第03讲 二项分布和超几何分布（思维导图+4知识点+8大题型+过关检测）（寒假预习讲义）高二数学人教B版

第03讲 二项分布和超几何分布 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 【题型01：独立重复试验判断】 【题型02：二项分布的概率计算】 【题型03：二项分布的分布列】 【题型04：二项分布与超几何分布的辨析】 【题型05：超几何分布的概率计算】 【题型06：超几何分布的分布列】 【题型07：服从二项分布的随机变量概率最大问題】 【题型08：二项分布、超几何分布综合问题】 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：次独立重复试验 在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验． 特点： ①各次之间相互独立； ②每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生； ③每一次试验中各事件发生的概率都是一样的． 知识点2：二项分布 定义：在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率是p，此时称随机变量X服从二项分布，记作，并称p为成功概率. 在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为 知识点3：超几何分布 定义：在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则， k=0，1，2，…，m，其中m=min{M，n}，且n，M，N∈N*，即如果随机变量X的分布列具有下表形式 X 0 1 … m P … 则称随机变量X服从超几何分布． 知识点4：二项分布和超几何分布区别和联系 二项分布 超几何分布 二项分布是放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是相同的 超几何分布是不放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的 不需要知道总体的容量 需要知道总体的容量 当总体的容量非常大时，超几何分布近似于二项分布 【题型01：独立重复试验判断】 1．将把串在一起的钥匙逐一试开一把锁，其中只有一把能打开锁，依次试验，打不开的扔掉，直到找到能打开锁的钥匙为止，则试验次数的最大可能取值为（    ） A． B． C． D． 2．以下真命题共有 个． ①在n重伯努利试验中，各次试验的结果相互没有影响； ②在n重伯努利试验中，各次试验中某事件发生的概率可以不同； ③如果在1次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率． 3．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.4，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为 . 4．判断下列试验是不是n重伯努利试验： (1)依次投掷四枚质地不同的硬币，3次正面向上； (2)某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了10次，其中6次击中； (3)口袋中装有5个白球，3个红球，2个黑球，依次从中抽取5个球，恰好抽出4个白球． 【题型02：二项分布的概率计算】 5．已知随机变量，则（   ） A． B． C． D． 6．某市政道路两旁需要进行绿化，计划从甲，乙，丙三种树木中选择一种进行栽种，通过民意调查显示，赞成栽种乙树木的概率为，若从该地市民中随机选取4人进行访谈，则至少有3人建议栽种乙树木的概率为（   ） A． B． C． D． 7．如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为.若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于的位置，则（    ） A． B． C． D． 8．为了保障我国民众的身体健康，产品在进入市场前必须进行两轮检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售，已知某产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互之间没有影响，若产品可以销售，则每件产品获利40元，若产品不能销售，则每件产品亏损80元，已知一箱中有4件产品，记一箱产品获利X元，则等于（     ） A． B． C． D． 9．甲､乙两人进行象棋比赛，每局胜者得1分，负者得0分．设每局甲胜的概率为，乙胜的概率为，且各局胜负相互独立，五局比赛结束后甲比乙至少多得2分的概率为 ．（结果用数字作答） 10．某优秀射手命中10环的概率为0.7，命中9环的概率为0.3，求该射手三次射击所得的环数不少于29环的概率 . 【题型03：二项分布的分布列】 11．有一个翻牌游戏，规则如下：每一轮翻牌两次，每次翻出花色牌的概率为，且每次翻牌相互独立.若参与者在一轮翻牌游戏中，翻出的花色牌数不少于1，则获得一份精美礼品（多次参与可获得多份精美礼品）. (1)若甲参与一轮翻牌游戏，求甲获得一份精美礼品的概率； (2)若乙参与三轮翻牌游戏，设乙获得的精美礼品数量为，求的分布列. 12．某电子零部件代加工工厂生产的零部件次品率为，现进行多批次抽检，假设各零部件是否为次品相互独立. (1)从一批产品中随机抽取件，求抽到的零部件中正品数多于次品数的概率； (2)若从另一批产品中随机抽取件，记抽到的零部件的正品数与次品数差的绝对值为，求的分布列. 13．在一次数学考试中，第22，23，24题为选做题，规定每位考生必须且只需在其中选做一题，设5名考生选做这三题的任意一题的可能性均为，每位考生对每题的选择是相互独立的，各考生的选择相互之间没有影响． (1)求其中甲，乙两人选做同一题的概率； (2)设选做第23题的人数为，求的分布列． 14．某试验机床生产了12个电子元件，其中8个合格品，4个次品.从中随机抽出4个电子元件作为样本，用X表示样本中合格品的个数. (1)若有放回的抽取，求X的分布列； (2)若不放回的抽取，求样本中合格品的比例与总体中合格品的比例之差的绝对值不超过的概率. 15．已知某种从太空飞船中带回来的植物种子每粒成功发芽的概率都为，某植物研究所分两个小组分别独立开展该种子的发芽试验，每次试验种一粒种子，如果某次没有发芽，则称该次试验是失败的. (1)第一小组做了3次试验，记该小组试验成功的次数为X，求X的分布列； (2)第二小组进行试验，到成功了3次为止，求在第3次成功之前共有2次失败的概率. 16．某电商平台促销盲盒商品，盲盒的外层包装分A、B两种类型．外层包装为A型的概率为，每个A型盲盒中含限量版商品的概率为；外层包装为B型的概率为，每个B型盲盒中含限量版商品的概率为．小王一次性随机购买5个盲盒（假设各盲盒包装类型及所含商品相互独立） (1)求每个盲盒含限量版商品的概率； (2)设随机变量X为小王抽中含限量版商品的盲盒数量，求X的概率分布； (3)若抽中的某个盲盒含限量版商品，求该盲盒外层包装为A型的概率． 【题型04：二项分布与超几何分布的辨析】 17．下列随机变量服从超几何分布的是（    ） A．表示次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数 B．表示连续抛掷2枚骰子，所得的2个骰子的点数之和 C．有一批产品共有件，其中次品有件（），采用有放回抽取方法抽取次（），抽出的次品件数为 D．有一批产品共有件，其中件为次品，采用不放回抽取方法抽件，出现次品的件数为 18．一箱中装有6个同样大小的红球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的黄球，编号为7，8，9，10．现从箱中任取4个球，下列变量服从超几何分布的是（    ） A．X表示取出的最小号码 B．若有放回的取球时，X表示取出的最大号码 C． X表示取出的红球个数 D．若有放回的取球时，X表示取出的黄球个数 19．一个袋中装有10个红色球，20个白色球，现从中任取5个小球，令随机变量表示取出的5个小球中红色球的个数，随机变量表示取出的5个小球中白色球的个数，试问：随机变量，是否服从超几何分布？若服从超几何分布，它们的参数分别是多少？ 20．一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，现从中随机取出3个球，以表示取出球的最大号码，则是否服从超几何分布？ 21．写出下列离散型随机变量的分布列，并指出其中服从二项分布的是哪些？服从超几何分布的是哪些？ (1)表示次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数. (2)有一批产品共有件，其中次品有件（，采用有放回抽取方法抽取次，抽出的次品件数为. (3)有一批产品共有件，其中件为次品，采用不放回抽取方法抽件，出现次品的件数为. 【题型05：超几何分布的概率计算】 22．盒中有10个螺丝钉，其中3个是坏的.现从盒中随机抽取4个，则概率是的事件为（    ） A．恰有1个是坏的 B．4个全是好的 C．恰有2个是好的 D．至多有2个是坏的 23．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中．如图，白圈为阳数，黑点为阴数．若从这10个数中任取3个数，则这3个数中至多有1个阴数的概率为（　　）    A． B． C． D． 24．（多选）10名同学中有名女生，若从中抽取2个人作为学生代表，恰抽取1名女生的概率为，则的值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 25．（多选）某单位推出了道有关二十大的测试题供学习者学习和测试，乙能答对其中的道题，规定每次测试都是从这道题中随机抽出道，答对一题加分，答错一题或不答减分，最终得分最低为分，则下列说法正确的是（    ） A．乙得分的概率是 B．乙得分的概率是 C．乙得分的概率是 D．乙得分的概率是 26．袋中有5个形状相同的乒乓球，其中3个黄色2个白色，现从袋中随机取出3个球，则恰好有2个黄色乒乓球的概率是 ． 27．已知在12件产品中可能存在次品，从中抽取2件检测，设次品数为.若，且该产品的次品率不超过40%，则这12件产品的次品率为 . 【题型06：超几何分布的分布列】 28．若该批产品共有100个产品，合格率为，抽样方案选择的是，即在该批产品中随机抽取5件产品，若不合格品数为0，则该批产品通过检测．若用随机变量表示抽样中合格品的个数，请写出的分布列，并求出该批产品通过检测的概率． 29．从某小区抽取100户居民用户进行用水量（单位：吨）调查，将他们的月用水量分成，五组，画出频率分布直方图，如图所示. (1)求的值，并求在被调查的用户中，月用水量在内的户数； (2)用比例分配的分层随机抽样方法从月用水量在和内的用户中选取6户，再从这6户居民中任选3户，记这3户居民中月用水量在内的用户数为，求的分布列. 30．网民对一电商平台的某种特色农产品销售服务质量进行评价，每位参加购物的网民在“好评”“中评”“差评”中选择一个进行评价，在参与评价的网民中抽取2万人，对年龄分为“50岁以下”和“50岁以上（含50岁）”两类人群进行了统计，得到给予“好评”“中评”“差评”评价的人数如下表所示． 网民年龄 好评人数 中评人数 差评人数 50岁以下 9000 3000 2000 50岁以上（含50岁） 1000 2000 3000 (1)根据这2万人的样本估计总体，从参与评价的网民中每次随机抽取1人，如果抽取到“好评”，则终止抽取，否则继续抽取，直到抽取到“好评”，但抽取次数最多不超过5次，求抽取了5次的概率； (2)从给予“中评”评价的网民中，用分层随机抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，抽取的3人中年龄在50岁以下的人数为X，求X的分布列． 31．台风是我国东部沿海地区夏秋季节常见的自然灾害，当台风来临之际，沿海居民点的居民必须提前进行疏散.某地有关部门为了解居民疏散所需时间，在当地随机抽取100处居民点进行疏散所需时间的调查，所得数据如下表： 疏散时间（最接近的时间，取整数）单位：小时 12 13 14 15 16 17 18 频率 0.04 0.05 0.25 0.35 0.18 0.10 0.03 (1)根据以上数据，视频率为概率，估计这一地区居民点疏散所需时间的均值和方差； (2)根据工作安排，需要在超过16小时的13个居民点中再抽取5个进行深入调查，从而寻求缩短疏散时间的办法.设为抽到的居民点中疏散时间为18小时的居民点数量，求的分布列. 32．厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需要随即抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品. (1)若厂家库房中的每件产品合格率为，从中任意取出件进行检验，求至少有件是合格的概率. (2)若厂家发给商家件产品，其中有件不合格，按合同规定该商家从中任意取件进行检验，只有件产品都合格才接收这批产品，否则拒收，求该商家检验出不合格产品数的分布列，并求该商家拒收这批产品的概率. 【题型07：服从二项分布的随机变量概率最大问題】 33．高三某班有的学生数学成绩优秀，若从班中随机找出名学生，那么其中数学成绩优秀的学生数，则取最大值时的值为（    ） A． B． C． D． 34．为研究不同性别学生对“deep seek”应用程序的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各50名作为样本，设事件“了解deep seek”，“学生为女生”，据统计，，将样本的频率视为概率，现从全校的学生中随机抽取30名学生，设其中了解deep seek的学生的人数为X，则当取得最大值时的（）值为（   ） A．14 B．13 C．12 D．11 35．某校举行定点投篮比赛，比赛规则如下：每个班级需派出一位同学参加比赛，最多有10次投篮机会，投中得一分，未投中扣一分，放弃投篮得零分．高二（1）班派出甲同学参加投篮比赛，已知甲先投篮6次且均投中，接下去他每次投篮的命中率都为，为了使最终得分不低于7分的概率最大，则该同学继续投篮的次数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 36．某公司招聘员工分笔试和面试两个环节，应聘者需从笔试备选题和面试备选题中分别随机抽取各10道题，并独立完成所抽取的20道题，每道题答对得10分，答错不得分．甲答对笔试每道题的概率为，答对面试每道题的概率为．假设每道题都是相互独立的，则甲得 分的概率最大． 37．如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着若干排相互平行但错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入，小球下落过程中，每次碰到小木钉后可能向左或向右落下，其中向左落下的概率为，向右下落的概率为，最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为，，，，，则小球落入 号格子的概率最大.图片仅供参考    38．甲、乙两位同学进行纸飞机比赛，设各局比赛的结果相互独立，且每局比赛甲获胜的概率为（），乙获胜的概率为．比赛规则如下：三局两胜制指有一方获胜两局，比赛结束;四局三胜制指有一方获胜三局，比赛结束． (1)若，比赛采用三局两胜制，求甲获胜的概率; (2)证明采用三局两胜制比采用四局三胜制对甲更有利； (3)若，甲、乙进行了局比赛，表示甲获胜的局数，当且仅当时，取得最大值，其中，求满足条件的的值． 【题型08：二项分布、超几何分布综合问题】 39．某校举行知识竞赛，最后一个名额要在A，B两名同学中产生，测试方案如下：A，B两名学生各自从给定的4个问题中随机抽取3个问题作答，在这4个问题中，已知A能正确作答其中的3个，B能正确作答每个问题的概率都是，A，B两名同学作答问题相互独立． (1)求A，B两名同学恰好共答对2个问题的概率； (2)若让你投票决定参赛选手，你会选择哪名学生，简要说明理由． 40．某校为了解高三学生每天的作业完成时长，在该校高三学生中随机选取了100人，对他们每天完成各科作业的总时长进行了调研，结果如下表所示： 时长（小时） 人数（人） 3 4 33 42 18 用表格中的频率估计概率，且每个学生完成各科作业时互不影响. (1)从该校高三学生中随机选取1人，估计该生可以在3小时内完成各科作业的概率； (2)从样本“完成各科作业的总时长在2.5小时内”的学生中随机选取3人，其中共有人可以在2小时内完成各科作业，求的分布列； (3)从该校高三学生（学生人数较多）中随机选取3人，其中共有人可以在3小时内完成各科作业，求的分布列和方差. 41．某农场收获的苹果按三个苹果等级进行装箱，已知苹果的箱数非常多，且三个等级苹果的箱数之比为6∶3∶1 (1)现从这批苹果中随机选出3箱，若选到任何一箱苹果是等可能的，求至少选到2箱A级苹果的概率； (2)若用分层随机抽样的方法从该农场收获的A，B，C三个等级苹果中选取10箱苹果，假设某游客要从这10箱苹果中随机购买3箱，记购买的A级苹果有X箱，求X的分布列． 42．“英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2023年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学学科夏令营活动. (1)若数学组的7名学员中恰有3人来自中学，从这7名学员中选取3人，表示选取的人中来自中学的人数，求的分布列； (2)在夏令营开幕式的晚会上，物理组举行了一次学科知识竞答活动，规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利.已知甲乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为，.假设甲、乙两人每次答题相互独立，且互不影响.当时，求甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率的最大值. 43．某食盐厂为了检查一条自动流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的100袋食盐称出它们的质量（单位：克）作为样本数据，质量的分组区间为.由此得到样本的频率分布直方图如图：    (1)求的值； (2)从该流水线上任取2袋食盐，设为质量超过的食盐数量，求随机变量的分布列； (3)在上述抽取的100袋食盐中任取2袋，设为质量超过的食盐数量，求随机变量的分布列. 44．为了引导居民合理用水，某市决定全面实施阶梯水价.阶梯水价原则上以住宅（一套住宅为一户）的月用水量为基准定价，具体划分标准如表： 阶梯级别 第一阶梯水量 第二阶梯水量 第三阶梯水量 月用水量范围（单位：立方米） 从本市随机抽取了10户家庭，统计了同一月份的月用水量，得到如图茎叶图：    (1)现要在这10户家庭中任意选取3家，求取到第二阶梯水量的户数的分布列； (2)用抽到的10户家庭作为样本估计全市的居民用水情况，从全市依次随机抽取10户，若抽到户月用水量为二阶的可能性最大，求的值. 一、单选题 1．某篮球运动员投球的命中率是，则他投球4次，恰好投进3个球的概率为（    ） A． B． C． D． 2．一批零件共有10个，其中有2个不合格品，从这批零件中随机抽取2个进行检测，则恰有1个不合格品的概率为（   ） A． B． C． D． 3．在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，则下列概率中等于的是（    ） A． B． C． D． 4．一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次停止，设停止时共取了次球，则（    ） A． B． C． D． 5．一只小虫从数轴上的原点出发爬行，若每次爬行过程中，小虫等概率地向前或向后爬行1个单位，设爬行次后小虫所在位置对应的数为随机变量，则（    ） A． B． C． D． 6．将一枚质地均匀的硬币连掷三次，事件“恰出现1次反面朝上”的概率记为，现采用随机模拟的方法估计的值：用计算机产生了20组随机数，其中出现“0”表示反面朝上，出现“1”表示正面朝上，结果如下，若出现“恰有1次反面朝上”的频率记为，则（    ） 111  001  011  010  000  111  110  111  101  010 000  101  011  010  001  011  100  101  001  011 A． B． C． D．0 7．甲、乙两人玩掷六面骰游戏，各个面的点数分别为.两人各轮流投掷一次，当两人向上的点数之差为偶数时，视为平局；当两人向上的点数之差为奇数时，谁的点数大谁胜…重复上面的步骤，游戏进行到一方比对方多胜2次或平局4次时停止，记游戏停止时游戏的场数为，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 8．一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10，现从中任取4个球，则下列说法中正确的是（    ） A．取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，表示取出的4个球的总得分，则服从超几何分布 B．若表示取出的黑球的个数，则服从超几何分布 C．若表示取出白球的个数，则 D．若表示取出黑球的个数，则 9．一个不透明的箱子中装有5个小球，其中白球3个，红球2个，小球除颜色不同外，材质大小全部相同，现投掷一枚质地均匀的硬币，若硬币正面朝上，则从箱子里抽出一个小球且不再放回；若硬币反面朝上，则不抽取小球；重复该试验，直至小球全部取出，假设试验开始时，试验者手中没有任何小球，下列说法正确的有（    ） A．经过两次试验后，试验者手中恰有2个白球的概率为 B．若第一次试验抽到一个白球，则第二次试验后，试验者手有白红球各1个的概率为 C．经过6次试验后试验停止的概率为 D．经过8次或9次试验后小球全部取出的概率最大 三、填空题 10．某大型购物商场为吸引顾客设置购物抽奖活动，顾客消费满一定金额后可以参加抽奖活动，抽奖规则是：从一个装有6个大小、形状、质地完全相同的小球（2个红球、4个白球）的不透明盒子中每次随机抽取1个球，记下颜色后放回，摇匀后进行下一次抽取，每名顾客一共有4次抽奖机会，若前3次都抽到红球，则不需要抽第4次，根据抽出的红球数计算奖次．记为抽到红球的次数，则 ． 11．已知甲盒产品中有4个正品和2个次品，乙盒产品中有3个正品和2个次品，若从甲盒中任取2个产品，则这2个产品中有一个为正品的条件下，另一个为次品的概率 .若先从甲盒中任取2个产品，放入乙盒，再从乙盒任取一个产品，则取出的这个产品是正品的概率为 . 12．甲、乙两位同学进行象棋比赛，采用五局三胜制（当一人赢得三局时，该同学获胜，比赛结束）.根据以往比赛成绩，每局比赛中甲获胜的概率都是，且各局比赛结果相互独立.若甲以获胜的概率不高于甲以获胜的概率，则的取值范围为 . 四、解答题 13．今天，中国航天仍然迈着大步向浩瀚宇宙不断探索，取得了举世瞩目的非凡成就.某学校为了解学生对航天知识的知晓情况，在全校学生中开展了航天知识测试（满分100分），随机抽取了100名学生的测试成绩，按照分组，得到如下所示的样本频率分布直方图：用样本的频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取10名学生的成绩，用表示这10名学生中恰有k名学生的成绩在上的概率，求取最大值时对应的的值. 14．某学校从全体师生中随机抽取30位男生、30位女生、12位教师一起参加社会实践活动. (1)假设30位男生身高均不相同，记其身高的第80百分位数为，从学校全体男生中随机选取3人，记为3人中身高不超过的人数，以频率估计概率求的分布列； (2)从参加社会实践活动的72人中一次性随机选出30位，记被选出的人中恰好有个男生的概率为，求使得取得最大值的的值. 15．某商场为了促进消费，推出购物优惠活动、消费者购物每满300元可参加一次抽奖，抽奖活动如下：抽奖箱设置3个红球和2个白球，每次抽取2个球.若抽中2个白球，返现金50元；若抽中1个红球和1个白球，返现金30元；若抽中2个红球，返现金20元. (1)顾客恰好消费了300元，设他所获得返现金额为随机变量.求的分布列； (2)顾客消费了1000元： ①顾客获得返现金额为100元的概率是多少？ ②若该商场同时还推出购物享九折优惠活动（减免总金额的），则顾客应选择哪种方案更优惠？（备注：不能同时参加抽奖和打折活动） 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 二项分布和超几何分布 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 【题型01：独立重复试验判断】 【题型02：二项分布的概率计算】 【题型03：二项分布的分布列】 【题型04：二项分布与超几何分布的辨析】 【题型05：超几何分布的概率计算】 【题型06：超几何分布的分布列】 【题型07：服从二项分布的随机变量概率最大问題】 【题型08：二项分布、超几何分布综合问题】 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：次独立重复试验 在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验． 特点： ①各次之间相互独立； ②每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生； ③每一次试验中各事件发生的概率都是一样的． 知识点2：二项分布 定义：在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率是p，此时称随机变量X服从二项分布，记作，并称p为成功概率. 在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为 知识点3：超几何分布 定义：在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则， k=0，1，2，…，m，其中m=min{M，n}，且n，M，N∈N*，即如果随机变量X的分布列具有下表形式 X 0 1 … m P … 则称随机变量X服从超几何分布． 知识点4：二项分布和超几何分布区别和联系 二项分布 超几何分布 二项分布是放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是相同的 超几何分布是不放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的 不需要知道总体的容量 需要知道总体的容量 当总体的容量非常大时，超几何分布近似于二项分布 【题型01：独立重复试验判断】 1．将把串在一起的钥匙逐一试开一把锁，其中只有一把能打开锁，依次试验，打不开的扔掉，直到找到能打开锁的钥匙为止，则试验次数的最大可能取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由于是依次试验，可能前4次都打不开锁，那么剩下的钥匙一定能打开锁， 所以试验次数的最大可能取值为4， 故选：C 2．以下真命题共有 个． ①在n重伯努利试验中，各次试验的结果相互没有影响； ②在n重伯努利试验中，各次试验中某事件发生的概率可以不同； ③如果在1次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率． 【答案】2 【详解】①，n重伯努利试验是相互独立试验，各次试验的结果相互没有影响，①是真命题. ②，n重伯努利试验是独立重复试验，各次试验中某事件发生的概率相同，②是假命题. ③，结合二项分布的知识可知，在n次独立重复试验中事件恰好发生k次的概率为， 所以③是真命题. 综上所述，真命题共有个. 故答案为： 3．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.4，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为 . 【答案】 【详解】由题各次投篮是否投中相互独立，该同学通过测试分为恰好投中两次或者恰好投中三次， 所以其概率为. 故答案为： 4．判断下列试验是不是n重伯努利试验： (1)依次投掷四枚质地不同的硬币，3次正面向上； (2)某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了10次，其中6次击中； (3)口袋中装有5个白球，3个红球，2个黑球，依次从中抽取5个球，恰好抽出4个白球． 【答案】(1)不是n重伯努利试验 (2)是n重伯努利试验 (3)不是n重伯努利试验 【详解】（1）由题意， ∵试验的条件不同(质地不同)， ∴不是n重伯努利试验 （2）由题意， ∵某人射击且击中的概率是稳定的， ∴是n重伯努利试验． （3）由题意， ∵每次抽取，试验的结果有三种不同的颜色，且每种颜色出现的可能性不相等， ∴不是n重伯努利试验． 【题型02：二项分布的概率计算】 5．已知随机变量，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得 故选：D. 6．某市政道路两旁需要进行绿化，计划从甲，乙，丙三种树木中选择一种进行栽种，通过民意调查显示，赞成栽种乙树木的概率为，若从该地市民中随机选取4人进行访谈，则至少有3人建议栽种乙树木的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】赞成栽种乙树木的人数设为X，则. 根据二项分布概率公式知道至少有3人建议栽种乙树木的概率为. 故选：D. 7．如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为.若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于的位置，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知，当时，的可能取值为，且， 所以 . 故选：C 8．为了保障我国民众的身体健康，产品在进入市场前必须进行两轮检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售，已知某产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互之间没有影响，若产品可以销售，则每件产品获利40元，若产品不能销售，则每件产品亏损80元，已知一箱中有4件产品，记一箱产品获利X元，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得该产品能销售的概率为， 易知的取值范围为， 设表示一箱产品中可以销售的件数，则， 所以，， 所以， ， ， 故. 故选：C. 9．甲､乙两人进行象棋比赛，每局胜者得1分，负者得0分．设每局甲胜的概率为，乙胜的概率为，且各局胜负相互独立，五局比赛结束后甲比乙至少多得2分的概率为 ．（结果用数字作答） 【答案】 【详解】事件：甲胜5局，得5分，乙得0分，则， 事件：甲胜4局，负1局，得4分，乙得1分，则， 所以五局比赛结束后甲比乙至少多得2分的概率为 故答案为： 10．某优秀射手命中10环的概率为0.7，命中9环的概率为0.3，求该射手三次射击所得的环数不少于29环的概率 . 【答案】 【详解】设X表示三次射击命中10环的次数，则X服从二项分布， 所求概率为 . 故答案为： 【题型03：二项分布的分布列】 11．有一个翻牌游戏，规则如下：每一轮翻牌两次，每次翻出花色牌的概率为，且每次翻牌相互独立.若参与者在一轮翻牌游戏中，翻出的花色牌数不少于1，则获得一份精美礼品（多次参与可获得多份精美礼品）. (1)若甲参与一轮翻牌游戏，求甲获得一份精美礼品的概率； (2)若乙参与三轮翻牌游戏，设乙获得的精美礼品数量为，求的分布列与期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】 【详解】（1）甲获得一份精美礼品的概率为. （2）由题意得， 则， ， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 . 12．某电子零部件代加工工厂生产的零部件次品率为，现进行多批次抽检，假设各零部件是否为次品相互独立. (1)从一批产品中随机抽取件，求抽到的零部件中正品数多于次品数的概率； (2)若从另一批产品中随机抽取件，记抽到的零部件的正品数与次品数差的绝对值为，求的分布列与期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】 【详解】（1）从一批产品中随机抽取件，抽到的零部件中正品数多于次品数， 则次品数为件或件， 所以所求概率为. （2）设抽取的零部件次品数为， 则， 所以可能的取值依次为，，， ， ， 所以的分布列为： 1 3 0.27 0.73 故. 13．在一次数学考试中，第22，23，24题为选做题，规定每位考生必须且只需在其中选做一题，设5名考生选做这三题的任意一题的可能性均为，每位考生对每题的选择是相互独立的，各考生的选择相互之间没有影响． (1)求其中甲，乙两人选做同一题的概率； (2)设选做第23题的人数为，求的分布列． 【答案】(1) (2)分布列见解析 【详解】（1）设“甲选第22题”，“甲选第23题”，“甲选第24题”， “乙选第22题”，“乙选第23题”，“乙选第24题”， 则甲、乙两人选做同一题的事件为，且与与与相互独立，所以． （2）设可能的取值为0，1，2，3，4，5． 因为，所以． 所以的分布列为 0 1 2 3 4 5 14．某试验机床生产了12个电子元件，其中8个合格品，4个次品.从中随机抽出4个电子元件作为样本，用X表示样本中合格品的个数. (1)若有放回的抽取，求X的分布列； (2)若不放回的抽取，求样本中合格品的比例与总体中合格品的比例之差的绝对值不超过的概率. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）有放回的抽取时，P（取到合格品）（取到次品）， 根据题意可得X的所有可能取值为0，1，2，3，4， 所以， ， ， ， . X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P （2）由题意得总体中合格品的比例为， 因为样本中合格品的比例与总体中合格品的比例之差的绝对值不超过， 所以样本中合格品的比例大于等于且小于等于，即样本中合格品的个数为2或3， ， ， 所以P（样本中合格品的比例与总体中合格品的比例之差的绝对值不超过）. 15．已知某种从太空飞船中带回来的植物种子每粒成功发芽的概率都为，某植物研究所分两个小组分别独立开展该种子的发芽试验，每次试验种一粒种子，如果某次没有发芽，则称该次试验是失败的. (1)第一小组做了3次试验，记该小组试验成功的次数为X，求X的分布列； (2)第二小组进行试验，到成功了3次为止，求在第3次成功之前共有2次失败的概率. 【答案】(1)分布列见解析； (2). 【分析】 【详解】（1）由题设，则，，，， 所以的分布列如下： 0 1 2 3 （2）由第3次成功之前共有2次失败，即共试验了5次，前4次成功、失败各两次，最后一次成功， 所以所求概率为. 16．某电商平台促销盲盒商品，盲盒的外层包装分A、B两种类型．外层包装为A型的概率为，每个A型盲盒中含限量版商品的概率为；外层包装为B型的概率为，每个B型盲盒中含限量版商品的概率为．小王一次性随机购买5个盲盒（假设各盲盒包装类型及所含商品相互独立） (1)求每个盲盒含限量版商品的概率； (2)设随机变量X为小王抽中含限量版商品的盲盒数量，求X的概率分布； (3)若抽中的某个盲盒含限量版商品，求该盲盒外层包装为A型的概率． 【答案】(1)； (2)分布列见解析； (3). 【分析】 【详解】（1）设事件表示盲盒为型包装，事件表示盲盒为型包装，事件表示盲盒含限量版商品， 则，， 所以每个盲盒含限量版商品的概率. （2）由（1）知，1个盲盒含限量版商品的概率为，随机变量的可能值为，， ，，， ，，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 4 5 （3）抽中的某个盲盒含限量版商品，该盲盒外层包装为A型的概率为. 【题型04：二项分布与超几何分布的辨析】 17．下列随机变量服从超几何分布的是（    ） A．表示次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数 B．表示连续抛掷2枚骰子，所得的2个骰子的点数之和 C．有一批产品共有件，其中次品有件（），采用有放回抽取方法抽取次（），抽出的次品件数为 D．有一批产品共有件，其中件为次品，采用不放回抽取方法抽件，出现次品的件数为 【答案】D 【详解】对于A，因为，故A错误； 对于B，可取， 且， ， ， ， 所以随机变量不服从超几何分布，故B错误； 对于C，因为，故C错误； 对于D，可取，且 0 1 k n 所以随机变量服从超几何分布，故D正确. 故选：D. 18．一箱中装有6个同样大小的红球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的黄球，编号为7，8，9，10．现从箱中任取4个球，下列变量服从超几何分布的是（    ） A．X表示取出的最小号码 B．若有放回的取球时，X表示取出的最大号码 C． X表示取出的红球个数 D．若有放回的取球时，X表示取出的黄球个数 【答案】C 【详解】对于A，B，D不符合超几何分布的定义，无法用超几何分布的数学模型计算概率，故A，B，D错误； 对于C，将红球个数视作正品数，黄球个数视作次品数，则可以用超几何分布的数学模型计算概率. 故选：C. 19．一个袋中装有10个红色球，20个白色球，现从中任取5个小球，令随机变量表示取出的5个小球中红色球的个数，随机变量表示取出的5个小球中白色球的个数，试问：随机变量，是否服从超几何分布？若服从超几何分布，它们的参数分别是多少？ 【答案】答案见解析 【详解】根据超几何分布的定义可知，随机变量服从参数为的超几何分布， 随机变量服从参数为的超几何分布． 20．一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，现从中随机取出3个球，以表示取出球的最大号码，则是否服从超几何分布？ 【答案】不服从 【详解】不服从超几何分布. 因为随机变量是否服从超几何分布，关键是看随机变量的分布列是否由确定，根据题意可确定对应的N，M，n是多少. 本题随机变量的可能取值为3，4，5，6. 不妨探讨“”与“”两种情况： “”对应事件“取出的3个球中恰好取到4号球和1，2，3号球中的2个”，其概率； “X＝5”对应事件“取出的3个球中恰好取到5号球和1，2，3，4号球中的2个”，其概率； 显然仅从“”与“”两种情况就可看出随机变量X的分布不是由确定的，所以随机变量不服从超几何分布. 21．写出下列离散型随机变量的分布列，并指出其中服从二项分布的是哪些？服从超几何分布的是哪些？ (1)表示次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数. (2)有一批产品共有件，其中次品有件（，采用有放回抽取方法抽取次，抽出的次品件数为. (3)有一批产品共有件，其中件为次品，采用不放回抽取方法抽件，出现次品的件数为. 【答案】(1)分布列见解析， (2)分布列见解析， (3)分布列见解析，服从超几何分布 【分析】 【详解】（1）的分布列为 0 1 2 .. .. 服从二项分布，即. （2）的分布列为 0 1 2 .. .. 服从二项分布，即. （3）的分布列为 0 1 .. .. .. .. 服从超几何分布. 【题型05：超几何分布的概率计算】 22．盒中有10个螺丝钉，其中3个是坏的.现从盒中随机抽取4个，则概率是的事件为（    ） A．恰有1个是坏的 B．4个全是好的 C．恰有2个是好的 D．至多有2个是坏的 【答案】C 【详解】对于A，事件的概率为； 对于B，事件的概率为； 对于C，事件的概率为； 对于D，事件的概率为. 故选：C. 23．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中．如图，白圈为阳数，黑点为阴数．若从这10个数中任取3个数，则这3个数中至多有1个阴数的概率为（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意知，10个数中，1，3，5，7，9为阳数，2，4，6，8，10为阴数， 若任取的3个数中有0个阴数，则概率为； 若任取的3个数中有1个阴数，则概率为； 故这3个数中至多有1个阴数的概率为. 故选：A. 24．（多选）10名同学中有名女生，若从中抽取2个人作为学生代表，恰抽取1名女生的概率为，则的值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】AD 【详解】根据题意，得， 解得或． 故选：AD 25．（多选）某单位推出了道有关二十大的测试题供学习者学习和测试，乙能答对其中的道题，规定每次测试都是从这道题中随机抽出道，答对一题加分，答错一题或不答减分，最终得分最低为分，则下列说法正确的是（    ） A．乙得分的概率是 B．乙得分的概率是 C．乙得分的概率是 D．乙得分的概率是 【答案】ABC 【详解】设乙的得分为，则由题意的所有可能取值为0，10，25，40， 所以，，，， 故选：ABC 26．袋中有5个形状相同的乒乓球，其中3个黄色2个白色，现从袋中随机取出3个球，则恰好有2个黄色乒乓球的概率是 ． 【答案】/ 【详解】设事件A表示“取出的3个球中恰好有2个黄色乒乓球”， 则， 故答案为：. 27．已知在12件产品中可能存在次品，从中抽取2件检测，设次品数为.若，且该产品的次品率不超过40%，则这12件产品的次品率为 . 【答案】25% 【详解】设这12件产品中的次品数为，， 则，且，解得， 故这12件产品的次品率为. 故答案为：25%. 【题型06：超几何分布的分布列】 28．若该批产品共有100个产品，合格率为，抽样方案选择的是，即在该批产品中随机抽取5件产品，若不合格品数为0，则该批产品通过检测．若用随机变量表示抽样中合格品的个数，请写出的分布列，并求出该批产品通过检测的概率． 【答案】分布列见解析，. 【详解】由题合格产品有件，不合格产品有3件， 的所有可能取值为2,3,4,5，， ， ，故的分布列为 2 3 4 5 故该批产品通过检测的概率. 29．从某小区抽取100户居民用户进行用水量（单位：吨）调查，将他们的月用水量分成，五组，画出频率分布直方图，如图所示. (1)求的值，并求在被调查的用户中，月用水量在内的户数； (2)用比例分配的分层随机抽样方法从月用水量在和内的用户中选取6户，再从这6户居民中任选3户，记这3户居民中月用水量在内的用户数为，求的分布列与期望. 【答案】(1)，月用水量在内的户数为30户. (2)分布列见解析，. 【分析】 【详解】（1）频率分布直方图中，组距为5，所有矩形的面积和为1. 所以，解得. 月用水量在内的频率为，所以用户数为. 综上，，月用水量在内的户数为30户. （2）月用水量在内的频率为，所以用户数为. 所以选取6户中月用水量在的户数为，月用水量在的户数为2户. 表示这3户居民中月用水量在内的用户数，可能取值为1,2,3. ；；， 所以的分布列为： 1 2 3 期望为：. 30．网民对一电商平台的某种特色农产品销售服务质量进行评价，每位参加购物的网民在“好评”“中评”“差评”中选择一个进行评价，在参与评价的网民中抽取2万人，对年龄分为“50岁以下”和“50岁以上（含50岁）”两类人群进行了统计，得到给予“好评”“中评”“差评”评价的人数如下表所示． 网民年龄 好评人数 中评人数 差评人数 50岁以下 9000 3000 2000 50岁以上（含50岁） 1000 2000 3000 (1)根据这2万人的样本估计总体，从参与评价的网民中每次随机抽取1人，如果抽取到“好评”，则终止抽取，否则继续抽取，直到抽取到“好评”，但抽取次数最多不超过5次，求抽取了5次的概率； (2)从给予“中评”评价的网民中，用分层随机抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，抽取的3人中年龄在50岁以下的人数为X，求X的分布列． 【答案】(1) (2)分布列见解析 【分析】 【详解】（1）从参与评价的网民中随机抽取1人，抽取到“好评”的概率为， 则抽取了5次的概率为； （2）在给予“中评”评价的网民中，50岁以下与50岁以上（含50岁）的人数之比为3∶2， 因此在抽取的10人中，50岁以下与50岁以上（含50岁）的人数分别为6和4． 依题意知X服从参数，，的超几何分布， 所以，，1，2，3． 所以,, 于是X的分布列为 X 0 1 2 3 P 31．台风是我国东部沿海地区夏秋季节常见的自然灾害，当台风来临之际，沿海居民点的居民必须提前进行疏散.某地有关部门为了解居民疏散所需时间，在当地随机抽取100处居民点进行疏散所需时间的调查，所得数据如下表： 疏散时间（最接近的时间，取整数）单位：小时 12 13 14 15 16 17 18 频率 0.04 0.05 0.25 0.35 0.18 0.10 0.03 (1)根据以上数据，视频率为概率，估计这一地区居民点疏散所需时间的均值和方差； (2)根据工作安排，需要在超过16小时的13个居民点中再抽取5个进行深入调查，从而寻求缩短疏散时间的办法.设为抽到的居民点中疏散时间为18小时的居民点数量，求的分布列. 【答案】(1)均值为15，方差为1.66. (2)答案见解析 【分析】 【详解】（1）， 估计这一地区居民点疏散所需时间的均值为15， ， 估计这一地区居民点疏散所需时间的方差为1.66； 均值为15，方差为1.66. （2）小时，18小时两组的频率之比为， 在超过16小时的13个居民点中，17小时抽10人，18小时抽3人， 再从这13个居民点中抽取5个，为抽到的居民点中疏散时间为18小时的居民点数量， 可取0，1，2，3. ；； ；； 的分布列为 0 1 2 3 32．厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需要随即抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品. (1)若厂家库房中的每件产品合格率为，从中任意取出件进行检验，求至少有件是合格的概率. (2)若厂家发给商家件产品，其中有件不合格，按合同规定该商家从中任意取件进行检验，只有件产品都合格才接收这批产品，否则拒收，求该商家检验出不合格产品数的分布列，并求该商家拒收这批产品的概率. 【答案】(1) (2)分布列答案见解析，概率为 【分析】 【详解】（1）解：记“厂家任意取出件产品检验，其中至少有一件是合格品”为事件， 则. （2）解：由题意可知，随机变量的可能取值为、、， ，，， 因此，随机变量的概率分布列为 由题意可知，商家拒收这批产品的概率为. 【题型07：服从二项分布的随机变量概率最大问題】 33．高三某班有的学生数学成绩优秀，若从班中随机找出名学生，那么其中数学成绩优秀的学生数，则取最大值时的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由已知，，，，，，， 所以由 得： 解得，又因为，所以． 故选:B． 34．为研究不同性别学生对“deep seek”应用程序的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各50名作为样本，设事件“了解deep seek”，“学生为女生”，据统计，，将样本的频率视为概率，现从全校的学生中随机抽取30名学生，设其中了解deep seek的学生的人数为X，则当取得最大值时的（）值为（   ） A．14 B．13 C．12 D．11 【答案】B 【详解】已知，，抽取男生和女生各50名，所以. 根据条件概率公式，可得. 再根据条件概率公式，可得. 所以随机变量， 令，解得， 因为，所以当时，取得最大值. 故选：B 35．某校举行定点投篮比赛，比赛规则如下：每个班级需派出一位同学参加比赛，最多有10次投篮机会，投中得一分，未投中扣一分，放弃投篮得零分．高二（1）班派出甲同学参加投篮比赛，已知甲先投篮6次且均投中，接下去他每次投篮的命中率都为，为了使最终得分不低于7分的概率最大，则该同学继续投篮的次数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】因为甲先投篮6次均投中，即已得6分，接下来的4次投篮，若要使最终得分不低于7分，则至少得1分，甲继续投篮最终得分不低于7分的情况如下： ①仅投篮1次并投中：， ②投篮2次均投中：， ③投篮3次均投中或仅投中2次：， ④投篮4次均投中或仅投中3次：， 显然甲同学继续投篮3次，得分不低于7分的概率最大. 故选：C. 36．某公司招聘员工分笔试和面试两个环节，应聘者需从笔试备选题和面试备选题中分别随机抽取各10道题，并独立完成所抽取的20道题，每道题答对得10分，答错不得分．甲答对笔试每道题的概率为，答对面试每道题的概率为．假设每道题都是相互独立的，则甲得 分的概率最大． 【答案】 【详解】设应聘者答对笔试和面试备选题分别道的概率最大， 则， 依题意，，解得 又因为，所以，易知时，最大， 故甲得分为的概率最大． 故答案为：120. 37．如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着若干排相互平行但错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入，小球下落过程中，每次碰到小木钉后可能向左或向右落下，其中向左落下的概率为，向右下落的概率为，最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为，，，，，则小球落入 号格子的概率最大.图片仅供参考    【答案】7 【详解】小球下落需要次碰撞，每次向左落下的概率为，向右下落的概率为， 小球掉入号格子，需要向左次，概率为， 小球掉入号格子，需要向左次，向右次，概率为， 小球掉入号格子，需要向左次，向右次，概率为， 小球掉入号格子，需要向左次，向右次，概率为， 依此类推，小球掉入号格子，需要向左次，向右次， 概率为， 设小球落入号格子的概率最大，显然，， 则解得，又为整数，所以， 所以小球落入号格子的概率最大． 故答案为：． 38．甲、乙两位同学进行纸飞机比赛，设各局比赛的结果相互独立，且每局比赛甲获胜的概率为（），乙获胜的概率为．比赛规则如下：三局两胜制指有一方获胜两局，比赛结束;四局三胜制指有一方获胜三局，比赛结束． (1)若，比赛采用三局两胜制，求甲获胜的概率; (2)证明采用三局两胜制比采用四局三胜制对甲更有利； (3)若，甲、乙进行了局比赛，表示甲获胜的局数，当且仅当时，取得最大值，其中，求满足条件的的值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)18 【分析】 【详解】（1）根据题意可知，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为， 若采用三局两胜制，则最终获胜的两种可能的比分为或． 因为每局比赛的结果是独立的，所以甲最终获胜的概率； （2）证明：若用三局两胜制，由（1）可得甲最终获胜的概率． 若采用四局三胜制，则甲最终获胜的三种可能的比分为，， 因为每局比赛的结果是独立的，可得甲最终获胜的概率， 所以恒成立， 故采用三局两胜制比采用四局三胜制对甲更有利； （3）易得，，， 记， 则， 由，得， 即当时，，当时，， 故当时，最大、所以的估计值为18． 【题型08：二项分布、超几何分布综合问题】 39．某校举行知识竞赛，最后一个名额要在A，B两名同学中产生，测试方案如下：A，B两名学生各自从给定的4个问题中随机抽取3个问题作答，在这4个问题中，已知A能正确作答其中的3个，B能正确作答每个问题的概率都是，A，B两名同学作答问题相互独立． (1)求A，B两名同学恰好共答对2个问题的概率； (2)若让你投票决定参赛选手，你会选择哪名学生，简要说明理由． 【答案】(1) (2)应该选择学生，理由见解析 【分析】 【详解】（1）设同学答对的题数为，则随机变量的所有可能取值为，. 则，； 设同学答对的题数为，则随机变量的所有可能取值为，，，. ，， ，. 所以，两名同学恰好共答对个问题的概率为. （2）由（1）知，，； 而，. 因为，<．所以应该选择学生． 40．某校为了解高三学生每天的作业完成时长，在该校高三学生中随机选取了100人，对他们每天完成各科作业的总时长进行了调研，结果如下表所示： 时长（小时） 人数（人） 3 4 33 42 18 用表格中的频率估计概率，且每个学生完成各科作业时互不影响. (1)从该校高三学生中随机选取1人，估计该生可以在3小时内完成各科作业的概率； (2)从样本“完成各科作业的总时长在2.5小时内”的学生中随机选取3人，其中共有人可以在2小时内完成各科作业，求的分布列和数学期望； (3)从该校高三学生（学生人数较多）中随机选取3人，其中共有人可以在3小时内完成各科作业，求的分布列和方差. 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3)分布列见解析， 【分析】 【详解】（1）设“从该校高三学生中随机选取1人，这个学生可以在3小时内完成各科作业”为事件， 则. （2）样本中“完成各科作业的总时长在2.5小时内”的学生有（人）， 其中可以在2小时内完成的有3人，的所有可能取值为0，1，2，3. ，，，， 的分布列为： ∴. （3）由题意得，，              ∴的分布列为： ∴. 41．某农场收获的苹果按三个苹果等级进行装箱，已知苹果的箱数非常多，且三个等级苹果的箱数之比为6∶3∶1 (1)现从这批苹果中随机选出3箱，若选到任何一箱苹果是等可能的，求至少选到2箱A级苹果的概率； (2)若用分层随机抽样的方法从该农场收获的A，B，C三个等级苹果中选取10箱苹果，假设某游客要从这10箱苹果中随机购买3箱，记购买的A级苹果有X箱，求X的分布列与数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析； 【分析】 【详解】（1）设事件“至少选到2箱级苹果”， 由题意知选到1箱级苹果的概率为，选到1箱非级苹果的概率为， 所以， 故至少选到2箱A级苹果的概率为. （2）因为用分层随机抽样的方法从该农场收获的A，B，C三个等级苹果中选取10箱苹果， 所以A级苹果有6箱，级苹果共有4箱， 随机变量的所有可能取值为, 则， ， ， 所以X的分布列为 0 1 2 3 . 42．“英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2023年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学学科夏令营活动. (1)若数学组的7名学员中恰有3人来自中学，从这7名学员中选取3人，表示选取的人中来自中学的人数，求的分布列和数学期望； (2)在夏令营开幕式的晚会上，物理组举行了一次学科知识竞答活动，规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利.已知甲乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为，.假设甲、乙两人每次答题相互独立，且互不影响.当时，求甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率的最大值. 【答案】(1)分布列见解析， (2) 【分析】 【详解】（1）由题意知，的可能取值有0，1，2，3，， ，，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 P . （2）因为甲、乙两人每次答题相互独立，设甲答对题数为，则， 设乙答对题数为，则， 设“甲、乙两位同学在每轮答题中取胜”, 则 由，又，所以， 则，又，所以， 设，所以，由二次函数可知当时取最大值， 所以甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率的最大值为. 43．某食盐厂为了检查一条自动流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的100袋食盐称出它们的质量（单位：克）作为样本数据，质量的分组区间为.由此得到样本的频率分布直方图如图：    (1)求的值； (2)从该流水线上任取2袋食盐，设为质量超过的食盐数量，求随机变量的分布列及数学期望； (3)在上述抽取的100袋食盐中任取2袋，设为质量超过的食盐数量，求随机变量的分布列. 【答案】(1) (2)分布列见解析，0.6 (3)分布列见解析 【分析】 【详解】（1）由题意可得：， 解得. （2）根据样本估计总体的思想，取一袋食盐， 该食盐的质量超过的概率为. 从流水线上任取2袋食盐互不影响，该问题可以看成2次独立重复试验， 质量超过的袋数X的所有可能取值为， 且服从二项分布， . ， ， ， 随机变量的分布列为： 0 1 2 0.49 0.42 0.09 . （3）质量超过的食盐数量为袋， 随机变量的所有可能取值为，且服从超几何分布. ，， ， 随机变量的分布列为: 0 1 2 44．为了引导居民合理用水，某市决定全面实施阶梯水价.阶梯水价原则上以住宅（一套住宅为一户）的月用水量为基准定价，具体划分标准如表： 阶梯级别 第一阶梯水量 第二阶梯水量 第三阶梯水量 月用水量范围（单位：立方米） 从本市随机抽取了10户家庭，统计了同一月份的月用水量，得到如图茎叶图：    (1)现要在这10户家庭中任意选取3家，求取到第二阶梯水量的户数的分布列与数学期望； (2)用抽到的10户家庭作为样本估计全市的居民用水情况，从全市依次随机抽取10户，若抽到户月用水量为二阶的可能性最大，求的值. 【答案】(1)分布列见解析， (2)6 【详解】（1）由茎叶图可知抽取的10户中用水量为一阶的有2户，二阶的有6户，三阶的有2户. 第二阶段水量的户数的可能取值为0，1，2，3， ，，，， 所以的分布列为 0 1 2 3 . （2）设为从全市抽取的10户中用水量为二阶的家庭户数，依题意得， 所以，其中0，1，2，…，10. 设， 若，则，； 若，则，. 所以当或，可能最大， ，所以的取值为. nn 一、单选题 1．某篮球运动员投球的命中率是，则他投球4次，恰好投进3个球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设他投球4次，投进球的个数为，则. 根据二项分布的概率公式可知投球4次，恰好投进3个球的概率为. 故选：C. 2．一批零件共有10个，其中有2个不合格品，从这批零件中随机抽取2个进行检测，则恰有1个不合格品的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意，恰有1个不合格品的概率为. 故选：B. 3．在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，则下列概率中等于的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，服从超几何分布，则. 故选：A. 4．一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次停止，设停止时共取了次球，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意知第12次取到红球，前11次中恰有9次取到红球，2次取到白球，由于每次取到红球的概率为． 由二项分布知识可知， 故选：D． 5．一只小虫从数轴上的原点出发爬行，若每次爬行过程中，小虫等概率地向前或向后爬行1个单位，设爬行次后小虫所在位置对应的数为随机变量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知，小虫向前或向后爬行1个单位的概率均为， 若，则爬行2026次后小虫一共向前爬行1013次，向后爬行1013次，； 若，则爬行2026次后小虫一共向前爬行1014次，向后爬行1012次，. 故. 故选：C. 6．将一枚质地均匀的硬币连掷三次，事件“恰出现1次反面朝上”的概率记为，现采用随机模拟的方法估计的值：用计算机产生了20组随机数，其中出现“0”表示反面朝上，出现“1”表示正面朝上，结果如下，若出现“恰有1次反面朝上”的频率记为，则（    ） 111  001  011  010  000  111  110  111  101  010 000  101  011  010  001  011  100  101  001  011 A． B． C． D．0 【答案】B 【详解】由题意可得，将一枚质地均匀的硬币连掷三次，事件“恰出现1次反面朝上”的概率； 由表中数据可得，“连掷三次，恰出现1次反面朝上”所包含的情况有：011，101，101，011，011，101，011共7组，所以. 所以. 故选：B. 7．甲、乙两人玩掷六面骰游戏，各个面的点数分别为.两人各轮流投掷一次，当两人向上的点数之差为偶数时，视为平局；当两人向上的点数之差为奇数时，谁的点数大谁胜…重复上面的步骤，游戏进行到一方比对方多胜2次或平局4次时停止，记游戏停止时游戏的场数为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】甲乙每次掷股子1次，若两人的点数都是偶数或都是奇数，则平局，所以平局的概率， 若甲胜，则结果有，，，，，，，，，9种， 所以甲胜的概率为，同理乙胜的概率也为， 局数为4次后停止游戏，若4次全平局，概率为； 若平局2次，则最后1次不能是平局， 另外2次甲全胜或乙全胜，概率为， 若平局0次，则一方3胜1负，且负的1次只能在前2次中， 概率为， 所以． 故选：A. 二、多选题 8．一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10，现从中任取4个球，则下列说法中正确的是（    ） A．取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，表示取出的4个球的总得分，则服从超几何分布 B．若表示取出的黑球的个数，则服从超几何分布 C．若表示取出白球的个数，则 D．若表示取出黑球的个数，则 【答案】BD 【详解】A，B均根据超几何分布的定义可得，故A错，B正确； C中，，故C错误； D中，，故D正确． 故选：ABD. 9．一个不透明的箱子中装有5个小球，其中白球3个，红球2个，小球除颜色不同外，材质大小全部相同，现投掷一枚质地均匀的硬币，若硬币正面朝上，则从箱子里抽出一个小球且不再放回；若硬币反面朝上，则不抽取小球；重复该试验，直至小球全部取出，假设试验开始时，试验者手中没有任何小球，下列说法正确的有（    ） A．经过两次试验后，试验者手中恰有2个白球的概率为 B．若第一次试验抽到一个白球，则第二次试验后，试验者手有白红球各1个的概率为 C．经过6次试验后试验停止的概率为 D．经过8次或9次试验后小球全部取出的概率最大 【答案】ABD 【详解】A选项，经过两次试验后，试验者手中恰有2个白球， 需要两次投掷硬币，均正面朝上，且从箱子里抽出的两个小球均为白色， 故概率为，A正确； B选项，第二次试验需投掷硬币，正面朝上，且从箱子里抽出的小球为红球， 故概率为，B正确； C选项，经过6次试验后试验停止，即前5次有4次投掷硬币，正面朝上， 第6次投掷硬币，正面朝上， 概率为，C错误； D选项，设经过次试验后小球全部取出的概率最大， 此时前次有4次投掷硬币，正面朝上，第次投掷硬币，正面朝上， 故概率为， 令，解得， 又， 故经过8次或9次试验后小球全部取出的概率最大，D正确. 故选：ABD 三、填空题 10．某大型购物商场为吸引顾客设置购物抽奖活动，顾客消费满一定金额后可以参加抽奖活动，抽奖规则是：从一个装有6个大小、形状、质地完全相同的小球（2个红球、4个白球）的不透明盒子中每次随机抽取1个球，记下颜色后放回，摇匀后进行下一次抽取，每名顾客一共有4次抽奖机会，若前3次都抽到红球，则不需要抽第4次，根据抽出的红球数计算奖次．记为抽到红球的次数，则 ． 【答案】 【详解】包含两类：前3次都取到红球，或前3次取到2个红球和1个白球且第4次取到红球， 其概率为． 故答案为：． 11．已知甲盒产品中有4个正品和2个次品，乙盒产品中有3个正品和2个次品，若从甲盒中任取2个产品，则这2个产品中有一个为正品的条件下，另一个为次品的概率 .若先从甲盒中任取2个产品，放入乙盒，再从乙盒任取一个产品，则取出的这个产品是正品的概率为 . 【答案】 【详解】设事件为“从甲中取出的件产品中有一个为正品”，事件为“从甲中取出的个产品中有一个为次品”， 则，，所以； 设事件为“从乙中取出的这个产品是正品”，事件为“从甲中取出两个正品”， 事件为“从甲中取出一个正品、一个次品”，事件为“从甲中取出两个次品”， 则， ， 由全概率公式得. 故答案为：；. 12．甲、乙两位同学进行象棋比赛，采用五局三胜制（当一人赢得三局时，该同学获胜，比赛结束）.根据以往比赛成绩，每局比赛中甲获胜的概率都是，且各局比赛结果相互独立.若甲以获胜的概率不高于甲以获胜的概率，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】解：题意可知，甲以获胜的概率为， 甲以获胜的概率为， 因为， 所以， 解得， 故的取值范围为. 故答案为： 四、解答题 13．今天，中国航天仍然迈着大步向浩瀚宇宙不断探索，取得了举世瞩目的非凡成就.某学校为了解学生对航天知识的知晓情况，在全校学生中开展了航天知识测试（满分100分），随机抽取了100名学生的测试成绩，按照分组，得到如下所示的样本频率分布直方图：用样本的频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取10名学生的成绩，用表示这10名学生中恰有k名学生的成绩在上的概率，求取最大值时对应的的值. 【答案】 【分析】 【详解】由题意可得，成绩在上的概率为，则不在的概率为， 所以，即有，， 当取最大值时，则， 即， 解得，即， 且，所以. 14．某学校从全体师生中随机抽取30位男生、30位女生、12位教师一起参加社会实践活动. (1)假设30位男生身高均不相同，记其身高的第80百分位数为，从学校全体男生中随机选取3人，记为3人中身高不超过的人数，以频率估计概率求的分布列及数学期望； (2)从参加社会实践活动的72人中一次性随机选出30位，记被选出的人中恰好有个男生的概率为，求使得取得最大值的的值. 【答案】(1)分布列见解析，数学期望为； (2). 【分析】 【详解】（1）所有可能的取值为，且. ； ； ； . 故的分布列为 0 1 2 3 0.008 0.096 0.384 0.512 所以. （2）设事件为“被选出的人中恰好有位男生”， 则30个人中剩下个人为女生或者老师，事件包含样本点的个数为， 所以. 所以，解得. 所以， 故当时，最大. 15．某商场为了促进消费，推出购物优惠活动、消费者购物每满300元可参加一次抽奖，抽奖活动如下：抽奖箱设置3个红球和2个白球，每次抽取2个球.若抽中2个白球，返现金50元；若抽中1个红球和1个白球，返现金30元；若抽中2个红球，返现金20元. (1)顾客恰好消费了300元，设他所获得返现金额为随机变量.求的分布列与数学期望； (2)顾客消费了1000元： ①顾客获得返现金额为100元的概率是多少？ ②若该商场同时还推出购物享九折优惠活动（减免总金额的），则顾客应选择哪种方案更优惠？（备注：不能同时参加抽奖和打折活动） 【答案】(1)答案见解析 (2)①0.108；②打折更划算 【分析】 【详解】（1）设某顾客参加一次抽奖获得返现金额，可能取值为20，30，50， 则，， 则的分布列如下表： 20 30 50 （2）①由题意刚好可以抽三次，分别为50元、30元、20元各一次，则概率为0.108. ②若打九折，需支付金额为：（元）. 由（1）知每次抽中的均值为元，则抽取三次总的均值为：（元）. 因为，故打折更划算. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $