19.1.2二次根式的性质 教案 2025-2026学年人教版数学八年级下册

第十九章 二次根式19.1.2二次根式的性质 教学过程 一、情境导入（10分钟） 上课伊始，出示两个问题：1. 若正方形的面积为a（a≥0），则它的边长为多少？2. 计算（√3）²、（√5）²、√0²的值，观察结果与被开方数的关系。引导学生自主计算，小组内交流发现。 学生易得出边长为√a，且（√3）²=3、（√5）²=5、√0²=0，进而猜想：当a≥0时，（√a）²=a。教师顺势引出课题，明确本节课核心是探究二次根式的性质，激发学生探究欲望。 二、探究新知（25分钟） （一）性质1：（√a）²=a（a≥0） 教师引导学生从定义出发验证猜想：√a表示非负数a的算术平方根，即一个非负数的平方等于a，那么这个非负数的平方自然等于a。结合实例拓展：计算（√2）²、（√(1/2)）²、（√0.3）²，让学生熟练应用性质，强调a≥0的前提——若a＜0，√a无意义，性质不成立。 （二）性质2：√(a²)=|a| 出示一组算式：√3²、√(-3)²、√0²，让学生计算并对比结果。学生发现√3²=3、√(-3)²=3、√0²=0，产生疑问：为何负数的平方开方后是正数？ 教师结合算术平方根定义解析：√(a²)表示a²的算术平方根，结果必为非负数。分情况讨论：当a＞0时，√(a²)=a；当a=0时，√(a²)=0；当a＜0时，√(a²)=-a。合并为√(a²)=|a|，通过例题巩固：计算√(-5)²、√(x²)（x＜0），让学生掌握分类讨论思想。 （三）性质对比 引导学生对比两个性质的区别：性质1中√a的被开方数a≥0，结果是a；性质2中a可取任意实数，结果是|a|，避免混淆。通过表格梳理核心要点，强化记忆。 三、巩固练习（15分钟） 设计分层练习题，基础题：计算（√7）²、√(-6)²、√(0.4)²；提高题：化简√(x-2)²（x≥2）、√(x²-4x+4)。学生独立完成后，同桌互查，教师针对共性错误讲解，重点强调性质应用的前提条件和分类讨论的必要性。 补充拓展题：已知√(a-3)²=3-a，求a的取值范围，培养学生逆向思维。 四、课堂小结（5分钟） 师生共同梳理：1. 二次根式的两个核心性质及适用条件；2. 应用性质时需注意a的取值范围，区分两个性质的不同；3. 分类讨论思想在化简中的应用。 布置课后作业：教材对应习题，要求标注每道题应用的性质，加深对知识的理解与掌握。 19.1 二次根式及其性质 第2课时 二次根式的性质 教学设计 课题 19.1第2课时 二次根式的性质 授课人 教学目标 1.理解二次根式的非负性，正确区分(a≥0)和(a≥0)，能运用二次根式的性质计算和化简. 2.通过对二次根式的性质的探究，提高学生的思维能力、探究能力、分析问题和解决问题的能力. 教学重点 掌握二次根式的性质，会运用其进行有关计算. 教学难点 二次根式基本性质的应用. 授课类型 新授课 课时 1 教学步骤 师生活动 设计意图 复习导入 上一课时我们学习了二次根式及其相关知识，你还记得二次根式的概念吗？被开方数需要满足什么条件？ 一般地，我们把形如(a≥0)的式子叫作二次根式，“”称为二次根号． 被开方数大于或等于零. 通过回顾旧知为学习新知做好准备. 探究新知 1.≥0（a≥0） 思考：二次根式 中被开方数 a 的取值范围是 a≥0，那么 的取值范围是什么？ 当 a＞0 的时候， 表示 a 的算术平方根，则 ＞0； 当 a＝0 的时候， 表示 0 的算术平方根，则 ＝0. 当 a≥0 时， 是非负数，即 ≥0. （链接例1、针对练习） 2.（）²=a（a≥0） 利用下图，你能推测 和 a 有什么关系吗？ 能得到 根据算术平方根的意义填空，并说出得到的结论及依据． （1）2＝ 3 ； （2）2＝ 0.5 ； （3）＝ ； （4）2＝ 0 ． 一般地，二次根式有下面的性质： （）2＝a（a≥0）. 因为 （a≥0）表示 a 的算术平方根， 所以将 a 的算术平方根平方，得（）2＝a. （链接例2） 3.=a（a≥0） 填空： ______； ______；______；______． 根据算术平方根的意义，可以得到 2； 0.1；；0． 一般地， 思考 当a为任意实数时，都有意义.如果上式中的a为负实数，那么上式还成立吗？为什么？ 填空： 2 ， 2 ； 　　 5 ， 5 ； 　　 0 ， 0 ． 请比较左右两边的式子，议一议：与有什么关系？ 当 a≥0 时， a ；当 a＜0 时 ， a ． 可以得到 . 一般地，二次根式有下面的性质： 根据算术平方根的意义，无论 a 是正数、0 或负数， a2 的算术平方根可以记为 ． 当 a≥0 时，＝a；当 a＜0 时，＝－a． 而当 a≥0 时， |a|＝a；当 a＜0 时，|a|＝－a． 所以 ＝|a|． （链接例3、例4） 与 的异同 通过由特殊到一般，帮助学生总结出二次根式的性质，培养学生观察，归纳总结的能力. 典例精析 【例1】若，求a-b+c的值. 【解】由题意可知a-2=0,b-3=0,c-4=0, 解得a=2,b=3,c=4. 所以a-b+c=2-3+4=3. 【方法总结】多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式. 【针对练习】 已知y =,求3x+2y的算术平方根. 【解】由题意得 ∴x=3，∴y=8， ∴3x+2y=25. ∵25的算术平方根为5， ∴3x+2y的算术平方根为5． 【例2（教材P4例题）】 计算： （1）＝ 1.5 ; （2）＝ 22×＝4×5＝20 . 【方法总结】（1）利用二次根式的性质：（）2＝a（a≥0）. （2）同时利用二次根式的性质和(ab)2＝a2b2. 【例3】 化简： （1）； （2） ； （3）； （4）. 【解】（1）==4； （2）==5； （3）==||=. （4）=|3.14|=3.14. 【方法总结】☀注意 ＝|a|，而3.14＜π，要注意a的正负性. 【例4】 实数a、b在数轴上的对应点如图所示，请你化简: . 【解】由数轴可知a＜0，b＞0，a-b＜0， ∴原式=|a|-|b|+|a-b| =-a-b-（a-b） =-2a. 【方法总结】☀注意 利用数轴和二次根式的性质进行化简，关键是要根据a,b的大小讨论绝对值内式子的符号. 在实际的化简计算中再次区别和，让学生深刻理解二次根式的性质，并熟练的运用二次根式解决问题.针对典例所讲，让学生再次深刻理解二次根式的性质，熟练的运用二次根式进行化简计算. 随堂检测 1．下列计算正确的是(　A　) A．－()2＝－6 B．()2＝9 C．()2＝±16 D． 2．把 4 写成一个正数的平方的形式是(　B　) A. B. C. D. 3.化简： （1）＝ 9 ; （2）＝ 4 ; （3） - ; （4） 32 . 4. 实数a在数轴上的位置如图所示，化简|a-2|+ 的结果是 1 . 5．计算： （1） （2） 【解】（1） （2） 6.已知a，b为等腰三角形的两条边长，且a，b满足，求此三角形的周长． 【解】由题意得 ∴a=3， ∴b=4. 当a为腰长时，三角形的周长为3+3+4=10； 当b为腰长时，三角形的周长为4+4+3=11． 通过设置随堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的. 课堂小结 1. 本节课的学习，你有哪些收获？ 二次根式的性质 (双重非负性) 2. 如何利用二次根式性质化简计算？ 巩固所学知识，加深对本节知识的理解. 作业布置 板书设计 19.1.2 二次根式的性质 1.≥0（≥0） 2.（）²=（≥0） 3.=（≥0） 二次根式有下面的性质： 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $