7.1.2弧度制及其与角度值的换算（教学课件，含交互动画）高一数学人教B版必修第三册

第2课时 弧度制及其与角度制的换算 7.1 任意角的概念与弧度制 第七章 三角函数 学 习 目 标 1 2 3 理解弧度制的概念，并能用数学语言描述弧度制与角度制 的区别. 掌握弧度制与角度制的换算关系， 能运用弧度制推导弧长和扇形面积公式,并理解其几何意义 在推导弧度制定义、换算公式及扇形面积公式的过程中，提升抽象概括能力和逻辑推理能力. 新课导入 在日常生活以及各学科中，一个量可用不同的标准来度量，从而也就有了不同的单位以及单位之间的换算。 例如 ①长度 1米、100厘米 或3尺或30寸 ②面积 该图形面积可表示为1平方米，也可以转换为亩来表示 类似地，角除了使用角度来度量外，还可以使用本小节我们要学习的弧度来度量. 该线段长度可表示为： 新知探究 探究一：弧度制 使用角度来度量角时，是把圆周等分成360份 我们先来回顾已经学过的角度制 其中每一份所对应的圆心角为1度，这种用度作单位来度量角的制度称为角度制。 角度制还规定 1度等于60分，1分等于60秒，即 新知探究 使用角度来度量角，其关键是“等分”。考虑到面积、体积等都可以通过线的长度来刻画，那么，能否用“测量长度”来代替“等分”，从而引进另外一种度量角的制度呢？ 尝试与发现 如图是一种折叠扇，折叠扇打开、合拢的过程可以抽象成扇形圆心角的变大、变小. 那么在这个过程中： ①扇形的什么量在发生变化？ ②什么量没发生变化？ ③由此你能想到度量角的其他办法吗？ 新知探究 为了解决以上问题，先将折叠扇抽象为如图所示的图形. 可以看出，弧与弧 都与角 对应. 但 时，它们的弧长 与始终不相等 其原因主要是 猜想：这些弧的长与弧所在圆的半径的比值是一个常数 即 提问：弧长不相等，那么什么量是相等的？ 新知探究 设 因此 只与圆心角的度数有关 我们把弧长与半径比值的这个常数叫做圆心角的弧度数. 规定长度等于半径长的圆弧所对的圆心角为1弧度的角，记作 这种以弧度为单位来度量角的制度称为弧度制 若弧长为的弧所对的圆心角为，则 由此也可以得到 知识小结 弧度制 定义：以“弧度 (rad)”为单位度量角的制度 1弧度角：长度等于半径的圆弧所对的圆心角，记作 关键性质：弧度数是比值 符号规范：“弧度”或“”可省略，如表示 即时训练 1. 关于弧度制有下列说法： ①扇形圆心角的弧度数随扇形的弧长的增大而增大． ②大圆中1弧度的角大于小圆中1弧度的角． ③大圆中1弧度的角等于小圆中1弧度的角． 其中正确的说法有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【分析】1弧度：长度等于半径的弧所对的圆心角，称为1弧度的角 与圆的半径无关 据此可知③正确，①②错误 B 新知探究 探究二：弧度制与角度制的换算 尝试与发现 （1）按照定义，一个周角对应的弧度数应是多少？ （2）一般地，弧度制与角度制之间怎样进行换算？ 角度制 （1）周角弧度数= （2）由（1） 得出： ，因此 角度→弧度： 弧度→角度： 特殊角记忆： ① ， ， ② ， 弧度制 知识小结 弧度制与角度制的换算 角度制 弧度制 ②角度化弧度： ③弧度化角度： ①弧度制与角度制的换算公式： 2. 300°化成弧度是（ ） A. B. C. D. 【解析】因为 ，所以 3. 化为角度是（ ） A. 60° B. 75° C. 115° D. 135° 【解析】 即时训练 A B 【分析】角度化弧度： 【分析】弧度化角度： 例题讲解 例1 把 , , 化成弧度（用 表示），并在平面直角坐标系中作出它们的终边。 解：设 角的弧度数为 则 所以 即 对应的角的终边为图中的射线 类似地，有 它们的终边分别为图中的射线 ，. 因为 所以例 1 说明，1 的角比 小. 例题讲解 例2 把 化成角度数. 解：设 则 因此 ，即 【分析】利用角度与弧度的反向转换，核心公式：. 例题讲解 【分析】结合扇形面积公式与圆的面积比例关系、弧长公式进行推导. 例3 又因为 ，所以 利用弧度制推导扇形的面积公式 其中 是扇形的弧长， 是扇形的半径。 解： 设扇形的圆心角为 ，则扇形的面积为 新知探究 知识拓展 将扇形面积公式 与三角形面积公式 进行对比，我们可以得到以下几点重要的数学启示: 1.两个公式在结构形式上统一 （二分之一 × 一条边 × 另一条相关的边） （可以将扇形近似地看作是由大量微小的、顶角在圆心的等腰三角形“拼接”而成） 3.弧度制的优越性 2.以直代曲”的微积分思想 （弧度制的公式比角度值的更加简洁） 新知探究 探究三：弧度制与角度制的换算 实践与操作 ①演示科学计算器操作： - 切换角度制/弧度制模式 - 计算与（弧度）的区别. ②展示计算误区 在中输入得到结果约为 解释原因：默认使用弧度制 ③角度与弧度的转换 如图，在 GeoGebra 中，从“选项”菜单中单击“高级…”之后，可以设定角 的单位 巩固提升 1.把下列各角从度化为弧度： (1)； (2)； (3)； (4)； 【分析】由换算即可. 解：（1）. （2）. （3）. （4）. 巩固提升 2.分别把下列各角从弧度化为度： (1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】根据弧度与角度度互化公式： 解：（1）； （2）； （3） （4）. 巩固提升 3.如图，点A，B，C是圆上的点． （1）若，，求扇形 的面积和弧长 的长； （2）若扇形 的面积为 ，求扇形 周长的最小值，并求出此时 的值。 【分析】（1）根据扇形的弧长公式和面积公式进行计算即可； （2）根据扇形的弧长公式和面积公式结合基本不等式的应用进行求解. 解：（1）由题意知，设 ，所以 根据扇形弧长； 扇形面积； 巩固提升 （2）由 ，即 则扇形的周长为 当且仅当 等号成立 所以由 知： 巩固提升 4.如图，已知长为dm，宽为1dm的长方体木块在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第四次时被小木块挡住，此时长方体木块底面与桌面所成的角为，求点A走过的路程为多少？ 【分析】确定每次翻滚的旋转中心、半径、旋转角度，再利用弧长公式计算每段弧长，最后求和. 解：第一次是以B为旋转中心，以为半径旋转90° 此次点A走过的路径是 巩固提升 第二次是以C为旋转中心，以为半径旋转90° 此次点A走过的路径是 第三次是以D为旋转中心，以为半径旋转60° 此次点A走过的路径是 ∴点A三次共走过的路径是 课堂总结 点击此处，进入本节课的课堂总结 要点回顾 感谢聆听! 弧度制课堂小结 人教B版 必修三 📚 知识点回顾 ⚠️ 易错点警示 💡 解题技巧 © 2026 数学老师 知识点回顾 1. 弧度的定义 长度等于 半径长 的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角。 如果半径为 r 的圆的圆心角 α 所对的弧长为 l，那么，角 α 的弧度数的绝对值是 |α| = l / r。 2. 角度与弧度的换算 关键等式 180° = π rad 1° = π / 180 rad 1 rad = (180 / π)° 3. 扇形公式 名称 公式 (其中 α 为弧度) 弧长公式 l = |α|r 扇形面积 S = 1/2 lr = 1/2 |α|r² 易错点警示 🚫 公式应用前提混淆 在使用弧长公式 l = αr 和扇形面积公式时，角 α 必须是 弧度制。 错误示例： 若圆心角为 60°，半径为 2，直接计算 l = 60 × 2 = 120。 正确做法： 先化为弧度 π/3，再计算 l = π/3 × 2 = 2π/3。 ⚠️ 忽视角的正负 弧长公式和面积公式中，涉及圆心角 α 时，通常取其 绝对值 |α|。 题目中给出的角可能是负角（顺时针旋转），计算几何量（长度、面积）时需取正值。 🤔 终边相同的角 表示终边相同的角时，不要忘记 k ∈ Z 这一条件。 集合表示：{β | β = α + 2kπ, k ∈ Z} 解题技巧 1. "知二求一" 方程思想 扇形问题主要涉及三个量：弧长 l、半径 r、圆心角 α。 只要知道其中任意两个，就可以通过公式求出第三个，进而求出面积 S。 核心方程组 l = |α|r S = 1/2 lr 2. 角度制与弧度制的互化 熟记特殊角的弧度数，能提高解题速度。看到 π 就要想到 180°。 30° π/6 45° π/4 60° π/3 90° π/2 120° 2π/3 270° 3π/2 3. 扇形周长与面积的最值问题 已知扇形周长 C (定值)，求面积 S 的最大值。 思路：利用二次函数配方或均值不等式 结论： 当 α = 2 rad 时， S 取最大值 1/16 C² $