第五单元 小数乘法和除法（知识清单和检测卷）数学苏教版五年级上册复习巩固高频考题

第五单元 小数乘法和除法 知识清单 知识点一、小数乘法计算方法 （一）小数乘整数 计算思路：将小数乘整数转化为整数乘法计算，再根据因数中小数的位数确定积的小数点位置。 具体步骤： 1.先忽略小数的小数点，按照整数乘法的法则算出积； 2.看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点； 3.若积的小数部分末尾有 0，通常要把 0 去掉（化简小数）。 示例：计算3.2×5 转化：32×5=160； 点小数点：因数3.2有 1 位小数，从 160 右边数 1 位点小数点，得16.0； 化简：16.0=16。 （二）小数乘小数 计算思路：同样转化为整数乘法，关键是准确确定积的小数点位置，注意因数共有几位小数。 具体步骤： 1.先把两个因数都看作整数，按照整数乘法算出积； 2.统计两个因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点； 3.若积的小数位数不够，需要在积的前面用 0 补足，再点小数点； 4.积的末尾有 0 的，化简小数。 示例：计算2.4×1.5 转化：24×15=360； 点小数点：两个因数共有1+1=2位小数，从 360 右边数 2 位，得3.60； 化简：3.60=3.6。 注意：计算时若积的小数位数不足，需补 0 占位。如0.25×0.04，转化为25×4=100，两个因数共 4 位小数，从 100 右边数 4 位，补足 0 得0.0100，化简为0.01。 知识点二、小数除法计算方法 （一）除数是整数的小数除法 计算思路：按照整数除法的法则计算，商的小数点要与被除数的小数点对齐。 具体步骤： 1.先按照整数除法的方法除，商的小数点要和被除数的小数点对齐； 2.若被除数的整数部分不够除，就在商的个位上写 0，点上小数点后继续除； 3.若除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添 0，再继续除。 示例：计算19.5÷5 整数部分：19÷5=3，商 3 写在个位，点上小数点（与被除数小数点对齐）； 小数部分：余下4，与被除数十分位的5组成45，45÷5=9，商 9 写在十分位； 结果：19.5÷5=3.9。 （二）除数是小数的小数除法 计算思路：利用 “商不变的性质”，将除数转化为整数，同时被除数也相应扩大相同的倍数，再按除数是整数的小数除法计算。 具体步骤： 移动除数的小数点，使它变成整数，除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位（位数不够的，在被除数的末尾用 0 补足）； 按照除数是整数的小数除法法则进行计算。 示例：计算7.28÷0.8 转化除数：0.8的小数点向右移 1 位变成 8，被除数7.28的小数点也向右移 1 位变成72.8； 计算：72.8÷8=9.1； 结果：7.28÷0.8=9.1。 注意：移动被除数小数点时，若位数不足，必须用 0 补足。如0.544÷0.16，除数小数点右移 2 位变 16，被除数小数点右移 2 位后是54.4（补足 1 位 0），再计算54.4÷16=3.4。 典例培优：用竖式计算。 2.17×6             4.05×3.2            6.8×2.7 2.21÷0.26           7.31÷4.3           16.8÷0.48 【答案】13.02；12.96；18.36 8.5；1.7；35 【分析】小数乘法法则：（1）按整数乘法的法则先求出积；（2）看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位点上小数点。 小数除法法则：先移动除数的小数点，使它变成整数。除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动相同的位数（位数不够的补“0”），然后按照除数是整数的除法进行计算。 【详解】2.17×6＝13.02        4.05×3.2＝12.96       6.8×2.7＝18.36          2.21÷0.26＝8.5       7.31÷4.3＝1.7       16.8÷0.48＝35      知识点三、小数点移动引起小数大小变化的规律 （一）小数点向右移动 向右移动 1 位，小数就扩大到原数的 10 倍； 向右移动 2 位，小数就扩大到原数的 100 倍； 向右移动 3 位，小数就扩大到原数的 1000 倍； 示例：0.35小数点向右移 1 位是3.5（0.35×10），移 2 位是35（0.35×100）。 （二）小数点向左移动 向左移动 1 位，小数就缩小到原数的 ； 向左移动 2 位，小数就缩小到原数的 ； 向左移动 3 位，小数就缩小到原数的。 示例：4.8小数点向左移 1 位是0.48（4.8÷10），移 2 位是0.048（4.8÷100）。 （三）注意事项 移动小数点时，若位数不够，需在小数的末尾（向右移）或前面（向左移）补 0； 规律可逆：如一个数扩大到原数的 100 倍，只需将小数点向右移 2 位；一个数缩小到原数的 ，只需将小数点向左移 3 位。 典例培优：一个三位小数，由6个一、5个十分之一和3个千分之一组成，这个数是( )，把这个数的小数点先向右移动两位，再向左移动三位后是( )。 【答案】 6.503 0.6503 【分析】（1）小数点右边第一位是十分位，计数单位是0.1；小数点右边第二位是百分位，计数单位是0.01；小数点右边第三位是千分位，计数单位是0.001。根据各个数位上的计数单位，将对应的数字填入相应位置，组合成小数。 （2）小数点向右移动两位，小数就扩大到原来的100倍；小数点向左移动三位，小数就缩小到原来的。 【详解】（1）6个一表示个位上是6；5个十分之一表示十分位上是5，即0.5；3个千分之一表示千分位上是3，即0.003；百分位上没有计数单位，用0占位。所以这个数是6.503。 （2）根据小数点移动引起小数大小变化的规律，把6.503的小数点向右移动两位，小数就扩大到原来的100倍，得到650.3。再把650.3的小数点向左移动三位，小数就缩小到原来的，得到0.6503。 因此，一个三位小数，由6个一、5个十分之一和3个千分之一组成，这个数是6.503，把这个数的小数点先向右移动两位，再向左移动三位后是0.6503。 典例培优：把一个小数的小数点先向右移动两位，再向左移动三位，这个小数将（    ）。 A．乘10 B．除以10 C．乘100 D．除以100 【答案】B 【分析】（1）把一个小数的小数点向右移动一位，就是把这个数扩大到原来的10倍，即相当于把这个数乘10，把一个小数的小数点向右移动两位，就是把这个数扩大到原来的100倍，即相当于把这个数乘100，把一个小数的小数点向右移动三位，就是把这个数扩大到原来的1000倍，即相当于把这个数乘1000…； （2）把一个小数的小数点向左移动一位，就是把这个数缩小到原来的，即相当于把这个数除以10，把一个小数的小数点向左移动两位，就是把这个数缩小到原来的，即相当于把这个数除以100，把一个小数的小数点向左移动三位，就是把这个数缩小到原来的，即相当于把这个数除以1000…；据此解答。 【详解】根据分析： 把一个小数的小数点先向右移动两位，再向左移动三位，相当于把这个小数的小数点向左移动了一位，即这个小数将除以10。 故答案为：B 知识点四、积的变化规律（小数乘法） 核心规律：在小数乘法中，一个因数不变，另一个因数扩大（或缩小）若干倍（0 除外），积也会相应地扩大（或缩小）相同的倍数。 具体延伸： 1.若一个因数扩大到原数的 a 倍，另一个因数扩大到原数的 b 倍，积扩大到原数的a×b倍（a、b 均不为 0）； 2.若一个因数扩大到原数的 a 倍，另一个因数缩小到原数的 ，积扩大到原数的a÷b倍（a、b 均不为 0）； 3.若两个因数同时缩小到原数的和，积缩小到原数的 （a、b 均不为 0）。 示例： 2.5×3.2=8，若2.5不变，3.2扩大到原数的 10 倍（变为 32），则积为2.5×32=80（扩大 10 倍）； 1.2×0.5=0.6，若1.2扩大到原数的 2 倍（变为 2.4），0.5缩小到原数的（变为 0.25），则积为2.4×0.25=0.6（不变，2÷2=1）。 典例培优：根据4.32×6.8＝29.376，直接得出：0.432×6.8＝ ；2.9376÷0.432 。 【答案】 2.9376 6.8 【分析】积的变化规律：一个因数不变，另一个因数除以几，积就除以几；商不变的性质：被除数和除数同时乘或除以同一个不为0的数，商不变。据此填空。 （1）根据题意，对比4.32×6.8和0.432×6.8，其中一个因数6.8不变，另一个因数4.32缩小到原来的（变为0.432），所以积也缩小到原来的，用29.376÷10即可得到结果，据此解答。 （2）根据题意，由4.32×6.8＝29.376可推出29.376÷4.32＝6.8；再看2.9376÷0.432，被除数29.376缩小到原来的（变为2.9376），除数4.32也缩小到原来的（变为0.432），商不变，所以结果与29.376÷4.32相同，据此解答。 【详解】（1）0.432×6.8＝29.376÷10＝2.9376 综上所述可得，0.432×6.8＝2.9376 （2）2.9376÷0.432＝（29.376÷10）÷（4.32÷10）＝29.376÷4.32＝6.8 综上所述可得，2.9376÷0.432＝6.8 典例培优：根据每组第1题的得数，直接写出其余各题的得数。 1.25×0.8＝1     12.5×0.8＝( )     0.125×0.08＝( ) 6.8÷2.5＝2.72     6.8÷0.25＝( )     0.68÷0.25＝( ) 【答案】 10 0.01 27.2 2.72 【分析】在乘法中，因数乘或者除以几，则乘积就乘或者除以几； 在除法中，被除数不变，除数乘几，则商就除以几； 在除法中，被除数和除数同时除以或者乘同一个数（0除外），则商不变。 【详解】①1.25×0.8＝1中，因数0.8不变，因数1.25乘10变成12.5，则乘积1就乘10变为10，即12.5×0.8＝10； ②1.25×0.8＝1中，因数1.25除以10变成0.125，因数0.8除以10变成0.08，10×10＝100，则乘积1除以100变为0.01，即0.125×0.08＝0.01； ③6.8÷2.5＝2.72中被除数6.8不变，除数2.5除以10变成0.25，则商2.72乘10变成27.2，即6.8÷0.25＝27.2 ④6.8÷2.5＝2.72中被除数6.8和除数2.5同时除以10，则商不变，即0.68÷0.25＝2.72。 知识点五、用四舍五入法求积的近似值 核心方法：先算出准确的积，再看需要保留的小数位数的下一位数字，若下一位数字≥5，则向前一位进 1；若下一位数字＜5，则舍去尾数。 具体要求： 保留一位小数：看积的百分位，根据百分位数字判断是否进 1； 保留两位小数：看积的千分位，根据千分位数字判断是否进 1。 示例： 计算3.14×1.5=4.71，保留一位小数：看百分位 1＜5，舍去，得4.7； 计算2.8×0.94=2.632，保留两位小数：看千分位 2＜5，舍去，得2.63； 计算0.78×2.3=1.794，保留两位小数：看千分位 4＜5，得1.79；保留一位小数：看百分位 9≥5，向十分位进 1（7+1=8），得1.8。 注意：求近似值时，末尾的 0 不能随意去掉。如2.495保留两位小数是2.50，这里的 0 表示精确到百分位，不能省略。 典例培优：用竖式计算，需要求近似值的按要求得出近似值。 5.26×3.5＝                    3.885÷3.7＝ 36÷4.3≈（得数保留一位小数）           12.45×0.36≈（得数保留两位小数） 【答案】18.41；1.05；8.4；4.48 【分析】（1）小数乘法先按整数乘法计算，再看两个因数一共有几位小数，就从积的右边往左边数几位点上小数点即可，末尾如果有0可以去掉。 （2）除数是小数的小数除法，要利用商不变的规律，把除数变成整数计算，除数扩大到原来的几倍，同时被除数也要扩大到原来的几倍，接着按照整数除法的方法去计算，商的小数点和被除数的小数点对齐，被除数不够除补0继续除。 （3）方法同（2），得数保留一位小数，就要看小数点后第二位小数（百分位上的数），根据“四舍五入”法处理，百分位是7，7＞5，向十分位进1，十分位3进1后变为4。 （4）方法同（1），得数保留两位小数，就要看小数点后第三位小数（千分位上的数），根据“四舍五入”法处理，千分位是2，2＜5，舍去。 【详解】（1）5.26×3.5＝18.41           （2）3.885÷3.7＝1.05                  （3）36÷4.3≈8.4（得数保留一位小数）  （4）12.45×0.36≈4.48（得数保留两位小数）                  知识点六．有限小数、无限小数、循环小数和循环节的详细介绍 一、有限小数 定义 小数部分的位数是有限的小数，叫做有限小数。简单来说，这类小数除到某一位后，余数会变为 0，计算终止。 示例 整数部分不为0：3.14（小数部分 2 位）、7.8（小数部分 1 位）、12.567（小数部分 3 位）； 整数部分为0：0.5（小数部分 1 位）、0.123（小数部分 3 位）、0.99（小数部分 2 位）。 二、无限小数 定义 小数部分的位数是无限的小数，叫做无限小数。这类小数除不尽，余数会重复出现，导致小数部分无限延伸。 核心特征 小数部分没有尽头，会一直延续下去； 分为 “循环无限小数”（即循环小数）和 “非循环无限小数” 两类。 示例 循环无限小数（循环小数）：0.333……、5.232323……； 非循环无限小数：圆周率π≈3.1415926535…… 三、循环小数 定义 属于无限小数的一种，指从小数部分的某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现的无限小数。 核心特征 存在 “重复出现的数字片段”（即循环节），重复无间断。 （三）分类（按循环节开始位置） 纯循环小数：循环节从小数部分第一位（十分位）开始的循环小数。 示例：0.=0.333……（循环节 “3” 从十分位开始）、1.=1.252525……（循环节 “25” 从十分位开始）； 混循环小数：循环节从小数部分第二位及以后开始的循环小数。 示例：0.1=0.1454545……（循环节 “45” 从百分位开始）、3.0=3.0666……（循环节 “6” 从百分位开始）。 四、循环节 （一）定义 循环小数中，依次不断重复出现的数字片段叫做循环节。循环节是循环小数的核心标识，决定了小数的重复规律。 （二）核心特征 是循环小数的 “重复单元”，长度至少为 1（即一个数字重复）； 循环节一旦确定，整个小数部分就是循环节的无限重复。 （三）简写规则（关键应用） 为了书写简便，循环小数可通过标注循环节简化： 循环节是 1 个数字：在这个数字上方点 1 个圆点； 示例：0.333…… 简写为、5.666…… 简写为 5.； 循环节是 2 个及以上数字：在循环节的首位和末位数字上方各点 1 个圆点； 示例：0.232323…… 简写为 0.、0.1454545…… 简写为 0.1； 注意：圆点仅标注在循环节的首尾，中间数字无需标注。 （四）示例（循环节与对应简写） 循环小数完整形式 循环节 简写形式 1.333…… “3” 1. 2.151515…… “15” 2. 3.098098098…… “098” 3.9 0.417417417…… “417” 0.1 典例培优：4.13、4.1315…、、4.1313、中，有限小数是( )，无限小数是( )，循环小数是( )。 【答案】 4.13，4.1313； 4.1315…，， ， 【分析】有限小数指的是小数数位是有限的小数；无限小数指的是小数数位是无限的小数；如果无限小数从小数点后的某一位起一个数字或几个数字依次不断重复出现，则这样的小数就是循环小数，据此判断。 【详解】有限小数是：4.13，4.1313； 无限小数：4.1315…，，； 循环小数：，。 4.13、4.1315…、、4.1313、中，有限小数是4.13，4.1313；无限小数是4.1315…，，；循环小数是，。 典例培优：的商用循环小数表示为( )，商保留三位小数是( )。 【答案】 0.727 【分析】根据题目信息，可以先把除法算式的商算出来，即＝0.72727272为循环小数，循环小数的表示方法：写循环小数时，可以只写第一个循环节，并在这个循环节的首位和末位数字上面各记一个圆点，所以表示为；商保留三位小数，可以用“四舍五入”的方法求近似数，因为第四位是2，所以需要舍去，即0.727272720.727。 【详解】计算出的商为0.72727272用循环小数表示为，商保留三位小数是0.727。 典例培优：像0.555…，3.0606…这样的小数叫循环小数，这两个数的循环节分别是“5”和“06”，请你写出一个循环小数：( )，它的循环节是( )。 【答案】 3.1515… 15 【分析】循环小数的定义：一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。循环节：一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字，就是这个循环小数的循环节。据此解答（答案不唯一）。 【详解】如：3.1515…，循环节是15。 像0.555…，3.0606…这样的小数叫循环小数，这两个数的循环节分别是“5”和“06”，请你写出一个循环小数：3.1515…，它的循环节是“15”。 知识点七、被除数和商的大小关系 前提条件：除数不为 0。 具体规律： 当除数＞1 时，商＜被除数（如5.6÷2.8=2，2＜5.6）； 当除数 = 1 时，商 = 被除数（如3.9÷1=3.9，3.9=3.9）； 当 0＜除数＜1 时，商＞被除数（如4.8÷0.6=8，8＞4.8）。 特殊说明： 被除数为 0 时，商为 0（0÷0.35=0），不遵循上述规律； 除数不能为 0，无意义。 示例验证： 7.2÷1.2=6（除数 1.2＞1，商 6＜7.2）； 0.81÷0.9=0.9（除数 0.9＜1，商 0.9＞0.81）； 5.3÷1=5.3（除数 = 1，商 = 被除数）。 典例培优：不计算，在（    ）里填上“＞”“＜”或“＝” 3.74×0.8( )3.74              0.58×0.5( )0.58÷2 2.08÷0.9( )2.08                 0.999÷0.1( )99.9×0.1 【答案】 ＜ ＝ ＞ ＝ 【分析】（1）一个数（0除外）乘小于1（0除外）的数，积小于这个数。 （2）除法可以转化为乘法，除以一个数等于乘这个数的倒数。 （3）一个数（0除外）除以小于1的数（0除外），商大于这个数。 （4）除以0.1等同于乘10，乘0.1等同于除以10。 【详解】（1）因为0.8＜1，所以3.74×0.8＜3.74。 （2）0.58÷2＝0.58×＝0.58×0.5，所以0.58×0.5＝0.58÷2。 （3）因为0.9＜1，所以2.08÷0.9＞2.08。 （4）0.999÷0.1＝0.999×10，是把0.999的小数点向右移动一位；99.9×0.1＝99.9÷10，是把99.9的小数点向左移动一位；这两个移动小数点的操作，结果对应的数值完全相同，所以0.999÷0.1＝99.9×0.1。 知识点八、小数乘法和除法的运算律 （一）小数乘法运算律（与整数乘法运算律通用） 乘法交换律：a×b=b×a 意义：交换两个因数的位置，积不变。 示例：2.5×0.4=0.4×2.5=1；3.6×1.2=1.2×3.6=4.32。 乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c) 意义：先把前两个数相乘，或先把后两个数相乘，积不变。 示例：(1.25×0.8)×4=1.25×(0.8×4)=1.25×3.2=4；(2.5×0.3)×0.2=2.5×(0.3×0.2)=2.5×0.06=0.15。 乘法分配律：(a+b)×c=a×c+b×c；(a−b)×c=a×c−b×c 意义：两个数的和（或差）与一个数相乘，等于这两个数分别与这个数相乘，再把积相加（或相减）。 示例：(3.5+2.5)×0.4=3.5×0.4+2.5×0.4=1.4+1=2.4；(5.6−1.6)×0.3=5.6×0.3−1.6×0.3=1.68−0.48=1.2。 （二）小数除法运算性质（与整数除法运算性质通用） 除法的性质 1：a÷b÷c=a÷(b×c)（b、c 均不为 0） 意义：一个数连续除以两个数，等于这个数除以这两个数的积。 示例：7.2÷0.8÷0.9=7.2÷(0.8×0.9)=7.2÷0.72=10；4.5÷0.3÷5=4.5÷(0.3×5)=4.5÷1.5=3。 除法的性质 2：(a+b)÷c=a÷c+b÷c；(a−b)÷c=a÷c−b÷c（c 不为 0） 意义：两个数的和（或差）除以一个数，等于这两个数分别除以这个数，再把商相加（或相减）。 示例：(4.8+3.6)÷1.2=4.8÷1.2+3.6÷1.2=4+3=7；(9.6−4.8)÷0.6=9.6÷0.6−4.8÷0.6=16−8=8。 （三）注意事项 运算律的应用核心是 “简化计算”，需观察算式特点，灵活选择； 小数除法中，除数不能为 0，应用运算性质时需确保除数均不为 0； 乘法分配律是小数乘法简算的重点，常与 “凑整” 结合使用（如凑 10、100 等）。 典例培优：计算下面各题，能简便计算的要简便计算。 36.75－1.68－5.32     8.2×4.5＋4.5×1.8 （7.98＋8.02）÷2.5÷4     11÷[（0.4＋0.04）×0.5] 【答案】29.75；45； 1.6；50 【分析】（1）根据减法的性质：a－b－c＝a－（b＋c）把算式写成36.75－（1.68＋5.32），再进一步计算即可； （2）先逆用乘法分配律a×c＋b×c＝（a＋b）×c把算式写成：4.5×（8.2＋1.8），再进一步计算即可； （3）先算出括号里的加法，再根据除法的性质：a÷b÷c＝a÷（b×c）把算式写成16÷（2.5×4），再进一步计算即可； （4）按照先算小括号里的加法，再算中括号里的乘法，最后算括号外面的除法的顺序计算。 【详解】36.75－1.68－5.32 ＝36.75－（1.68＋5.32） ＝36.75－7 ＝29.75 8.2×4.5＋4.5×1.8 ＝4.5×（8.2＋1.8） ＝4.5×10 ＝45 （7.98＋8.02）÷2.5÷4 ＝16÷2.5÷4 ＝16÷（2.5×4） ＝16÷10 ＝1.6 11÷[（0.4＋0.04）×0.5] ＝11÷[0.44×0.5] ＝11÷0.22 ＝50 知识点九、用进一法、去尾法解决实际问题 （一）进一法 定义：在解决实际问题时，不管省略部分的数字是多少，都要向前一位进 1。 适用场景：需要 “至少”“保证” 完成任务，如装东西、运货物、分配容器等（剩余部分也需要 1 个单位）。 示例：一个油桶最多能装 4.5 千克油，要装 20 千克油，至少需要几个油桶？ 计算：20÷4.5≈4.44（个）； 分析：4 个油桶装不完，剩余部分需要 1 个油桶，用进一法得5个。 （二）去尾法 定义：在解决实际问题时，不管省略部分的数字是多少，都直接舍去。 适用场景：需要 “最多”“只能” 得到整数结果，如做衣服、裁彩带、做零件等（剩余部分不够 1 个完整单位）。 示例：一块布长 10 米，做一套衣服需要 2.3 米布，最多能做几套衣服？ 计算：10÷2.3≈4.34（套）； 分析：0.34 套不是完整衣服，用去尾法得4套。 （三）注意 进一法和去尾法均需结合实际场景，不能单纯按四舍五入法取值； 结果必须是整数，且符合实际需求。 典例培优：甜品店做1个小蛋糕要用15克淡奶油，450克淡奶油最多能做( )个这样的蛋糕；把这些蛋糕每4个装一盒，至少需要( )个包装盒。 【答案】 30 8 【分析】用淡奶油的重量÷一个小蛋糕用淡奶油的重量；不管最后剩下多少个蛋糕，只要不够装一个盒，也要准备一个盒，用蛋糕的数量÷每盒装蛋糕的数量，结果用“进一法”解答。 【详解】450÷15＝30（个） 30÷4≈8（个） 甜品店做1个小蛋糕要用15克淡奶油，450克淡奶油最多能做30个这样的蛋糕；把这些蛋糕每4个装一盒，至少需要8个包装盒。 知识点十、分段计算的数学问题 题型特点：问题中存在不同的 “分段标准”，超过标准的部分按新的规则计算，如计费（水费、电费、话费）、计费（出租车费、快递费）、购票优惠等。 解题步骤： 明确分段标准和各段的计算规则； 判断题目中的数量（如用量、路程、数量）属于哪几段； 分别计算每一段的费用或数量； 将各段结果相加，得到总结果。 示例：某市出租车收费标准：3 千米以内（含 3 千米）收费 10 元；超过 3 千米的部分，每千米收费 2.4 元（不足 1 千米按 1 千米计算）。李叔叔乘出租车行驶了 7.5 千米，应付车费多少元？ 分段：3 千米以内（10 元），超过 3 千米的部分（7.5 千米按 8 千米算，8−3=5千米）； 计算超段费用：5×2.4=12（元）； 总车费：10+12=22（元）。 注意： 明确 “不足标准按标准算”（如不足 1 千米按 1 千米）或 “不足标准不计” 的规则； 分段时避免重复计算或遗漏某一段。 典例培优：某市为鼓励居民节约用水，制定自来水的收费标准如下。园园家6月份用水20t，她家这个月应付水费多少元？7月份付水费56元，这个月用水多少吨？ 用水量 收费标准每户每月用水量不超过12t部分 2.5元/t 每户每月用水量12t以上部分 4元/t 【答案】62元；18.5吨 【分析】（1）把20t水分为两部分：①不超过12t的部分，每吨2.5元；②计算12t以上的部分有多少吨，每吨4元；总价＝数量×单价，分别求出两部分应付水费，最后相加，即可算出应付水费多少元； （2）先算出12t水的费用，再算出超出12t水的费用有多少元；12t以上的部分，每吨4元，根据数量＝总价÷单价，求出超过12t的水有多少吨；最后加上12t即可求出一共用水多少吨，据此解答。 【详解】（1）12t水的费用：（元） 12t以上：（元） 一共：（元） 答：她家这个月应付水费62元。 （2）12t水的费用：（元） 超出12t的费用：（元） 超过12t的水有多少吨：（吨） 一共：（吨） 答：这个月用水18.5吨。 考点一：小数点移动引起小数大小变化规律 1．已知a÷b＝1.2，如果把a的小数点向左移动一位，把b的小数点向右移动一位，那么结果是（    ）。 A．1.2 B．0.012 C．120 【答案】B 【分析】小数点向左移动一位，即缩小为原来的；小数点向右移动一位，即扩大到原来的10倍。当被除数（0除外）缩小为原来的，除数（0除外）扩大到原来的10倍，商会跟着缩小为原来的。 【详解】a的小数点向左移动一位，缩小为原来的；b的小数点向右移动一位，扩大到原来的10倍。商会缩小为原来的。 1.2÷100＝0.012 所以结果是0.012。 故答案为：B 2．小飞在计算6.71加一个一位小数时，由于错误地把数的末尾对齐，结果得7.34，正确结果应是( )。 【答案】13.01 【分析】计算6.71加上一个一位小数，错误地把末尾对齐，即将原本十分位上的数与6.71中的1相加，原本个位上的数与6.71的7相加。此时运用结果7.34减去6.71可得到这个加错误的数，将这个错误的数小数点向右移动一位，可得到正确的数，。再与6.71相加可得出答案。 【详解】错误相加后结果是7.34，则这个错误的一位小数是：，此时要得到正确的一位小数，即小数点向右移动一位，即6.3；正确结果为：6.71＋6.3＝13.01 3．两个乘数的积是2.07，如果把其中一个乘数除以100，要使积为20.7，另一个乘数的小数点应向( )移动( )位。 【答案】 右 三 【分析】根据积的变化规律，如果一个乘数扩大为原来的倍，另一个乘数缩小为原来的，则乘积变为原来的。 则一个乘数除以100，即一个乘数缩小为原来的，乘积从2.07扩大10倍为20.7即可求解另一个因数扩大为原来的几倍。 小数点向右移动一位，这个数就扩大10倍；向右移动两位，这个数就扩大100倍；向右移动三位，这个数就扩大1000倍，据此即可填空。 【详解】20.7÷2.07＝10，即乘积扩大为原来的10倍。 100×10＝1000，则另一个乘数扩大为原来的1000倍，即另一个乘数的小数点应向右移动三位。 4．两个数的积是3.68，如果把其中一个乘数除以100，要使积为36.8，另一个乘数的小数点应向( )移动( )位。 【答案】 右 三 【分析】根据积的变化规律，一个因数乘几或除以几（0除外），积也跟这个乘几或除以几。则两个数的积是3.68，如果把其中一个乘数除以100，则积也会跟着除以100，变为3.68÷100＝0.0368。所以“要使积为36.8”，0.0368×1000＝36.8，即另一个乘数要乘1000，据此分析即可。 【详解】3.68÷100＝0.0368 0.0368×1000＝36.8 所以两个数的积是3.68，如果把其中一个乘数除以100，要使积为36.8，另一个乘数的小数点应向右移动三位。 5．6平方千米＝( )公顷        720000公顷＝( )平方千米 35平方分米＝( )平方米        1.8吨＝( )千克 【答案】 600 7200 0.35 1800 【分析】1平方千米＝100公顷；1平方米＝100平方分米；1吨＝1000千克；高级单位换算低级单位，乘进率；低级单位换算高级单位，除以进率，据此解答。 【详解】6×100＝600（公顷），所以6平方千米＝600公顷； 720000÷100＝7200（平方千米），所以720000公顷＝7200平方千米； 35÷100＝0.35（平方米），所以35平方分米＝0.35平方米； 1.8×1000＝1800（千米），所以1.8吨＝1800千克。 考点二：积的变化规律 6．根据35×12＝420，直接在括号里填上得数。 3.5×12＝( )         42÷12＝( )         4.2÷0.35＝( ) 【答案】 42 3.5 12 【分析】3.5×12，一个因数缩小到原来的，另一个因数不变，则积缩小到原来的，420÷10＝42； 由“35×12＝420”可知“420÷12＝35”，42÷12，被除数缩小到原来的，除数不变，则商缩小到原来的，35÷10＝3.5； 由“35×12＝420”可知“420÷35＝12”，4.2÷0.35，被除数和除数同时缩小到原来的，商不变，据此解答。 【详解】3.5×12＝（35÷10）×12＝420÷10＝42； 分析可知，420÷12＝35，42÷12＝（420÷10）÷12＝35÷10＝3.5； 分析可知，420÷35＝12，4.2÷0.35＝（420÷100）÷（35÷100）＝12。 综上所述，3.5×12＝42，42÷12＝3.5，4.2÷0.35＝12。 7．根据114×56＝6384，直接写出下面两题的得数。 1.14×560＝( )    638.4÷0.56＝( ) 【答案】 638.4 1140 【分析】（1）积的变化规律：在乘法中，如果一个乘数不变，另一个乘数乘或除以同一个非0的数，则积也要乘或除以这个相同的数；如果两个乘数都变，则积先根据第一个乘数乘或除以相同的数，再根据第二个乘数乘或除以相同的数；据此解答； （2）先根据114×56＝6384可得：6384÷56＝114，商的变化规律：在小数除法中，除数不变，被除数的小数点怎么变化，则商的小数点也要向相同的方向移动相同的位数；被除数不变，除数的小数点移动，则商的小数点要向相反的方向移动相同的位数；如果被除数和除数都变化，则商先根据被除数变化，再根据除数变化，据此解答。 【详解】1.14×560是把算式114×56＝6384的第一个乘数的小数点向左移动两位，再把第二个乘数的小数点向右移动一位，所以积要先向左移动两位，再向右移动一位，即积要变成638.4，所以1.14×560＝638.4； 根据114×56＝6384可得：6384÷56＝114，638.4÷0.56是把算式6384÷56＝114的被除数的小数点向左移动一位，再把除数的小数点向左移动两位，所以商的小数点要先向左移动一位，再向右移动两位，即商要变成1140，所以638.4÷0.56＝1140。 1.14×560＝638.4；638.4÷0.56＝1140。 8．根据23×16＝368，直接写出下面各题的得数。 2.3×1.6＝( )     0.23×1.6＝( )   368÷2.3＝( )    36.8÷160＝( ) 【答案】 3.68 0.368 160 0.23 【分析】根据积的小数位数与乘数中小数位数的关系，数出乘数中一共有几位小数，从368的右边起数出几位，点上小数点；根据商的变化规律，分析被除数和除数扩大或缩小的倍数，确定商的小数点位置，据此解答。 【详解】根据可以写出得数如下： ；；； 考点三：进一法、去尾法解决数学问题 9．一种奶油蛋糕，做1块要用7.5克奶油，70克奶油最多可以做( )块这种蛋糕；每6块蛋糕装一盒，50块蛋糕至少要用( )个包装盒。 【答案】 9 9 【分析】做1块蛋糕要用7.5克奶油，现在有70克奶油，用70除以7.5，算出来大概是9.33块，但蛋糕是整块的，剩下的奶油不够做1块，需用“去尾法”求近似数，所以最多只能做9块。 每6块蛋糕装一盒，现在有50块蛋糕，用50除以6，算出来大概是8.33个盒子，但剩下的蛋糕也得用1个盒子装，需用“进一法”求近似数，所以至少需要9个包装盒。 【详解】70÷7.5≈9（块） 50÷6≈9（个） 因此，70克奶油最多可以做9块这种蛋糕；50块蛋糕至少要用9个包装盒。 10．一种花生2.5千克可榨油0.75千克，照这样计算，榨18千克油，需要这样的花生( )千克。如果每个油壶可以装2.5千克油，装榨出的18千克油至少需准备( )个这样的油壶。 【答案】 60 8 【分析】用2.5千克可榨油的质量除以2.5，求出1千克花生可榨油的质量，再用18除以1千克花生可榨油的质量，就是榨18千克油，需要这样的花生的质量；由题意得，实际上是求18里面有几个2.5，根据求一个数里面有几个另一个数的方法，用除法解答即可。根据题意，此题应使用“进一法”保留整数。 【详解】18÷（0.75÷2.5） ＝18÷0.3 ＝60（千克） 18÷2.5＝7（个）……0.5（千克） 7＋1＝8（个） 所以榨18千克油，需要这样的花生60千克，装榨出的18千克油至少需准备8个这样的油壶。 考点四：分段计费问题 11．某市的出租车收费标准如下表。 起步价 超出3千米以外的部分 9元行3千米 每千米加收2.4元 注：①超出部分不足1千米按1千米计算； ②23：00至次日5：00时段，每千米加收2.6元。 （1）李阿姨白天乘出租车去超市购物，行驶了12千米。她应付多少元？ （2）李阿姨凌晨1：00乘出租车到医院急诊，付了24.6元。她家到医院最多有多少千米？ 【答案】（1）30.6元 （2）9千米 【分析】（1）李阿姨白天乘出租车，先求出超出3千米的距离，乘对应收费标准，再加上起步价即可； （2）李阿姨凌晨1：00乘出租车，超出3千米以外的部分每千米加收2.6元。付的钱数－起步价＝超出3千米以外的费用，超出3千米以外的费用÷对应收费标准＝超出3千米的距离，再加上3千米即可。 【详解】（1）（12－3）×2.4＋9 ＝9×2.4＋9 ＝21.6＋9 ＝30.6（元） 答：她应付30.6元。 （2）（24.6－9）÷2.6＋3 ＝15.6÷2.6＋3 ＝6＋3 ＝9（千米） 答：她家到医院最多有9千米。 12．南宁市居民用电按阶梯收费，收费标准如下表。 类别 户月用电量/千瓦时 电价标准/（元/千瓦时） 一档 不超过260 0.53 二档 260－370的部分 ？ 三档 370以上的部分 0.83 小丽家上月用电量为320千瓦时，缴纳电费172.6元。第二档的收费标准是每千瓦时多少元？ 【答案】0.58元 【分析】320＜370，小丽家用电量在第二档。先用小丽家上月用电量－第一档电量，求出超出部分的电量；再用第一档的电价标准×260，求出第一档的电费的钱数，再用小丽家上月缴纳电费－第一档的电费，求出超出部分的电费；再用超出部分的电费÷超出部分的电量，即可求出第二档的收费标准。 【详解】370＞320，小丽家用电在第二档。 （172.6－0.53×260）÷（320－260） ＝（172.6－137.8）÷60 ＝34.8÷60 ＝0.58（元） 答：第二档的收费标准是每千瓦时0.58元。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五单元高频考题组合检测卷 一、填空题（每空1分，其余每空2分，共26分） 1．【数感】在（    ）里填上“＞”“＜”或“＝”。 ( )       ( )0.75            ( ) 2．【推理能力】把3.5的小数点向右移动三位，再向左移动一位后是( )，这时相当于把3.5( )到原数的( )。 3．【应用意识】做一个奶油蛋糕要7.5克奶油，50克奶油最多可以做( )个蛋糕。300名学生去参加社会实践活动，一辆大巴车最多坐45人，至少需要( )辆这样的大巴车。 4．【推理意识】根据算式63×18＝21×54＝1134，直接填写下面的算式。 6.3×18＝21×( )    0.54×21＝( )    ( )×18＝1.134 5．【逆向推理】已知（□＋☆）×0.3＝8.4，□÷0.3＝70，那么☆＝( )。 6．【转化】小明买4支钢笔和1支圆珠笔共用去36.8元，小亮买同样的1支钢笔和4支圆珠笔共用去15.2元。钢笔的单价是( )元/支，圆珠笔的单价是( )元/支。 7．【分段问题】当每月用电量不超过100千瓦时时，每千瓦时电收费0.52元；当每月用电量超过100千瓦时时，超过的部分每千瓦时电收费0.6元。小明家8月份用电120千瓦时，需付电费( )元，他家9月份共付电费66.4元，则9月份用电( )千瓦时。 二、选择题（每空2分，共10分） 1．下面竖式中，虚线框里的30表示（    ）。 A．3个十 B．30个一 C．30个十分之一 D．30个百分之一 2．【推理能力】在计算1.6÷0.4时，表中有（    ）种想法是正确的。 1.6÷0.4 ＝（1.6×10）÷（0.4×10） ＝16÷4 ＝4 1.6元＝16角 0.4元＝4角 16角÷4角＝4 所以1.6÷0.4＝4 1.6里面有4个0.4 所以1.6÷0.4＝4 A．1 B．2 C．3 3．下列说法中，正确的是（    ）。 A．一个计算器的按键“3”坏了，计算“3.5×8”时，可以用“4.5×8－8”计算。 B．三角形的面积是平行四边形的一半。 C．﹣4比﹣0.4要大。 D．把0.25的小数点去掉，相当于乘1000。 4．小虎在计算5.46加一个一位小数时，把两个数的末尾对齐，结果得到5.85。正确的结果应该是（    ）。 A．10.46 B．10.36 C．9.46 D．9.36 5．【数形结合】在数线上表示算式3×0.97的积，用（    ）点比较合适。 A．a B．b C．c D．d 三、判断题（每空1分，共5分） 1．【数感】估算4.8÷0.5时，把4.8看作5，估算结果比实际结果大。( ) 2．8.6×0.7的积保留一位小数约是6.0  ( ) 。 3．根据63×12＝756，计算出6.3×1.2＋2＝9.56。( ) 4．0.636363…的循环节是63。( ) 5．【符号意识】甲的等于乙的，也等于丙的（甲、乙、丙不为0），那么三个数中甲最大。( ) 四、计算题（8+12+9，共29分） 1．直接写出得数。 0.67＋0.3＝              1－0.38＝                42.6÷100＝               100×2.2＝ 2.4×0.5＝               0.62＋6.2＝              10－9.9＝                  0.91÷7＝ 2．带*题用竖式计算并验算，不带*题得数保留两位小数。 *10.5－6.58     *0.672÷4.2     0.56×3.8     7.42÷3.6 3．计算下面各题，能简算的要简便计算。 0.38＋99×0.38             0.25×3.2×12.5             30.1÷[（6.07＋2.53）×0.7] 五、解答题（每题6分，共30分) 1．王老师带200元买一些文具作为运动员的奖品。他先用91.2元买了16只钢笔，打算用剩下的钱买笔记本。如果每本笔记本2.5元，最多能买多少本？ 2．常州市规定：电动自行车最高速度不得超过25千米/时。一名美团外卖骑手收到订单后，骑电动自行车去某餐饮店取了外卖（中间没有停顿），送到了红梅小区（如下图），共计用时0.16小时，他的速度符合要求吗？请计算说明。 3．王叔叔家的菜地划分情况如下。 种类 辣椒地 黄瓜地 青菜地 西红柿地 豆角地 面积/m2 28.4 33.5 27.2 32 37 （1）估算一下王叔叔家菜地一共有多少平方米？（写出估算过程） （2）每平方米菜地要准备0.2千克肥料，王叔叔大约要购进多少千克肥料？ 4．五仁月饼是中国传统糕点之一，在各式月饼中最为著名。糕点房要用10kg五仁馅做一批五仁月饼，做1个五仁月饼要用0.06kg五仁馅。 （1）糕点房最多可以做多少个这样的五仁月饼？ （2）如果将（1）中做好的五仁月饼每8个装1盒，装完这些五仁月饼至少要准备多少个盒子？ 5．某地通过价格调控来引导居民节约用水，规定如下用水收费标准：每户每月用水量不超过20立方米时，按“基本价”收费；超过20立方米时，不超过的部分仍按“基本价”收费，超过部分按“调节价”收费。某户居民四、五月份的用水量和水费如下表。 月份 用水量/立方米 水费/元 四 16 33.60 五 25 65.00 （1）该地水费的“调节价”是每立方米多少元？ （2）若该户居民六月份的用水量是30立方米，则六月份的水费是多少元？ 核心素养探究：【逆向推理】 小红和小丽去超市，小红想买一支钢笔，可是带的钱不够，还差2.8元；小丽也想买这支钢笔，可是带的钱也不够，还差3.2元。如果两人合起来买这支钢笔，钱还是不够，还差0.2元。小红带了多少元？小丽带了多少元？这支钢笔多少元？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1． ＜ ＞ ＝ 2． 350 扩大 100 3． 6 7 4． 5.4 11.34 0.063 5．7 6． 8.8 1.6 7． 64 124 1．C 2．C 3．A 4．D 5．B 1．√ 2．√ 3．√ 4．√ 5．× 1．0.97；0.62；0.426；220； 1.2；6.82；0.1；0.13 2．3.92；0.16；2.13；2.06 3．38；10；5 1．43本 2．不符合 3．（1）158平方米； （2）32千克； 4．（1）166个 （2）21个 5．（1）4.6元； （2）88元 6．小红3元；小丽2.6元；钢笔5.8元 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $