第2章 一元二次方程（复习讲义）数学新教材浙教版八年级下册

该初中数学一元二次方程复习讲义通过表格梳理常见结论与易错点，按基础、进阶、拓展三级目标递进构建知识体系，清晰呈现定义解法判别式等核心内容及内在联系，突出重难点分布。 讲义亮点在于分层练习设计，基础题巩固解法应用，提升题融入增长率和几何动态等实际问题，培养运算能力与模型意识，新定义题型和综合题助力学生发展数学思维，支持教师实施精准分层教学。

第2章 一元二次方程（复习讲义） 一、基础目标 1. 能复述一元二次方程的定义，准确识别一个方程是否为一元二次方程，并能指出其二次项、一次项、常数项以及各项系数。 2. 会运用直接开平方法解形如和的一元二次方程。 3. 能理解配方法的基本原理，会用配方法将形如的一元二次方程转化为的形式，并求解。 4. 能复述一元二次方程求根公式的推导过程，会将一元二次方程化为一般形式，并正确代入求根公式计算方程的根。 5. 理解因式分解法解一元二次方程的依据（若两个因式的积为零，则至少有一个因式为零），会用提公因式法、平方差公式、完全平方公式分解因式来解某些一元二次方程。 6. 能根据一元二次方程的系数，计算判别式的值，并根据判别式的值判断方程根的情况（有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、没有实数根）。 7. 能运用一元二次方程解决简单的实际问题，如面积问题、增长率问题等，包括设未知数、列方程、解方程、检验并作答的完整过程。 二、进阶目标 1. 会推导一元二次方程求根公式，并理解推导过程中配方法的应用。 2. 能灵活选择合适的方法（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法）解一元二次方程，体会不同方法的特点和适用范围。 3. 理解并应用根与系数的关系（韦达定理），对于已知一元二次方程的两个根、，能计算和，并能运用韦达定理解决简单问题，如已知一根求另一根及未知系数，或构造以给定两数为根的一元二次方程。 4. 能解决稍复杂的一元二次方程实际应用问题，如利润问题、动点问题、几何图形的动态变化问题等，能分析问题中的等量关系，建立方程模型，并对解的合理性进行检验。 5. 会处理含有字母系数的一元二次方程的有关问题，如讨论方程根的情况、已知根的情况求字母系数的取值范围等。 6. 能综合运用一元二次方程的知识解决与其他数学知识（如函数、几何）相结合的简单综合题。 三、拓展目标 1. 理解并应用判别式与根的情况的关系，解决含参数的一元二次方程中参数的取值范围问题，以及判断二次函数与坐标轴交点的个数等问题。 2. 能深入应用根与系数的关系解决较复杂的问题，如已知两根的和与积求代数式的值，或结合代数式的恒等变形进行化简求值。 3. 会解决涉及一元二次方程的开放性、探索性问题，如方案设计问题、存在性问题等。 4.能运用一元二次方程的知识解决实际生活中的复杂问题，如优化问题、运动学问题等，并能对结果进行多角度分析和评价。 5.了解一元二次方程的历史发展，体会数学文化的魅力，培养对数学的兴趣和探究精神。 类别 具体内容 完整分析 常见结论 一元二次方程的一般形式 一元二次方程的一般形式是ax² + bx + c = 0（a≠0）。这里必须强调a≠0，因为如果a=0，方程就退化为一次方程bx + c = 0，不再是二次方程。a、b、c分别称为二次项系数、一次项系数和常数项，它们都是常数，且a是二次项系数，不可为零，这是判断一个方程是否为一元二次方程的关键条件。 一元二次方程根的判别式 对于一元二次方程ax² + bx + c = 0（a≠0），其根的判别式为Δ = b² - 4ac。当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程没有实数根。判别式是判断一元二次方程根的情况的重要依据，在求解方程、确定参数取值范围等问题中有着广泛的应用。 一元二次方程的求根公式 当Δ≥0时，一元二次方程ax² + bx + c = 0（a≠0）的两个实数根可以用求根公式表示为x = [-b ± √] / (2a)。求根公式是解一元二次方程的通用方法，适用于所有有实数根的一元二次方程，是解决一元二次方程相关问题的重要工具。 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） 若一元二次方程ax² + bx + c = 0（a≠0）的两个实数根为x₁和x₂，则有x₁ + x₂ = -b/a，x₁x₂ = c/a。韦达定理揭示了一元二次方程的根与系数之间的关系，在已知方程的根求系数、已知系数求根的某些关系、构造方程等方面有着重要的作用。需要注意的是，韦达定理成立的前提是方程有实数根，即Δ≥0。 利用因式分解法解一元二次方程的原理 如果一元二次方程ax² + bx + c = 0（a≠0）的左边可以分解为两个一次因式的乘积，即（mx + n）（px + q）= 0，那么方程的解为mx + n = 0或px + q = 0，即x = -n/m或x = -q/p。因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，其核心思想是将二次方程转化为两个一次方程来求解，体现了降次的数学思想。 易错点 忽略一元二次方程一般形式中a≠0的条件 在判断一个方程是否为一元二次方程或利用相关公式、定理解决问题时，容易忽略二次项系数a不能为零这一关键条件。例如，当方程ax² + 5x + 3 = 0是一元二次方程时，a的取值范围是a≠0，如果忽略这一点，就可能导致错误的结论。 在使用根的判别式时忘记考虑二次项系数不为零 在根据根的判别式判断方程根的情况或求参数取值范围时，除了计算Δ的值，还必须保证二次项系数a≠0。比如，对于方程（m - 1）x² + 2x + 1 = 0，在讨论其根的情况时，首先要考虑m - 1≠0，即m≠1，否则就不是一元二次方程，不能直接应用根的判别式。 运用韦达定理时忽略方程有实数根的前提（Δ≥0） 在利用韦达定理解决问题时，必须先确保方程有实数根，即Δ≥0。如果忽略这一点，可能会得到错误的结果。例如，已知方程x² + (k - 1)x + k = 0的两根互为相反数，利用韦达定理x₁ + x₂ = -(k - 1) = 0，解得k = 1，但此时Δ = (1 - 1)² - 4×1×1 = -4 < 0，方程无实数根，所以k = 1不符合题意，这种情况就是忽略了Δ≥0导致的错误。 解方程时漏根或增根 在解一元二次方程时，尤其是在使用因式分解法或换元法等方法时，容易出现漏根或增根的情况。例如，用因式分解法解方程x(x - 2) = x时，若直接两边同时除以x，会得到x - 2 = 1，解得x = 3，从而漏掉x = 0这个根；又如在解分式方程转化为整式方程求解后，忘记检验，可能会出现增根，但在一元二次方程本身求解过程中，去分母或平方等操作也可能引入增根，需要引起注意（虽然一元二次方程整式方程本身不会因求解步骤增根，但在实际问题中可能因实际意义产生增根）。 在实际问题中忽略方程解的实际意义 在利用一元二次方程解决实际问题时，求出方程的解后，需要根据实际情况对解进行检验，舍去不符合实际意义的解。例如，在涉及长度、人数、时间等问题时，解不能为负数或小数（根据具体情况）。比如，某矩形的长比宽多2米，面积为24平方米，设宽为x米，则长为(x + 2)米，方程为x(x + 2) = 24，解得x₁ = 4，x₂ = -6，由于宽度不能为负数，所以舍去x₂ = -6，取x = 4。如果忽略了实际意义，就可能得到不合理的答案。 配方时出现错误 在使用配方法解一元二次方程时，容易在配方过程中出现错误。配方法的步骤是：先将二次项系数化为1，然后把常数项移到方程右边，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方。例如，解方程2x² - 4x - 1 = 0，首先应将二次项系数化为1，得到x² - 2x - 1/2 = 0，然后移项得x² - 2x = 1/2，接着配方，在两边同时加上( -2/2 )² = 1，得到x² - 2x + 1 = 1/2 + 1，即(x - 1)² = 3/2。如果在配方时忘记将二次项系数化为1就直接配方，或者在计算一次项系数一半的平方时出现错误，都会导致配方失败。 混淆一元二次方程的“根”和“解” 虽然在一元二次方程中，“根”和“解”通常可以互换使用，但在一些特定语境下需要注意。不过在初中阶段，主要是要理解方程的解（根）的概念，避免因术语使用不当而产生误解，但更重要的是在求解过程中准确求出所有的根（解）。 题型一 一元二次方程的定义、解、一般形式 【例1】下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，据此求解即可． 【详解】解：A、方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； B、方程不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； C、方程是一元二次方程，符合题意； D、方程中未知数的最高次数不是2，不是一元二次方程，不符合题意； 故选：C． 【变式1-1】一元二次方程化成一般形式后，发现二次项系数为1，则一次项系数为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 将方程化为一般形式，进而解题． 【详解】解：∵ 原方程， 展开得， 移项得， 此时二次项系数为1，一次项系数为2， ∴ 一次项系数为2． 故选：B． 【变式1-2】是方程的一个解，则 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解， 把代入一元二次方程即可得出关于m的一元一次方程求解即可得出答案． 【详解】解：∵是的一个解， ∴， 则， 故答案为：． 题型二 一元二次方程根的情况 【例2】一元二次方程根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．无实数根 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根是解题的关键．把，，代入进行计算，再根据计算结果判断方程根的情况． 【详解】解：， ，，， ， 方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 【变式2-1】关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式的应用．对于一元二次方程()，当判别式时，方程有两个不相等的实数根．先确定方程中、、的值，代入判别式得到关于的不等式，解不等式即可求出的取值范围． 【详解】解：∵方程是一元二次方程，且有两个不相等的实数根， ∴，解得． 因此，的取值范围是． 故选：A． 【变式2-2】关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义，熟练掌握这些知识是解决此题的关键．一元二次方程根的判别式．，一元二次方程有两个不相等的实数根；，一元二次方程有两个相等的实数根；，一元二次方程没有实数根．熟练掌握是解决问题的关键． 根据一元二次方程有两个实数根的条件，需满足二次项系数不为零且判别式大于等于零解答． 【详解】解：∵方程为一元二次方程， 故二次项系数， 即． ∵方程有两个实数根， ∴判别式． 解得． 综上，m的取值范围是且． 故答案为：且． 题型三 一元二次方程的变形求值 【例3】若关于的一元二次方程有一个根为，则一元二次方程有一个根为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是一元二次方程的根的含义，掌握“利用整体未知数求解方程的根”是解本题的关键． 通过换元法，将第二个方程转化为第一个方程的形式，然后利用已知根求解． 【详解】解：方程可变形为：， 又， 方程化为． 设，则方程化为， 方程有一个根为， 方程有一个根为， 即， ． 故选A． 【变式3-1】设a是方程的一个根，则（　　） A．2025 B．2026 C．2027 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的根，代数式求值等知识，正确掌握相关知识是解题的关键． 利用方程根的性质，将原表达式化简，并利用已知条件求值即可． 【详解】解：∵a是方程的根， ∴， ∴， ∴， ∴． ． 由方程两边除以a得， ∴． 故选A． 【变式3-2】在一个物理实验中，有一个电路的电阻变化规律可以用方程来描述，其中表示电阻值（单位：欧姆）．若是该方程的一个根，现在要计算一个与该电阻相关的电学量的值（该电学量的单位是焦耳），求这个值是 ． 【答案】2024 【分析】本题考查了一元二次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据题意易得：，从而可得，然后代入式子中进行计算，即可解答． 【详解】解：是方程的一个根， ， ， ， 故答案为：2024． 题型四 一元二次方程的整体换元 【例4】已知关于的方程（a、b、c均为常数，且）的解是，，那么方程的解是（　　） A． B． C． D．，方程无实数解 【答案】A 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，整体思想的运用，熟练掌握整体思想的应用是关键． 通过变量替换，令，将新方程转化为原方程形式，利用已知解求解关于的方程． 【详解】令，则方程化为, ∵方程的解为，， ∴或， ∴或， 解得或 ∴新方程的解为， 故选：A． 【变式4-1】已知，则的值为（   ） A．或2 B．或4 C．4 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，已知式子的值求代数式的值，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 设，将原方程转化为二次方程求解，再根据平方和的非负性确定的值． 【详解】解：∵， 设，则原方程化为： ， 解得：或， 又∵， ∴舍去， ∴． 故选：D． 【变式4-2】关于的方程的解是，（、、均为常数，），则方程的解是 ． 【答案】， 【分析】此题主要考查利用整体代换思想解方程．熟练掌握该知识点是关键；通过观察方程结构，可将第二个方程中的看作一个整体，则该整体的值应等于第一个方程的解，从而求出的值． 【详解】解：关于的方程的解是，，，均为常数，， 方程变形为， 即此方程中或， 解得或． 故答案为：，． 题型五 一元二次方程的新定义运算 【例5】定义一种运算“☆”为：☆，则☆的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据运算定义，将方程转化为代数式，得到一元二次方程，然后因式分解求解． 【详解】∵ ☆ ∴ ☆ ∴ ☆ ∴ ∴ 或 ∴ 或 故方程的解为， 故选：D． 【变式5-1】定义一种新运算：，，则方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题主要考查了新定义运算与一元二次方程的求解，熟练掌握新运算的定义并将其转化为常规方程是解题的关键． 根据新运算的定义，将方程左右两边分别转化为代数表达式，得到一元二次方程，然后求解． 【详解】∵，， ∴方程的左边：， 方程的右边：， ∴方程化为， 展开：， 即， 移项：， 解方程：， ∴，， 故选：A． 【变式5-2】对于实数a，b，定义：，．若，且满足，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，解一元二次方程．理解新定义运算是解题的关键． 根据新定义运算，将给定表达式转化为关于 的方程，然后求解二次方程，并根据 的条件选取合适的根． 【详解】由定义和，得则 即 ， 由于 ，故取 故答案为：． 题型六 一元二次方程的估算 【例6】根据下列表格的对应值，判断方程（为常数）的一个解的范围是（   ） 3.23 3.24 3.25 3.26 0.03 0.09 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，令（，a，b，c为常数），根据表格信息，进而可求解． 【详解】解：令（，a，b，c为常数）， 当时，， 当时，， 时，二次函数的函数值范围为， 即方程的一个解x的范围是． 故选：C． 【变式6-1】根据下列表格的对应值： 可以判断方程（，a，b，c为常数）的一个解的范围是（   ） A． B． C． D．无法判定 【答案】B 【分析】本题考查利用函数值的连续性估算方程近似解，需关注函数值跨过目标值的区间． 通过比较表格中的值与1的大小关系，确定函数值从小于1到大于1的区间，从而得到方程解的范围． 【详解】解：当时，， 当时，， ∴方程的一个解的范围是， 故选：B． 【变式6-2】关于x的二次三项式，满足下表中的对应关系：则一元二次方程的两个整数根是 ． x … 0 1 2 4 5 … … 16 7 7 16 … 【答案】3； 【分析】本题考查的是一元二次方程的特殊解法，根据表格中的数据可知当时，，当时，，因此方程在和之间有一个整数根 ．同理，当时，，当时，．方程在和之间有一个整数根，根据两根互为相反数，这两个整数根分别为和 ． 【详解】解：由表格数据可知， 当和时，； 当和时，； 当和时，； 当和时，． ∴方程的两个根互为相反数 ． ∵当时，；当时，， ∴在范围内存在的一个根 ． ∵根为整数， ∴该根为 ． 同理，当时，；当时，， 故在范围内存在的一个根，且为整数 ． 综上，一元二次方程的两个整数根为3和 ． 故答案为3和． 题型七 一元二次方程的应用——增长率、传播问题 【例7】秋冬季节来临，许多季节性传染病，尤其是呼吸道传染病开始流行，大家要加强防范．疾控部门为了检测流感的传染速度，设计了一个问题：有1人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染个人，那么满足的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据流感传染模型，两轮传染后总患病人数为初始人数、第一轮新增人数和第二轮新增人数之和，据此列方程． 【详解】∵ 开始有1人患了流感， 第一轮后患病人数为， 第二轮新增患病人数为， ∴ 两轮后总患病人数为， ∴， 故满足的方程为， 故选：A． 【变式7-1】某人工智能大模型10月份用户数量为亿，12月份用户数量增长至亿，已知该智能模型的用户数量在逐月增加，则11月、12月份用户数量的月均增长率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，找出等量关系列出方程是解题的关键．设11月、12月份用户数量的月平均增长率为，根据增长模型列出方程并求解即可． 【详解】解：设月均增长率为， 由题意得：， 解方程得：， 所以（取正值）， 因此， 故答案为：． 【变式7-2】李师傅开了一家商店，第1个月开始盈利，第2个月盈利2400元，第4个月盈利4056元，且从第2个月到第4个月，每月盈利的平均增长率都相同． (1)求从第2个月到第4个月每月盈利的平均增长率； (2)按照这个平均增长率，预计第5个月这家商店盈利多少元． 【答案】(1)从第2个月到第4个月每月盈利的平均增长率为 (2)预计第5个月这家商店的盈利为5272.8元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，属于增长率的问题． （1）设每月盈利的平均增长率为x，根据等量关系：2月份盈利额增长率4月份的盈利额，列出方程求解即可； （2）5月份盈利4月份盈利（1+增长率）． 【详解】（1）解：设从第2个月到第4个月每月盈利的平均增长率为x． ， ，， ， ， 答：从第2个月到第4个月每月盈利的平均增长率为； （2）， 答：预计第5个月这家商店的盈利为5272.8元． 题型八 一元二次方程的应用——销售、图形问题 【例8】某园艺师用花盆培育某种花苗，经过试验发现，每盆花的盈利与每盆株数构成一定的关系，每盆植入3株时，平均单株盈利10元；以同样的栽培条件，若每盆增加1株，平均单株盈利就减少1元，要使每盆的盈利为40元，需要每盆增加几株花苗？设每盆增加x株花苗，下面列出的方程中符合题意的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找出等量关系是解题的关键． 根据题意，每盆增加x株，则总株数为株，平均单株盈利减少x元，即为元，每盆盈利为总株数与平均单株盈利的乘积，令其等于40元，可得方程． 【详解】解：设每盆增加x株花苗， 由题意得，， 故选：A． 【变式8-1】为落实五育并举政策，某校要在边长为的正方形空地上建造一个劳动实践基地（图中阴影部分），保证该基地四周小路的宽度相等，且该基地的面积为．设小路的宽度为，则根据题意可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程的实际应用，理解题意找到等量关系是解题关键． 劳动实践基地的边长为，根据正方形的面积公式列方程即可． 【详解】解：由题意可知，劳动实践基地是边长为的正方形，其面积为， 则可列方程：． 故答案为：． 【变式8-2】某商场于今年年初以每件60元的进价购进一批商品．当商品售价为每件80元时，一月份销售64件，二、三月该商品十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，第一季度销售总量达到244件，设二、三这两个月的销售量月平均增长率不变． (1)求二、三这两个月的销售量月平均增长率； (2)从四月份起，在三月份销量的基础上，商场决定降价促销．经调查发现，该商品每降价0.5元，销售量增加5件，为尽可能让利顾客，问：该商品售价定为多少时，商场当月获利2160元？ 【答案】(1) 二、三这两个月的销售量月平均增长率为； (2) 该商品售价定为元时，商场当月获利元． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设二、三这两个月的销售量月平均增长率为x，根据题意即可得出关于x的一元二次方程，进行计算即可得； （2）设该商品售价定为y元，则每件的销售利润为元，当月的销售量为件，根据总利润每件的销售利润×月销售量，即可得出关于y的一元二次方程，再结合“要尽可能让利顾客，赢得市场”，即可得出该商品售价应定为元． 【详解】（1）解：设二、三这两个月的销售量月平均增长率为x， 依题意得， 整理得， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：二、三这两个月的销售量月平均增长率为； （2）解：设该商品售价定为y元，则每件的销售利润为元，三月的销售量是， 当月的销售量为件， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， 又∵要尽可能让利顾客，赢得市场， ∴， 答：该商品售价定为元时，商场当月获利元． 题型九 解一元二次方程——直接开平方法、配方法 【例9】一元二次方程的解为（   ） A． B． C．， D．， 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先把方程两边同时除以2，再把方程两边同时开平方即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ． 故选：C． 【变式9-1】解一元二次方程，将它转化为的形式，则的值为 ． 【答案】2026 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，从而确定参数a和b的值，再计算它们的和可得答案． 【详解】解： ， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式9-2】解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法． （1）先移项得，再根据直接开平方法即可求出答案； （2）先移项得，再根据配方法即可求出答案． 【详解】（1）解：， ， ， ∴，； （2）解：， ， ， ， ， ， ∴，． 题型十 解一元二次方程——公式法与因式分解法 【例10】若一个一元二次方程的根为， 则该一元二次方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的求根公式， 通过比较给定根表达式与求根公式，确定二次项系数a、一次项系数b和常数项c的值，从而得到方程． 【详解】解：∵一元二次方程求根公式为 ， 给定根为， ∴，故， ，故， 又， ∴，代入，得，即，故， 因此方程为， 即， 故选：C． 【变式10-1】方程的解是 ． 【答案】， 【分析】本题考查解一元二次方程，通过因式分解法求解，选择合适的方法进行计算是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∴，， 故答案为：，． 【变式10-2】解方程： (1)． (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用十字相乘法把方程左边分解因式，再解方程即可； （2）先移项，再利用提公因式法把方程左边分解因式，进而解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得． 题型十一 一元二次方程的根与系数关系 【例11】已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)若，该方程的两个实数根分别为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握它们的性质是解本题的关键． （1）根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，求出m的范围即可； （2）利用根与系数的关系得出，代入得，根据即可求出答案． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得：； （2）解：由题意得：， ， ， ． 【变式11-1】在数学研究课上，小明发现了一个有趣的现象：有些看似和一元二次方程不沾边的问题，只要巧妙构造一元二次方程，利用根与系数的关系就能轻松解决．他随即抛出了两个问题，邀请同学们一起探究． (1)若实数，满足，，求的值； (2)若实数，满足，，且，求的取值范围． 【答案】(1)23或2 (2) 【分析】此题考查了一元二次方程的根与系数的关系、根的判别式． （1）根据根与系数的关系进行解答即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系和根的判别式进行解答即可． 【详解】（1）、满足， ①当时，原式； ②当时，、可看作是方程的两个不相等的实数根， ，， ． 或2． （2）将方程两边同乘以2得：， 实数，满足：，且， 、是一元二次方程的两个不相等的实数根， ，，， 又，是方程的两个不相等的实数根， 方程根的判别式，解得， ， ． 【变式11-2】阅读材料： 材料1：若一元二次方程的两个根为，， 则， 材料2：已知实数，满足，，且，求的值． 解：由题知，是方程的两个不相等的实数根， 根据材料1得，， 所以． 根据上述材料解决以下问题： (1)材料理解： 一元二次方程的两个根为，，则______，______． (2)类比探究： 已知实数，满足，，且，求的值： (3)思维拓展： 已知实数、分别满足，，且．求的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题主要考查分式的化简求值、一元二次方程根与系数的关系、代数式求值，解题的关键是根据题意建立合适的方程及分式的混合运算顺序和运算法则． （1）直接根据一元二次方程根与系数的关系可得答案； （2）由题意得出、可看作方程的两个不相等的实数根，据此知，，将其代入计算可得； （3）把变形为，据此可得实数和可看作方程的两个不相等的实数根，继而知，，进一步代入计算可得． 【详解】（1）解：由题意可得：，； 故答案为：；； （2）解：，，且， 、可看作方程的两个不相等的实数根， ，， ； （3）解：把变形为，又， ∴实数和可看作方程的两个不相等的实数根， ，， ． 题型十二 配方法求最值 【例12】配方法是数学中重要的一种思想方法，能帮助解决一些与非负数有关或求代数式的最大值、最小值等问题，我们定义：一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为．再如：，（，是整数），所以也是“完美数”． 例如，把二次三项式进行配方，可求其最值． 解： 当时，的最小值为2． 请通过阅读以上材料，解决以下问题： （1）下列各数中，“完美数”有________（只填序号）； ①11；    ②34；    ③60． （2）若可配方成（，为正整数），则的值为________； （3）已知实数x，y满足，求代数式的最小值． 【答案】（1）②；（2）5；（3）2022． 【分析】本题主要考查了配方法的应用，偶次方的非负数的性质、完全平方式、新定义等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）依据“完美数”的定义求解即可； （2）将配方成的形式，即可得解； （3），据此求解即可． 【详解】解：（1）由于②，所以②是完美数， ；； 所以，不能表示成（a，b是整数）的形式，不是完美数； 故答案为：②； （2）由， 可配方成， ，， ， 故答案为：5； （3）解：因为， ∴ ∴ ∴ ∴当时，的最小值为2022． 【变式12-1】阅读材料：形如的式子叫做完全平方式．有些多项式虽然不是完全平方式，但可以通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、代数最值等问题中都有广泛的应用． （一）用配方法分解因式：． 解： ． （二）用配方法求代数式的最小值． 解： ， ， ≥－1． 即的最小值为． 请仿照以上例子解答下列问题： (1)若代数式是完全平方式，则常数的值为_____；（直接写出结果） (2)用配方法分解因式：； (3)用配方法求代数式的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）根据完全平方公式解答即可； （）仿照（一）解答即可； （）仿照（二）解答即可； 本题考查了完全平方公式，配方法及因式分解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：∵代数式是完全平方式， ∴， 即， ∴， 故答案为：； （2）解： ； （3）解： ， ∵， ∴， ∴ 即代数式的最小值是． 【变式12-2】利用完全平方公式，可以将多项式变形为的形式．例如：． 根据上述过程，解答下列问题： (1)将多项式变形为的形式，并判断与0的大小关系． (2)图①中矩形的长和宽分别是，，面积为；图②中矩形的长和宽分别是，，面积为．请比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2)．理由见解析 【分析】本题考查了配方法的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题干的解题过程进行模仿，得，再分析，得出，即可作答． （2）先整理得，，故，再分析，则，即可作答． 【详解】（1）解： ， ， ∴， 则； （2）解：，理由如下： 由题意，得， 则， ， ∵， ， 即， 则． 题型十三 一元二次方程的新定义方程 【例13】探究与应用 【知识定义】密码学是数学的重要应用之一．在密码学中，有一种简单的加密方法是将数字信息转化为用一元二次方程的根重新组成一个数．现在，这样定义：若一元二次方程的两个实数根均为正整数，且满足，则称该方程为“密码方程”，其根组成的数（较大的根在左，较小的根在右）称为“密码数”． 【知识理解】例如：对于方程，两根和均为正整数，且满足，所以此方程为“密码方程”，“密码数”是121；对于方程，由于，所以此方程不是“密码方程”；对于方程，两个根分别为，（不是正整数），所以此方程不是“密码方程”． 【问题解决】根据以上信息，请回答以下问题： (1)请判断以下两个方程是否为“密码方程”，请说明理由，如是，并写出其“密码数”； ①； ②． (2)已知方程是“密码方程”，“密码数”是31，求和的值； (3)在（2）的情况下，方程的“密码数”刚好是另一个“密码方程”的根，求和的值． 【答案】(1)①不是，理由见解析；②是，理由见解析，密码数是71 (2) (3) 【分析】本题考查了新定义，一元二次方程的根，解二元一次方程组． （1）根据“密码数”的定义判断即可； （2）根据“密码数”的定义可知，方程的两个根为，分别代入得出，解方程组可求出和的值； （3）由题意可知是方程的根，可得，由是“密码方程”可得，然后解方程组即可求出和的值． 【详解】（1）①解得，0不是正整数，故不是“密码方程”； ②解得，两根均为正整数． 又∵， ∴是“密码方程”，密码数是71； （2）∵方程是“密码方程”，“密码数”是31， ∴方程的两个根为， 把分别代入得， ， 解得； （3）由题意可知，是方程的根， ∴，即， ∵是“密码方程”， ∴，即 解得． 【变式13-1】如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的3倍，那么称这样的方程为“三倍根方程”．例如方程的两个根是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”． (1)方程________（填“是”或“否”）“三倍根方程”； (2)若关于的方程是“三倍根方程”，其中有一个根是1，试求与的值； (3)若是关于的“三倍根方程”，则代数式的值为________． 【答案】(1)否 (2)，或， (3) 【分析】本题考查新定义下一元二次方程根与系数关系的应用，熟练掌握一元二次方程根与系数关系是解题的关键， （1）利用因式分解法解，再根据“三倍根方程”的定义即可判断； （2）根据“三倍根方程”的定义得到方程的另一个根为3或，分两种情况：当，时；当，时，再根据根与系数的关系即可求出与的值； （3）根据“三倍根方程”的定义，设的根为和，再利用根与系数的关系得到，，代入即可得到答案． 【详解】（1）解：， 因式分解得：， 解得：，， 根据“三倍根方程”的定义， ∴方程不是“三倍根方程”； 故答案为：否． （2）解：∵方程是“三倍根方程”，其中有一个根是1， ∴另一根为：3或， 当，时，，， ∴，； 当，时，，， ∴，． （3）解：设的根为和， ∴，， ∴，， ∴． 【变式13-2】【定义】我们把关于x的一元二次方程与称为一对“友好方程” 【示例】如的“友好方程”是（1）写出一元二次方程的“友好方程”是______． 【探究】（2）已知一元二次方程的两根为，则它的“友好方程”的两个根为______． 【猜想】（3）当时，方程的两根与其“友好方程”的两根之间存在的一种特殊关系为______． 【证明】证明上面的猜想（4）∵方程的两根为， ；方程的两根为，①______；…请完成上述填空①，并补全证明过程．(备注：证明一组关系即可) 【应用】（5）已知关于x的方程的两根是， 请利用（2）中的结论，写出关于x的方程的两根为______． 【答案】（1）；（2），；（3）互为倒数，（4），过程见解析；（5）． 【分析】本题考查了新定义下一元二次方程根与系数的关系，求根公式的应用，因式分解法解一元二次方程，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据“友好方程”的定义即可得出答案； （2）根据“友好方程”的定义得出方程的“友好方程”，求解即可； （3）根据求根公式得出方程的两根为，及其“友好方程”的两根为，，再求得，，即可得出答案； （4）同（3）的方法求解； （5）先根据“友好方程”的根的特点求出方程的两根是，将待求方程变为，把看成一个整体即可求解． 【详解】解：（1）依题意可得：一元二次方程的“友好方程”是， 故答案为：； （2）， ， 解得：，； （3）∵时， ∴方程的两根为，， 方程的两根为，， （4）∵ ， 同理： ， ∴方程的两根，与其“友好方程”的两根，之间存在的一种特殊关系为互为倒数， 故答案为：互为倒数，； （5）解：关于的方程的两根为． ∵方程的两根是， ∴其“友好方程”的两根为． ，即， 将看作整体，则或， ． 基础巩固通关测 1．若是关于的方程的一个根，则的值是（） A． B． C．3 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的根的概念，将代入方程求解m即可． 【详解】解：∵是关于的方程的一个根， ∴代入得：， 即 ∴． 故选：C． 2．用配方法解一元二次方程时，将方程化为的形式，则n的值为（    ） A．12 B．9 C．6 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法的步骤，即通过移项、配方将方程化为完全平方式． 【详解】解：对进行配方， 移项得， 配方：， 即，故． 故选：C． 3．中国电动摩托车产业加速向绿色化转型，重庆作为“中国摩托车之都”，宗申集团的电动摩托车销量从2022年的万辆增长到2024年的万辆，若2022年到2024年的年平均增长率相同．设每年的销量增长率为，则列方程得（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查年平均增长率问题（一元二次方程的应用），从2022年到2024年经历了两年增长，列出方程即可． 【详解】解：设每年的销量增长率为， ∴ 2023年销量为， 2024年销量为， 又∵ 2024年销量为万辆， ∴ ． 故选：C． 4．某园区内原有一块宽为20米，长为30米的长方形空地，后计划在此区域栽种面积为486平方米的鲜花（阴影部分）并铺设如图所示的宽度相同的小路（空白部分）供游客观光．如果设这个宽度为x米，那么所列出的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 由小路的宽度，可得出栽种区域长为米，宽为米，结合在此区域栽种面积为486平方米的鲜花，可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意得：． 故选：C． 5．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，其《勾股》章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题：如图，在中，，，．若设，则可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 根据，之间的关系，可得出，利用勾股定理，即可得出关于的一元二次方程，此题得解 【详解】解：，， ． 依题意得：， 即． 故选：D． 6．方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的一般方法，是解题的关键．将方程移项化为一般形式，再通过因式分解求解即可． 【详解】解：， 移项得：， 因式分解得：， ∴或， 解得：． 故答案为：． 7．若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程：根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为零，因此． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴二次项系数，解得． 故答案为：． 8．关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系是解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根． 根据一元二次方程没有实数根的条件，判别式小于零，列出不等式求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程没有实数根， ∴， 即， 整理得， ∴． 故答案为：． 9．已知，是方程的两个根，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系求出，，再利用恒等式计算． 【详解】解：对于方程，有，，． 根据根与系数的关系，，． 则． 故答案为：5． 10．若关于x的一元二次方程有两个实数根，且方程的两根满足，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，一元二次方程根的判别式的意义，一元二次方程根与系数的关系．利用根与系数的关系得到，，代入条件得到关于的方程，解方程并检验判别式，确定的值. 【详解】解：由根与系数的关系，得，， 则， 所以，即， 解得或. 又因为方程有两个实数根，所以判别式，即. 当时，不成立，舍去； 当时，成立. 故. 故答案为：． 11．解下列一元二次方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程——配方法，因式分解法解一元二次方程，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）配方法解一元二次方程； （2）因式分解法解一元二次方程． 【详解】（1）解： ， 移项，得， 两边同时加上4，得 即 开平方，得 解得：； （2）， 方程左边分解因式，得 即， 所以或， 解得：． 12．近年赣南医科大等大学落户龙南，大大提升龙南医疗水平与社会活力，吸引师生消费，直接带动奶茶店客流与营收增长，促进本地服务业发展．某品牌奶茶店今年7月份外卖盈利4000元，9月份外卖盈利5760元，若从7月份到9月份，每月盈利的平均增长率都相同．求7月份到9月份每月盈利的平均增长率． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程-增长率问题，设7月份到9月份每月盈利的平均增长率为，根据增长前增长后列出方程，求解即可． 【详解】解：设7月份到9月份每月盈利的平均增长率为， 根据题意可得：， 解得：（负值舍去）， 答：7月份到9月份每月盈利的平均增长率为． 13．小宇要对一幅书法作品进行装裱，装裱后如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边，已知原作品的长为，宽为，在装裱后左右两边的边宽相等，天头长与地头长也相等，且右边宽与天头长的比为，设右边宽为． (1)天头长为 ；（用含x的代数式表示） (2)若装裱后作品总面积为，则右边宽为多少厘米？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据右边宽与天头长的比为，即可求解； （2）根据“装裱后作品总面积为”，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】（1）解：∵装裱后左右两边的边宽分别是，右边宽与天头长的比为， ∴天头长和地头长分别是； 故答案为： （2）解：由题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：装裱后右边宽是． 14．某零食商店以元/千克的价格购进一种饼干，计划以元/千克的价格销售，为促销，现决定降价销售，已知这种饼干销售量（千克）与每千克降价（元）（）之间满足的函数关系图象如下： (1)若这种饼干定价为元/千克时，则商店获利______元； (2)若商店要想获利元，且让顾客获得更大实惠，这种饼干的销售价应定为每千克多少元？ 【答案】(1) (2)每千克元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二元一次方程组的应用，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据图中点的坐标，利用待定系数法，可求出y与x之间的函数关系式，代入，可求出y的值，再利用总利润=每千克饼干的销售利润销售量，即可求出结论； （2）利用总利润=每千克饼干的销售利润销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，结合要让顾客获得更大实惠，可确定x的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】（1）解：设这种饼干销售量千克与每千克降价元之间满足的函数关系式为， 将，代入得： ， 解得：， 这种饼干销售量（千克）与每千克降价（元）之间满足的函数关系式为：， 当时，， （元）， 即若这种饼干定价为元/千克时，则商店获利元． 故答案为：； （2）解：根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 要让顾客获得更大实惠， ， （元）． 答：这种饼干的销售价应定为每千克元． 15．【材料阅读】解方程： 第一步：设，则原方程化为①，解方程①得：． 第二步：求解x的方程，即②③，解②③得：，，， 第三步：所以原方程的解是：，，， 上述解题方法，我们称之为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法；在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化． 【初步应用】（1）解方程： 【提升应用】（2）若四个连续自然数的积为120，请按照材料的方法，求这四个连续自然数． 【答案】（1）原方程的解为，，，； （2）四个连续自然数是2，3，4，5． 【分析】本题考查了换元法的思想应用及一元二次方程的解法． （1）利用换元法解方程即可； （2）通过设第一个数，将乘积式转化为方程，再用换元法简化计算即可． 【详解】解：（1）设， 原方程可变为， 则， ∴或， ∴， 当时，， 解得，， 当时，， 解得，， ∴原方程的解为，，，； （2）解：设四个连续自然数为n，，，， 由题意得， 整理得，即， 设，则方程化为， 即， 因式分解得， （舍去），， 当时，，即， 因式分解得，， ∴，（舍去）， ∴四个连续自然数是2，3，4，5． 能力提升进阶练 1．据国家统计局公布的《中华人民共和国2023年国民经济和社会发展统计公报》，我国原油产量从2021年到2023年增长了，设这两年的平均增长率为，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 根据平均增长率模型，两年增长后的产量为初始产量的倍，增长即最终产量为初始的，据此列方程． 【详解】解：设2021年产量为，则2023年产量为， ∵ 从2021年到2023年增长了， ∴ ， 两边除以，得． 故选：A． 2．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的定义及根的判别式，解题的关键是同时满足“一元二次方程”的定义和“有实数根”的判别式条件． 先根据一元二次方程的定义确定二次项系数不为0，再由根的判别式列不等式，联立求解的取值范围． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴，即； ∵方程有实数根， ∴， 即， 化简得． 综上，且． 故选：D． 3．已知关于的一元二次方程配方成的形式，且该方程的一个根为，求的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据方程的一个根为得到，再得到，配方即可得到答案 【详解】解：∵方程的一个根为， ∴代入得， 即， ∴， ∴ 即 ∴ ∵关于的一元二次方程配方成的形式， ∴ 故选 B. 4．如图，在中，若，，E为上一点，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理，解一元二次方程．作于点，设，求得，推出，由勾股定理得，据此列出一元二次方程，求解即可． 【详解】解：作于点，设， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由勾股定理得， 即， 整理得， 解得， ∴的值为， 故选：B． 5．已知关于的整式，其中均为自然数，且，以下说法： 若，则方程的解为； 若，且方程有两个不等实根，则的最大值为； 若为整系数多项式，则这样的有个． 其中正确的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了多项式，一元二次方程的根的判别式等知识，根据题意得，得，即可求出方程的解为；方程整理得，根据方程有两个不等实根，则且，所以且，然后分若，若， 若时，进行求解；求得，然后分四种情况求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，且，为自然数， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故正确； 若，则， ∵方程， ∴， ∴， ∵方程有两个不等实根， ∴且， ∴且， ∵，为自然数， ∴， 若，则，不符合题意，舍去； 若，则，不符合题意，舍去； 若，则， 又∵， ∴，此时， ∴， ∵， ∴最大为， ∴最大为，故正确； ∵均为自然数，且， ∴均从最小的数取起，则（舍去）， ∴， ∵， ∴， 当时，， ∵是整系数多项式， ∴， ∴时，或或，有个整系数多项式； 时，或，有个整系数多项式； 时，，有个整系数多项式； 故当时, 共个整系数多项式； 当时，， ∴时， ，或，有个整系数多项式； ，，有个整系数多项式； ，，有个整系数多项式； 时， ，，有个整系数多项式； ，，有个整系数多项式； 时， ，，有个整系数多项式； 故当时，共个整系数多项式； 当时，， 只有，，，，这种； 同理，当时，， 只有，，，，，这种； 综上，共有整系数多项式（个），故错误， 故选：C． 6．若关于x的一元二次方程有一根为2，则c的值是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程，得到关于c的方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有一根为2， ∴把代入得， 解得， 故答案为：． 7．已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】0 【分析】本题考查一元二次方程根的定义和根与系数的关系，掌握知识点是解题的关键． 根据一元二次方程根的定义和根与系数的关系，先求出和的值，再代入表达式计算 【详解】解：∵m是方程的根， ∴，即． 由根与系数的关系，得． ∴． 故答案为0． 8．若m、n是两个不相等的实数，且满足，，则代数式的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键，由题可得m、n是的两个根，整理得到，从而得到，的值，代入即可得到答案． 【详解】解：∵m、n是两个不相等的实数，且满足，， ∴m、n是，即的两个根， 根据根与系数的关系，得，， ∴ ， 故答案为：6． 9．定义新运算，对于两个不相等的实数，我们规定符号表示中较小值，如．，，按照这样的规定，若，则的值是 【答案】 或 【分析】本题考查了定义新运算．根据新运算定义，分 和 两种情况讨论，分别求解方程 【详解】当 时，， 代入得 ， 整理得 ， 解得 ， 取 （舍去 ）； 当 时，， 代入得 ， 整理得 ， 解得 ， 取 （舍去 ）； 当时，， ∵， ∴不成立． 故答案为： 或 ． 10．设，是方程的两个根，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，利用一元二次方程根的概念和根与系数的关系，将高次项降次后代入求值 【详解】解：， 是方程 的根， ， ，， ， ． 故答案为： ． 11．解方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用直接开方法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可； （3）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解： 解得，； （2）解： 或 解得，； （3）解： 或 解得，． 12．横山大明绿豆是陕西省横山县的特产，也是国家地理标志产品，被誉为粮食中的“绿色珍珠”．某网店销售成本为30元/袋的横山绿豆，当售价为60元/袋时，每天可售出100袋．为了迎接元旦，该网店决定采取适当的降价措施．经市场调查发现，每袋横山绿豆的售价每降低1元，每天可多售出10袋．现要使销售该种横山绿豆平均每天盈利3960元，并尽可能扩大销售量，求每袋横山绿豆的售价应降低多少元？ 【答案】每袋横山绿豆的售价应降低12元 【分析】、 本题考查一元二次方程的实际应用，理解题意，寻找等量关系并列方程是解题关键． 设每袋横山绿豆的售价降低元，根据题意，每天的销量会增加袋，即每天销售袋，根据每天盈利3960元，列方程并求解即可． 【详解】解：设每袋横山绿豆的售价降低元， 根据题意，得：， 解得：，， ∵要尽可能扩大销售量， ∴， 答：每袋横山绿豆的售价应降低12元． 13．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若m是正整数，方程的两个实数根都是整数，求m的值． 【答案】(1)见解析 (2)或3 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，因式分解法解一元二次方程，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据一元二次方程根的判别式计算得出，即可得证； （2）先利用因式分解法方程可得，，再结合题意分析即可得出结果． 【详解】（1）证明： ． ∵， ∴． ∴方程总有两个实数根． （2）解：∵， ∴， ∴或， 解得，． ∵m是正整数，方程的两个实数根都是整数， ∴或3． 14．如图，在中，，，，若点从点沿边向点以的速度移动，点从点沿边向点以的速度移动，两点同时出发． (1)问几秒后，的面积为． (2)出发几秒后，线段的长为？ (3)的面积能否为？若能，求出时间；若不能，请说明理由． 【答案】(1)出发秒或秒后，的面积为 (2)出发秒或秒后，线段的长为 (3)的面积不能为，见解析 【分析】本题考查了直角三角形的面积，一元二次方程的应用，一元二次方程根的判别式的应用，熟练掌握性质和应用是解题的关键． （1）设运动时间为秒时，则，．根据的面积为，列方程解答即可． （2）设运动时间为秒时，则，．根据勾股定理，列方程解答即可． （3）根据三角形的面积，构造一元二次方程，利用根的判别式判断方程是否有实数根；若有，则可能；若没有，则不能． 【详解】（1）解：设运动时间为秒时，则，． 根据题意，得：， 整理，得：， 解得：，． 答：出发秒或秒后，的面积为． （2）解：根据题意得：， 整理，得：， 解得：，． 答：出发秒或秒后，线段的长为． （3）解：假设能，根据题意得：， 整理，得：， ， 该方程无解， 假设不成立，即的面积不能为． 15．已知关于，是一元二次方程的两个实数根，若满足，则此类方程叫做差根方程．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： (1)下列是“差根方程”的是______；填写序号 ①；② (2)已知关于x的方程是“差根方程”，求a的值． (3)已知是直角三角形，，的长为，若的两边AC、BC的长是一个“差根方程”的两个实数根，求出这个差根方程． 【答案】(1)① (2) (3) 【分析】本题主要考查了根与系数的关系及勾股定理，理解所给“差根方程”的定义及勾股定理是解题的关键． （1）根据所给“差根方程”的定义进行判断即可； （2）根据所给“差根方程”的定义进行计算即可； （3）根据所给“差根方程”的定义，结合勾股定理进行计算即可； 【详解】（1）解：由得， ，， 则， 所以①符合题意； 由得， ，， 则， 所以②不符合题意． 故答案为：①； （2）解：由得， ， 因为此方程是“差根方程”， 所以， 解得； （3）解：由题知，不妨令， 因为，的长为， 则 因为、的长是一个“差根方程”的两个实数根， 所以， 则， 所以， 所以， 所以， 同理可得，， 所以，， 则这个差根方程为 2 / 59 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 一元二次方程（复习讲义） 一、基础目标 1. 能复述一元二次方程的定义，准确识别一个方程是否为一元二次方程，并能指出其二次项、一次项、常数项以及各项系数。 2. 会运用直接开平方法解形如和的一元二次方程。 3. 能理解配方法的基本原理，会用配方法将形如的一元二次方程转化为的形式，并求解。 4. 能复述一元二次方程求根公式的推导过程，会将一元二次方程化为一般形式，并正确代入求根公式计算方程的根。 5. 理解因式分解法解一元二次方程的依据（若两个因式的积为零，则至少有一个因式为零），会用提公因式法、平方差公式、完全平方公式分解因式来解某些一元二次方程。 6. 能根据一元二次方程的系数，计算判别式的值，并根据判别式的值判断方程根的情况（有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、没有实数根）。 7. 能运用一元二次方程解决简单的实际问题，如面积问题、增长率问题等，包括设未知数、列方程、解方程、检验并作答的完整过程。 二、进阶目标 1. 会推导一元二次方程求根公式，并理解推导过程中配方法的应用。 2. 能灵活选择合适的方法（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法）解一元二次方程，体会不同方法的特点和适用范围。 3. 理解并应用根与系数的关系（韦达定理），对于已知一元二次方程的两个根、，能计算和，并能运用韦达定理解决简单问题，如已知一根求另一根及未知系数，或构造以给定两数为根的一元二次方程。 4. 能解决稍复杂的一元二次方程实际应用问题，如利润问题、动点问题、几何图形的动态变化问题等，能分析问题中的等量关系，建立方程模型，并对解的合理性进行检验。 5. 会处理含有字母系数的一元二次方程的有关问题，如讨论方程根的情况、已知根的情况求字母系数的取值范围等。 6. 能综合运用一元二次方程的知识解决与其他数学知识（如函数、几何）相结合的简单综合题。 三、拓展目标 1. 理解并应用判别式与根的情况的关系，解决含参数的一元二次方程中参数的取值范围问题，以及判断二次函数与坐标轴交点的个数等问题。 2. 能深入应用根与系数的关系解决较复杂的问题，如已知两根的和与积求代数式的值，或结合代数式的恒等变形进行化简求值。 3. 会解决涉及一元二次方程的开放性、探索性问题，如方案设计问题、存在性问题等。 4. 能运用一元二次方程的知识解决实际生活中的复杂问题，如优化问题、运动学问题等，并能对结果进行多角度分析和评价。 5. 了解一元二次方程的历史发展，体会数学文化的魅力，培养对数学的兴趣和探究精神。 类别 具体内容 完整分析 常见结论 一元二次方程的一般形式 一元二次方程的一般形式是ax² + bx + c = 0（a≠0）。这里必须强调a≠0，因为如果a=0，方程就退化为一次方程bx + c = 0，不再是二次方程。a、b、c分别称为二次项系数、一次项系数和常数项，它们都是常数，且a是二次项系数，不可为零，这是判断一个方程是否为一元二次方程的关键条件。 一元二次方程根的判别式 对于一元二次方程ax² + bx + c = 0（a≠0），其根的判别式为Δ = b² - 4ac。当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程没有实数根。判别式是判断一元二次方程根的情况的重要依据，在求解方程、确定参数取值范围等问题中有着广泛的应用。 一元二次方程的求根公式 当Δ≥0时，一元二次方程ax² + bx + c = 0（a≠0）的两个实数根可以用求根公式表示为x = [-b ± √] / (2a)。求根公式是解一元二次方程的通用方法，适用于所有有实数根的一元二次方程，是解决一元二次方程相关问题的重要工具。 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） 若一元二次方程ax² + bx + c = 0（a≠0）的两个实数根为x₁和x₂，则有x₁ + x₂ = -b/a，x₁x₂ = c/a。韦达定理揭示了一元二次方程的根与系数之间的关系，在已知方程的根求系数、已知系数求根的某些关系、构造方程等方面有着重要的作用。需要注意的是，韦达定理成立的前提是方程有实数根，即Δ≥0。 利用因式分解法解一元二次方程的原理 如果一元二次方程ax² + bx + c = 0（a≠0）的左边可以分解为两个一次因式的乘积，即（mx + n）（px + q）= 0，那么方程的解为mx + n = 0或px + q = 0，即x = -n/m或x = -q/p。因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，其核心思想是将二次方程转化为两个一次方程来求解，体现了降次的数学思想。 易错点 忽略一元二次方程一般形式中a≠0的条件 在判断一个方程是否为一元二次方程或利用相关公式、定理解决问题时，容易忽略二次项系数a不能为零这一关键条件。例如，当方程ax² + 5x + 3 = 0是一元二次方程时，a的取值范围是a≠0，如果忽略这一点，就可能导致错误的结论。 在使用根的判别式时忘记考虑二次项系数不为零 在根据根的判别式判断方程根的情况或求参数取值范围时，除了计算Δ的值，还必须保证二次项系数a≠0。比如，对于方程（m - 1）x² + 2x + 1 = 0，在讨论其根的情况时，首先要考虑m - 1≠0，即m≠1，否则就不是一元二次方程，不能直接应用根的判别式。 运用韦达定理时忽略方程有实数根的前提（Δ≥0） 在利用韦达定理解决问题时，必须先确保方程有实数根，即Δ≥0。如果忽略这一点，可能会得到错误的结果。例如，已知方程x² + (k - 1)x + k = 0的两根互为相反数，利用韦达定理x₁ + x₂ = -(k - 1) = 0，解得k = 1，但此时Δ = (1 - 1)² - 4×1×1 = -4 < 0，方程无实数根，所以k = 1不符合题意，这种情况就是忽略了Δ≥0导致的错误。 解方程时漏根或增根 在解一元二次方程时，尤其是在使用因式分解法或换元法等方法时，容易出现漏根或增根的情况。例如，用因式分解法解方程x(x - 2) = x时，若直接两边同时除以x，会得到x - 2 = 1，解得x = 3，从而漏掉x = 0这个根；又如在解分式方程转化为整式方程求解后，忘记检验，可能会出现增根，但在一元二次方程本身求解过程中，去分母或平方等操作也可能引入增根，需要引起注意（虽然一元二次方程整式方程本身不会因求解步骤增根，但在实际问题中可能因实际意义产生增根）。 在实际问题中忽略方程解的实际意义 在利用一元二次方程解决实际问题时，求出方程的解后，需要根据实际情况对解进行检验，舍去不符合实际意义的解。例如，在涉及长度、人数、时间等问题时，解不能为负数或小数（根据具体情况）。比如，某矩形的长比宽多2米，面积为24平方米，设宽为x米，则长为(x + 2)米，方程为x(x + 2) = 24，解得x₁ = 4，x₂ = -6，由于宽度不能为负数，所以舍去x₂ = -6，取x = 4。如果忽略了实际意义，就可能得到不合理的答案。 配方时出现错误 在使用配方法解一元二次方程时，容易在配方过程中出现错误。配方法的步骤是：先将二次项系数化为1，然后把常数项移到方程右边，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方。例如，解方程2x² - 4x - 1 = 0，首先应将二次项系数化为1，得到x² - 2x - 1/2 = 0，然后移项得x² - 2x = 1/2，接着配方，在两边同时加上( -2/2 )² = 1，得到x² - 2x + 1 = 1/2 + 1，即(x - 1)² = 3/2。如果在配方时忘记将二次项系数化为1就直接配方，或者在计算一次项系数一半的平方时出现错误，都会导致配方失败。 混淆一元二次方程的“根”和“解” 虽然在一元二次方程中，“根”和“解”通常可以互换使用，但在一些特定语境下需要注意。不过在初中阶段，主要是要理解方程的解（根）的概念，避免因术语使用不当而产生误解，但更重要的是在求解过程中准确求出所有的根（解）。 题型一 一元二次方程的定义、解、一般形式 【例1】下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】一元二次方程化成一般形式后，发现二次项系数为1，则一次项系数为（    ） A． B．2 C． D．3 【变式1-2】是方程的一个解，则 ． 题型二 一元二次方程根的情况 【例2】一元二次方程根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．无实数根 【变式2-1】关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是 ． 题型三 一元二次方程的变形求值 【例3】若关于的一元二次方程有一个根为，则一元二次方程有一个根为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】设a是方程的一个根，则（　　） A．2025 B．2026 C．2027 D．无法确定 【变式3-2】在一个物理实验中，有一个电路的电阻变化规律可以用方程来描述，其中表示电阻值（单位：欧姆）．若是该方程的一个根，现在要计算一个与该电阻相关的电学量的值（该电学量的单位是焦耳），求这个值是 ． 题型四 一元二次方程的整体换元 【例4】已知关于的方程（a、b、c均为常数，且）的解是，，那么方程的解是（　　） A． B． C． D．，方程无实数解 【变式4-1】已知，则的值为（   ） A．或2 B．或4 C．4 D．2 【变式4-2】关于的方程的解是，（、、均为常数，），则方程的解是 ． 题型五 一元二次方程的新定义运算 【例5】定义一种运算“☆”为：☆，则☆的解是（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】定义一种新运算：，，则方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式5-2】对于实数a，b，定义：，．若，且满足，则 ． 题型六 一元二次方程的估算 【例6】根据下列表格的对应值，判断方程（为常数）的一个解的范围是（   ） 3.23 3.24 3.25 3.26 0.03 0.09 A． B． C． D． 【变式6-1】根据下列表格的对应值： 可以判断方程（，a，b，c为常数）的一个解的范围是（   ） A． B． C． D．无法判定 【变式6-2】关于x的二次三项式，满足下表中的对应关系：则一元二次方程的两个整数根是 ． x … 0 1 2 4 5 … … 16 7 7 16 … 题型七 一元二次方程的应用——增长率、传播问题 【例7】秋冬季节来临，许多季节性传染病，尤其是呼吸道传染病开始流行，大家要加强防范．疾控部门为了检测流感的传染速度，设计了一个问题：有1人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染个人，那么满足的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】某人工智能大模型10月份用户数量为亿，12月份用户数量增长至亿，已知该智能模型的用户数量在逐月增加，则11月、12月份用户数量的月均增长率为 ． 【变式7-2】李师傅开了一家商店，第1个月开始盈利，第2个月盈利2400元，第4个月盈利4056元，且从第2个月到第4个月，每月盈利的平均增长率都相同． (1)求从第2个月到第4个月每月盈利的平均增长率； (2)按照这个平均增长率，预计第5个月这家商店盈利多少元． 题型八 一元二次方程的应用——销售、图形问题 【例8】某园艺师用花盆培育某种花苗，经过试验发现，每盆花的盈利与每盆株数构成一定的关系，每盆植入3株时，平均单株盈利10元；以同样的栽培条件，若每盆增加1株，平均单株盈利就减少1元，要使每盆的盈利为40元，需要每盆增加几株花苗？设每盆增加x株花苗，下面列出的方程中符合题意的是（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】为落实五育并举政策，某校要在边长为的正方形空地上建造一个劳动实践基地（图中阴影部分），保证该基地四周小路的宽度相等，且该基地的面积为．设小路的宽度为，则根据题意可列方程为 ． 【变式8-2】某商场于今年年初以每件60元的进价购进一批商品．当商品售价为每件80元时，一月份销售64件，二、三月该商品十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，第一季度销售总量达到244件，设二、三这两个月的销售量月平均增长率不变． (1)求二、三这两个月的销售量月平均增长率； (2)从四月份起，在三月份销量的基础上，商场决定降价促销．经调查发现，该商品每降价0.5元，销售量增加5件，为尽可能让利顾客，问：该商品售价定为多少时，商场当月获利2160元？ 题型九 解一元二次方程——直接开平方法、配方法 【例9】一元二次方程的解为（   ） A． B． C．， D．， 【变式9-1】解一元二次方程，将它转化为的形式，则的值为 ． 【变式9-2】解方程： (1)； (2)． 题型十 解一元二次方程——公式法与因式分解法 【例10】若一个一元二次方程的根为， 则该一元二次方程为（   ） A． B． C． D． 【变式10-1】方程的解是 ． 【变式10-2】解方程： (1)． (2) 题型十一 一元二次方程的根与系数关系 【例11】已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)若，该方程的两个实数根分别为，求的值． 【变式11-1】在数学研究课上，小明发现了一个有趣的现象：有些看似和一元二次方程不沾边的问题，只要巧妙构造一元二次方程，利用根与系数的关系就能轻松解决．他随即抛出了两个问题，邀请同学们一起探究． (1)若实数，满足，，求的值； (2)若实数，满足，，且，求的取值范围． 【变式11-2】阅读材料： 材料1：若一元二次方程的两个根为，， 则， 材料2：已知实数，满足，，且，求的值． 解：由题知，是方程的两个不相等的实数根， 根据材料1得，， 所以． 根据上述材料解决以下问题： (1)材料理解： 一元二次方程的两个根为，，则______，______． (2)类比探究： 已知实数，满足，，且，求的值： (3)思维拓展： 已知实数、分别满足，，且．求的值． 题型十二 配方法求最值 【例12】配方法是数学中重要的一种思想方法，能帮助解决一些与非负数有关或求代数式的最大值、最小值等问题，我们定义：一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为．再如：，（，是整数），所以也是“完美数”． 例如，把二次三项式进行配方，可求其最值． 解： 当时，的最小值为2． 请通过阅读以上材料，解决以下问题： （1）下列各数中，“完美数”有________（只填序号）； ①11；    ②34；    ③60． （2）若可配方成（，为正整数），则的值为________； （3）已知实数x，y满足，求代数式的最小值． 【变式12-1】阅读材料：形如的式子叫做完全平方式．有些多项式虽然不是完全平方式，但可以通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、代数最值等问题中都有广泛的应用． （一）用配方法分解因式：． 解： ． （二）用配方法求代数式的最小值． 解： ， ， ≥－1． 即的最小值为． 请仿照以上例子解答下列问题： (1)若代数式是完全平方式，则常数的值为_____；（直接写出结果） (2)用配方法分解因式：； (3)用配方法求代数式的最小值． 【变式12-2】利用完全平方公式，可以将多项式变形为的形式．例如：． 根据上述过程，解答下列问题： (1)将多项式变形为的形式，并判断与0的大小关系． (2)图①中矩形的长和宽分别是，，面积为；图②中矩形的长和宽分别是，，面积为．请比较与的大小，并说明理由． 题型十三 一元二次方程的新定义方程 【例13】探究与应用 【知识定义】密码学是数学的重要应用之一．在密码学中，有一种简单的加密方法是将数字信息转化为用一元二次方程的根重新组成一个数．现在，这样定义：若一元二次方程的两个实数根均为正整数，且满足，则称该方程为“密码方程”，其根组成的数（较大的根在左，较小的根在右）称为“密码数”． 【知识理解】例如：对于方程，两根和均为正整数，且满足，所以此方程为“密码方程”，“密码数”是121；对于方程，由于，所以此方程不是“密码方程”；对于方程，两个根分别为，（不是正整数），所以此方程不是“密码方程”． 【问题解决】根据以上信息，请回答以下问题： (1)请判断以下两个方程是否为“密码方程”，请说明理由，如是，并写出其“密码数”； ①； ②． (2)已知方程是“密码方程”，“密码数”是31，求和的值； (3)在（2）的情况下，方程的“密码数”刚好是另一个“密码方程”的根，求和的值． 【变式13-1】如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的3倍，那么称这样的方程为“三倍根方程”．例如方程的两个根是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”． (1)方程________（填“是”或“否”）“三倍根方程”； (2)若关于的方程是“三倍根方程”，其中有一个根是1，试求与的值； (3)若是关于的“三倍根方程”，则代数式的值为________． 【变式13-2】【定义】我们把关于x的一元二次方程与称为一对“友好方程” 【示例】如的“友好方程”是（1）写出一元二次方程的“友好方程”是______． 【探究】（2）已知一元二次方程的两根为，则它的“友好方程”的两个根为______． 【猜想】（3）当时，方程的两根与其“友好方程”的两根之间存在的一种特殊关系为______． 【证明】证明上面的猜想（4）∵方程的两根为， ；方程的两根为，①______；…请完成上述填空①，并补全证明过程．(备注：证明一组关系即可) 【应用】（5）已知关于x的方程的两根是， 请利用（2）中的结论，写出关于x的方程的两根为______． 基础巩固通关测 1．若是关于的方程的一个根，则的值是（） A． B． C．3 D．1 2．用配方法解一元二次方程时，将方程化为的形式，则n的值为（    ） A．12 B．9 C．6 D．3 3．中国电动摩托车产业加速向绿色化转型，重庆作为“中国摩托车之都”，宗申集团的电动摩托车销量从2022年的万辆增长到2024年的万辆，若2022年到2024年的年平均增长率相同．设每年的销量增长率为，则列方程得（    ） A． B． C． D． 4．某园区内原有一块宽为20米，长为30米的长方形空地，后计划在此区域栽种面积为486平方米的鲜花（阴影部分）并铺设如图所示的宽度相同的小路（空白部分）供游客观光．如果设这个宽度为x米，那么所列出的方程是（    ） A． B． C． D． 5．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，其《勾股》章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题：如图，在中，，，．若设，则可列方程（   ） A． B． C． D． 6．方程的解是 ． 7．若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是 ． 8．关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围为 ． 9．已知，是方程的两个根，则 ． 10．若关于x的一元二次方程有两个实数根，且方程的两根满足，则m的值为 ． 11．解下列一元二次方程： (1)； (2)． 12．近年赣南医科大等大学落户龙南，大大提升龙南医疗水平与社会活力，吸引师生消费，直接带动奶茶店客流与营收增长，促进本地服务业发展．某品牌奶茶店今年7月份外卖盈利4000元，9月份外卖盈利5760元，若从7月份到9月份，每月盈利的平均增长率都相同．求7月份到9月份每月盈利的平均增长率． 13．小宇要对一幅书法作品进行装裱，装裱后如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边，已知原作品的长为，宽为，在装裱后左右两边的边宽相等，天头长与地头长也相等，且右边宽与天头长的比为，设右边宽为． (1)天头长为 ；（用含x的代数式表示） (2)若装裱后作品总面积为，则右边宽为多少厘米？ 14．某零食商店以元/千克的价格购进一种饼干，计划以元/千克的价格销售，为促销，现决定降价销售，已知这种饼干销售量（千克）与每千克降价（元）（）之间满足的函数关系图象如下： (1)若这种饼干定价为元/千克时，则商店获利______元； (2)若商店要想获利元，且让顾客获得更大实惠，这种饼干的销售价应定为每千克多少元？ 15．【材料阅读】解方程： 第一步：设，则原方程化为①，解方程①得：． 第二步：求解x的方程，即②③，解②③得：，，， 第三步：所以原方程的解是：，，， 上述解题方法，我们称之为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法；在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化． 【初步应用】（1）解方程： 【提升应用】（2）若四个连续自然数的积为120，请按照材料的方法，求这四个连续自然数． 能力提升进阶练 1．据国家统计局公布的《中华人民共和国2023年国民经济和社会发展统计公报》，我国原油产量从2021年到2023年增长了，设这两年的平均增长率为，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 2．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 3．已知关于的一元二次方程配方成的形式，且该方程的一个根为，求的值为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在中，若，，E为上一点，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．已知关于的整式，其中均为自然数，且，以下说法： 若，则方程的解为； 若，且方程有两个不等实根，则的最大值为； 若为整系数多项式，则这样的有个． 其中正确的个数是（   ） A． B． C． D． 6．若关于x的一元二次方程有一根为2，则c的值是 ． 7．已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，则的值为 ． 8．若m、n是两个不相等的实数，且满足，，则代数式的值为 ． 9．定义新运算，对于两个不相等的实数，我们规定符号表示中较小值，如．，，按照这样的规定，若，则的值是 10．设，是方程的两个根，那么的值为 ． 11．解方程： (1)； (2)； (3)． 12．横山大明绿豆是陕西省横山县的特产，也是国家地理标志产品，被誉为粮食中的“绿色珍珠”．某网店销售成本为30元/袋的横山绿豆，当售价为60元/袋时，每天可售出100袋．为了迎接元旦，该网店决定采取适当的降价措施．经市场调查发现，每袋横山绿豆的售价每降低1元，每天可多售出10袋．现要使销售该种横山绿豆平均每天盈利3960元，并尽可能扩大销售量，求每袋横山绿豆的售价应降低多少元？ 13．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若m是正整数，方程的两个实数根都是整数，求m的值． 14．如图，在中，，，，若点从点沿边向点以的速度移动，点从点沿边向点以的速度移动，两点同时出发． (1)问几秒后，的面积为． (2)出发几秒后，线段的长为？ (3)的面积能否为？若能，求出时间；若不能，请说明理由． 15．已知关于，是一元二次方程的两个实数根，若满足，则此类方程叫做差根方程．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： (1)下列是“差根方程”的是______；填写序号 ①；② (2)已知关于x的方程是“差根方程”，求a的值． (3)已知是直角三角形，，的长为，若的两边AC、BC的长是一个“差根方程”的两个实数根，求出这个差根方程． 1 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $