专题01 一元线性回归问题（高效培优讲义）高二数学北师大版2019选择性必修第一册

专题01 一元线性回归回题 教学目标 1. 理解一元线性回归模型的基本概念； 2. 了解并能够应用最小二乘法来求解经验回归方程，并用该方程进行预报； 3．通过实际问题的探究，培养学生对数据的直观感觉，认识统计方法的特点，体会统计方法应用的广泛性． 教学重难点 1.重点 线性相关系数及最小二乘法． 2.难点 对线性相关系数及最小二乘法的理解． 知识点01 散点图 将样本中的个数据点描在平面直角坐标系中，所得图形叫做散点图．根据散点图中点的分布可以直观地判断两个变量之间的关系． （1）如果散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域内，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关，如图（1）所示； （2）如果散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域内，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为负相关，如图（2）所示． 【即学即练】 1．（24-25高二下·北京丰台·期末）下列四幅散点图中，所对应的成对样本数据呈现负相关的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数据点的分布情况直观判断是否有线性相关关系及正负相关即可. 【详解】A，B，C中各点有非线性拟合趋势，D中具有线性相关且为负相关. 故选：D 2．(多选)（24-25高二下·全国·课后作业）（多选）下列说法正确的是（    ） A．散点图能得到两个变量的相关关系 B．成对的统计数据一定能画出散点图 C．若变量和满足关系且变量与正相关，则与也正相关 D．散点图中的所有点落在一条直线上，则对应变量呈线性相关 【答案】BC 【分析】根据相关关系、散点图的定义判断即可. 【详解】对于A，散点图不一定能得到两个变量的相关关系，故A错误； 对于B，对任意给定的成对的统计数据一定能画出散点图，故B正确； 对于C，变量和满足关系，则变量与呈正相关，变量与正相关， 所以与也正相关，故C正确； 对于D，散点图中的所有点落在一条直线上，则变量之间是一种线性的函数关系，不属于相关关系,故D错误. 故选：BC. 知识点02 相关系数 若相应于变量的取值，变量的观测值为，则变量与的相关系数，通常用来衡量与之间的线性关系的强弱，的范围为． (1)当时，表示两个变量正相关；当时，表示两个变量负相关． (2)当越接近，表示两个变量的线性相关性越强；越接近，表示两个变量间几乎不存在线性相关关系． 当时，所有数据点都在一条直线上． 【即学即练】 1．（25-26高三上·河北邢台·月考）若甲、乙、丙、丁四组数据的相关系数分别为，，0.23，0.88，则在这四组数据中，线性相关性最强的是（   ） A．甲组 B．乙组 C．丙组 D．丁组 【答案】A 【分析】根据相关系数的含义，其绝对值越接近1，线性相关性越强. 【详解】根据题意，线性相关系数的绝对值越大，线性相关性越强． 因为， 故线性相关性最强的是甲组． 故选：A. 2．（2025·河北沧州·模拟预测）利用变量的5组实验数据，求得关于的经验回归方程为，若这5组数据对应的点都在该回归直线上，则相关系数为 . 【答案】 【分析】根据变量的相关性，直接得出相关系数. 【详解】由经验回归方程知与负相关， 因为这5组数据对应的点都在回归直线上，所以相关系数为. 故答案为： 知识点03 线性回归 线性回归是研究不具备确定的函数关系的两个变量之间的关系（相关关系）的方法． 对于一组具有线性相关关系的数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），其回归方程的求法为 其中，，，（，）称为样本点的中心． 【即学即练】 1．（2026·高二课时练习）已知变量y与x之间具有线性相关关系，根据变量x与y的相关数据，计算得则y关于x的线性回归方程为（    ） 附：回归方程中的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知数据求，代入回归直线方程即可求解. 【详解】由题中的数据可知， 所以. 所以. 所以y关于x的线性回归方程为. 故选：B. 2．(多选)（24-25高二下·河南驻马店·月考）国家统计局月日发布数据显示，年上半年我国经济运行总体平稳，其中新能源产业依靠持续的技术创新实现较快增长．某企业根据市场调研得到研发投入（亿元）与产品收益（亿元）的数据统计如下，则下列叙述正确的是（   ） 1 2 3 4 5 6 7 2 3 5 7 8 8 9 A．， B．由散点图知变量和正相关 C．相关系数 D．用最小二乘法求得关于的经验回归直线方程为 【答案】ABC 【分析】根据平均数的概念可得选项A正确；画出散点图可得选项B正确；根据变量和正相关可得选项C正确；根据回归直线过样本中心点得选项D错误. 【详解】A.，，A正确； B.根据表格作出散点图，因为散点图的分布从左下到右上，所以和正相关，B正确； C.由选项B可知相关系数，故C正确； D.由题意得，样本中心点的坐标为，即，回归直线过点. 当时，，故D错误. 故选：ABC. 知识点04 相关指数(拓展) 用相关指数来刻画回归的效果，其计算公式是：． 越接近于，说明残差的平方和越小，也表示回归的效果越好． 【即学即练】 1．（25-26高三上·浙江温州·开学考试）将收集到的6组数据对制作如图所示的散点图（点旁数据为该点坐标），由最小二乘法计算得回归直线方程：，相关系数为，相关指数为；残差分析确定点对应残差过大，把它去掉后，再用剩下的5组数据计算得回归直线方程：，相关系数为，相关指数为.则以下结论中，不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用回归方程的性质，利用相关系数和相关指数分析判断即可. 【详解】从散点图可以看出，两个变量是正相关，故A正确； 从散点图可以看出，回归直线的斜率是正数，且的斜率大于的斜率，故 B和C正确； 从散点图可以看出，去掉“离群点”后，相关性更强，拟合的效果更好， 值越大，模型的拟合效果越好，所以，故D错误； 故选：D. 知识点05常见的非线性回归方程的转化（拓展） 曲线方程 变换公式 变换后的线性关系式 【即学即练】 1．（2025高二·全国·专题练习）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：万元）对年销售量y（单位：吨）和年利润z（单位：万元）的影响.对近8年的年宣传费和年销售量数据进行初步处理后，得到下面的散点图及一些统计量的值. 有下列5个曲线类型：①；②；③；④；⑤，则较适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程的是（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．③⑤ 【答案】B 【分析】先根据散点图确定函数图象的趋势，再结合5个函数图象，进行判断选择. 【详解】从散点图知，样本点分布在抛物线上或对数型曲线上，结合所给5个的曲线类型，所以或较适宜. 故选：B 2．（24-25高二下·江苏南京·期末）用模型拟合一组数据时，为了求出非线性回归方程，设，其变换后得到线性回归方程为，则c等于（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】由回归模型，两边取对数，得到，根据题意，得到，即可求解. 【详解】由回归模型，可得，即， 因为变换后得到线性回归方程为，可得，所以. 故选：B 题型01 散点图 【典例1】如图，由观测数据 的散点图可知， 与的关系可以用模型 拟合，设 ，利用最小二乘法求得 关于的回归方程 . 已知 ，，则 （    ）    A． B． C．1 D． 【答案】D 【详解】由可得： , 由可得：, 由回归方程 必过样本中心点，即过点， 所以，解得. 故选：D. 【典例1-2】（24-25高二下·河北·期末）对四组数据进行统计，获得如图散点图，其中线性相关性比较强且负相关的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据散点图和相关性的关系，判断结果. 【详解】由散点图知，相关系数对应的散点图呈负相关，且线性相关性比较强. 故选：B. 散点图法判断变量的相关性 如果所有的样本点都落在某一函数的曲线附近，变量之间就有相关关系．如果所有的样本点都落在某一直线附近，变量之间就有线性相关关系． 【变式1-1】（25-26高三上·上海·期中）在下列4组样本数据的散点图中，样本相关系数最小的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正负相关，以及相关性的强弱即可求解. 【详解】由图可知：， 由于图2的相关性比图4的相关性更强，故， 故选：B 【变式1-2】（24-25高二下·甘肃临夏·期末）已知10个成对数据的散点图如图所示，并对进行线性回归分析.若在此图中去掉点后，再次对进行线性回归分析，则下列说法正确的是（    ） A．相关系数变大 B．变量与的线性相关程度变低 C．相关系数变小 D．变量与呈负相关 【答案】A 【分析】根据数据的散点图，结合回归系数概念与含义，逐项判定，即可求解. 【详解】去掉点后，散点图中点的分布更接近一条直线，因此变量与的线性相关程度变强，故选项B错误； 由散点图，点的分布从左下角到右上角，故变量与呈正相关，故选项D错误； 因为变量与呈正相关，且相关性变强，所以相关系数变大，故A正确，C错误. 故选：A. 题型02 相关系数 【典例2-1】（多选）某类汽车在今年1至5月的销量y（单位：千辆）如下表所示（其中2月份销量未知）： 月份x 1 2 3 4 5 月销量y 2.4 m 4 5 5.5 若变量y与x之间存在线性相关关系，用最小二乘法估计建立的经验回归方程为，则下列说法正确的是（    ） A． B．残差绝对值最大为0.2 C．样本相关系数 D．当解释变量每增加1，响应变量增加0.85 【答案】AB 【详解】由题意知：，又， 代入方程得，所以，解得，故A正确； 1月份的残差为，2月份的残差为，3月份的残差为，4月份的残差为，5月份的残差为，所以残差绝对值最大为，故B正确； 由表格可知变量与呈正线性相关，则，故C不正确； 当解释变量每增加1，响应变量不一定增加0.85，故D不正确， 故选：AB. 【典例2-2】（吉林省吉林地区普通中学2025-2026学年高三上学期第二次调研考试数学试卷）2024年巴黎奥运会，中国体育代表团共获得40金、27银、24铜，金牌数创下中国代表团境外奥运会最佳战绩.在男子100米自由泳决赛中，中国小将潘展乐游出中国速度，以46秒40的成绩打破世界纪录斩获金牌，这也是中国游泳队首次夺得该项目的奥运冠军. 以下是近10届奥运会男子100米自由泳项目冠军成绩记录（单位：s），如表所示. 年份代码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 年份 1988 1992 1996 2000 2004 2008 2012 2016 2020 2024 冠军成绩 48.63 49.02 48.74 48.30 48.17 47.21 47.52 47.58 47.02 46.40 (1)求上表中冠军成绩的极差与中位数； (2)根据表中的样本数据计算年份代码与冠军成绩的样本相关系数，并推断它们的相关程度（精确到0.01）. 附：参考公式：样本相关系数. 参考数据：，. 【答案】(1)极差为；中位数为 (2)，有较强的线性相关性； 【分析】（1）根据给定的数据，利用极差及中位数的定义求解. （2）利用给定的数据，利用样本相关系数公式计算即得. （3）求出样本中心点，再利用最小二乘法求出回归直线方程. 【详解】（1）成绩由小到大排列为：， 所以冠军成绩的极差为；中位数为. （2）依题意，， 所以样本相关系数， 由，得年份代码与冠军成绩有较强的线性相关性. 相关系数法判断变量的相关性 1.当r>0时，表明两个变量正相关；当r<0时，表明两个变量负相关. 2.r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强；r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常|r|大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性 【变式1-1】（多选）某地区5家超市销售额（单位：万元）与广告支出（单位：万元）有如下一组数据： 超市 A B C D E 广告支出（万元） 1 4 6 10 14 销售额（万元） 6 20 36 40 48 下列说法正确的是（    ） 参考公式：样本相关系数 A．根据表中数据计算得到与之间的经验回归方程为，则 B．与之间的样本相关系数 C．若残差的平方和越小，则模型的拟合效果越好 D．若该地区某超市的广告支出是3万元，则该超市的销售额一定是17.6万元 【答案】AC 【详解】由题意，，， 样本中心点为，代入中，可得，故A正确； 由，得， ，， 所以，故B错误； 由残差的计算可知，若残差的平方和越小，则模型的拟合效果越好，故C正确； 若该地区某超市的广告支出是3万元，则该超市的销售额估计值为（万元），但不一定是17.6万元，故D错误. 故选：AC. 【变式2-2】（25-26高二上·四川眉山·月考节选）某种机械设备随着使用年限的增加，它的使用功能逐渐减退，使用价值逐年减少，通常把它使用价值逐年减少的“量”换算成费用，称之为“失效费”．某种机械设备的使用年限（单位：年）与失效费（单位：万元）的统计数据如下表所示： 使用年限（单位：年） 2 4 5 6 8 失效费（单位：万元） 3 4 5 6 7 根据上表数据，计算与的相关系数，并说明与的线性相关性的强弱． （已知：，则认为与线性相关性很强；，则认为与线性相关性一般；，则认为与线性相关性较弱）（的结果精确到0.0001） 附：样本的相关系数， 【答案】，线性相关性很强 【分析】根据相关系数公式，分别求出变量的均值及和值，代入公式求得相关系数，并判断相关性强弱即可； 【详解】（1）由表知，，， ， ，， ， 故，认为与线性相关性很强. 题型03 求回归直线方程 【典例3-1】第19届亚运会的吉祥物琮琮、莲莲、宸宸深受大家喜爱，某商家统计了最近5个月销量，如下表所示：（   ） 时间 1 2 3 4 5 销售量/万只 5 4.5 4 3.5 2.5 若与线性相关，且线性回归方程为，则下列说法不正确的是（   ） A．由题中数据可知，变量与负相关 B．当时，残差为0.2 C．可以预测当时销量约为2.1万只 D．线性回归方程中 【答案】B 【详解】对于选项A，从数据看，随的增大而减小，所以变量与负相关， 故正确，A不符合题意； 对于选项B，由表中数据知，， 所以样本中心点为，将样本中心点代入中得， 所以线性回归方程为， 所以，残差，故错误，B符合题意； 对于选项C，当时销量约为（万只），故正确，C不符合题意； 对于选项D，由B选项可知，故正确，D不符合题意. 故选：B. 【典例3-2】（2026·河南郑州·模拟预测）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验，收集数据如下： 零件数/个 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 加工时间/分 62 68 75 81 89 95 102 108 115 122 根据样本数据，画出加工时间与加工零件个数的散点图，如图所示，散点大致分布在一条从左下角到右上角的直线附近，表明两个变量线性相关，因此可以用一元线性回归模型刻画加工时间与加工零件个数之间的关系.（运算结果保留小数点后两位数字）    (1)请求出加工时间关于零件数的经验回归方程； (2)该车间实行“按时计件”工资制度：若工人完成一个零件的平均时间低于标准时间，则可获得额外奖励.已知目前每个零件的标准加工时间定为1.2分钟，根据上述回归方程判断： （ⅰ）对于120个零件的任务，预测加工时间是否低于现行标准加工时间？（标准加工时间为分钟） （ⅱ）若工人的实际加工能力与回归模型基本一致，车间是否应考虑调整标准时间？若需调整应调整到多少比较合适？ 附：参考数据：，，，. 对于一组数据，，，，其经验回归方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为： ，. 【答案】(1) (2)（ⅰ）低于现行标准时间；（ⅱ）应考虑调低标准时间， 【分析】（1）求出并根据参考数据求出的值，可得经验回归方程； （2）（ⅰ）根据回归方程可预测120个零件任务的回归预测时间小于标准时间， （ⅱ）利用预测值将标准时间调整为分/个比较合适. 【详解】（1）易知，， 所以， 可得， 所以加工时间关于零件个数的经验回归方程是， （2）（ⅰ）当时， 所以120个零件任务的回归预测时间，因此低于现行标准时间. （ⅱ）由于回归预测显示实际所需时间（约135.25分）比标准时间少9分钟，说明按照现行标准，工人很容易拿到奖励（实际效率更高）. 如果车间希望控制奖励发放比例或更符合实际效率，应考虑调低标准时间，如调整到接近预测的分/个，使标准更贴近真实加工能力. 回归分析问题求解策略 1．回归直线方程中系数的两种求法 (1)公式法：利用公式，求出回归系数，. (2)待定系数法：利用回归直线过样本点中心(，)求系数． 2．回归分析的两种策略 (1)利用回归方程进行预测：把回归直线方程看作一次函数，求函数值． (2)利用回归直线判断正、负相关：决定正相关还是负相关的是回归系数.　　 【变式3-1】近日我国相关企业研究表明，随着锂离子电池充放电循环次数的增加，电池内阻增大，可用容量和能量衰减，削弱了电动汽车的续航里程．相关科研团队利用数学建模的方法构建理离子电池充放电循环次数单位：百次与锂离子电池性能指数的回归模型，通过实验得到部分数据如下表： 充放电循环次数x 3 4 5 6 电池性能指数y 91 88 82 79 由上表中的数据求得回归方程为，则计算可得（    ）（参考公式及数据：，） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，， 且，， 故 故选：D. 【变式3-2】（2025·全国·高三专题练习）某部门统计了某网红景点在2025年3月至7月的旅游收入y（单位：万元），得到以下数据： 月份x 3 4 5 6 7 旅游收入y 10 12 11 12 20 根据表中所给数据，用相关系数r加以判断，是否可用线性回归模型拟合y与x的关系？若可以，求出y关于x的线性回归方程；若不可以，请说明理由． 【答案】可以，. 【分析】根据相关系数公式计算，判断相关性，再由最小二乘法求线性回归方程. 【详解】由已知得，，， 所以， 因为，说明y与x的线性相关关系很强， 可用线性回归模型拟合y与的关系， ，， 则y关于x的线性回归方程为：. 题型04 相关指数(拓展) 【典例4-1】下列命题是真命题的是（    ） A．经验回归方程至少经过其样本数据点，，…，中的一个 B．可以用相关系数r来刻画两个变量x和y线性相关程度的强弱，r的绝对值越小，说明两个变量线性相关程度越强 C．线性回归分析中决定系数用来刻画回归的效果，若值越小，则模型的拟合效果越好 D．残差点分布在以横轴为对称轴的水平带状区域内，该区域越窄，拟合效果越好 【答案】D 【详解】对于A，经验回归方程是由最小二乘法计算出来的，它不一定经过其样本数据点，一定经过，所以A错误； 对于B，由相关系数的意义，当越接近1时，表示变量y与x之间的线性相关程度越强，所以B错误； 对于C，用决定系数的值判断模型的拟合效果，越大，模型的拟合效果越好，所以C是错误； 对于D，因为在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，表明数据越集中， 模型的拟合效果越好，故D正确. 故选：D. 【典例4-2】下列说法错误的是（    ） A．若随机变量，则当较小时，对应的正态曲线“瘦高”，随机变量X的分布比较集中 B．在做回归分析时，可以用决定系数刻画模型的回归效果，若越大，则说明模型拟合的效果越好 C．在一元线性回归模型中，如果相关系数，表明两个变量的相关程度很强 D．对于一组数据，，…，，若所有数据均变成原来的2倍，则变为原来的2倍 【答案】D 【详解】对于A中，若随机变量，则当较小时，对应的正态曲线“瘦高”，随机变量X的分布比较集中，所以A正确； 对于B中，在做回归分析时，可以用决定系数刻画模型回归效果，越大，说明模型拟合的效果越好，所以B正确； 对于C中，一元线性回归模型中，相关系数的绝对值越接近1，表明两个变量的相关性越强， 所以如果相关系数，表明两个变量的相关程度很强，所以C正确； 对于D，若所有数据均变成原来的2倍，则变为原来的4倍，所以D正确. 故选：D． 【变式4-1】某数学建模小组提出了①，②，③，④四种回归模型描述某城市居民年收入与A商品销售额的关系，已知①，②，③，④对应的决定系数分别为0.33，0.51，0.88，0.43，则拟合效果最好的是模型（    ） A．④ B．③ C．② D．① 【答案】B 【详解】越大，模型的拟合效果越好，因为，所以模型③拟合效果最好． 故选：B. 【变式4-2】（多选）下列说法中，正确的是（    ） A．某组数据的经验回归方程一定过点 B．若，，，则事件与事件相互独立 C．甲、乙两个模型的决定系数分别约为和，则模型甲的拟合效果更好 D．残差平方和越大，则相应模型的拟合效果越好 【答案】BC 【详解】对于A，经验回归方程必过样本中心点，但未必是，A错误； 对于B，，事件与事件相互独立，B正确； 对于C，，越接近，模型拟合效果越好，模型甲的拟合效果更好，C正确； 对于D，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，D错误. 故选：BC. 【变式4-3】（25-26高三上·湖南长沙·月考）海水稻的灌溉是将海水稀释后进行灌溉.某试验基地为了研究海水浓度x(‰)对亩产量y(吨)的影响，通过在试验田的种植实验，测得了某种海水稻的亩产量与海水浓度的数据如表.绘制散点图发现，可用线性回归模型拟合亩产量y与海水浓度x之间的相关关系，用最小二乘法计算得y与x之间的经验回归方程为. 海水浓度（‰） 3 4 5 6 7 亩产量 (吨) 0.62 0.58 0.49 0.4 0.31 残差 (1)请你估计：当浇灌海水浓度为8‰时，该品种海水稻的亩产量； (2)（i）完成上述残差表； （ii）在统计学中，常用决定系数来刻画回归效果，越大，模型拟合效果越好，并用它来说明响应变量与解释变量的相关性.你能否利用以上表格中的数据，计算决定系数，并判断模型的拟合效果.(计算中数据精确到0.01) (附：残差，决定系数) 【答案】(1)吨. (2)残差表见解析；，拟合效果较好. 【分析】（1）先求出平均数，代入经验回归方程即可求出b，从而求解. （2）（i）根据经验回归方程求解，从而可得； （ii）根据公式求出决定系数，进而判断. 【详解】（1）根据题中数据可知，， 将样本中心点的坐标代入经验回归方程得 ，解得， 所以经验回归方程为. 当时，， 即当浇灌海水浓度为8‰时，该品种海水稻的亩产量为吨. （2）（i）由经验回归方程可得 ，； ，； ，； ，； ，. 所以残差表如下： 海水浓度（‰） 3 4 5 6 7 亩产量 (吨) 0.62 0.58 0.49 0.4 0.31 残差 （ii）由上数据可知， ， 所以决定系数，与1比较接近， 所以拟合效果较好. 题型05 求非线性回归方程 【典例5-1】某学校为了解校庆期间不同时段的校门人流量，从上午8点开始第一次反馈校门人流量，以后每过2小时反馈一次，共统计了前3次的数据，其中，2，3，为第i次人流量数据（单位：千人），由此得到y关于i的回归方程.已知，根据回归方程，可预测下午2点时校门人流量为（    ）千人. 参考数据： A．9.6 B．10.8 C．12 D．13.2 【答案】B 【详解】令，则， ，又， 由，得，所以， 则， 下午2点时对应，可得. 故选：B. 【典例5-2】（2025·湖南永州·模拟预测）某经济研究所为了解居民存款余额变化情况，对2009年至2024年居民存款余额进行统计分析，将2009年看成第1年，依次类推，得到第1~16年的居民存款余额（单位：万亿元）的散点图，如图所示： (1)已知从2021年开始，居民存款余额超过100万亿元，若从2009年至2024年中任取2年，求这2年中恰有一年居民存款余额超过100万亿元的概率； (2)由散点图知，和的关系可用经验回归模型进行拟合，求关于的经验回归方程. 参考数据：设，则. 参考公式：对于一组数据，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）16年中有4年居民存款余额超过100万亿元，根据组合知识求解概率； （2）两边取对数，再根据公式求出，，从而，故. 【详解】（1）由题意，16年中有4年居民存款余额超过100万亿元， 故所求概率为. （2）， 由题知，， ， ， ，故. 建立非线性回归模型的基本步骤 (1)确定研究对象，明确哪个是解释变量，哪个是预报变量； (2)画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（是否存在非线性关系）； (3)由经验确定非线性回归方程的类型（如我们观察到数据呈非线性关系，一般选用反比例函数、指数函数、对数函数模型等）； (4)通过换元，将非线性回归方程模型转化为线性回归方程模型； (5)按照公式计算线性回归方程中的参数（如最小二乘法），得到线性回归方程； (6)消去新元，得到非线性回归方程； (7)得出结果后分析残差图是否有异常.若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等. 【变式5-1】预制菜指以农、畜、禽、水产品为原辅料，配以调味料等经预选、调制等工艺加工而成的半成品．近几年预制菜市场快速增长．某城市调查近4个月的预制菜市场规模y（万元）得到如表所示的数据，根据数据得到y关于x的非线性回归方程 1 2 3 4 按照这样的速度，预估第8个月的预制菜市场规模是 万元．（结果用e表示） 【答案】 【详解】令，则，， 所以，则， 所以代入回归方程，则，可得万元． 故答案为：． 【变式5-2】（2025·河北·模拟预测）为了提高利润，某果园每年投入一定的资金，对种植、采摘、包装、宣传等环节进行改进．如图，这是2016年至2025年该果园每年的投资金额（单位：万元）与年利润增量（单位：万元）的散点图． 模型①由最小二乘法可求得与的经验回归方程为； 模型②由图中样本点的分布，可以认为样本点集中在曲线的附近，令，则，且有． (1)根据所给的统计量，求模型②中关于的经验回归方程； (2)已知2025年的投资金额为20万，年利润增量为40万，分析这两种模型在2025年时哪个模型的预报效果更好． 参考公式与数据：． 【答案】(1)； (2)模型②. 【分析】（1）根据给定的数据，利用最小二乘法公式求出经验回归方程. （2）分别求出模型①、模型②中年利润增量，再比较它们与40差的绝对值大小即可. 【详解】（1）由，得， 则，， 所以模型②中关于的经验回归方程为. （2）模型①，，当时，年利润增量， 模型②，，当时，， 因此年利润增量，而， 所以模型②的预报效果更好. 题型06 回归分析与概率的综合 【典例6】（2025·四川成都·一模）某校举办校刊义卖活动，学生在义卖处每领取一本校刊，便自觉向收银箱中支付至少两元钱.现统计了连续5天的售出校刊数量和收益情况，如下表： 售出校刊数量x（单位：箱） 6 5 7 5 7 收益y（单位：元） 240 220 260 230 270 (1)求收益y关于售出数量x的回归直线方程，并计算售出8箱校刊时的预计收益； (2)学校决定将收益奖励在科技创新大赛中获奖的学生，获奖学生每人奖励100元.已知甲、乙两名学生是否获奖是相互独立的，甲获奖的概率为，乙获奖的概率为，求甲、乙两名学生获奖总金额X的分布列及数学期望.附：，. 【答案】(1)；元； (2)分布列见解析；. 【分析】（1）根据给出的公式求线性回归方程，再把代入求值即可. （2）明确的取值，求出对应的概率，可得的分布列，再根据期望公式求. 【详解】（1）因为，， ， ， 所以，. 所以收益y关于售出数量x的回归直线方程为：. 当时，预测收益为元. （2）由题意，的值可能为：， 且，，. 所以的分布列为： 0 100 200 所以. 回归分析与概率的综合 回归分析常与分布列、数学期望等知识综合，对于这类问题，一般采用各个击破的策略，即概率部分用概率知识求解，回归分析部分用回归分析知识求解. 【变式6-1】 37．（25-26高三上·广东汕头·期中）某强基计划试点高校为选拔基础学科拔尖人才，对考生设置两项能力测试：学科知识整合能力指标（考察数学、物理等学科知识的交叉应用）和创新思维能力指标（考察逻辑推理、问题建模等能力）．随机抽取5名考生的测试结果如表： 6 8 9 12 2 3 4 5 6 (1)若学科知识整合能力指标的平均值， （ⅰ）求的值； （ⅱ）求关于的经验回归方程，并估计学科知识整合能力指标为14时的创新思维能力指标； （附：经验回归方程中和的最小二乘估计分别为， (2)现有甲、乙两所试点高校的强基计划笔试环节均设置了三门独立考试科目，每门科目通过情况相互独立； 甲高校：每门科目通过的概率均为，通过科目数记为随机变量； 乙高校：第一门科目通过概率为，第二门科目通过概率为，第三门科目通过概率为， 通过科目数记为随机变量； 若以笔试环节通过科目数的期望为决策依据，分析考生应选择报考哪所高校． 【答案】(1)（ⅰ）；（ⅱ），7.5； (2)该考生更应报考乙高校，理由见解析． 【分析】（1）（ⅰ）根据表格中的数据和平均数得到方程，求出； （ⅱ）利用公式求出，，并求出当时，，得到答案； （2），从而，求出的所有可能取值和对应的概率，得到数学期望，比较后得到答案. 【详解】（1）（ⅰ）由表格数据可得，解得． （ⅱ）显然， 则 ， ， ． ．∴所求经验回归方程为． 当时，， ∴当学科知识整合能力指标为14时，创新思维能力指标的预测值为7.5； （2）该考生通过甲高校的考试科目数为，则． 则． 设该考生通过乙高校的考试科目数为，则的所有可能取值为． ， ， ， ． ． ∴该考生更应报考乙高校． 【变式6-2】（2025·山东烟台·三模）近年来，新能源汽车因其动力充沛、提速快、用车成本低等特点得到民众的追捧．某机构为研究汽油价格x（单位：元/升）与新能源汽车的月销售量y（单位：万辆）之间的关系，收集整理得到如下数据： x 6 6.5 7 7.5 8 y 1.5 2 3 4.5 6.8 (1)若用模型模拟x与y之间关系，求出回归方程； (2)根据建立的回归方程，预测当汽油价格上涨至9元/升时，新能源汽车的销量； (3)假设当汽油价格为9元/升时，实际销量超过预测值的概率为0.6．现进行5次独立观测，记这5次观测中销量超过预测值的次数为，求的数学期望． 参考数据和公式：．，． 令，，，． 对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，． 【答案】(1) (2)约为万辆 (3)3 【分析】（1）先根据数据计算，再根据计算即可求出； （2）将代入回归方程中即可； （3）由题意可知，利用二项分布的期望公式计算即可. 【详解】（1）因为，则， 又，， 由得，，解得， 所以回归方程为． （2）当时，代入回归方程可得 ， 价格上涨至9元/升时，新能源汽车的销量约为万辆． （3）由题知，，所以，即的数学期望为3． 一、单选题 1．（广东省汕头市2026届高三上学期1月教学质量监测数学试题）如果散点图中所有的散点都落在一条斜率不为0的直线上，则下列结论错误的是（    ） A．解释变量和响应变量线性相关 B．相关系数 C．决定系数 D．残差平方和等于1 【答案】D 【分析】根据散点图得这两个变量线性相关，由此判断各选项. 【详解】直线对应的函数为一次函数，故解释变量和响应变量是一次函数关系，故A正确. 因为样本点都落在直线上，所以样本相关系数，所以，所以B 正确。 决定系数和残差平方和都能反映模型的拟合程度，故决定系数，残差平方和为0，故C正确，D错误 故选：D 2．（2025高二·全国·专题练习）某同学用收集到的6组数据对制作成如图所示的散点图（点旁的数据为该点坐标），并由最小二乘法计算得到回归直线的方程：，相关系数为，决定系数为；经过残差分析，确定点E为“离群点”（对应残差过大的点），把它去掉后，再用剩下的5组数据计算得到回归直线的方程：相关系数为，决定系数为．则以下结论中，正确的是（    ）．    ①        ②        ③        ④ A．①② B．①②③ C．②④ D．②③④ 【答案】B 【分析】利用回归方程的性质，利用相关系数和相关指数分析解答. 【详解】由散点图可知，x，y之间是正相关关系，所以，故①正确； 由散点图可知，回归直线的斜率是正数，且的斜率大于的斜率， 所以，故②③正确： 由散点图可知，去掉“离群点”E后，相关性更强，拟合的效果更好， 所以，故④错误． 故选：B． 3．（24-25高二下·北京东城·期末）对某种动物的三项指标，，进行调查研究.现有这种动物若干只，设每只动物的这三项指标为.若与的散点图如图1和图2所示，那么关于的散点图最合理的为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用排除法，分析可知指标，满足负相关，结合图象指标的范围分析判断即可. 【详解】因为指标，满足正相关，指标，满足负相关， 可知指标，满足负相关，故C错误； 且，可知BD错误； 故选：A. 4．（2026·河北·一模）2025年11 月，搭载“祖冲之三号”同款芯片的超导量子计算机“天衍-287”完成搭建，该量子计算系统具备“量子计算优越性”能力.下表记录了8个团队在特定年度的研发资金投入x(单位：亿元)与芯片性能提升评估指数y，且 研发资金投入x/亿元 2 10 性能提升评估指数y 2 12 已知y与x具有较强的线性关系，通过最小二乘估计得到的经验回归方程为如果去掉样本点后，得到的新样本的经验回归方程为则（   ） A．0.1 B．0.3 C．0.5 D．0.7 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出，进而求出新样本的中心点，再利用经验回归方程求得答案. 【详解】由及，得， 则在新样本中，， 所以. 故选：B 5．（2026·四川宜宾·一模）对具有线性相关关系的变量x，y有一组观测数据，其回归直线方程是，且，则实数的值是（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据回归直线过样本中心点列方程求解即可. 【详解】由可知 ，. 因为回归直线过样本中心点，即， 将其坐标代入方程可得，解得， 故选：B. 6．（24-25高二下·贵州铜仁·月考）若变量线性相关，由数据求得回归方程为，则下列结论一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据回归直线方程必过样本中心建立方程，解方程即可求出结果. 【详解】由回归直线过样本中心点，得， ，代入，得， 方程两边同时乘5，得. 故选：D． 7．（25-26高三上·山东潍坊·月考）已知变量y与x的一组数据如表所示，根据数据得到y关于x的经验回归方程为． x 2 3 4 5 y 若，则（   ） A．6.8 B．7.8 C．8.8 D．9.8 【答案】D 【分析】求解样本中心，代入线性回归方程中可得，即可代入求解. 【详解】由题意可得 x 2 3 4 5 2 3 5 6 由表中数据可得，， 故在上，故，故，则 当时，即，则，解得， 故选：D 8.研究数据表明，某校高中生的数学成绩与物理成绩、物理成绩与化学成绩均有正相关关系．现从该校抽取某班50位同学的数学、物理、化学三科成绩作为样本，设数学、物理、化学成绩分别为变量x，y，z若x，y的样本相关系数为，y，z的样本相关系数为，则x、z的样本相关系数的最大值为（    ） 附：相关系数 A． B． C． D．1 【答案】B 【详解】设，，, 则有，，， 由相关系数公式可知：， 设与夹角为，与夹角为， 由x，y的样本相关系数为，所以，， 由这两个夹角均为锐角且，所以与夹角的可能性是， 则与夹角余弦值的最大值为，此时x与z样本相关系数最大， 即， 故选：B. 二、多选题 9.（多选）已知变量和变量的一组成对样本数据的散点落在一条直线附近，，，相关系数为，线性回归方程为，则（ ）参考公式:. A．当越大时，成对样本数据的线性相关程度越强 B．当时， C．，时，成对样本数据的相关系数满足 D．时，成对样本数据的线性回归方程满足 【答案】BCD 【详解】对于A，当越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强，故A错误； 对于B，当时，成对样本数据正相关，相关系数与符号相同，则，故B正确； 对于C，当，时，将这组数据添加后，不变， 故相关系数的表达式中的分子和分母均不变，故C正确； 对于D，当，时，将这组数据添加后，不变， 故线性回归方程中的斜率的表达式中的分子和分母均不变，所以，故D正确； 综上所述，正确的有B、C、D. 故选：BCD. 10．每年3，4月间，成批白天鹅从地中海沿岸、南亚等温暖的地方越冬来到天山中部广袤的巴音布鲁克草原．为保护这些白天鹅，某动物保护机构研究了这时期6个区域每公顷草原的白天鹅平均只数y与每公顷草原上白天鹅的天敌狼和狐狸的平均只数x之间的对应数据，如下表所示： 10 15 20 25 30 11 10 8 6 5 根据表中的数据计算得经验回归方程为，则以下结论正确的是（    ） A．与负相关 B．回归直线一定经过点 C．估计当白天鹅的天敌每公顷平均只数为5时，白天鹅每公顷平均只数大约为13 D．当时，残差的绝对值最小 【答案】AC 【详解】由表格数据可知，随着的增加，随之减少，所以与负相关，A正确； 因为，故样本中心为，由回归直线必过样本点的中心，不一定过点，B错误； 由，解得，所以回归方程为，所以当时，估计，C正确； 残差如下： 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，， 故时，残差的绝对值最小，D错误． 故选：AC. 11．（24-25高三·重庆渝中·月考）小明在家独自用下表分析高三前5次月考中数学的班级排名y与考试次数x的相关性时，忘记了第二次和第四次月考排名，但小明记得平均排名，于是分别用m＝6和m＝8得到了两条回归直线方程：，，对应的相关系数分别为、，排名y对应的方差分别为、，则下列结论正确的是（   ） x 1 2 3 4 5 y 10 m 6 n 2 （附：，） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据表格中的数据和最小二乘法、相关系数的计算公式分别计算当、时的、相关系数(r)和方差()，进而比较大小即可. 【详解】①当时，，解得， 则， ，，， ， ， 所以，得， ， ； ②当时，，解得， 则， ，，， ， ， 所以，得， ， ； 所以， 故选：BD． 三、填空题 12．（2026·陕西咸阳·一模）某单位为了解日用电量（单位：千瓦时）与当天平均温度（单位：摄氏度）之间的关系，随机统计了4天的日用电量与当天的平均温度，绘制了如下表格，由表中数据可得线性回归方程，则实数 . 5 15 24 60 40 20 【答案】4 【分析】由线性回归方程必过样本中心点求解. 【详解】由表数据可得， 所以线性回归方程必过点， 所以，解得， 13.已知变量与的一组样本数据，，…，满足，，对各样本数据求对数，再利用线性回归分析的方法得.若变量，则当的预测值最大时，变量的取值约为 .（，结果保留1位小数） 【答案】 【详解】由已知可得， 所以， 同理， 代入，得， 所以，所以，则， 令，则， 当时，z取最大值，此时． 故答案为：. 14．（2025高二·全国·专题练习）已知x与y之间的几组数据如下表. x 1 2 3 4 y 4 m n 1 表中y的平均值为2.5，若某同学对m赋了三个值，分别为3.5，3，2.5，得到三条线性回归直线的方程，分别为，对应的相关系数分别为，则下列结论中正确的是 .（填序号）①在同一个坐标系中，三条回归直线可以围成一个封闭图形；②；③；④相关系数中，最大. 参考公式：线性回归方程，其中；相关系数；. 【答案】② ④ 【分析】由题意可得，分别取m与n的值，由公式计算出的值，逐一分析四个结论即可. 【详解】由题意知，即.. ① 若，则， ， ， ， 则，. ② 若，则，则 ， ，， 则，. ③ 若，则， ， ，， 则，. 由样本点的中心相同知三条回归直线交于同一个点，不可能围成封闭三角形，所以①不正确. 由以上计算可得，所以②正确，③不正确. 相关系数中，最大，所以④正确. 故答案为：②④. 四、解答题 15．（25-26高三上·云南曲靖·月考）根据统计数据和研究报告，2025年中国新能源汽车产销呈现强劲增长态势，渗透率（渗透率=新能源汽车销量÷当月汽车总销量）持续攀升，行业格局加速分化．2025年3月新能源汽车渗透率首次超过，2025年1月至6月，全国新能源汽车的渗透率统计如下： 2025年1月至6月新能源汽车渗透率统计表 月份 1 2 3 4 5 6 渗透率 41.4 49.4 51.1 51.5 53.0 53.3 (1)2025年6月全国汽车销量为208.4万辆，计算该月新能源汽车的销量（精确到0.1）． (2)根据以上数据，建立y关于月份x的经验回归方程，并预测2025年7月新能源汽车的渗透率． (3)实际7月新能源汽车的渗透率为，请： ①结合预测值分析误差原因； ②提出改进模型的建议. （参考数据及公式：，．） 【答案】(1)111.1万辆 (2)， (3)①答案见解析；②答案见解析 【分析】（1）根据条件，利用新能源汽车销量汽车总销量渗透率，即可求解； （2）先计算出，结合条件，可求出，即可求解； （3）①结合（2）中结果和实际情况，即可作出判断；②根据实际情况，即可提出建议. 【详解】（1）因为新能源汽车销量汽车总销量渗透率，则（万辆）， 所以2025年6月新能源汽车的销量约为111.1万辆． （2）因为， 又，所以， 所以回归方程为， 令，则， 所以7月新能源汽车的渗透率的估计值为． （3）①估计值与实际值的绝对误差为，估计值偏高， 产生误差的原因是：模型局限性；渗透率超过后，增长自然放缓； 线性模型假设“增速永远不变”，但实际增长会先快后慢． ②改进建议：用非线性模型替代线性回归模型（例：，逻辑函数模型等）； 用减速增长模型，体现“先快后慢”规律． 16．（2023春·四川内江·高三四川省内江市第六中学校考阶段练习）小家电指除大功率､大体积家用电器（如冰箱､洗衣机､空调等）以外的家用电器，运用场景广泛，近年来随着科技发展，智能小家电市场规模呈持续发展趋势，下表为连续5年中国智能小家电市场规模（单位：千亿元），其中年份对应的代码依次为. 年份代码 1 2 3 4 5 市场规模 0.9 1.2 1.5 1.4 1.6 (1)由上表数据可知，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明； (2)建立关于的经验回归方程（系数精确到0.01）. 参考数据：； 参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）由题意代入公式即可求出相关系数近似为0.92，说明与的线性相关程度较高，从而可以用线性回归模型拟合与的关系； （2）利用最小二乘法求出，，即可得到关于的经验回归方程. 【详解】（1）由已知得, . 因为与的相关系数近似为0.92，说明与的线性相关程度较高，从而可以用线性回归模型拟合与的关系. （2）由题可得， ， 故关于的经验回归方程为. 17．（24-25高三上·福建厦门·月考）台州是全国三大电动车生产基地之一，拥有完整的产业链和突出的设计优势某电动车公司为了抢占更多的市场份额，计划加大广告投入、该公司近5年的年广告费（单位：百万元）和年销售量（单位：百万辆）关系如图所示： 令，数据经过初步处理得：，，，，，，.现有①和②两种方案作为年销售量y关于年广告费x的回归分析模型，其中a，b，m，n均为常数. (1)请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好? (2)根据（1）的分析选取拟合程度更好的回归分析模型及表中数据，求出y关于x的回归方程，并预测年广告费为6（百万元）时，产品的年销售量是多少? 附：①相关系数，回归直线中公式分别为，； ②参考数据：，，， 【答案】(1)模型②的拟合程度更好 (2)13（百万辆） 【分析】（1）利用公式分别求出模型①和②的相关系数，结合相关系数的意义即可判断哪一个模型拟合程度更好； （2）先利用最小二乘法求出关于的回归方程，再令，即可得解.. 【详解】（1）设模型①和②的相关系数分别为， 由题意可得：， ， 所以，由相关系数的意义可得，模型②的拟合程度更好. （2）因为， 又由，， 得， 所以，即回归方程为， 当时，， 因此当年广告费为6（百万元）时，产品的销售量大概是13（百万辆）. 18．（1）2015年到2025年我国把全民健身上升为国家战略，提出力争在2025年实现全民健身与竞技体育的协调发展.某高校积极响应此号召，首先以身示范，开展了以“塑造健康体魄”的年度主题活动，一段时间后，学生的身体素质明显提高，将该大学近5个月体重超重的人数进行统计，得到如下表格： 月份 1 2 3 4 5 体重超重的人数 640 540 420 300 200 若该大学体重超重人数与月份变量（月份变量依次为1，2，3，4，5，…）具有线性相关关系，请预测从第几月份开始该大学体重超重的人数降至10人以下？ （2）在该校组织的一次趣味网球比赛中，甲，乙两人比赛对决.比赛规定：一局中赢球一方作为下一局的开球方.若甲开球，则本局甲赢的概率为.若乙开球，则本局甲赢的概率为，每局比赛的结果相互独立且没有平局，经抽签决定，第一局甲开球 （i）求第4局甲开球的概率； （ii）设前4局中，甲开球的次数为X，求X的概率分布列和均值. 附1：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：；， 附2：参考数据：，. 【答案】（1）第7月份；（2）（i）；（ii）分布列见解析，均值为 【详解】（1），，， ， 所以， 当时，解得， 从第7月份开始，大学生体重超重人数降至10人以下. （2）记第局甲胜为事件， （i）第4局甲开球为事件A， ； （ii）的取值可能为， ， ， ， ， X的概率分布列为： X 1 2 3 4 P . 19．（25-26高三上·河北·期中）在一个足够大的不透明袋中进行一个轮摸球试验，规则如下：每一轮试验时，袋中均有红、黑、白三种颜色的球，从中随机摸出一个球（摸出的球不再放回），若摸出红球，则试验成功；若摸出白球，则试验失败；若摸出黑球，则进入判定环节：判定时，向袋中放入两个黑球并取出一个白球，再从中随机摸出一个球，若为白球则试验失败，否则试验成功．若试验成功，则结束试验，若试验失败，则进行下一轮试验，直至成功或轮试验进行完．已知第轮试验开始时，袋中有1个红球，个黑球，个白球． (1)求第1轮试验成功的概率； (2)某团队对这个试验进行了一定的研究，请若干志愿者进行了5轮试验，并记录了第轮试验成功志愿者的比例，记，发现与线性相关，求关于的经验回归方程，并预测试验轮数足够大时，试验成功志愿者的比例； (3)记试验结束时，试验成功的概率为，证明：． 参考数据：，，，． 【答案】(1) (2)，0.782． (3)证明见解析 【分析】（1）分两种成功情况分别计算概率后相加； （2）利用最小二乘公式求回归方程参数； （3）通过分析失败概率乘积构造递推关系，结合代数变形证明不等式. 【详解】（1）第1轮试验中有1个红球，1个黑球，2个白球， 摸出红球，即试验成功的概率为． 摸出黑球且试验成功的概率为， 所以第1轮试验成功的概率为． （2）， 所以，则所求经验回归方程为． 当试验轮数足够大，即足够大时，接近于0，则接近于0.782， 故预测成功志愿者的比例为0.782． （3）依题意，轮试验失败的概率为，设第轮试验失败的概率为， 则，发生有两种可能， 第一种可能为直接摸出白球，概率为， 第二种可能为摸出黑球后再摸出白球， 概率为， 所以， 则， 因此. 2 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 一元线性回归问题 教学目标 1. 理解一元线性回归模型的基本概念； 2. 了解并能够应用最小二乘法来求解经验回归方程，并用该方程进行预报； 3．通过实际问题的探究，培养学生对数据的直观感觉，认识统计方法的特点，体会统计方法应用的广泛性． 教学重难点 1.重点 线性相关系数及最小二乘法． 2.难点 对线性相关系数及最小二乘法的理解． 知识点01 散点图 将样本中的个数据点描在 中，所得图形叫做散点图．根据散点图中点的分布可以直观地判断两个变量之间的关系． （1）如果散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域内，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为 ，如图（1）所示； （2）如果散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域内，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为 ，如图（2）所示． 【即学即练】 1．（24-25高二下·北京丰台·期末）下列四幅散点图中，所对应的成对样本数据呈现负相关的是（    ） A． B． C． D． 2．(多选)（24-25高二下·全国·课后作业）（多选）下列说法正确的是（    ） A．散点图能得到两个变量的相关关系 B．成对的统计数据一定能画出散点图 C．若变量和满足关系且变量与正相关，则与也正相关 D．散点图中的所有点落在一条直线上，则对应变量呈线性相关 知识点02 相关系数 若相应于变量的取值，变量的观测值为，则变量与的相关系数，通常用来衡量与之间的线性关系的强弱，的范围为． (1)当时，表示两个变量正相关；当时，表示两个变量负相关． (2)当越接近，表示两个变量的线性相关性越强；越接近，表示两个变量间几乎不存在线性相关关系． 当时，所有数据点都在一条直线上． 【即学即练】 1．（25-26高三上·河北邢台·月考）若甲、乙、丙、丁四组数据的相关系数分别为，，0.23，0.88，则在这四组数据中，线性相关性最强的是（   ） A．甲组 B．乙组 C．丙组 D．丁组 2．（2025·河北沧州·模拟预测）利用变量的5组实验数据，求得关于的经验回归方程为，若这5组数据对应的点都在该回归直线上，则相关系数为 . 知识点03 线性回归 线性回归是研究不具备确定的函数关系的两个变量之间的关系（相关关系）的方法． 对于一组具有线性相关关系的数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），其回归方程的求法为 其中，，，（，）称为样本点的中心． 【即学即练】 1．（2026·高二课时练习）已知变量y与x之间具有线性相关关系，根据变量x与y的相关数据，计算得则y关于x的线性回归方程为（    ） 附：回归方程中的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为 A． B． C． D． 2．(多选)（24-25高二下·河南驻马店·月考）国家统计局月日发布数据显示，年上半年我国经济运行总体平稳，其中新能源产业依靠持续的技术创新实现较快增长．某企业根据市场调研得到研发投入（亿元）与产品收益（亿元）的数据统计如下，则下列叙述正确的是（   ） 1 2 3 4 5 6 7 2 3 5 7 8 8 9 A．， B．由散点图知变量和正相关 C．相关系数 D．用最小二乘法求得关于的经验回归直线方程为 知识点04 相关指数(拓展) 用相关指数来刻画回归的效果，其计算公式是：． 越接近于，说明残差的平方和越小，也表示回归的效果越好． 【即学即练】 1．（25-26高三上·浙江温州·开学考试）将收集到的6组数据对制作如图所示的散点图（点旁数据为该点坐标），由最小二乘法计算得回归直线方程：，相关系数为，相关指数为；残差分析确定点对应残差过大，把它去掉后，再用剩下的5组数据计算得回归直线方程：，相关系数为，相关指数为.则以下结论中，不正确的是（    ） A． B． C． D． 知识点05常见的非线性回归方程的转化（拓展） 曲线方程 变换公式 变换后的线性关系式 【即学即练】 1．（2025高二·全国·专题练习）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：万元）对年销售量y（单位：吨）和年利润z（单位：万元）的影响.对近8年的年宣传费和年销售量数据进行初步处理后，得到下面的散点图及一些统计量的值. 有下列5个曲线类型：①；②；③；④；⑤，则较适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程的是（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．③⑤ 2．（24-25高二下·江苏南京·期末）用模型拟合一组数据时，为了求出非线性回归方程，设，其变换后得到线性回归方程为，则c等于（   ） A． B． C．2 D． 题型01 散点图 【典例1】如图，由观测数据 的散点图可知， 与的关系可以用模型 拟合，设 ，利用最小二乘法求得 关于的回归方程 . 已知 ，，则 （    ）    A． B． C．1 D． 【典例1-2】（24-25高二下·河北·期末）对四组数据进行统计，获得如图散点图，其中线性相关性比较强且负相关的是（   ） A． B． C． D． 散点图法判断变量的相关性 如果所有的样本点都落在某一函数的曲线附近，变量之间就有相关关系．如果所有的样本点都落在某一直线附近，变量之间就有线性相关关系． 【变式1-1】（25-26高三上·上海·期中）在下列4组样本数据的散点图中，样本相关系数最小的是（   ）    A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25高二下·甘肃临夏·期末）已知10个成对数据的散点图如图所示，并对进行线性回归分析.若在此图中去掉点后，再次对进行线性回归分析，则下列说法正确的是（    ） A．相关系数变大 B．变量与的线性相关程度变低 C．相关系数变小 D．变量与呈负相关 题型02 相关系数 【典例2-1】（多选）某类汽车在今年1至5月的销量y（单位：千辆）如下表所示（其中2月份销量未知）： 月份x 1 2 3 4 5 月销量y 2.4 m 4 5 5.5 若变量y与x之间存在线性相关关系，用最小二乘法估计建立的经验回归方程为，则下列说法正确的是（    ） A． B．残差绝对值最大为0.2 C．样本相关系数 D．当解释变量每增加1，响应变量增加0.85 【典例2-2】（吉林省吉林地区普通中学2025-2026学年高三上学期第二次调研考试数学试卷）2024年巴黎奥运会，中国体育代表团共获得40金、27银、24铜，金牌数创下中国代表团境外奥运会最佳战绩.在男子100米自由泳决赛中，中国小将潘展乐游出中国速度，以46秒40的成绩打破世界纪录斩获金牌，这也是中国游泳队首次夺得该项目的奥运冠军. 以下是近10届奥运会男子100米自由泳项目冠军成绩记录（单位：s），如表所示. 年份代码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 年份 1988 1992 1996 2000 2004 2008 2012 2016 2020 2024 冠军成绩 48.63 49.02 48.74 48.30 48.17 47.21 47.52 47.58 47.02 46.40 (1)求上表中冠军成绩的极差与中位数； (2)根据表中的样本数据计算年份代码与冠军成绩的样本相关系数，并推断它们的相关程度（精确到0.01）. 附：参考公式：样本相关系数. 参考数据：，. 相关系数法判断变量的相关性 1.当r>0时，表明两个变量正相关；当r<0时，表明两个变量负相关. 2.r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强；r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常|r|大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性 【变式1-1】（多选）某地区5家超市销售额（单位：万元）与广告支出（单位：万元）有如下一组数据： 超市 A B C D E 广告支出（万元） 1 4 6 10 14 销售额（万元） 6 20 36 40 48 下列说法正确的是（    ） 参考公式：样本相关系数 A．根据表中数据计算得到与之间的经验回归方程为，则 B．与之间的样本相关系数 C．若残差的平方和越小，则模型的拟合效果越好 D．若该地区某超市的广告支出是3万元，则该超市的销售额一定是17.6万元 【变式2-2】（25-26高二上·四川眉山·月考节选）某种机械设备随着使用年限的增加，它的使用功能逐渐减退，使用价值逐年减少，通常把它使用价值逐年减少的“量”换算成费用，称之为“失效费”．某种机械设备的使用年限（单位：年）与失效费（单位：万元）的统计数据如下表所示： 使用年限（单位：年） 2 4 5 6 8 失效费（单位：万元） 3 4 5 6 7 根据上表数据，计算与的相关系数，并说明与的线性相关性的强弱． （已知：，则认为与线性相关性很强；，则认为与线性相关性一般；，则认为与线性相关性较弱）（的结果精确到0.0001） 附：样本的相关系数. 题型03 求回归直线方程 【典例3-1】第19届亚运会的吉祥物琮琮、莲莲、宸宸深受大家喜爱，某商家统计了最近5个月销量，如下表所示：（   ） 时间 1 2 3 4 5 销售量/万只 5 4.5 4 3.5 2.5 若与线性相关，且线性回归方程为，则下列说法不正确的是（   ） A．由题中数据可知，变量与负相关 B．当时，残差为0.2 C．可以预测当时销量约为2.1万只 D．线性回归方程中 【典例3-2】（2026·河南郑州·模拟预测）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验，收集数据如下： 零件数/个 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 加工时间/分 62 68 75 81 89 95 102 108 115 122 根据样本数据，画出加工时间与加工零件个数的散点图，如图所示，散点大致分布在一条从左下角到右上角的直线附近，表明两个变量线性相关，因此可以用一元线性回归模型刻画加工时间与加工零件个数之间的关系.（运算结果保留小数点后两位数字）    (1)请求出加工时间关于零件数的经验回归方程； (2)该车间实行“按时计件”工资制度：若工人完成一个零件的平均时间低于标准时间，则可获得额外奖励.已知目前每个零件的标准加工时间定为1.2分钟，根据上述回归方程判断： （ⅰ）对于120个零件的任务，预测加工时间是否低于现行标准加工时间？（标准加工时间为分钟） （ⅱ）若工人的实际加工能力与回归模型基本一致，车间是否应考虑调整标准时间？若需调整应调整到多少比较合适？ 附：参考数据：，，，. 对于一组数据，，，，其经验回归方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为： ，. 回归分析问题求解策略 1．回归直线方程中系数的两种求法 (1)公式法：利用公式，求出回归系数，. (2)待定系数法：利用回归直线过样本点中心(，)求系数． 2．回归分析的两种策略 (1)利用回归方程进行预测：把回归直线方程看作一次函数，求函数值． (2)利用回归直线判断正、负相关：决定正相关还是负相关的是回归系数.　　 【变式3-1】近日我国相关企业研究表明，随着锂离子电池充放电循环次数的增加，电池内阻增大，可用容量和能量衰减，削弱了电动汽车的续航里程．相关科研团队利用数学建模的方法构建理离子电池充放电循环次数单位：百次与锂离子电池性能指数的回归模型，通过实验得到部分数据如下表： 充放电循环次数x 3 4 5 6 电池性能指数y 91 88 82 79 由上表中的数据求得回归方程为，则计算可得（    ）（参考公式及数据：，） A． B． C． D． 【变式3-2】（2025·全国·高三专题练习）某部门统计了某网红景点在2025年3月至7月的旅游收入y（单位：万元），得到以下数据： 月份x 3 4 5 6 7 旅游收入y 10 12 11 12 20 根据表中所给数据，用相关系数r加以判断，是否可用线性回归模型拟合y与x的关系？若可以，求出y关于x的线性回归方程；若不可以，请说明理由． 题型04 相关指数(拓展) 【典例4-1】下列命题是真命题的是（    ） A．经验回归方程至少经过其样本数据点，，…，中的一个 B．可以用相关系数r来刻画两个变量x和y线性相关程度的强弱，r的绝对值越小，说明两个变量线性相关程度越强 C．线性回归分析中决定系数用来刻画回归的效果，若值越小，则模型的拟合效果越好 D．残差点分布在以横轴为对称轴的水平带状区域内，该区域越窄，拟合效果越好 【典例4-2】下列说法错误的是（    ） A．若随机变量，则当较小时，对应的正态曲线“瘦高”，随机变量X的分布比较集中 B．在做回归分析时，可以用决定系数刻画模型的回归效果，若越大，则说明模型拟合的效果越好 C．在一元线性回归模型中，如果相关系数，表明两个变量的相关程度很强 D．对于一组数据，，…，，若所有数据均变成原来的2倍，则变为原来的2倍 【变式4-1】某数学建模小组提出了①，②，③，④四种回归模型描述某城市居民年收入与A商品销售额的关系，已知①，②，③，④对应的决定系数分别为0.33，0.51，0.88，0.43，则拟合效果最好的是模型（    ） A．④ B．③ C．② D．① 【变式4-2】（多选）下列说法中，正确的是（    ） A．某组数据的经验回归方程一定过点 B．若，，，则事件与事件相互独立 C．甲、乙两个模型的决定系数分别约为和，则模型甲的拟合效果更好 D．残差平方和越大，则相应模型的拟合效果越好 【变式4-3】（25-26高三上·湖南长沙·月考）海水稻的灌溉是将海水稀释后进行灌溉.某试验基地为了研究海水浓度x(‰)对亩产量y(吨)的影响，通过在试验田的种植实验，测得了某种海水稻的亩产量与海水浓度的数据如表.绘制散点图发现，可用线性回归模型拟合亩产量y与海水浓度x之间的相关关系，用最小二乘法计算得y与x之间的经验回归方程为. 海水浓度（‰） 3 4 5 6 7 亩产量 (吨) 0.62 0.58 0.49 0.4 0.31 残差 (1)请你估计：当浇灌海水浓度为8‰时，该品种海水稻的亩产量； (2)（i）完成上述残差表； （ii）在统计学中，常用决定系数来刻画回归效果，越大，模型拟合效果越好，并用它来说明响应变量与解释变量的相关性.你能否利用以上表格中的数据，计算决定系数，并判断模型的拟合效果.(计算中数据精确到0.01) (附：残差，决定系数) 题型05 求非线性回归方程 【典例5-1】某学校为了解校庆期间不同时段的校门人流量，从上午8点开始第一次反馈校门人流量，以后每过2小时反馈一次，共统计了前3次的数据，其中，2，3，为第i次人流量数据（单位：千人），由此得到y关于i的回归方程.已知，根据回归方程，可预测下午2点时校门人流量为（    ）千人. 参考数据： A．9.6 B．10.8 C．12 D．13.2 【典例5-2】（2025·湖南永州·模拟预测）某经济研究所为了解居民存款余额变化情况，对2009年至2024年居民存款余额进行统计分析，将2009年看成第1年，依次类推，得到第1~16年的居民存款余额（单位：万亿元）的散点图，如图所示： (1)已知从2021年开始，居民存款余额超过100万亿元，若从2009年至2024年中任取2年，求这2年中恰有一年居民存款余额超过100万亿元的概率； (2)由散点图知，和的关系可用经验回归模型进行拟合，求关于的经验回归方程. 参考数据：设，则. 参考公式：对于一组数据，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为. 建立非线性回归模型的基本步骤 (1)确定研究对象，明确哪个是解释变量，哪个是预报变量； (2)画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（是否存在非线性关系）； (3)由经验确定非线性回归方程的类型（如我们观察到数据呈非线性关系，一般选用反比例函数、指数函数、对数函数模型等）； (4)通过换元，将非线性回归方程模型转化为线性回归方程模型； (5)按照公式计算线性回归方程中的参数（如最小二乘法），得到线性回归方程； (6)消去新元，得到非线性回归方程； (7)得出结果后分析残差图是否有异常.若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等. 【变式5-1】预制菜指以农、畜、禽、水产品为原辅料，配以调味料等经预选、调制等工艺加工而成的半成品．近几年预制菜市场快速增长．某城市调查近4个月的预制菜市场规模y（万元）得到如表所示的数据，根据数据得到y关于x的非线性回归方程 1 2 3 4 按照这样的速度，预估第8个月的预制菜市场规模是 万元．（结果用e表示） 【变式5-2】（2025·河北·模拟预测）为了提高利润，某果园每年投入一定的资金，对种植、采摘、包装、宣传等环节进行改进．如图，这是2016年至2025年该果园每年的投资金额（单位：万元）与年利润增量（单位：万元）的散点图． 模型①由最小二乘法可求得与的经验回归方程为； 模型②由图中样本点的分布，可以认为样本点集中在曲线的附近，令，则，且有． (1)根据所给的统计量，求模型②中关于的经验回归方程； (2)已知2025年的投资金额为20万，年利润增量为40万，分析这两种模型在2025年时哪个模型的预报效果更好． 参考公式与数据：． 题型06 回归分析与概率的综合 【典例6】（2025·四川成都·一模）某校举办校刊义卖活动，学生在义卖处每领取一本校刊，便自觉向收银箱中支付至少两元钱.现统计了连续5天的售出校刊数量和收益情况，如下表： 售出校刊数量x（单位：箱） 6 5 7 5 7 收益y（单位：元） 240 220 260 230 270 (1)求收益y关于售出数量x的回归直线方程，并计算售出8箱校刊时的预计收益； (2)学校决定将收益奖励在科技创新大赛中获奖的学生，获奖学生每人奖励100元.已知甲、乙两名学生是否获奖是相互独立的，甲获奖的概率为，乙获奖的概率为，求甲、乙两名学生获奖总金额X的分布列及数学期望.附：，. 回归分析与概率的综合 回归分析常与分布列、数学期望等知识综合，对于这类问题，一般采用各个击破的策略，即概率部分用概率知识求解，回归分析部分用回归分析知识求解. 【变式6-1】 37．（25-26高三上·广东汕头·期中）某强基计划试点高校为选拔基础学科拔尖人才，对考生设置两项能力测试：学科知识整合能力指标（考察数学、物理等学科知识的交叉应用）和创新思维能力指标（考察逻辑推理、问题建模等能力）．随机抽取5名考生的测试结果如表： 6 8 9 12 2 3 4 5 6 (1)若学科知识整合能力指标的平均值， （ⅰ）求的值； （ⅱ）求关于的经验回归方程，并估计学科知识整合能力指标为14时的创新思维能力指标； （附：经验回归方程中和的最小二乘估计分别为， (2)现有甲、乙两所试点高校的强基计划笔试环节均设置了三门独立考试科目，每门科目通过情况相互独立； 甲高校：每门科目通过的概率均为，通过科目数记为随机变量； 乙高校：第一门科目通过概率为，第二门科目通过概率为，第三门科目通过概率为， 通过科目数记为随机变量； 若以笔试环节通过科目数的期望为决策依据，分析考生应选择报考哪所高校． 【变式6-2】（2025·山东烟台·三模）近年来，新能源汽车因其动力充沛、提速快、用车成本低等特点得到民众的追捧．某机构为研究汽油价格x（单位：元/升）与新能源汽车的月销售量y（单位：万辆）之间的关系，收集整理得到如下数据： x 6 6.5 7 7.5 8 y 1.5 2 3 4.5 6.8 (1)若用模型模拟x与y之间关系，求出回归方程； (2)根据建立的回归方程，预测当汽油价格上涨至9元/升时，新能源汽车的销量； (3)假设当汽油价格为9元/升时，实际销量超过预测值的概率为0.6．现进行5次独立观测，记这5次观测中销量超过预测值的次数为，求的数学期望． 参考数据和公式：．，． 令，，，． 对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，． 一、单选题 1．（广东省汕头市2026届高三上学期1月教学质量监测数学试题）如果散点图中所有的散点都落在一条斜率不为0的直线上，则下列结论错误的是（    ） A．解释变量和响应变量线性相关 B．相关系数 C．决定系数 D．残差平方和等于1 2．（2025高二·全国·专题练习）某同学用收集到的6组数据对制作成如图所示的散点图（点旁的数据为该点坐标），并由最小二乘法计算得到回归直线的方程：，相关系数为，决定系数为；经过残差分析，确定点E为“离群点”（对应残差过大的点），把它去掉后，再用剩下的5组数据计算得到回归直线的方程：相关系数为，决定系数为．则以下结论中，正确的是（    ）．    ①        ②        ③        ④ A．①② B．①②③ C．②④ D．②③④ 3．（24-25高二下·北京东城·期末）对某种动物的三项指标，，进行调查研究.现有这种动物若干只，设每只动物的这三项指标为.若与的散点图如图1和图2所示，那么关于的散点图最合理的为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·河北·一模）2025年11 月，搭载“祖冲之三号”同款芯片的超导量子计算机“天衍-287”完成搭建，该量子计算系统具备“量子计算优越性”能力.下表记录了8个团队在特定年度的研发资金投入x(单位：亿元)与芯片性能提升评估指数y，且 研发资金投入x/亿元 2 10 性能提升评估指数y 2 12 已知y与x具有较强的线性关系，通过最小二乘估计得到的经验回归方程为如果去掉样本点后，得到的新样本的经验回归方程为则（   ） A．0.1 B．0.3 C．0.5 D．0.7 5．（2026·四川宜宾·一模）对具有线性相关关系的变量x，y有一组观测数据，其回归直线方程是，且，则实数的值是（    ） A． B． C． D．1 6．（24-25高二下·贵州铜仁·月考）若变量线性相关，由数据求得回归方程为，则下列结论一定成立的是（　　） A． B． C． D． 7．（25-26高三上·山东潍坊·月考）已知变量y与x的一组数据如表所示，根据数据得到y关于x的经验回归方程为． x 2 3 4 5 y 若，则（   ） A．6.8 B．7.8 C．8.8 D．9.8 8.研究数据表明，某校高中生的数学成绩与物理成绩、物理成绩与化学成绩均有正相关关系．现从该校抽取某班50位同学的数学、物理、化学三科成绩作为样本，设数学、物理、化学成绩分别为变量x，y，z若x，y的样本相关系数为，y，z的样本相关系数为，则x、z的样本相关系数的最大值为（    ） 附：相关系数 A． B． C． D．1 二、多选题 9.（多选）已知变量和变量的一组成对样本数据的散点落在一条直线附近，，，相关系数为，线性回归方程为，则（ ）参考公式:. A．当越大时，成对样本数据的线性相关程度越强 B．当时， C．，时，成对样本数据的相关系数满足 D．时，成对样本数据的线性回归方程满足 10．每年3，4月间，成批白天鹅从地中海沿岸、南亚等温暖的地方越冬来到天山中部广袤的巴音布鲁克草原．为保护这些白天鹅，某动物保护机构研究了这时期6个区域每公顷草原的白天鹅平均只数y与每公顷草原上白天鹅的天敌狼和狐狸的平均只数x之间的对应数据，如下表所示： 10 15 20 25 30 11 10 8 6 5 根据表中的数据计算得经验回归方程为，则以下结论正确的是（    ） A．与负相关 B．回归直线一定经过点 C．估计当白天鹅的天敌每公顷平均只数为5时，白天鹅每公顷平均只数大约为13 D．当时，残差的绝对值最小 11．（24-25高三·重庆渝中·月考）小明在家独自用下表分析高三前5次月考中数学的班级排名y与考试次数x的相关性时，忘记了第二次和第四次月考排名，但小明记得平均排名，于是分别用m＝6和m＝8得到了两条回归直线方程：，，对应的相关系数分别为、，排名y对应的方差分别为、，则下列结论正确的是（   ） x 1 2 3 4 5 y 10 m 6 n 2 （附：，） A． B． C． D． 三、填空题 12．（2026·陕西咸阳·一模）某单位为了解日用电量（单位：千瓦时）与当天平均温度（单位：摄氏度）之间的关系，随机统计了4天的日用电量与当天的平均温度，绘制了如下表格，由表中数据可得线性回归方程，则实数 . 5 15 24 60 40 20 13.已知变量与的一组样本数据，，…，满足，，对各样本数据求对数，再利用线性回归分析的方法得.若变量，则当的预测值最大时，变量的取值约为 .（，结果保留1位小数） 14．（2025高二·全国·专题练习）已知x与y之间的几组数据如下表. x 1 2 3 4 y 4 m n 1 表中y的平均值为2.5，若某同学对m赋了三个值，分别为3.5，3，2.5，得到三条线性回归直线的方程，分别为，对应的相关系数分别为，则下列结论中正确的是 .（填序号）①在同一个坐标系中，三条回归直线可以围成一个封闭图形；②；③；④相关系数中，最大. 参考公式：线性回归方程，其中；相关系数；. 四、解答题 15．（25-26高三上·云南曲靖·月考）根据统计数据和研究报告，2025年中国新能源汽车产销呈现强劲增长态势，渗透率（渗透率=新能源汽车销量÷当月汽车总销量）持续攀升，行业格局加速分化．2025年3月新能源汽车渗透率首次超过，2025年1月至6月，全国新能源汽车的渗透率统计如下： 2025年1月至6月新能源汽车渗透率统计表 月份 1 2 3 4 5 6 渗透率 41.4 49.4 51.1 51.5 53.0 53.3 (1)2025年6月全国汽车销量为208.4万辆，计算该月新能源汽车的销量（精确到0.1）． (2)根据以上数据，建立y关于月份x的经验回归方程，并预测2025年7月新能源汽车的渗透率． (3)实际7月新能源汽车的渗透率为，请： ①结合预测值分析误差原因； ②提出改进模型的建议. （参考数据及公式：，．） 16．（2023春·四川内江·高三四川省内江市第六中学校考阶段练习）小家电指除大功率､大体积家用电器（如冰箱､洗衣机､空调等）以外的家用电器，运用场景广泛，近年来随着科技发展，智能小家电市场规模呈持续发展趋势，下表为连续5年中国智能小家电市场规模（单位：千亿元），其中年份对应的代码依次为. 年份代码 1 2 3 4 5 市场规模 0.9 1.2 1.5 1.4 1.6 (1)由上表数据可知，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明； (2)建立关于的经验回归方程（系数精确到0.01）. 参考数据：； 参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为. 17．（24-25高三上·福建厦门·月考）台州是全国三大电动车生产基地之一，拥有完整的产业链和突出的设计优势某电动车公司为了抢占更多的市场份额，计划加大广告投入、该公司近5年的年广告费（单位：百万元）和年销售量（单位：百万辆）关系如图所示： 令，数据经过初步处理得：，，，，，，.现有①和②两种方案作为年销售量y关于年广告费x的回归分析模型，其中a，b，m，n均为常数. (1)请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好? (2)根据（1）的分析选取拟合程度更好的回归分析模型及表中数据，求出y关于x的回归方程，并预测年广告费为6（百万元）时，产品的年销售量是多少? 附：①相关系数，回归直线中公式分别为，； ②参考数据：，，， 18．（1）2015年到2025年我国把全民健身上升为国家战略，提出力争在2025年实现全民健身与竞技体育的协调发展.某高校积极响应此号召，首先以身示范，开展了以“塑造健康体魄”的年度主题活动，一段时间后，学生的身体素质明显提高，将该大学近5个月体重超重的人数进行统计，得到如下表格： 月份 1 2 3 4 5 体重超重的人数 640 540 420 300 200 若该大学体重超重人数与月份变量（月份变量依次为1，2，3，4，5，…）具有线性相关关系，请预测从第几月份开始该大学体重超重的人数降至10人以下？ （2）在该校组织的一次趣味网球比赛中，甲，乙两人比赛对决.比赛规定：一局中赢球一方作为下一局的开球方.若甲开球，则本局甲赢的概率为.若乙开球，则本局甲赢的概率为，每局比赛的结果相互独立且没有平局，经抽签决定，第一局甲开球 （i）求第4局甲开球的概率； （ii）设前4局中，甲开球的次数为X，求X的概率分布列和均值. 附1：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：；， 附2：参考数据：，. 19．（25-26高三上·河北·期中）在一个足够大的不透明袋中进行一个轮摸球试验，规则如下：每一轮试验时，袋中均有红、黑、白三种颜色的球，从中随机摸出一个球（摸出的球不再放回），若摸出红球，则试验成功；若摸出白球，则试验失败；若摸出黑球，则进入判定环节：判定时，向袋中放入两个黑球并取出一个白球，再从中随机摸出一个球，若为白球则试验失败，否则试验成功．若试验成功，则结束试验，若试验失败，则进行下一轮试验，直至成功或轮试验进行完．已知第轮试验开始时，袋中有1个红球，个黑球，个白球． (1)求第1轮试验成功的概率； (2)某团队对这个试验进行了一定的研究，请若干志愿者进行了5轮试验，并记录了第轮试验成功志愿者的比例，记，发现与线性相关，求关于的经验回归方程，并预测试验轮数足够大时，试验成功志愿者的比例； (3)记试验结束时，试验成功的概率为，证明：． 参考数据：，，，． 2 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $