第02讲 直线的方程（知识梳理+6大题型精讲+过关测）（寒假预习讲义）高二数学沪教版

第02讲 直线的方程 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：直线的点斜式方程 已知直线l经过点P（），0且斜率为k，则直线l的方程为y- 这个方程是由直线上一定点及其斜率确定的，因此称为直线的点斜式方程，简称点斜式． 当直线l的倾斜角为0°时（如图1），，即k=0，这时直线l与x轴平行或重合，l的方程就是，或． 当直线l的倾斜角为90°时（如图2），直线没有斜率，这时直线l与y轴平行或重合，它的方程不能用点斜式表示．因为这时l上每一点的横坐标都等于，所以它的方程是，或． 直线的点斜式方程的推导 如图，设点是直线l上不同于点的任意一点，根据经过两点的直线的斜率公式得 （1），即 （2）． 注意：方程（1）与方程（2）的差异：点的坐标不满足方程（1），但满足方程（2），因此，点不在方程（1）表示的图形上，而在方程（2）表示的图形上，方程（1）不能称为直线l的方程． 上述过程可以证明直线上每个点的坐标都是方程（2）的解．对上面的过程逆推，可以证明以方程（2）的解为坐标的点都在直线l上，所以这个方程就是过点，斜率为k的直线l的方程． 知识点2：直线的斜截式方程 我们把直线l与y轴交点的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距． 如果直线l的斜率为k，且在y轴上的截距为b，则方程为y-b=k（x-0），即y=kx+by叫做直线的斜截式方程，简称斜截式． 当b=0时，表示过原点的直线；当k=0且b≠0时，表示与x轴平行的直线；当k=0且b=0时，表示与x轴重合的直线． 知识点3：直线的两点式方程 1．直线的两点式方程的定义 已知直线l过两点，当时，直线l的方程为．这个方程是由直线上的两点确定的，因此称为直线的两点式方程，简称两点式． 2．直线的两点式方程的推导 已知直线过两点（其中），此时直线的位置是确定的，也就是直线的方程是可求的．当时，所求直线的斜率． 任取中的一点，例如取，由点斜式方程，得， 当时，可写为． 知识点4：直线的截距式方程 1．直线的截距式方程的定义 已知直线过点A（a，0），B（0，b）（a≠0，b≠0），则由直线的两点式方程可以得到直线的方程为。 我们把直线与轴的交点的横坐标叫做直线在轴上的截距，此时直线在轴上的截距是． 这个方程由直线在两个坐标轴上的截距和确定，因此叫做直线的截距式方程，简称截距式． 2．直线的截距式方程的推导 已知直线与轴的交点为，与轴的交点为，如图，其中． 将两点，的坐标代入两点式，得，即． 知识点5：中点坐标公式 若点的坐标分别为，且线段的中点的坐标为，则．此公式为线段的中点坐标公式． 知识点6：直线的一般式方程 在平面直角坐标系中，任何一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线．我们把关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0（其中A，B不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式． 直线的一般式、斜截式、截距式如下表： 一般式 斜截式 截距式 不同时为0） 都不为0） 直线的一般式方程可以表示坐标平面内任意一条直线．因此在一定条件下，直线的一般式方程可以进行如下转化： （1）当时，可化为，它表示在y轴上的截距为，斜率为的直线． （2）当均不为零时，可化为，它表示在x轴上的截距为，在y轴上的截距为的直线． 知识点7： 一般式方程中两直线平行与垂直的条件 若两条直线的方程是用一般式给出的，设直线的方程分别为，，则可以在条件允许时将两方程化为斜截式方程，从而得出两直线平行与垂直的结论如下： （1）若，当斜率存在时，；当斜率不存在时，且． 即，且或． （2）若当斜率存在时， ；当斜率不存在时，或．即． 【题型1 直线的点斜式方程】 例1（23-24高二上·上海·期末）若直线经过点、，则以下是直线的方程的为（    ） A． B． C． D． 例2（25-26高二上·上海·期中）若直线l经过点，倾斜角等于直线的倾斜角的2倍，则直线l的方程为 变式1（24-25高二下·上海·月考）直线的倾斜角为 变式2（24-25高二上·上海·课堂例题）已知直线过点，且倾斜角的正弦值为，此直线方程为 ． 变式3（23-24高二·上海·假期作业）已知中，，求边所在直线的方程. 【题型2直线的斜截式方程】 例3（24-25高二上·上海·期末）直线的倾斜角为 ． 例4（24-25高二上·上海·随堂练习）已知直线不过第一象限，则实数t的取值范围为 ． 变式1．（2024高二下·上海·专题练习）已知两点、，则直线的斜截式方程是 ． 变式2（24-25高二上·上海·月考）已知三个顶点的坐标分别为、、，求 (1)边所在直线的方程； (2)边上的中线所在直线的方程. 变式3（24-25高二下·上海·随堂练习）已知直线经过点. (1)求直线的倾斜角； (2)求直线在轴上的截距. 【题型3 直线的两点式方程】 例5（20-21高二上·上海杨浦·期中）已知直线与两坐标轴分别交于两点，如果△的面积为，那么满足要求的直线的条数是（    ）. A．1 B．2 C．3 D．4 例6（21-22高二上·上海金山·月考）已知，，则直线的两点式方程为 ． 变式1（21-22高二上·上海奉贤·月考）将直线绕其与轴的交点逆时针旋转得直线，则与两坐标轴所围成的三角形面积大小为 ． 变式2（24-25高二上·上海·课堂例题）已知的三个顶点坐标为，，，M为AB的中点，N为AC的中点，求中位线MN所在直线的两点式方程． 变式3（23-24高二上·上海·课后作业）已知、、三点在直线上. (1)求实数的值； (2)求的方程. 【题型4直线的截距式方程】 例7（22-23高二下·上海闵行·月考）经过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线有（    ）条 A．0 B．1 C．2 D．3 例8（24-25高二上·上海·月考）过点，且在x轴、y轴上的截距互为相反数的直线方程为 ． 变式1（25-26高二上·上海徐汇·月考）以原点为中心，对角线在坐标轴上，边长为2的正方形的四条边的方程为 . 变式2（23-24高二上·上海·课后作业）直线经过点，在轴、轴上的截距分别为、.已知，求的方程. 变式3（23-24高二上·上海·课后作业）已知直线过点，在下列条件下分别求直线的方程： (1)在轴、轴上的截距之和为4； (2)与轴、轴围成的三角形面积为20. 【题型5一般式方程中两直线平行与垂直的条件】 例9（20-21高二上·上海浦东新·期中）已知是直线上一点，是外一点，则方程表示的直线（    ） A．与重合 B．与交于点 C．过与平行 D．过与相交 例10（24-25高二上·上海·月考）已知定直线及其外一点，则方程表示直线（    ） A．过P且与定直线相交 B．过P且与定直线垂直 C．过P且与定直线平行 D．可能不过P点 变式1（25-26高二上·上海·期中）设，若直线与直线垂直，则 ． 变式2（21-22高二上·上海杨浦·月考）直线经过点，且倾斜角为，则直线的方程为 ． 变式3（24-25高二下·上海·期末）已知直线； (1)若，求实数的值； (2)若不经过坐标原点的直线在两个坐标轴上的截距相等，求实数的值. 【题型6 直线方程的综合应用】 例11（25-26高二上·上海·期中）若直线与直线的夹角为，则实数的取值集合为（   ） A． B． C． D． 例12（23-24高二上·上海·课后作业）在平面直角坐标系中，是坐标原点，设函数的图象为直线，且与轴、轴分别交于、两点，给出下列四个命题： ①存在正实数，使的面积为的直线仅有一条； ②存在正实数，使的面积为的直线仅有二条； ③存在正实数，使的面积为的直线仅有三条； ④存在正实数，使的面积为的直线仅有四条． 其中，所有真命题的序号是（ ）． A．①②③ B．③④ C．②④ D．②③④ 变式1（24-25高二上·上海·课堂例题）下列关于直线方程的说法正确的是 .①直线的倾斜角可以是；②直线l过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为；③过点的直线的直线方程还可以写成；④经过，两点的直线方程可以表示为. 变式2（24-25高二上·上海·课后作业）若直线l的一般式方程为，直线l经过点，求直线l在x轴和y轴上的截距之和的最小值，并求此时a的值． 变式3（25-26高二上·上海·月考）在平面直角坐标系中，已知射线，过点作直线分别交射线轴正半轴于点． (1)当直线的截距相等且不等于零时，求直线的方程； (2)已知点在线段（包括端点）上运动，求的取值范围； (3)求面积的最小值． 一、单选题 1．（24-25高二下·上海·月考）方程是直线的（    ）方程. A．点斜式 B．斜截式 C．一般式 D．点法式 2．（20-21高二上·上海浦东新·期中）直线的倾斜角的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·上海浦东新·月考）下列说法正确的是（   ） A．过点的直线方程都可以表示为 B．若直线在轴，轴的截距分别为，则该直线方程为 C．方程表示过两点的一条直线 D．若直线经过第一、二、四象限，则点在第三象限 4．（25-26高二上·上海·月考）已知，则直线和直线的位置关系不可能是（    ） A．平行 B．重合 C．垂直 D．关于轴对称 二、填空题 5．（24-25高二下·上海·月考）直线的倾斜角为 . 6．（22-23高二上·上海青浦·月考）已知直线，直线过点，若，则直线的方程是 ． 7．（24-25高二下·上海·月考）已知点，线段的垂直平分线在轴上的截距为 . 8．（25-26高二上·上海·月考）已知a为常数，若直线与直线平行，则 ． 9．（24-25高二上·上海·月考）直线经过点，与轴、轴分别交于、两点，若，则直线的方程为 . 10．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知直线l：，绕着它与x轴的交点逆时针旋转90°，得到直线，则直线的点法式方程为 . 11．（24-25高二上·上海·课堂例题）如果且，那么直线不经过第 象限. 12．（22-23高二上·上海浦东新·月考）过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为 . 13．（23-24高二上·上海宝山·月考）已知直线在两坐标轴上的截距相等，则 . 14．（24-25高二上·上海·月考）过点 且与直线 垂直的直线一般式方程为 . 15．（25-26高二上·上海·月考）设，若过定点的动直线和过定点的动直线交于点，中点为，则的值为 . 16．（25-26高二上·上海·期中）已知直线过定点，直线过定点与相交于点，当实数变化时，的最大值为 ． 三、解答题 17．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知的三个顶点分别为、、，求边上的中线所在直线的斜截式方程． 18．（23-24高二上·上海浦东新·月考）已知中，，． (1)若，求边上的高所在直线的一般式方程； (2)若点为边的中点，求边所在直线的一般式方程． 19．（24-25高二下·上海·月考）直线过点，且与轴，轴正半轴分别交于两点. (1)若，求直线的方程； (2)求的面积的最小值. 20．（21-22高二上·上海杨浦·月考）在中，三个顶点的坐标分别为，，. (1)求直线的方程； (2)求边上的高所在直线的方程； (3)求的平分线所在直线的方程． 21．（高二上·上海·期中）已知直线，且与坐标轴形成的三角形面积为.求： （1）求证：不论为何实数，直线过定点P； （2）分别求和时，所对应的直线条数； （3）针对的不同取值，讨论集合直线经过P，且与坐标轴围成的三角形面积为中的元素个数. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 直线的方程 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：直线的点斜式方程 已知直线l经过点P（），0且斜率为k，则直线l的方程为y- 这个方程是由直线上一定点及其斜率确定的，因此称为直线的点斜式方程，简称点斜式． 当直线l的倾斜角为0°时（如图1），，即k=0，这时直线l与x轴平行或重合，l的方程就是，或． 当直线l的倾斜角为90°时（如图2），直线没有斜率，这时直线l与y轴平行或重合，它的方程不能用点斜式表示．因为这时l上每一点的横坐标都等于，所以它的方程是，或． 直线的点斜式方程的推导 如图，设点是直线l上不同于点的任意一点，根据经过两点的直线的斜率公式得 （1），即 （2）． 注意：方程（1）与方程（2）的差异：点的坐标不满足方程（1），但满足方程（2），因此，点不在方程（1）表示的图形上，而在方程（2）表示的图形上，方程（1）不能称为直线l的方程． 上述过程可以证明直线上每个点的坐标都是方程（2）的解．对上面的过程逆推，可以证明以方程（2）的解为坐标的点都在直线l上，所以这个方程就是过点，斜率为k的直线l的方程． 知识点2：直线的斜截式方程 我们把直线l与y轴交点的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距． 如果直线l的斜率为k，且在y轴上的截距为b，则方程为y-b=k（x-0），即y=kx+by叫做直线的斜截式方程，简称斜截式． 当b=0时，表示过原点的直线；当k=0且b≠0时，表示与x轴平行的直线；当k=0且b=0时，表示与x轴重合的直线． 知识点3：直线的两点式方程 1．直线的两点式方程的定义 已知直线l过两点，当时，直线l的方程为．这个方程是由直线上的两点确定的，因此称为直线的两点式方程，简称两点式． 2．直线的两点式方程的推导 已知直线过两点（其中），此时直线的位置是确定的，也就是直线的方程是可求的． 当时，所求直线的斜率． 任取中的一点，例如取，由点斜式方程，得， 当时，可写为． 知识点4：直线的截距式方程 1．直线的截距式方程的定义 已知直线过点A（a，0），B（0，b）（a≠0，b≠0），则由直线的两点式方程可以得到直线的方程为。 我们把直线与轴的交点的横坐标叫做直线在轴上的截距，此时直线在轴上的截距是． 这个方程由直线在两个坐标轴上的截距和确定，因此叫做直线的截距式方程，简称截距式． 2．直线的截距式方程的推导 已知直线与轴的交点为，与轴的交点为，如图，其中． 将两点，的坐标代入两点式，得，即． 知识点5：中点坐标公式 若点的坐标分别为，且线段的中点的坐标为，则．此公式为线段的中点坐标公式． 知识点6：直线的一般式方程 在平面直角坐标系中，任何一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线．我们把关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0（其中A，B不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式． 直线的一般式、斜截式、截距式如下表： 一般式 斜截式 截距式 不同时为0） 都不为0） 直线的一般式方程可以表示坐标平面内任意一条直线．因此在一定条件下，直线的一般式方程可以进行如下转化： （1）当时，可化为，它表示在y轴上的截距为，斜率为的直线． （2）当均不为零时，可化为，它表示在x轴上的截距为，在y轴上的截距为的直线． 知识点7： 一般式方程中两直线平行与垂直的条件 若两条直线的方程是用一般式给出的，设直线的方程分别为，，则可以在条件允许时将两方程化为斜截式方程，从而得出两直线平行与垂直的结论如下： （1） 若，当斜率存在时，；当斜率不存在时，且． 即，且或． （2）若当斜率存在时，；当斜率不存在时，或． 即． 【题型1 直线的点斜式方程】 例1（23-24高二上·上海·期末）若直线经过点、，则以下是直线的方程的为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求得直线的斜率，利用直线的点斜式方程，求得直线的方程，结合选项，即可求解. 【详解】由直线经过点、，可得直线的斜率为， 所以直线的方程为，即， 结合选项，只有B项，符合题意. 故选：B. 例2（25-26高二上·上海·期中）若直线l经过点，倾斜角等于直线的倾斜角的2倍，则直线l的方程为 【答案】 【分析】先求得直线的斜率，然后根据点斜式方程直接可得. 【详解】由已知设直线的倾斜角为，则所求直线的倾斜角为. 因为，所以 又直线l经过点， 因此，所求直线方程为，即. 故答案为： 变式1（24-25高二下·上海·月考）直线的倾斜角为 【答案】 【分析】求出直线的斜率，进而求出其倾斜角. 【详解】直线的斜率，设其倾斜角为，则， 所以. 故答案为： 变式2（24-25高二上·上海·课堂例题）已知直线过点，且倾斜角的正弦值为，此直线方程为 ． 【答案】 【分析】根据同角三角函数的基本关系求出斜率，然后由点斜式可得. 【详解】记直线倾斜角为，由题知， 所以，所以， 由点斜式方程可得，即. 故答案为： 变式3（23-24高二·上海·假期作业）已知中，，求边所在直线的方程. 【答案】 【分析】根据题意，利用斜率公式求得的斜率为，结合直线的点斜式方程，即可求解. 【详解】因为中，，可得的斜率为， 所以边所在直线的方程为，即. 【题型2直线的斜截式方程】 例3（24-25高二上·上海·期末）直线的倾斜角为 ． 【答案】 【分析】根据直线斜率和倾斜角的关系结合倾斜角的范围求解. 【详解】直线的斜率为，设倾斜角为， 所以，可得． 故答案为：. 例4（24-25高二上·上海·随堂练习）已知直线不过第一象限，则实数t的取值范围为 ． 【答案】 【分析】分析得到直线经过的象限，结合一次函数的性质求解即可. 【详解】当时，，故直线不过原点， 则直线一定通过三个象限， 而直线不过第一象限，故其必过第二，三，四象限， 得到，解得. 故答案为： 变式1．（2024高二下·上海·专题练习）已知两点、，则直线的斜截式方程是 ． 【答案】 【分析】直接利用两点的坐标求出直线的方程，进一步转换为斜截式． 【详解】已知两点、，故直线的斜率， 则方程为：，整理得， 转化为直线的斜截式为． 故答案为：． 变式2（24-25高二上·上海·月考）已知三个顶点的坐标分别为、、，求 (1)边所在直线的方程； (2)边上的中线所在直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先求出直线的斜率，再由点斜式求出直线方程； （2）首先求出的中点的坐标，即可求出中线的斜率，再由斜截式求出直线方程. 【详解】（1）因为、，所以， 所以边所在直线的方程为，即； （2）因为、，所以的中点为，不妨记， 又，所以， 所以边上的中线所在直线的方程为，即. 变式3（24-25高二下·上海·随堂练习）已知直线经过点. (1)求直线的倾斜角； (2)求直线在轴上的截距. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得，由斜率与倾斜角的关系即可求解； （2）由（1）可得直线方程，令即可求解. 【详解】（1）设直线的倾斜角为， 由直线经过点， 可知，解得， 则，所以； （2）由（1）可知直线， 当时， 所以直线在轴上的截距为. 【题型3 直线的两点式方程】 例5（20-21高二上·上海杨浦·期中）已知直线与两坐标轴分别交于两点，如果△的面积为，那么满足要求的直线的条数是（    ）. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】按照、分类，求出截距后列方程即可得解. 【详解】当时，直线，不合题意； 当时， 若，则，若，则， 所以， 所以或， 解得或或； 所以满足要求的直线的条数是3. 故选：C. 例6（21-22高二上·上海金山·月考）已知，，则直线的两点式方程为 ． 【答案】 【分析】直接由直线的两点式方程公式得出答案. 【详解】当直线过两点，时，其两点式方程为， 则直线的两点式方程为， 故答案为：. 变式1（21-22高二上·上海奉贤·月考）将直线绕其与轴的交点逆时针旋转得直线，则与两坐标轴所围成的三角形面积大小为 ． 【答案】 【分析】在直线中，令，得，设直线的倾斜角为，则，的倾斜角为，利用正切函数两角和公式求得直线的斜率，从而得的方程，由此能求出与两坐标轴所围成的三角形面积． 【详解】在直线中，令得，∴， 直线绕其与轴的交点逆时针旋转得直线， 设直线的倾斜角为，则，则的倾斜角为， ∴的斜率， ∴的方程为，即， 令，得，∴与轴交点坐标为， ∴与两坐标轴所围成的三角形面积为： ． 故答案为：． 变式2（24-25高二上·上海·课堂例题）已知的三个顶点坐标为，，，M为AB的中点，N为AC的中点，求中位线MN所在直线的两点式方程． 【答案】 【分析】先利用中点坐标公式求出点，然后可求出MN所在直线的两点式方程. 【详解】解：因为，，，M为AB的中点，N为AC的中点， 所以，， 所以中位线MN所在直线的两点式方程为． 变式3（23-24高二上·上海·课后作业）已知、、三点在直线上. (1)求实数的值； (2)求的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据直线的斜率公式进行求解即可； （2）利用两点式进行求解即可. 【详解】（1）因为、、三点在直线上， 又无解，故直线斜率存在， 所以，解得； （2）当时，直线方程为： ； 当时，直线方程为： ， 所以求的方程为或. 【题型4直线的截距式方程】 例7（22-23高二下·上海闵行·月考）经过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线有（    ）条 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据直线过原点和不过原点，即可求解直线方程. 【详解】若直线经过原点，则，在坐标轴上的截距均为0，符合题意， 若截距均不为0，则设直线方程为，将代入得，此时直线方程为， 故选：C 例8（24-25高二上·上海·月考）过点，且在x轴、y轴上的截距互为相反数的直线方程为 ． 【答案】和 【分析】根据截距是否为0，由待定系数法即可求解. 【详解】当在x轴、y轴上的截距为0时，设直线方程为，代入，可得 ，故，此时直线方程为， 当截距均不为0时，设直线方程为，将代入可得，解得， 故直线方程为，即， 综上可得满足条件的直线方程有：和， 故答案为：和 变式1（25-26高二上·上海徐汇·月考）以原点为中心，对角线在坐标轴上，边长为2的正方形的四条边的方程为 . 【答案】， 【分析】根据题设分析知，方程所得图形关于原点、轴对称且点是正方形的四个顶点，从而得到边所在方程 【详解】由题设，方程所得图形关于原点、轴对称， 又图形是对角线在坐标轴上，边长为2的正方形，所以正方形所对应四个顶点坐标分别为， 所以边对应方程为：，即，, 边对应方程为：，即，， 边对应方程为：，即，， 边对应方程为：，即，， 故方程为， 故答案为：， 变式2（23-24高二上·上海·课后作业）直线经过点，在轴、轴上的截距分别为、.已知，求的方程. 【答案】或 【分析】设出直线方程，根据条件列出方程组，解出，即可求出结果. 【详解】设直线的方程为，因为直线经过点，且， 所以，消去化简得到，解得或， 当时，，当时，， 所以直线方程为或， 即或. 变式3（23-24高二上·上海·课后作业）已知直线过点，在下列条件下分别求直线的方程： (1)在轴、轴上的截距之和为4； (2)与轴、轴围成的三角形面积为20. 【答案】(1)，或 (2)，或，，或 【分析】（1）当直线分别与轴、轴上垂直时，截距分别为5、1，不符合题意；当直线不与轴、轴上垂直且不过原点时，设直线的方程为，利用已知条件可得答案； （2）由题意设直线的方程为，直线过点，与轴、轴围成的三角形面积为20，求出可得答案. 【详解】（1）由已知直线不过原点， 当直线分别与轴、轴上垂直时，截距分别为5、1，不符合题意； 当直线不与轴、轴上垂直且不过原点时， 设直线的方程为， 因为直线过点， 在轴、轴上的截距之和为4， 所以，解得，或， 可得直线的方程为，或； （2）由题意设直线的方程为， 因为直线过点，与轴、轴围成的三角形面积为20， 所以，解得，或， ，或， 所以直线的方程为，或 或，或. 【题型5一般式方程中两直线平行与垂直的条件】 例9（20-21高二上·上海浦东新·期中）已知是直线上一点，是外一点，则方程表示的直线（    ） A．与重合 B．与交于点 C．过与平行 D．过与相交 【答案】C 【解析】由题意有可得，，，，根据当两直线方程的一次项系数相等，但常数项不相等时，两直线平行，得出结论． 【详解】解：由题意有可得，，，，则方程，，， 即，，，它与直线的一次项系数相等，但常数项不相等， 故，，表示过点且与平行的直线， 故选：C ． 【点睛】根据平行直线系方程，即两直线方程与互相平行. 例10（24-25高二上·上海·月考）已知定直线及其外一点，则方程表示直线（    ） A．过P且与定直线相交 B．过P且与定直线垂直 C．过P且与定直线平行 D．可能不过P点 【答案】C 【分析】利用方程思想可判断两直线斜率相同，截距不同，且经过点P，即可作出判断. 【详解】由定直线及其外一点，可知， 又因为把点代入方程可得： ，即点代入方程的直线上， 因为，所以直线方程与直线方程不相同， 所以它们的斜率相同，截距不同，即两直线相互平行. 故选：C. 变式1（25-26高二上·上海·期中）设，若直线与直线垂直，则 ． 【答案】2 【分析】根据直线垂直得到方程，求出答案. 【详解】直线与直线垂直， 故，解得. 故答案为：2 变式2（21-22高二上·上海杨浦·月考）直线经过点，且倾斜角为，则直线的方程为 ． 【答案】 【分析】倾斜角为 ，即是垂直于x轴，据此可以直接写出直线方程. 【详解】由于倾斜角为 ，所以l垂直于x轴，直线方程为 ； 故答案为： . 变式3（24-25高二下·上海·期末）已知直线； (1)若，求实数的值； (2)若不经过坐标原点的直线在两个坐标轴上的截距相等，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据直线一般式中平行满足的系数关系，列方程求解参数即可. （2）由题意得，并分别求解轴上的截距，根据截距相等列方程求解即可. 【详解】（1）当时，满足，解得. 所以实数的值为. （2）因为. 且由题意可知，所以解得且， 令，得，令，得， 所以，解得. 所以实数的值为. 【题型6 直线方程的综合应用】 例11（25-26高二上·上海·期中）若直线与直线的夹角为，则实数的取值集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将直线的夹角问题转化为向量的夹角问题，然后利用夹角的坐标运算列式即可求解. 【详解】直线的一个方向向量为， 直线的一个方向向量为， 因为直线与直线的夹角为， 所以，则，化简得， 两边平方化简，所以或， 所以实数的取值集合为. 故选：A 例12（23-24高二上·上海·课后作业）在平面直角坐标系中，是坐标原点，设函数的图象为直线，且与轴、轴分别交于、两点，给出下列四个命题： ①存在正实数，使的面积为的直线仅有一条； ②存在正实数，使的面积为的直线仅有二条； ③存在正实数，使的面积为的直线仅有三条； ④存在正实数，使的面积为的直线仅有四条． 其中，所有真命题的序号是（ ）． A．①②③ B．③④ C．②④ D．②③④ 【答案】D 【分析】根据题意，求得的面积为，结合基本不等式，求得时，得到当且仅当时，等号成立，所以；当时，时，结合选项，逐项判定，即可求解. 【详解】由正弦与和轴交点的坐标分别为， 所以的面积为， 当时，， 当且仅当时，等号成立，所以， 所以，当，结合对勾函数性质，在时有两个值， 当时，， 当且仅当时取等号，当时，在时，有两个值， 所以，当时，，则直线过原点，不存在的面积为，所以故①不正确； 当时，仅有两条直线使的面积为，所以②正确； 当 时，仅有三条直线使的面积为，所以③正确； 当时，仅有四条直线使的面积为，所以④正确； 综上所述，真命题的序号是②③④. 故选：D. 变式1（24-25高二上·上海·课堂例题）下列关于直线方程的说法正确的是 .①直线的倾斜角可以是；②直线l过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为；③过点的直线的直线方程还可以写成；④经过，两点的直线方程可以表示为. 【答案】①③ 【分析】当可知直线倾斜角为，知①正确；分别讨论直线过坐标原点和不过坐标原点两种情况，可知②错误；根据和可整理得到③正确；当或时，两点式方程无法应用，知④错误. 【详解】对于①，当时，直线方程为：，此时直线倾斜角为，①正确； 对于②，当直线过坐标原点时，，此时其在两坐标轴上的截距相等； 当直线不过坐标原点时，设，则，； 综上所述：过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为：或，②错误； 对于③，在直线上，， 则，，③正确； 对于④，若或，则过两点的直线无法表示为，④错误. 故答案为：①③. 变式2（24-25高二上·上海·课后作业）若直线l的一般式方程为，直线l经过点，求直线l在x轴和y轴上的截距之和的最小值，并求此时a的值． 【答案】，． 【分析】根据直线经过点得，然后利用基本不等式可得答案. 【详解】由直线的一般式方程， 可知直线在轴上的截距为，在轴上的截距为， 所以直线在轴和轴上的截距之和为． 直线经过点，得． 因此． 因为， 当且仅当时取等号，所以， 此时． 变式3（25-26高二上·上海·月考）在平面直角坐标系中，已知射线，过点作直线分别交射线轴正半轴于点． (1)当直线的截距相等且不等于零时，求直线的方程； (2)已知点在线段（包括端点）上运动，求的取值范围； (3)求面积的最小值． 【答案】(1) (2) (3)16 【分析】（1）依题意设出直线的截距式方程，代入点求出的值，即得直线方程； （2）由直线的方程得，代入消元可得关于的二次函数，进而求其范围； （3）根据直线斜率是否存在分类讨论，求得，的坐标，进一步用坐标表示三角形的面积，利用换元法和二次函数的性质可得最值. 【详解】（1）依题意，设直线的方程为，因直线经过点，代入解得，故直线的方程为. （2）由、，得线段的方程为：， 因为点在线段（包括端点）上运动，所以，则， 因此， 因为二次函数的开口向上，对称轴方程为， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 因此，当时，有最小值，最小值， 当时，有最大值，最大值， 故的取值范围是. （3）当过点的直线斜率不存在时，、， 此时． 当过点的直线斜率存在时， 设直线AB的方程为，即． 直线AB与相交，可得， 直线AB与x轴正半轴相交于B，可得． 由，解得或． 则． 令，则（或）， 可得， 由或，可得或， 根据二次函数的单调性可知，当，有最大值，最大值为， 此时面积有最小值，且，此时，、符合题意． 综上所述，面积的最小值为． 一、单选题 1．（24-25高二下·上海·月考）方程是直线的（    ）方程. A．点斜式 B．斜截式 C．一般式 D．点法式 【答案】D 【分析】依次化简方程为点斜式方程、斜截式方程、一般式方程可判断ABC选项，再根据求点法式方程的方法求出点法式即可检验D选项. 【详解】将方程化简为，此为点斜式方程，故A错误； 将方程化简为，此为斜截式方程，故B错误； 将方程化简为，此为一般式方程，故C错误； 由一般式方程可知直线的方向向量为，则法向量为， 又直线过点， 设直线上任意一点,则， 又，则，故D正确. 故选：D 2．（20-21高二上·上海浦东新·期中）直线的倾斜角的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线方程求出直线的斜率，求出斜率的取值范围，由斜率与倾斜角的关系即可求解 【详解】直线的斜截式方程为y＝， 所以斜率，即，所以， 解得<α≤，即倾斜角的取值范围是. 故选：D. 【点睛】本题考查了直线的斜率与倾斜角以及正切函数的性质，需熟记直线的斜率与倾斜角的关系，属于基础题. 3．（25-26高二上·上海浦东新·月考）下列说法正确的是（   ） A．过点的直线方程都可以表示为 B．若直线在轴，轴的截距分别为，则该直线方程为 C．方程表示过两点的一条直线 D．若直线经过第一、二、四象限，则点在第三象限 【答案】C 【分析】根据直线的点斜式方程的含义判断A；根据直线的截距式方程的含义判断B；根据直线的两点式方程的含义判断C；直线经过第一、二、四象限，确定的符号，即可判断D. 【详解】对于A，过点的直线斜率不存在时，表示为， 当直线的斜率存在时，方程才可以表示为，A错误； 对于B，直线在轴，轴的截距分别为， 当均不为0时，则该直线方程才可写为，B错误； 对于C，当时，直线的两点式方程为， 则可化为， 当或时，直线方程为或，依然满足上式，C正确； 对于D，若直线经过第一、二、四象限，则， 则点在第二象限，D错误， 故选：C 4．（25-26高二上·上海·月考）已知，则直线和直线的位置关系不可能是（    ） A．平行 B．重合 C．垂直 D．关于轴对称 【答案】D 【分析】根据条件，由两直线平行的必要条件得到，解出值，再进行检验，即可判断出选项A和B的正误，对于C，利用两直线垂直的充要条件得，利用方程有解，即可判断C的正误；对于D，利用直线过定点，先假设两直线关于轴对称，从而有在直线上，求出值，再进行检验即可求解. 【详解】由，整理得到，解得或， 当时，两直线方程为和，此时两直线重合， 当时，两直线方程为和，此时两直线平行，所以A和B可能， 对于C，由，整理得到，又， 所以有解，即存在值，使两直线垂直，所以C可能， 对于D，由，得到， 由，解得，所以直线过定点， 若两直线关于轴对称，则点在另一直线上，所以， 得到，此时两直线方程为和，显然两直线不关于轴对称，所以D不可能. 故选：D. 二、填空题 5．（24-25高二下·上海·月考）直线的倾斜角为 . 【答案】 【分析】由直线的一般方程可以求出直线的斜率，根据直线的斜率与倾斜角之间的关系可得答案. 【详解】将直线化为斜截式：， 所以直线的斜率， 记直线的倾斜角为，且， 则，所以， 故答案为：. 6．（22-23高二上·上海青浦·月考）已知直线，直线过点，若，则直线的方程是 ． 【答案】. 【分析】根据条件可推得，直线的斜率，代入点斜式方程，整理即可得到. 【详解】设的斜率分别为，则. 又，则. 所以，直线的点斜式方程为，整理可得，. 故答案为：. 7．（24-25高二下·上海·月考）已知点，线段的垂直平分线在轴上的截距为 . 【答案】3 【分析】依题意，求出线段的中点和它的中垂线斜率，即得垂直平分线方程，即可求得. 【详解】直线的斜率为，则线段的垂直平分线的斜率为， 线段的中点为，故线段的垂直平分线方程为， 令时，解得，即线段的垂直平分线在轴上的截距为3. 故答案为：3. 8．（25-26高二上·上海·月考）已知a为常数，若直线与直线平行，则 ． 【答案】0或2 【分析】根据直线一般式方程，两直线平行的条件可列出方程，再排除掉两直线重合的情况即可． 【详解】根据直线一般式方程，两直线平行的条件可知， 化简得，分解因式可得， 解得或或， 当时，两直线分别为和，均为垂直于轴的直线，平行； 当时，两直线分别为和，斜率均为，且不重合，平行； 当时，两直线分别为和，两直线重合，并非平行，舍去， 综上，或． 故答案为：0或2． 9．（24-25高二上·上海·月考）直线经过点，与轴、轴分别交于、两点，若，则直线的方程为 . 【答案】 【分析】先由向量的坐标运算求出、两点的坐标，再利用直线的斜截式方程求解即可. 【详解】依题意，设，， 则，， 则， 由得，解得， 则，， 则直线的斜率为，方程为即. 故答案为：. 10．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知直线l：，绕着它与x轴的交点逆时针旋转90°，得到直线，则直线的点法式方程为 . 【答案】 【分析】由已知可得直线过点，且与直线垂直，根据直线方程，求出的法向量，即可得出结论. 【详解】设直线与轴的交点为，则． 直线的一个法向量是，它是直线的一个方向向量， 所以的一个法向量是，且过点， 所以直线的点法向式方程为. 故答案为：. 11．（24-25高二上·上海·课堂例题）如果且，那么直线不经过第 象限. 【答案】三 【分析】比较直线的斜率与的大小关系，在轴上的截距与的大小关系即可求解. 【详解】因为且，则， 所以，，所以直线， 即直线的斜率小于零， 在y轴上的截距大于零， 故直线经过第一、第二、第四象限，不经过第三象限. 12．（22-23高二上·上海浦东新·月考）过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为 . 【答案】或 【分析】当直线经过原点，直接由点斜式写出即可；若不经过原点，利用直线的截距式方程求解即可. 【详解】若所求直线经过原点，则其斜率，故所求直线方程为，即； 若所求直线不经过原点，设其方程为，则，解得， 即，整理可得：； 综上所述，满足题意的直线方程为：或. 故答案为：或. 13．（23-24高二上·上海宝山·月考）已知直线在两坐标轴上的截距相等，则 . 【答案】或 【分析】利用截距的概念分类讨论计算即可. 【详解】当时，直线方程为，不符合题意， 当时，令时，令时， 依题意有：，解得：或， 综上：或， 故答案为：或. 14．（24-25高二上·上海·月考）过点 且与直线 垂直的直线一般式方程为 . 【答案】 【分析】根据垂直关系设出直线方程，然后将点的坐标代入即可求解. 【详解】由题意，设所求直线方程为， 因为该直线过点，所以， 解得，所以所求直线为. 故答案为： 15．（25-26高二上·上海·月考）设，若过定点的动直线和过定点的动直线交于点，中点为，则的值为 . 【答案】 【分析】求解直线经过的定点，根据两直线垂直，即可根据直角三角形的性质求解. 【详解】由于经过的定点为，所以， 直线变形为， 所以经过定点，故， 因为，所以两直线垂直，如图， 因此为直角三角形，所以. 故答案为： 16．（25-26高二上·上海·期中）已知直线过定点，直线过定点与相交于点，当实数变化时，的最大值为 ． 【答案】 【分析】求出定点的坐标，分析两直线垂直，然后利用勾股定理和基本不等式求的最大值. 【详解】易知点， ，令，则，所以， 当时，，，两直线垂直； 当时，直线的斜率，直线的斜率， 因为，所以. ①当P点与A点或B点重合时，； ②当P点异于点A、B时， 为直角三角形，则， 所以（当且仅当时取等号）， 此时点P在线段AB的垂直平分线上， ，点， 所以，解得或. 所以当或时，取得最大值. 故答案为： 三、解答题 17．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知的三个顶点分别为、、，求边上的中线所在直线的斜截式方程． 【答案】 【分析】首先求出边上的中点的坐标，再求出，即可求出直线的方程. 【详解】因为、，所以边上的中点， 而，所以，所以所在直线的斜截式方程为． 18．（23-24高二上·上海浦东新·月考）已知中，，． (1)若，求边上的高所在直线的一般式方程； (2)若点为边的中点，求边所在直线的一般式方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据互相垂直两直线斜率的关系，结合直线的点斜式方程进行求解即可； （2）根据中点坐标公式，结合直线两点式方程进行求解即可. 【详解】（1）因为，， 所以， 因为是边上的高， 所以， 所以高所在直线的方程为； （2）因为点为边的中点， 所以， 因此边所在直线的方程为. 19．（24-25高二下·上海·月考）直线过点，且与轴，轴正半轴分别交于两点. (1)若，求直线的方程； (2)求的面积的最小值. 【答案】(1) (2)12 【分析】（1）设直线截距式为，可得，，进而结合列方程组求解即可； （2）设直线截距式为，代入点得到，利用基本不等式即可求出面积最小值. 【详解】（1）设直线的方程为，则，， 所以， 由，得，解得， 所以直线的方程为，即. （2）设直线的方程为， 将点代入得，则， 当且仅当，即时等号成立， 所以，. 所以的面积最小值为12. 20．（21-22高二上·上海杨浦·月考）在中，三个顶点的坐标分别为，，. (1)求直线的方程； (2)求边上的高所在直线的方程； (3)求的平分线所在直线的方程． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用两点求出斜率，用点斜式直接写出结果后整理化简即可； （2）由两直线垂直可知，先得到，再由点斜式直接写出结果后整理化简； （3）利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两端的距离相等，直接找出角平分线上一点满足的关系，并结合图形排除不符合的情况. 【详解】（1）依题意得，直线的方程为，即； （2）依题意，，由两直线垂直可知，，结合上一问，，故，于是所在直线方程为：，即； （3）设平分线上的任意一点，又顶点、、， ，所以直线方程为，即， ，直线的方程为，即，由角平分线的性质可知：点到直线距离等于点到直线距离，，故，即或．结合图形，得，即，直线的斜率为，不符题意，故舍去．故的平分线所在直线的方程为． 21．（高二上·上海·期中）已知直线，且与坐标轴形成的三角形面积为.求： （1）求证：不论为何实数，直线过定点P； （2）分别求和时，所对应的直线条数； （3）针对的不同取值，讨论集合直线经过P，且与坐标轴围成的三角形面积为中的元素个数. 【答案】（1）定点，见解析；（2）时，2条直线，时，4条直线；（3）答案见解析 【分析】（1）直线方程化为，令求得直线所过的定点； （2）由题意知直线的斜率存在且不为0，设出直线方程，求出直线与轴的交点，计算对应三角形的面积，由此求得直线条数； （3）由题意得，讨论和时方程对应的实数根，从而求出对应直线的条数，即可得出集合直线经过P且与坐标轴围成的三角形面积为中元素的个数． 【详解】（1）直线可化为， 令，解得， ∴不论为何实数，直线过定点. （2）由题意知，直线的斜率存在，且， 设直线方程为，则直线与轴的交点为，与轴的交点为； ∴的面积为； 令，得，时，方程化为， 解得，有两个正根，即有两条直线； 时，方程化为，，方程无实数根，即无直线； 综上知，时有两条直线； 令，得，时，方程化为， 解得，有两个正根，即有两条直线； 时，方程化为，解得，有两个负根，即有两条直线； 综上知，时有四条直线； （3）由题意得，， 时，方程化为， 解得 ，有两个正根，即有两条直线； 时，方程化为，， 时， ，方程无实数根，此时无直线； 时，，方程有一负根，此时有一条直线； 时，，解得，方程有两负根，即有两条直线； 由直线方程为 ，不能表示斜率为的直线， 所以当直线的斜率为 时，直线方程为，与两坐标轴的交点为，和； 此时直线与坐标轴围成的三角形面积为 ； 综上知，时有两条直线； 时有三条直线， 时有4条直线； 时有3条直线； 时有4条直线； 即时，集合直线经过且与坐标轴围成的三角形面积为中的元素有2个； 或时，集合直线经过且与坐标轴围成的三角形面积为中的元素有3个； 或时，集合直线经过且与坐标轴围成的三角形面积为中的元素有4个． 【点睛】本题考查直线恒过定点、集合元素个数的判断，考查函数与方程思想、分类讨论思想的综合运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $