数学一模提分卷06（全国一卷通用）学易金卷：2026年高考第一次模拟考试

学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年高考第一次模拟考试 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第一次模拟考试 数学·全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由得，， 所以 故选：A 2．若虚数i是关于的方程的一个根，则（   ） A． B．1 C．0 D．不能确定 【答案】B 【解析】因为i是方程，，的一个根， 所以，即， 所以，，所以，， 因此． 故选：B． 3．设，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为， 所以，故选：B 4．（学科交叉题）冰球运动是一种以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的相互对抗的集体性竞技运动．在冰球运动中冰球运动员脚穿冰鞋，身着防护装备，以球杆击球，球入对方球门，多者为胜．小华同学在练习冰球的过程中，以力，作用于冰球，使冰球从点移动到点，则力对冰球所做的功的最大值为（   ）（动力做的功） A． B．3 C．4 D．5 【答案】D 【解析】由题，可得，又， ，其中， 当且仅当，时，取得最大值5. 故选：D. 5．在四面体中，，与直线，均垂直，且，一只蚂蚁从的中心沿表面爬至点，则其爬过的路程最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，，所以平面，所以平面平面，将底面旋转，以为轴，旋转至平面与平面共面，如图，此时的直线距离即为最短距离，设到直线的距离为，则，所以.故选A. 6．（新情境）“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在轴上方部分对应的函数解析式可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为由图象可知“心形”在轴上方部分是关于纵轴对称的，所以“心形”在轴上方部分对应的函数是偶函数,且定义域为，且值域为. 对于A，由，所以本选项函数的定义域为， 令，因为，所以该函数是偶函数，符合题意，，即， 当且仅当时取等号，即当时取等号，所以，所以该函数的值域不符合题意，因此本选项函数解析式不符合题意；对于B，令， 因为，所以该函数不是偶函数，不符合题意； 对于C，由，所以本选项函数的定义域符合题意，令，因为，所以该函数是偶函数，符合题意，又， 当时，即当时，该函数有最大值，因此该函数的值域为， 因此本选项函数解析式符合题意；对于D，，不符合题意，故选C. 7．已知等比数列的前项和为，其中为展开式中的常数项，且，则的最小值为（    ） A．5 B． C．10 D．不存在 【答案】A 【解析】展开式为， 令，解得，所以， 设等比数列的首项为，公比为，则，， 因为，所以，解得，所以， ， 则， 当为奇数时，，当为偶数时，， 因为随着的增大而减小，所以当为奇数时，随着的增大而减小，且， 当为偶数时，随着的增大而增大，且， 所以当时，有最小值为. 故选：A 8.（知识交汇题）如图，已知是圆锥的轴截面，分别为的中点，过点且与直线垂直的平面截圆锥，截口曲线是抛物线的一部分．若在上，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【解析】 过点作，交底面圆于两点，连接，，，设，则， 所以当最大时，最大，由圆锥的性质得底面，因为底面，所以， 又，平面，所以平面，因为平面，所以， 因为分别是的中点，所以，则，因为，平面，所以平面，则平面为截面，因为为中点，所以，所以平面，因为平面，所以，所以，则当最大时，最大，如图为截面的平面图， 以为原点，为轴，过点垂直向上的方向为轴正方向建系，，，，则抛物线方程为，设，，则， 所以，则此时，.故选C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．(社会热点题)某科研单位对Deepseek的使用情况进行满意度问卷调查，在1000名用户的问卷（用户打 分都在50分到100分之间）中随机抽取了100份，按分数进行分组（每组为左闭右开的区间），得到如图所示的频率分布直方图，则（同一组数据用该组区间的中点值为代表）（   ）    A． B．由样本数据可估计1000名用户中打分在70分以下的有350人 C．估计这1000名用户问卷的得分的分位数为85 D．估计这1000名用户问卷的得分的平均数为75 【答案】ABC 【分析】对于A，由各矩形面积为1可判断选项正误；对于B，由A分析结合题意可判断选项正误；对于CD，由频率分布直方图计算百分位数，平均数方法可得答案. 【解析】对于A，由题可得， 故A正确； 对于B，由A分析，打分在分以下对应频率为：，则对应人数为：，故B正确； 对于C，前3个矩形面积之和为：， 前4个矩形面积之和为：， 则分位数在到90之间，设为，则， 故C正确； 对于D，平均数为： ，故D错误. 故选：ABC 10．已知函数的部分图象如图所示，且阴影部分的面积为，则（ ） A．函数的最小正周期为 B．点为曲线的一个对称中心 C．直线为曲线的一条对称轴 D．函数在区间上单调递减 【答案】AC 【解析】对于A，由函数的图像，函数，所以， 因为阴影部分的面积为，可得，所以，所以A正确； 对于B，由，可得，所以， 将点代入，可得，即， 因为，所以，所以， 令，可得， 取，可得，对称中心为； 取，可得，对称中心为， 所以点不是曲线的对称中心，所以B错误； 对于C，由，可得， 取，可得，所以直线为曲线的一条对称轴，所以C正确； 对于D，由，可得， 当时，可得，函数在区间内单调递增， 因为，所以函数在区间上单调递增，所以D错误． 故选：AC． 11．(新题型)记分别为函数的导函数.若存在，满足且，则称为函数与的一个“S点”.则下列说法正确的是（    ） A．函数与不存在“S点” B．若函数与存在“S点”，则 C．对于函数与.对于任意的，均不存在，使得函数与在区间内存在“S点” D．对于函数与.对于任意的，存在，使得函数与在区间内存在“S点” 【答案】ABD 【解析】A选项，由，即， 解得或. 由，即， 所以函数与不存在“S点”，A选项正确. B选项，函数，，与，， 由，消去并化简得， 则，B选项正确. CD选项，对于函数与， ， 由，假设，得，得. 由得，得， 令， 设， 则，得， 由的图象在上不间断， 则在上有零点，则在上有零点， 故存在，使函数与在区间内存在“S点”. 故选：ABD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在7和21中插入5个数，使这7个数成等差数列，则第2项与第6项的等差中项为 ． 【答案】14 【解析】设该等差数列为，已知，， 第2项与第6项的等差中项为，而， 所以. 13．(社会热点题)“湘超”足球比赛正在如火如荼进行中，某企业赞助一批足球训练设备给甲、乙、丙三个球队.这批设备分别为个相同的跳箱和箱相同的药球.要求每队至少有一个跳箱，且药球不能全部分配给同一球队，则不同的分配方案有 种. 【答案】70 【解析】分以下两步： （1）先分跳箱：个相同的跳箱分给三个球队，三个球队分得的跳箱数量分别为、、或、、或、、， 所以，跳箱的分法种数为种； （2）接下来分药球：将个药球分给三个球队，三个球队分得的药球数量分别为、、或、、， 所以，药球的分法种数为种. 由分步乘法计数原理可知，不同的分法种数为种. 14．已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，点M在E的右支上，点N在y轴上，且，，则E的离心率为 ． 【答案】 【解析】如图： 设点，则，，因 ，则， 由可得，解得（*）， 又，可得， 将（*）代入整理得，即. 又点是E的右支上的一点，故，将以上结论代入可得， 因代入可得，化简得， 两边同除以，可得，解得或，因，故，则. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） (社会热点题)2025年7月15日，搭载天舟九号货运飞船的长征七号遥十运载火箭成功发射，标志着我国航天事业又迈上了一个新台阶.某中学为了解学生对我国航天事业发展的关注度，随机地从该校学生中抽取一个容量为200的样本进行调查，调查结果如下表： 性别 关注情况 高度关注 非高度关注 女学生 30 男学生 90 以频率估计概率，若在这200名学生中随机抽取1人，该学生高度关注我国航天事业发展的概率为． (1)求的值； (2)根据小概率值的独立性检验，判断该校学生对航天事业发展的高度关注是否与学生性别有关． 参考公式：，其中． 临界值表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【解析】（1）因为在这200名学生中随机抽取1人，该学生高度关注我国航天事业发展的概率为， 所以，解得． 又，解得，所以 （2）由（1）得，列联表如下： 性别 关注情况 合计 高度关注 非高度关注 女学生 70 30 100 男学生 90 10 100 合计 160 40 200 零假设为；该校学生高度关注我国航天事业发展与学生性别无关． ， 因为依据小概率值的独立性检验，判断不成立， 即认为该校学生高度关注我国航天事业发展与学生性别有关，此推断犯错误的概率不大于． 16．（15分） 在 中，角 所对的边分别为 ，且满足 . (1)求; (2)若,设中边上的高分别为 ,求的最大值. 【解析】（1）因为， 所以； 即 即 即得，即 因为，即得到 ； 又因为,所以. （2）因为分别为边上的高，所以, 所以； 由正弦定理,所以，； 所以； 因为,，所以 所以由余弦定理得，即； 即，所以，即 所以，当且仅当时等号成立； 所以； 即当且仅当时，的最大值为 . 17．（15分） 如图，已知三棱柱，平面平面，，，，，分别是，的中点. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值. 【解析】（1）如图所示，连接， 在等边三角形中，，则， 平面平面，且平面平面，平面， 由面面垂直的性质定理可得：平面，平面，故， 由三棱柱的性质可知，，而，故， 且平面， 由线面垂直的判定定理可得：平面. （2） 如上图，过点作交于， 以点为坐标原点，、、分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系， 由，，，所以，，，据此可得： ，，，， 由可得，利用中点坐标公式可得， 故， 设平面的法向量为，且，， 则，令，则， 所以平面的一条法向量为，， 设直线与平面所成的角为， ，所以. 故直线与平面所成角的余弦值为. 18．（17分） 如图，椭圆的离心率为且经过点是其左、右焦点，直线与C相切于点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)记到直线l的距离分别为请问是否为定值?如果为定值，求出此定值；如果不为定值，请说明理由； (3)已知直线与x轴交于点P，与l交于点B（B在x轴上方），过A，B分别作直线的垂线，垂足分别为M，N，记，．求证:存在，使得时，． 【解析】（1）由椭圆的离心率为及椭圆经过点， 得，解得，因此椭圆方程为； （2）联立，得， 设，由直线与椭圆相切知， 得，即， 则，与直线l的距离，， 则， 故是定值，为4； （3）由（2）可得，， 即， 因此可得，，， 因此， ， 若，则， 即； 假设，因为，得， 代入得，矛盾， 所以，所以， 从而有，即， 故存在，使得时． 19．（17分） 已知，函数. (1)证明：有唯一的极大值点和极小值点. (2)记的极大值点为，极小值点为. （i）求的最小值； （ii）设，若互不相等的实数，，满足，证明：. 【解析】（1）由题意得，     令，可得或，因为，所以， 则当或时，，当时，， 所以在，上单调递增，在上单调递减，     所以有唯一的极大值点，唯一的极小值点. （2）（i）由（1）知，， 所以.     令函数，则， 所以当时，，当时，， 即函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，即的最小值为.     （ii）由题意知. 设，则，待证命题即. 设， 则，∴，∴. 再令，，则，，是方程的三个根，只需证. 设，则， 当或时，;当时，, 在，上单调递增，在上单调递减，故. ①先证： ∵，， 设，则， ∴当时，,函数在上单调递减，， 又时，，所以，故， 又∵，∴，则，∴. ②再证： 因为的极大值为，所以. 因为，，所以. ∴，∴. 综合①②，当时，，∴，又∵，∴； 当时，，∴，又∵，∴； 综上所述，从而原命题得证. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年高考第一次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．若虚数i是关于的方程的一个根，则（   ） A． B．1 C．0 D．不能确定 3．设，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 4．（学科交叉题）冰球运动是一种以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的相互对抗的集体性竞技运动．在冰球运动中冰球运动员脚穿冰鞋，身着防护装备，以球杆击球，球入对方球门，多者为胜．小华同学在练习冰球的过程中，以力，作用于冰球，使冰球从点移动到点，则力对冰球所做的功的最大值为（   ）（动力做的功） A． B．3 C．4 D．5 5．在四面体中，，与直线，均垂直，且，一只蚂蚁从的中心沿表面爬至点，则其爬过的路程最小值为（    ） A． B． C． D． 6．（新情境）“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在轴上方部分对应的函数解析式可能为（　　） A． B． C． D． 7．已知等比数列的前项和为，其中为展开式中的常数项，且，则的最小值为（    ） A．5 B． C．10 D．不存在 8.（知识交汇题）如图，已知是圆锥的轴截面，分别为的中点，过点且与直线垂直的平面截圆锥，截口曲线是抛物线的一部分．若在上，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．(社会热点题)某科研单位对Deepseek的使用情况进行满意度问卷调查，在1000名用户的问卷（用户打 分都在50分到100分之间）中随机抽取了100份，按分数进行分组（每组为左闭右开的区间），得到如图所示的频率分布直方图，则（同一组数据用该组区间的中点值为代表）（   ）    A． B．由样本数据可估计1000名用户中打分在70分以下的有350人 C．估计这1000名用户问卷的得分的分位数为85 D．估计这1000名用户问卷的得分的平均数为75 10．已知函数的部分图象如图所示，且阴影部分的面积为，则（ ） A．函数的最小正周期为 B．点为曲线的一个对称中心 C．直线为曲线的一条对称轴 D．函数在区间上单调递减 11．(新题型)记分别为函数的导函数.若存在，满足且，则称为函数与的一个“S点”.则下列说法正确的是（    ） A．函数与不存在“S点” B．若函数与存在“S点”，则 C．对于函数与.对于任意的，均不存在，使得函数与在区间内存在“S点” D．对于函数与.对于任意的，存在，使得函数与在区间内存在“S点” 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在7和21中插入5个数，使这7个数成等差数列，则第2项与第6项的等差中项为 ． 13．(社会热点题)“湘超”足球比赛正在如火如荼进行中，某企业赞助一批足球训练设备给甲、乙、丙三个球队.这批设备分别为个相同的跳箱和箱相同的药球.要求每队至少有一个跳箱，且药球不能全部分配给同一球队，则不同的分配方案有 种. 14．已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，点M在E的右支上，点N在y轴上，且，，则E的离心率为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） (社会热点题)2025年7月15日，搭载天舟九号货运飞船的长征七号遥十运载火箭成功发射，标志着我国航天事业又迈上了一个新台阶.某中学为了解学生对我国航天事业发展的关注度，随机地从该校学生中抽取一个容量为200的样本进行调查，调查结果如下表： 性别 关注情况 高度关注 非高度关注 女学生 30 男学生 90 以频率估计概率，若在这200名学生中随机抽取1人，该学生高度关注我国航天事业发展的概率为． (1)求的值； (2)根据小概率值的独立性检验，判断该校学生对航天事业发展的高度关注是否与学生性别有关． 参考公式：，其中． 临界值表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16．（15分） 在 中，角 所对的边分别为 ，且满足 . (1)求; (2)若,设中边上的高分别为 ,求的最大值. 17．（15分） 如图，已知三棱柱，平面平面，，，，，分别是，的中点. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值. 18．（17分） 如图，椭圆的离心率为且经过点是其左、右焦点，直线与C相切于点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)记到直线l的距离分别为请问是否为定值?如果为定值，求出此定值；如果不为定值，请说明理由； (3)已知直线与x轴交于点P，与l交于点B（B在x轴上方），过A，B分别作直线的垂线，垂足分别为M，N，记，．求证:存在，使得时，． 19．（17分） 已知，函数. (1)证明：有唯一的极大值点和极小值点. (2)记的极大值点为，极小值点为. （i）求的最小值； （ii）设，若互不相等的实数，，满足，证明：. 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第5页（共8页） 试题 第6页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第一次模拟考试 高三数学 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．若虚数i是关于的方程的一个根，则（   ） A． B．1 C．0 D．不能确定 3．设，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 4．（学科交叉题）冰球运动是一种以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的相互对抗的集体性竞技运动．在冰球运动中冰球运动员脚穿冰鞋，身着防护装备，以球杆击球，球入对方球门，多者为胜．小华同学在练习冰球的过程中，以力，作用于冰球，使冰球从点移动到点，则力对冰球所做的功的最大值为（   ）（动力做的功） A． B．3 C．4 D．5 5．在四面体中，，与直线，均垂直，且，一只蚂蚁从的中心沿表面爬至点，则其爬过的路程最小值为（    ） A． B． C． D． 6．（新情境）“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在轴上方部分对应的函数解析式可能为（　　） A． B． C． D． 7．已知等比数列的前项和为，其中为展开式中的常数项，且，则的最小值为（    ） A．5 B． C．10 D．不存在 8.（知识交汇题）如图，已知是圆锥的轴截面，分别为的中点，过点且与直线垂直的平面截圆锥，截口曲线是抛物线的一部分．若在上，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．(社会热点题)某科研单位对Deepseek的使用情况进行满意度问卷调查，在1000名用户的问卷（用户打 分都在50分到100分之间）中随机抽取了100份，按分数进行分组（每组为左闭右开的区间），得到如图所示的频率分布直方图，则（同一组数据用该组区间的中点值为代表）（   ）    A． B．由样本数据可估计1000名用户中打分在70分以下的有350人 C．估计这1000名用户问卷的得分的分位数为85 D．估计这1000名用户问卷的得分的平均数为75 10．已知函数的部分图象如图所示，且阴影部分的面积为，则（ ） A．函数的最小正周期为 B．点为曲线的一个对称中心 C．直线为曲线的一条对称轴 D．函数在区间上单调递减 11．(新题型)记分别为函数的导函数.若存在，满足且，则称为函数与的一个“S点”.则下列说法正确的是（    ） A．函数与不存在“S点” B．若函数与存在“S点”，则 C．对于函数与.对于任意的，均不存在，使得函数与在区间内存在“S点” D．对于函数与.对于任意的，存在，使得函数与在区间内存在“S点” 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在7和21中插入5个数，使这7个数成等差数列，则第2项与第6项的等差中项为 ． 13．(社会热点题)“湘超”足球比赛正在如火如荼进行中，某企业赞助一批足球训练设备给甲、乙、丙三个球队.这批设备分别为个相同的跳箱和箱相同的药球.要求每队至少有一个跳箱，且药球不能全部分配给同一球队，则不同的分配方案有 种. 14．已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，点M在E的右支上，点N在y轴上，且，，则E的离心率为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） (社会热点题)2025年7月15日，搭载天舟九号货运飞船的长征七号遥十运载火箭成功发射，标志着我国航天事业又迈上了一个新台阶.某中学为了解学生对我国航天事业发展的关注度，随机地从该校学生中抽取一个容量为200的样本进行调查，调查结果如下表： 性别 关注情况 高度关注 非高度关注 女学生 30 男学生 90 以频率估计概率，若在这200名学生中随机抽取1人，该学生高度关注我国航天事业发展的概率为． (1)求的值； (2)根据小概率值的独立性检验，判断该校学生对航天事业发展的高度关注是否与学生性别有关． 参考公式：，其中． 临界值表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16．（15分） 在 中，角 所对的边分别为 ，且满足 . (1)求; (2)若,设中边上的高分别为 ,求的最大值. 17．（15分） 如图，已知三棱柱，平面平面，，，，，分别是，的中点. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值. 18．（17分） 如图，椭圆的离心率为且经过点是其左、右焦点，直线与C相切于点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)记到直线l的距离分别为请问是否为定值?如果为定值，求出此定值；如果不为定值，请说明理由； (3)已知直线与x轴交于点P，与l交于点B（B在x轴上方），过A，B分别作直线的垂线，垂足分别为M，N，记，．求证:存在，使得时，． 19．（17分） 已知，函数. (1)证明：有唯一的极大值点和极小值点. (2)记的极大值点为，极小值点为. （i）求的最小值； （ii）设，若互不相等的实数，，满足，证明：. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第一次模拟考试 数学·参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 A B B D A C A C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ABC AC ABD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．14 13．70 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【解析】（1）因为在这200名学生中随机抽取1人，该学生高度关注我国航天事业发展的概率为， 所以，解得．（4分） 又，解得， 所以.(6分) （2）由（1）得，列联表如下： 性别 关注情况 合计 高度关注 非高度关注 女学生 70 30 100 男学生 90 10 100 合计 160 40 200 零假设为；该校学生高度关注我国航天事业发展与学生性别无关． ，（10分） 因为依据小概率值的独立性检验，判断不成立， 即认为该校学生高度关注我国航天事业发展与学生性别有关，此推断犯错误的概率不大于．（13分） 16．（15分） 【解析】（1）因为， 所以； 即 即，（4分） 即得，即 因为，即得到 ； 又因为,所以.（6分） （2）因为分别为边上的高，所以, 所以；（8分） 由正弦定理,所以，； 所以；（10分） 因为,，所以 所以由余弦定理得，即； 即，所以，即 所以，当且仅当时等号成立； 所以； 即当且仅当时，的最大值为 .（15分） 17．（15分） 【解析】（1）如图所示，连接， 在等边三角形中，，则， 平面平面，且平面平面，平面， 由面面垂直的性质定理可得：平面，平面，故，（4分） 由三棱柱的性质可知，，而，故，（5分） 且平面， 由线面垂直的判定定理可得：平面.（6分） （2） 如上图，过点作交于， 以点为坐标原点，、、分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系， 由，，，所以，，，据此可得： ，，，， 由可得，利用中点坐标公式可得， 故， 设平面的法向量为，且，， 则，令，则， 所以平面的一条法向量为，，（13分） 设直线与平面所成的角为， ，所以. 故直线与平面所成角的余弦值为.（15分） 18．（17分） 【解析】（1）由椭圆的离心率为及椭圆经过点， 得，解得，因此椭圆方程为；（4分） （2）联立，得， 设，由直线与椭圆相切知， 得，即， 则，与直线l的距离，， 则， 故是定值，为4；（9分） （3）由（2）可得，， 即， 因此可得，，， 因此， ， 若，则， 即；（14分） 假设，因为，得， 代入得，矛盾， 所以，所以， 从而有，即， 故存在，使得时．（17分） 19．（17分） 【解析】（1）由题意得，     令，可得或，因为，所以， 则当或时，，当时，， 所以在，上单调递增，在上单调递减，     所以有唯一的极大值点，唯一的极小值点.（5分） （2）（i）由（1）知，， 所以.     令函数，则， 所以当时，，当时，， 即函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，即的最小值为.（10分） （ii）由题意知. 设，则，待证命题即. 设， 则，∴，∴.（12分） 再令，，则，，是方程的三个根，只需证. 设，则， 当或时，;当时，, 在，上单调递增，在上单调递减，故. ①先证： ∵，， 设，则， ∴当时，,函数在上单调递减，， 又时，，所以，故， 又∵，∴，则，∴. （15分） ②再证： 因为的极大值为，所以. 因为，，所以. ∴，∴. 综合①②，当时，，∴，又∵，∴； 当时，，∴，又∵，∴； 综上所述，从而原命题得证.（17分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $