精品解析：山西省吕梁市岚县部分学校2025-2026学年上学期期末考试九年级数学试卷

20252026学年第一学期九年级期末学业质量监测 数学试卷（人教版） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑） 1. 若点在反比例函数的图象上，则k的值为（ ） A. 6 B. C. D. 2. 关于一元二次方程的根的情况，下列判断正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 有一个实数根 3. 荷叶表面布满无数个微米级的乳突结构，使荷叶表面与水珠或尘埃的接触面积非常有限．将如图的荷叶标本放在适当的平面直角坐标系中，标本上点A，B关于原点对称．若点A的坐标为，则点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 下列事件中，属于随机事件的是（ ） A. 在标准大气压下，水加热到会沸腾 B. 任意画一个三角形，其内角和等于 C. 从装有黑色球和绿色球的袋子中摸出红色球 D. 从一副洗匀的扑克牌中任抽一张，抽到红桃 5. 如图，将绕顶点A逆时针旋转得到，点B，C的对应点分别为点D，E，已知．当时，旋转角的度数为（ ） A B. C. D. 6. 某竖直上抛的小球离地面的高度h（单位：m）与运动时间t（单位：s）之间的关系可以近似地用公式表示，则该小球离地面的最大高度为（ ） A. 23.5m B. 22.5m C. 21.5m D. 20.5m 7. 某工厂为检验一批产品的合格情况，随机抽取部分产品进行测试，测试结果如下： 抽取数量n 20 100 200 500 1000 2000 合格的数量m 18 91 183 455 908 1824 合格的频率 0.900 0.910 0.915 0.910 0.908 0.912 根据表格中的数据，随机从这批产品中选择1个，估计该产品合格的概率（保留两位小数）为（ ） A. 0.90 B. 0.91 C. 0.92 D. 0.93 8. 如图，将三角形纸片沿折叠，点C恰好与内心I重合．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 光敏电阻的阻值随着光照强度的改变而改变，光敏电阻R的阻值（单位：）与光照强度（单位：，光越强，光照强度越大）之间的关系如图所示．已知当光照强度为时，光敏电阻的阻值为5Ω．若要使光敏电阻的阻值增大到10Ω，则下列关于光照强度的说法正确的是（ ） A. 增大至12.5 B. 减小至12.5 C. 增大至2 D. 减小至2 10. 如图，为的直径，过圆上一点C作的切线l，过点B作于点D．若，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分．请将答案直接写在答题卡相应的位置） 11. 对于反比例函数，当时，______0．（填“>”“<”或“=”） 12. 某AI编程训练营进行随机组卷测验，题库中有3道Python题和4道C++题．系统从中随机抽取1道题进行测验，则恰好抽到C++题的概率是________． 13. 将抛物线先向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，则平移后抛物线对应的函数解析式为________． 14. 如图，正五边形内接于，过点C的直径与交于点F，连接，则的度数为________． 15. 如图，在中，．将绕点A逆时针旋转得到，点B，C对应点分别是点E，D，连接交于点F，已知，．若，则的长为________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 解下列方程： （1）； （2） 17. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A，C，点B是第二象限内直线上一点，过点B作轴于点E，反比例函数（）的图象经过点B，已知． （1）求点A，C的坐标和反比例函数的解析式． （2）连接，请直接写出的面积． 18. 某线上学习平台在2025年11月初上线后，凭借其创新的学习体验迅速走红，上线当月活跃用户为120万人．经过两个月的爆发式增长，到2026年1月，活跃用户已达到172.8万人．已知活跃用户数每个月的平均增长率相同． （1）求活跃用户数每个月的平均增长率． （2）按照这个增长趋势，预测2026年2月的活跃用户数． 19. 如图，过上一点C作的切线，交直径的延长线于点D，过点A作于点E，连接． （1）试猜想与的数量关系，并说明理由． （2）当B恰好是的中点时，请直接写出与的数量关系． 20. 为了丰富学生的文体活动，营造积极向上的校园氛围，某学校组织了“校园科技艺术节”活动，其中有抽奖环节．在一个不透明的抽奖箱里放了5个除颜色外其余均相同的彩色乒乓球，其中2个“金色”3个“银色”．抽奖规则：从抽奖箱里依次摸取两个乒乓球，如果两个乒乓球都是“金色”，即可获得“艺术节大礼包”一份． （1）请用列表或画树状图的方法求抽奖者获得“艺术节大礼包”的概率． （2）为了提高“艺术节大礼包”的获奖概率，请你调整抽奖规则．（写出一种即可） 21. 阅读与思考 阅读下面材料，并完成相应任务． 探索“垂径四边形”的性质 在中国传统建筑中，圆形窗棂的设计蕴含着丰富的几何原理．一种常见的圆形窗棂图案由四个端点均落在圆上的木条构成，其中两条对角线木条互相垂直，这种结构称为“垂径四边形”，因其稳定性常用于支撑结构． “垂径四边形”有如下性质：过对角线交点向一边作垂线，该垂线段的反向延长线必平分该边的对边．数学语言表述为：如图，四边形内接于，对角线于点．过点作于点，反向延长交于点，则． 证明：于点，． 于点， ． ． 又，（依据） …… 任务： （1）材料中的“依据”是指________． （2）补充完整材料中证明过程． （3）若，请直接写出四边形的面积． 22. 综合与实践 问题情境： 某篮球队为提高球员的投篮技术，运用科学手段追踪记录球员的每次投篮，发现在理想状态下，球员所投出去篮球的运动路线可看作抛物线： 测量数据： 篮球从距地面的球员手中投出，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面，最高点与篮球出手点的水平距离为． 数学建模： 如图，将篮球的运动路线抽象为抛物线，其顶点为E，对称轴为直线l，篮球出手点为A，落地点为C．以水平地面为x轴，过点A且与水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系，O为原点． （1）请直接写出顶点E的坐标，并求该抛物线的函数表达式； 问题解决： 已知投出去篮球的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变； （2）如图，若球员原地垂直起跳投篮，篮球出手点记为B，即，篮球落地点为D，求起跳点与落地点D的水平距离的长； （3）已知在距点O水平距离，垂直高度处是篮框．若该球员向篮筐方向沿直线运球一定距离后，再垂直起跳投篮，篮球可准确落入篮筐内，请直接写出该球员向篮框方向沿直线运球的距离． 23. 综合与探究 问题背景： 数学课上，老师提出如下问题： 如图，将正方形绕点A顺时针旋转（），旋转后得到正方形，与交于点E，连接，．求证：． 数学思考： （1）请你解答老师提出的问题． 深入探究： （2）“善思小组”在图1的基础上继续旋转，当旋转至A，，C三点在同一条直线上时，如图2．试判断与的数量关系，并说明理由． 拓展探究： （3）连接，当是等腰三角形时，若正方形的边长为2，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 20252026学年第一学期九年级期末学业质量监测 数学试卷（人教版） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑） 1. 若点在反比例函数的图象上，则k的值为（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点坐标特征．把点代入反比例函数即可求出． 【详解】解：将点代入反比例函数，得 ， 故选：B． 2. 关于一元二次方程的根的情况，下列判断正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 有一个实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式．先求出方程根的判别式的值，然后根据方程根的判别式与根的情况的关系即可解答． 【详解】解：∵方程中，，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 3. 荷叶表面布满无数个微米级的乳突结构，使荷叶表面与水珠或尘埃的接触面积非常有限．将如图的荷叶标本放在适当的平面直角坐标系中，标本上点A，B关于原点对称．若点A的坐标为，则点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标的特点．关于原点的对称点，横、纵坐标都互为相反数，据此求解即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是． 故选：C． 4. 下列事件中，属于随机事件的是（ ） A. 在标准大气压下，水加热到会沸腾 B. 任意画一个三角形，其内角和等于 C. 从装有黑色球和绿色球的袋子中摸出红色球 D. 从一副洗匀的扑克牌中任抽一张，抽到红桃 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查随机事件，必然事件，不可能事件的定义，以及事件的分类． 根据事件的分类进行逐个判断，找出符合题意的选项即可． 【详解】解：A、在标准大气压下，水加热到会沸腾，是必然事件，不符合题意； B、任意画一个三角形，其内角和等于，是必然事件，不符合题意； C、从装有黑色球和绿色球的袋子中摸出红色球，是不可能事件，不符合题意； D、从一副洗匀的扑克牌中任抽一张，抽到红桃，是随机事件，符合题意； 故选：D． 5. 如图，将绕顶点A逆时针旋转得到，点B，C的对应点分别为点D，E，已知．当时，旋转角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，平行线的性质．由旋转可知，再根据，，即可求解． 【详解】解：由旋转可知， ∵， ∴， ∴旋转角的度数为， 故选：B． 6. 某竖直上抛的小球离地面的高度h（单位：m）与运动时间t（单位：s）之间的关系可以近似地用公式表示，则该小球离地面的最大高度为（ ） A. 23.5m B. 22.5m C. 21.5m D. 20.5m 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用．利用二次函数的性质求出最大值，即可得出答案． 【详解】解：∵， 当时，， 故小球达到的离地面的最大高度为：． 故选：C． 7. 某工厂为检验一批产品的合格情况，随机抽取部分产品进行测试，测试结果如下： 抽取的数量n 20 100 200 500 1000 2000 合格的数量m 18 91 183 455 908 1824 合格的频率 0.900 0.910 0.915 0.910 0.908 0.912 根据表格中的数据，随机从这批产品中选择1个，估计该产品合格的概率（保留两位小数）为（ ） A. 0.90 B. 0.91 C. 0.92 D. 0.93 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了用频率估计概率．根据表格中的数据，随着抽取数量的增加，频率逐渐稳定在左右由此即可估计概率． 【详解】解：根据表格中的数据，随着抽取数量的增加，频率逐渐稳定在左右， 估计抽到合格的概率是， 故选：B． 8. 如图，将三角形纸片沿折叠，点C恰好与的内心I重合．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，折叠的性质，三角形内心的性质，角平分线的定义等．根据三角形内角和定理得出，根据折叠的性质和三角形内心的性质得出，平分，平分，求得，据此计算即可求解． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵沿折叠，点恰好与的内心重合， ∴，平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 9. 光敏电阻的阻值随着光照强度的改变而改变，光敏电阻R的阻值（单位：）与光照强度（单位：，光越强，光照强度越大）之间的关系如图所示．已知当光照强度为时，光敏电阻的阻值为5Ω．若要使光敏电阻的阻值增大到10Ω，则下列关于光照强度的说法正确的是（ ） A. 增大至12.5 B. 减小至12.5 C. 增大至2 D. 减小至2 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数应用．根据图象和已知条件确定光敏电阻R的阻值与光照强度成反比例关系，进而利用反比例函数的关系解答即可． 【详解】解：∵由图知，光敏电阻R的阻值与光照强度成反比例关系， 设这个函数关系式为， ∵当光照强度为时，光敏电阻的阻值为5Ω， ∴， ∴这个函数关系式为， 当时，， ∴光照强度减小至2， 故选：D． 10. 如图，为的直径，过圆上一点C作的切线l，过点B作于点D．若，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理、切线的性质、扇形的面积公式、等边三角形的判定与性质．连接，，作于点，求得四边形是矩形，是等边三角形，利用直角三角形的性质结合勾股定理求得，，根据阴影部分的面积，列式计算即可求解． 【详解】解：连接，，作于点， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵为的直径，， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∵阴影部分面积 ， 故选：C． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分．请将答案直接写在答题卡相应的位置） 11. 对于反比例函数，当时，______0．（填“>”“<”或“=”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质．根据题意，结合反比例函数图象与性质即可得到答案． 【详解】解：， 反比例函数图象在第一、三象限， 当时，， 故答案为：． 12. 某AI编程训练营进行随机组卷测验，题库中有3道Python题和4道C++题．系统从中随机抽取1道题进行测验，则恰好抽到C++题的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了概率公式的应用．直接利用概率公式求解即可求得答案 ． 【详解】解：题库中有3道Python题和4道C++题， 恰好抽到C++题的概率是：． 故答案为：． 13. 将抛物线先向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，则平移后抛物线对应的函数解析式为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的平移规律．根据“上加下减，左加右减”进行作答即可． 【详解】解：∵将抛物线先向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度， ∴所得抛物线的函数解析式为，即， 故答案为：． 14. 如图，正五边形内接于，过点C的直径与交于点F，连接，则的度数为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正多边形和圆．连接，，先求得，利用等边对等角求得即可． 【详解】解：连接，， ∵正五边形内接于， ∴， ∴， ∵， ∴， 的度数为． 故答案为：． 15. 如图，在中，．将绕点A逆时针旋转得到，点B，C的对应点分别是点E，D，连接交于点F，已知，．若，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，解直角三角形，二次根式的混合运算．过点作于点，设，则，，，求得，，根据题意得到方程，据此求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点， 根据旋转的性质，得，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，，， ∴，， ∴， 解得， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 解下列方程： （1）； （2） 【答案】（1）， （2），． 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． （1）根据提公因式法进行求解方程即可； （2）根据因式分解法进行求解方程即可． 【小问1详解】 解：， 因式分解得， ∴或， ∴，； 【小问2详解】 解：， 因式分解得 ∴或， ∴，． 17. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A，C，点B是第二象限内直线上一点，过点B作轴于点E，反比例函数（）的图象经过点B，已知． （1）求点A，C的坐标和反比例函数的解析式． （2）连接，请直接写出的面积． 【答案】（1），； （2）的面积为3 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，等腰直角三角形的判定和性质． （1）先求得，，得到，是等腰直角三角形，再推出是等腰直角三角形，求得，利用待定系数法求解即可； （2）利用三角形面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：令，则， 令，则，， ∴，； ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵轴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：∵，， ∴的面积． 18. 某线上学习平台在2025年11月初上线后，凭借其创新的学习体验迅速走红，上线当月活跃用户为120万人．经过两个月的爆发式增长，到2026年1月，活跃用户已达到172.8万人．已知活跃用户数每个月的平均增长率相同． （1）求活跃用户数每个月的平均增长率． （2）按照这个增长趋势，预测2026年2月的活跃用户数． 【答案】（1）活跃用户数每个月的平均增长率为 （2）预测2026年2月的活跃用户数为万 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程解决增长率问题，解题的关键是找到等量关系式． （1）根据增长率的列式方法，列出关于的一元二次方程求解即可； （2）利用计算即可求解． 【小问1详解】 解：设活跃用户数每个月的平均增长率为． 根据题意，得． 解得，（不符合题意，舍去）． 答：活跃用户数每个月的平均增长率为； 【小问2详解】 解：（万人）． 答：预测2026年2月的活跃用户数为万． 19. 如图，过上一点C作的切线，交直径的延长线于点D，过点A作于点E，连接． （1）试猜想与的数量关系，并说明理由． （2）当B恰好是的中点时，请直接写出与的数量关系． 【答案】（1）．理由见解析 （2）． 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质． （1）由切线的性质求得，推出，得到，再由，即可得到； （2）设的半径为，求得，，证明，利用相似三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 解：．理由如下， 连接， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：，理由如下， 设的半径为， ∴，， ∵B恰好是的中点， ∴，，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 20. 为了丰富学生的文体活动，营造积极向上的校园氛围，某学校组织了“校园科技艺术节”活动，其中有抽奖环节．在一个不透明的抽奖箱里放了5个除颜色外其余均相同的彩色乒乓球，其中2个“金色”3个“银色”．抽奖规则：从抽奖箱里依次摸取两个乒乓球，如果两个乒乓球都是“金色”，即可获得“艺术节大礼包”一份． （1）请用列表或画树状图的方法求抽奖者获得“艺术节大礼包”的概率． （2）为了提高“艺术节大礼包”的获奖概率，请你调整抽奖规则．（写出一种即可） 【答案】（1）见解析， （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法求概率． （1）画树状图可得出所有等可能的结果数以及两个乒乓球都是“金色”的结果数，再利用概率公式可得出答案； （2）调整规则后的获奖概率大于即可． 【小问1详解】 解：根据题意，列表如下： 金1 金2 银1 银2 银3 金1 —— （金2，金1） （银1，金1） （银2，金1） （银3，金1） 金2 （金1，金2） —— （银1，金2） （银2，金2） （银3，金2） 银1 （金1，银1） （金2，银1） —— （银2，银1） （银3，银1） 银2 （金1，银2） （金2，银2） （银1，银2） —— （银3，银2） 银3 （金1，银3） （金2，银3） （银1，银3） （银2，银3） —— 由表格可知，一共有20种等可能的情况，其中两个乒乓球都是“金色”的情况有2种，故其概率为，即抽奖者获得“艺术节大礼包”的概率是； 【小问2详解】 解：答案不唯一，如： 调整规则为：从抽奖箱里摸出一个乒乓球是“金色”，则抽奖者获得“艺术节大礼包”一份． 说明：调整规则后的获奖概率大于即可． 21. 阅读与思考 阅读下面材料，并完成相应任务． 探索“垂径四边形”的性质 在中国传统建筑中，圆形窗棂的设计蕴含着丰富的几何原理．一种常见的圆形窗棂图案由四个端点均落在圆上的木条构成，其中两条对角线木条互相垂直，这种结构称为“垂径四边形”，因其稳定性常用于支撑结构． “垂径四边形”有如下性质：过对角线交点向一边作垂线，该垂线段的反向延长线必平分该边的对边．数学语言表述为：如图，四边形内接于，对角线于点．过点作于点，反向延长交于点，则． 证明：于点，． 于点， ． ． 又，（依据） …… 任务： （1）材料中的“依据”是指________． （2）补充完整材料中的证明过程． （3）若，请直接写出四边形的面积． 【答案】（1）同弧所对的圆周角相等 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（）根据圆周角定理即可求解； （）由余角性质和圆周角定理可证，进而得，即得，再根据余角性质证明，得到，即可求证； （）由弧，弦和圆心角的关系可得，即得，进而得到，即得，，即可得，，可得四边形和四边形都是直角梯形，且面积相等，再求出四边形的面积即可求解； 本题考查了圆周角定理，弧、弦和圆心角的关系，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 【小问1详解】 解：材料中的“依据”是指同弧所对的圆周角相等， 故答案为：同弧所对圆周角相等； 【小问2详解】 证明：于点， ， 于点， ， ， 又，（同弧所对的圆周角相等） ∴， ∵， ∴， ∴， 于点， ∴，， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 即， ∴， ∴四边形和四边形面积相等， ∵，对角线于点， ∴， ∴． 22. 综合与实践 问题情境： 某篮球队为提高球员的投篮技术，运用科学手段追踪记录球员的每次投篮，发现在理想状态下，球员所投出去篮球的运动路线可看作抛物线： 测量数据： 篮球从距地面的球员手中投出，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面，最高点与篮球出手点的水平距离为． 数学建模： 如图，将篮球的运动路线抽象为抛物线，其顶点为E，对称轴为直线l，篮球出手点为A，落地点为C．以水平地面为x轴，过点A且与水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系，O为原点． （1）请直接写出顶点E的坐标，并求该抛物线的函数表达式； 问题解决： 已知投出去篮球的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变； （2）如图，若球员原地垂直起跳投篮，篮球出手点记为B，即，篮球落地点为D，求起跳点与落地点D的水平距离的长； （3）已知在距点O水平距离，垂直高度处是篮框．若该球员向篮筐方向沿直线运球一定距离后，再垂直起跳投篮，篮球可准确落入篮筐内，请直接写出该球员向篮框方向沿直线运球的距离． 【答案】（1），；（2）；（3）． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据题意可直接得出二次函数的顶点为，出手点为，再用待定系数法即可求出解析式； （2）设新抛物线的表达式为，再把点代入得到新抛物线的表达式为，令，解方程即可； （3）根据题意设新抛物线为，把篮筐坐标代入即可得到新抛物线的表达式，令，再解方程即可求解． 【详解】解：（1）根据题意，最高点，设抛物线表达式为， 又出手点距地面，即出手点坐标为， ，解得， 即抛物线表达式为， 所以顶点，抛物线表达式为； （2）由题意可知，设新抛物线的表达式为， 又过点， ，解得， 即新抛物线的表达式为， 令，即， 整理得，解得或（舍去）， 所以，水平距离的长为； （3）由（2）知起跳后的抛物线的表达式为 则可设运球后起跳投篮的新抛物线为， 篮筐在距点O水平距离，垂直高度处， 即新抛物线过， 代入得：， 整理得：， 解得或（舍去）， 即新抛物线的表达式为， 令，， 整理得， 解得或（舍去）， 该球员向篮筐方向沿直线运球． 23. 综合与探究 问题背景： 数学课上，老师提出如下问题： 如图，将正方形绕点A顺时针旋转（），旋转后得到正方形，与交于点E，连接，．求证：． 数学思考： （1）请你解答老师提出的问题． 深入探究： （2）“善思小组”在图1的基础上继续旋转，当旋转至A，，C三点在同一条直线上时，如图2．试判断与的数量关系，并说明理由． 拓展探究： （3）连接，当是等腰三角形时，若正方形的边长为2，请直接写出的面积． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3）或1． 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质，得，再证明即可求解； （2）连接，先证，得到，再解三角形即可求解； （3）分、、三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）证明：由旋转的性质，得． 四边形是正方形， ． ． ． ． （2）解：． 理由如下：如图，连接， 四边形是正方形， ． 由旋转性质，得． ． 又， ． ． ， ． 又三点在同一条直线上，且， ． ． ． ． ． （3）解：或1． 分三种情况讨论： ①当时，如解图1，过点作于点N，延长交CD于点M，连接， 则． ， ． 又， ． ． 由旋转可得． 是等边三角形． ． ． ． ②当时，如解图2，过点作于点H，则． 是等边三角形． ． ． 在中，． ． ③当时，点与点B重合，此时，不符合题意． 综上所述，的面积为或1． 【点睛】本题考查旋转的性质、矩形的判定、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质及相似三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形及相似三角形的判定定理，并正确作出辅助线构造全等三角形及相似三角形是解题关键， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $