 设原有量为N，每次的减少率为p，则经过x次减少，该量减少到y，则y＝N(1－p)x(x∈N)． (3)指数型函数 把形如y＝kax(k≠0，a>0，且a≠1)的函数称为指数型函数，这是非常有用的函数模型． 数学建模 学习目标 PART FOUR 课堂总结 常数（大于0且不等于1） 自变量x在指数位置 系数为1 y＝1 · ax 形如的函数叫做指数函数，其中指数是自变量，定义域是 当堂小结 模型 实例 指数函数的概念 定州旅游业迅猛发展 指数增长与指数衰减模型 学习目标 数学抽象 数学建模 学习目标 PART FOUR 课堂检测 学习目标 PART FOUR 布置作业 mathematics 布置作业 https://www.doubao.com/chat/ 借助AI工具豆包生成近五年“指数函数的概念”相关练习，并按照高考得分标准设置相应练习题。 指数函数的概念 解析:因为函数y=(2a2-3a+2)ax是指数函数, 所以2a2-3a+2=1且a>0,a≠1. 由2a2-3a+2=1解得a=1或a=,所以a=. $