考点03 平面向量共线与基本定理的应用（专项训练）高一数学人教A版必修第二册

考点03 平面向量共线与基本定理的应用 考点一：平面向量的共线 1、向量共线定理： 如果，则；反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使． 2、三点共线定理 平面内三点A，B，C共线的充要条件是：存在实数，使，其中，为平面内一点． A、B、C三点共线 存在唯一的实数，使得； 存在唯一的实数，使得； 存在唯一的实数，使得； 存在，使得． 考点二：平面向量基本定理 如果和是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量，都存在唯一的一对实数，使得，我们把不共线向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为，叫做向量关于基底的分解式． 注意：由平面向量基本定理可知：只要向量与不共线，平面内的任一向量都可以分解成形如的形式，并且这样的分解是唯一的．叫做，的一个线性组合．平面向量基本定理又叫平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础． 若，则． 判断共线 1、 判断非零向量是否共线可从向量共线定理出发，存在唯一的实数，使 2、 对非共线向量，则 与共线 零向量与任意向量都共线，所以零向量导致向量共线不具传递性，也会成为判断向量共线情况中的一些特殊情况。 1．（24-25高一下·甘肃天水·月考）已知非共线向量、，，，，则下列说法正确的是（   ） A．三点共线 B．、、三点共线 C．、、三点共线 D．、、三点共线 【答案】A 【分析】利用平面向量共线定理求解. 【详解】由题可得，， 对于A，，所以三点共线，故A正确； 对于B，若三点共线，则存在实数，使得，则，无解，所以三点不共线，故B错误； 对于C，若三点共线，则存在实数，使得，则，无解，所以三点不共线，故C错误； 对于D，若三点共线，则存在实数，使得，则，无解，所以三点不共线，故D错误. 故选：A. 2．（24-25高一下·安徽合肥·月考）设，为非零向量，则“”是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用充分条件和必要条件的定义分析判断. 【详解】表示方向上的单位向量. 若，则与同向，所以，即； 若，当与同向时，；当与反向时，， 即. 故选：A. 3．（24-25高二下·广西崇左·期末）已知，，，是平面中四个不同的点，则“（）”是“，，三点共线”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据共线的向量表示进行充分性与必要性的分析即可求解. 【详解】，， 又，有公共点，所以，，三点共线，所以充分性成立； 若，，三点共线，则存在实数使得，即， 当时明显不满足，所以必要性不成立. 即“（）”是“，，三点共线”的充分不必要条件. 故选：A. 4．（24-25高一下·广东茂名·期末）已知，是同一平面内两个不共线的向量，则的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据，则，依次验证在每个选项的条件下，若，是否有解即可. 【详解】若，则， 选项A：若，则，解得，选项A正确； 选项B：若，则，无解，选项B错误； 选项C：若，则，无解，选项C错误； 选项D：若，则，无解，选项D错误. 故答案为：A. 证明共线 1、 利用定理来证明共线。如果，则；反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使 2、 把两向量用两个基底向量来表示，证明两基底的系数成比例关系从而判断共线。 3、 证明三点共线时，可为这三点构造两个向量，找到存在的唯一的实数，证明三点共线。 需要找基底来证明向量共线时注意，不共线的两个向量才能作为基底。 1．（2026高三·全国·专题练习）已知任意两个不共线向量，且，，，求证：A，B，C三点共线． 【答案】证明过程见解析 【分析】运用平面向量共线定理进行证明即可. 【详解】因为，， 所以， 因此A，B，C三点共线. 2．（2026高三·全国·专题练习）如图，在△ABC中，＝4，. 求证：B，T，E三点共线． 【答案】证明过程见解析 【分析】根据平面向量基本定理，结合平面向量共线定理进行证明即可. 【详解】设， ， ， 显然， 所以B，T，E三点共线. 3．（2025高一·全国·专题练习）如图，在平行四边形中，点是的中点，点在上，，求证：三点共线. 【答案】证明见解析 【分析】证法1：利用三点共线判定定理，列出的关系式，判断其系数之和是否为1； 证法2：连结且与相交于点，利用几何关系可证明和为同一点. 【详解】证法1：因为，所以三点共线． 证法2：连结且与相交于点， 因为，所以． 又因为是的中点且， 所以，即， 又因为， 所以和为同一点，所以三点共线． 4．（25-26高一上·辽宁鞍山·期末）如图，在平行四边形ABCD中，，，设，．注：本小题几何方法求解不得分．    (1)用，表示，； (2)用平面向量证明：E，F，C三点共线． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意，结合和，即可求解； （2）根据题意，求得，，得到，即可得证. 【详解】（1）由题意知，向量可得， 又由，可得， 所以， （2）因为，可得， 所以， 且，可得，所以三点共线. 根据共线求参 对非共线向量，则 与共线 可以通过 1．（24-25高三上·广东·期中）已知向量不平行，，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据平面向量共线定理，先转化平行关系为等式，再整理等式分离向量系数，最后利用“不共线向量的系数对应相等”列方程求解即可. 【详解】因为向量，不平行，， 所以存在实数，使得：， 即，解得. 故选：B. 2．（2025高三·全国·专题练习）已知是两个不共线的向量，，若A，B，C三点共线，则实数k的值为（   ） A． B． C．1 D．4 【答案】A 【分析】由三点共线可得，由此可得构造方程组求得结果. 【详解】三点共线，可设， 即， ，解得：. 故选：. 3．（2025·四川内江·一模）已知向量，若与共线，则（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】根据向量的坐标运算及向量共线求解. 【详解】，， 由与共线，可得， 解得， 故选：A 4．（2025·湖南邵阳·三模）设为所在平面内一点，．若，则的值为（    ） A．4 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的线性运算，即可求解. 【详解】， 所以，即，即, 即. 故选：D 5．（多选）（2026高三·全国·专题练习）已知向量不共线，若，，且三点共线，则关于实数的值可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】利用向量共线定理得，结合已知有，进而得到，即可得. 【详解】因为三点共线，则存在实数，使， 即，即， 所以， 又向量不共线，所以，解得， 所以实数的值互为倒数. 故选：AB 平面向量共线定理的应用 A、B、C三点共线 存在唯一的实数，使得； 存在唯一的实数，使得； 存在唯一的实数，使得； 存在，使得． 注意对定理的理解，对系数的几何意义的理解，熟悉定理的逆用。 1．（24-25高一下·湖南岳阳·期末）如图，在中，，P是上一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用线段比例转化向量，再统一向量基底，最后根据“三点共线时，向量分解的系数和为1”的性质求解即可. 【详解】， ， ， ， ， 是线段上一点， 三点共线， ， 解得. 故选A. 2．（25-26高三上·北京·月考）已知D点为三角形的BC边上一点（不含端点），E是AC边中点，若，则 .，的最小值为 . 【答案】 2； 4 【分析】先由题设得到，再由共线定理的推论即可求解，再结合基本不等式“1”的妙用即可求解. 【详解】由题可得， 因为共线，所以， 所以，当且仅当即时等号成立. 故答案为：2；4 3．（25-26高三上·天津蓟州·期中）在中，已知，且，则 ；若在线段上存在动点，使得，则的最小值为 ． 【答案】 2 / 【分析】根据给定条件，利用和角的正弦公式化简求得，再利用数量积运算律求得；利用共线向量定理的推论及基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】在中，， 则，而，于是，，即， 由，得，因此； 由，得，又点在线段上， 则，而， 因此 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 故答案为：2； 4．（25-26高一上·四川绵阳·期中）在中，，当时，的最小值为2．若，，，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】由平面向量的加法法则得的最小值为点到的距离，从而得到为等腰直角三角形，再根据得到点在线段上，所以的最大值即为的长，在中，利用余弦定理即可得到答案. 【详解】如图所示，作， 在中，由平面向量的加法法则得的最小值为点到的距离，即， 又，所以，为等腰直角三角形， 又因为，，，， 所以点在线段上，所以的最大值即为的长， 在中，，由知， ，即， 所以的最大值为. 故选：C. 5．（25-26高三上·天津津南·期中）在中，点为边上一点，已知，则角的大小为 ． 【答案】/ 【分析】根据点共线可得，进而即得. 【详解】因为点为边上一点，且， 所以， 所以. 又为三角形内角，所以. 故答案为： 基底的概念与辨析 由平面向量基本定理知，平面内任意不共线的两个向量可作为一对基底。所以判断一对向量是否能作为基底的关键在是否共线。 1．（24-25高一下·广东东莞·期末）若是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作为平面向量的基底的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】判断向量组中两个向量是否共线． 【详解】由已知是平面内的一个基底， 则若共线，则存在实数，使得，即，与是基底矛盾，因此不共线， 若共线，则存在实数，，所以，与是基底矛盾，因此不共线， 因为，所以不共线，共线， 因此D不能作为基底， 故选：D． 2．（2026高三·全国·专题练习）设是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】根据平面内不共线的两个向量可以作为一组基底，逐项判断即可. 【详解】是平面内所有向量的一组基底，所以与不共线. 对于A，假设与共线，则存在实数，使，所以，所以假设不成立. 所以与不共线，所以能作为基底，所以A错误； 对于B， 假设与共线，则存在实数，使，所以，所以假设不成立. 所以与不共线，所以能作为基底，所以B错误； 对于C，因为，所以与共线，不能作为基底，所以C正确； 对于D，假设与共线，则存在实数，使，所以，所以假设不成立. 与不共线，所以能作为基底，所以D错误. 故选：C. 3．（2025高三·全国·专题练习）设为平面内的一个基底，则下面四组向量中不能作为基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】根据基底的定义，结合共线向量的性质判断即可. 【详解】平面向量的基底由两个不共线的非零向量组成， C选项中，，即和为共线向量， 所以它们不能作为基底． 其他选项中的两个向量都不共线，所以可以作为基底． 故选：C 4．（多选）（24-25高一下·广东·月考）下列四个命题为真命题的是（   ） A．已知非零向量，，，若，，则 B．若四边形中有，则与共线 C．已知，，，可以作为平面向量的一组基底 D．已知向量，，则向量在向量上的投影向量为 【答案】AB 【分析】根据向量共线定理，基底的定义，以及投影向量公式，即可判断选项. 【详解】A. 已知非零向量，，，根据平行向量的传递性可知，若，，则，故A正确； B. 由向量共线定理可知，若四边形中有，则与共线，故B正确； C.因为，所以，所以，不可以作为平面向量的一组基底，故C错误； D. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量为，故D错误. 故选：AB 5．（多选）（25-26高一上·辽宁沈阳·期末）下列关于平面向量的说法中，正确的是（    ） A．若，，则 B．若是一组基底，则也是一组基底 C．若，，是平面上不同的三点，且，则，，三点共线 D．若，则存在唯一的实数，使得 【答案】BC 【分析】根据平面向量共线的定义、基底的定义逐项判断即可. 【详解】因为，当时，不一定共线，所以A错误； 因为是一组基底，所以不共线， 假设共线，则存在实数使得，那么， 则共线，与已知条件矛盾，所以不共线，所以也是一组基底，B正确； 由可知向量共线，结合点B为公共点，故A、B、C三点共线，C正确； 因为，若且，则不存在实数使得，所以D错误. 故选：BC. 用基底表示向量 1、运用向量的加法、减法、数乘等运算，理解运算的几何意义。 2、运用向量共线定理来表示向量。 1．（多选）（2026·河北·模拟预测）如图，在梯形中，，．且 为的中点．若 ，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由平面向量运算法则逐项计算即可. 【详解】对于A：，故选项 A 正确； 对于B：由 知 在 上，且 ，则 ， 计算得：，故选项B错误； 对于C： 为 中点，则 ，于是： ，故选项C正确； 对于D： ，其中 ， 则：，故选项 D 正确. 故选：ACD 2．（25-26高三上·新疆·月考）在中，是线段的中点，点E满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据是线段的中点，得到，再根据，利用求解. 【详解】因为是线段的中点， 所以. 因为，所以， 则. 故选：A 3．（25-26高三上·河北邢台·月考）在平行四边形中，E为的中点，F为上更靠近C的三等分点，且E关于F对称的点为G，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量基本定理结合图形的几何性质进行求解即可. 【详解】因为在平行四边形中，E为的中点，F为上更靠近C的三等分点，且E关于F对称的点为G， 所以． 故选：D. 4．（25-26高三上·四川巴中·月考）如图，在中，，，则下列说法正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，通过向量的基本定理，用已知向量表示未知向量，即可求解. 【详解】由题意可得，，，所以，， 所以，因为， 所以, 所以 故选： 5．（24-25高一下·黑龙江双鸭山·期中）如图，已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得. 【详解】因为，， 所以，， 所以, 又，， 所以. 故选：A. 平面向量基本定理与共线定理的应用 应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加法、减法或数乘运算，基本方法有两种： （1）运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行化简，直至用基底表示为止． （2）将向量用含参数的基底表示，然后列方程或方程组，利用基底表示向量的唯一性求解． （3）三点共线定理：A，B，P三点共线的充要条件是：存在实数，使，其中，O为AB外一点． 1．（2025·黑龙江牡丹江·模拟预测）已知中，是边上靠近的三等分点，过点的直线分别交直线于不同的两点，设，其中，则的最小值是（    ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量的线性运算，再结合三点共线的性质，即可得，然后利用代换，结合基本不等式即可求得最小值. 【详解】 由是边上靠近的三等分点， 可得：， 又因为，所以， 又因为三点共线，所以 又因为， 所以， 当且仅当，即时取得等号， 所以的最小值为， 故选：C 2．（多选）（25-26高一上·河北保定·期中）在中，是的中点，是线段上的点，过作一直线分别与交于点，设，其中，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则是等边三角形 C．若，则 D．若，则的最小值为 【答案】AD 【分析】利用平面向量的线性运算，以及数量积公式，基本不等式依次求解即可. 【详解】因为， 则，即， 则， 所以，A正确； 因为，所以， 所以，同理，点是的垂心， 又是边的中点，，易知是等腰三角形，无法确定是等边三角形，B错误； 由题意知，，所以， 又三点共线，则， 所以，即，解得，C错误； ，又三点共线，则， 因此， 当且仅当时取等号，所以的最小值为，D正确. 故选：AD. 3．（24-25高一下·贵州遵义·月考）在中，，过点的直线分别交直线，于点，，设，，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用基底表示向量，再由共线向量定理推论求得结果. 【详解】 由，得， 则， 又，， 则， 又共线，因此，即. 故选：C 4．（25-26高三上·湖北孝感·月考）在中，点P满足，过点P的直线与所在的直线分别交于点，若，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面向量的线性运算法则，及三点共线，推得.利用基本不等式中“1”的妙用，求得的最小值. 【详解】，即，， ，，，， ，三点共线，则. ， 当且仅当，即时，等号成立，因此，的最小值为. 故选：B. 5．（多选）（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知中，是边上靠近的三等分点，为的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，设，，其中，，则下列结论正确的是：（   ） A． B． C． D．的最小值为 【答案】ABC 【分析】对于AB，根据平面向量的线性运算求解判断即可；对于C，由A知，，利用三点共线可得，即可判断；对于D，由C知，，根据基本不等式“1”的妙用求解判断即可. 【详解】对于A，由题意得，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，由A知，， 由于M、O、N三点共线，可知，即，故C正确； 对于D，由C知，，且，， 所以， 当且仅当 ，即时取得等号， 所以的最小值为，故D错误. 故选：ABC    1．（多选）（25-26高二·全国·假期作业）（多选）以下四个命题中，不正确的是（   ） A．若，则三点共线 B．是直角三角形的充要条件是 C．设是空间一个基底，则构成空间的另一个基底 D． 【答案】ABD 【分析】利用向量共线的推论可判断A，利用充要条件的概念可判断B，利用基底的概念可判断C，利用数量积的定义可判断D. 【详解】对于A，若，，所以三点不共线，故A错误； 对于B，由可推出为直角三角形，由为直角三角形，推不出，所以为直角三角形的充分不必要条件是，故B错误； 对于C，若为空间的一个基底，则线性无关， 设， 整理可得，因为线性无关， 所以，所以，所以线性无关， 所以能构成空间的另一个基底，故C正确. 对于D，因为，不一定成立，故D错误； 故选：ABD. 2．（2026高三·全国·专题练习）已知是平面上两个不共线的向量，且，， . (1)若方向相反，求k的值； (2)若A，C，D三点共线，求k的值． 【答案】(1)2 (2)或3 【分析】（1）由题意得，则存在实数，使得，代入条件可得，待定系数，即可得答案. （2）先求得，由题意存在实数，使得，代入条件可得，待定系数，即可得答案. 【详解】（1）由题意得，则存在实数，使得， 所以， 则，解得或， 因为方向相反，所以，则. （2）因为，所以， 所以， 因为A，C，D三点共线， 所以存在实数，使得， 则， 所以，解得或3. 3．（2026高三·全国·专题练习）是平面内不共线的两个向量，已知，，，若A，B，D三点共线，则k的值是（　　） A．3 B．－3 C．－2 D．2 【答案】D 【分析】先由向量的加法求出，再利用向量共线的充要条件列方程组求解即可. 【详解】由已知， 由A，B，D三点共线，故存在实数λ，使， 即，即解得. 故选：D 4．（2026高三·全国·专题练习）在中，，P是BN上的一点，若，则实数m的值为 .    【答案】 【分析】先根据得到，从而可得，再根据共线定理的推论，即可得到的值. 【详解】因为，所以，又， 所以， 因为点三点共线，所以，解得. 故答案为： 5．（25-26高三上·湖南长沙·月考）在平行四边形中，，分别是，的中点，点在线段上.若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，根据向量线性运算可得，由题意可得，，计算可解. 【详解】如图，作出符合题意的图形， 因为，分别是，的中点， 所以，， 则， 因为点在线段上，设， 则， 若，则，， 所以，当时，有最大值为. 故选：C 6．（多选）（2025高三·全国·专题练习）（多选）若是平面内的一个基底，则下面的四组向量中能作为一个基底的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据平面向量基底的定义可逐一判断. 【详解】因为是平面内的一个基底，所以不共线， 对于A，因不共线，故与不共线，即可以作为基底； 对于B，因，所以与共线，不能作为基底； 对于C，因不共线，故与不共线，即可以作为基底； 对于D，因不共线，与不共线，所以可以作为基底.. 故选：ACD 9．（25-26高三上·北京海淀·月考）如图，四边形是正方形，延长至E，使，若点P是以点A为圆心，为半径的圆弧（不超出正方形）上的任一点，设向量，则的最小值为 最大值为 ．    【答案】 1 【分析】设，由得到，再令，代入上式，结合判别式即可求解. 【详解】解：假设， 由已知可得， ， ，即， 令， 则，代入可得， 有，解得， ， 的最小值为1，最大值为， 故答案为：1； 7．（2025·湖南长沙·二模）设为所在平面内一点，若，则下列关系中正确的是（ ） A． B． C． D．= −+. 【答案】D 【分析】以为基底，根据平面向量的线性运算可得答案. 【详解】如图 则. 故选：D 8．（25-26高三上·河南·月考）在中，若，则（   ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】先将用和表示，再结合已知条件将用表示，最后根据向量的线性运算将用和表示，从而求出和的值，进而得到的值. 【详解】因为，所以，又因为两向量有公共点，所以点三点共线，又, 又， 所以，解得，， 因此. 故选：C． 9．（25-26高三上·辽宁·期中）在中，为边上一点，且满足，设，，若存在实数，使，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把用得到，， ，再根据的范围即可求解. 【详解】以为基底， ， 又，所以由平面向量基本定理可知，， 则，又，所以． 故选：C 10．（2025高三·全国·专题练习）如图所示，在中，是边上的中线，为上一点，且，经过的直线分别交直线于不同的两点．若，，则 ． 【答案】4 【分析】法一，取平行于边的中位线，求出的值即可；法二，利用向量的线性运算，结合共线向量定理的推论列式求解. 【详解】法一：（特殊位置法）当过点的直线与平行时，由，得是的中点， 则就是的一条中位线，由，得，所以. 法二：依题意，， 由三点共线，得，所以. 故答案为：4 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 考点03平面向量共线与基本定理的应用 题型一：判断共线 题型二：证明共线 考点一：平面向量的共线 题型三：根据共线求参 题型四：平面向量共线定理的应用 平面向量共线与基本定理的应用 题型五：基底的概念与辨析 考点二：平面向量基本定理 题型六：用基底表示向量 题型七：平面向量基本定理与共线定理的应用 考点童缺 精准补满 考点一：平面向量的共线 1、向量共线定理： 如果a=b(入∈R),则a/ib:反之，如果a/ib且b≠0，则一定存在唯一的实数入，使d=λb, 2、三点共线定理 平面内三点A,B,C共线的充要条件是：存在实数入，μ，使OC=λOA+μOB,其中入+μ=1，O为平面 内一点. A、B、C三点共线 台存在唯一的实数入，使得AC=入AB 口存在唯一的实数入，使得OC=OA+入AB: -存在唯一的实数入，使得OC=(1-)OA+入OB: 台存在1+1=1，使得O心=λOA+μOB. 考点二：平面向量基本定理 如果e1和e2是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量，都存在唯一的一对实数 入1，入2，使得=入，+入2已2，我们把不共线向量它1，E2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为 e1,e,入1e+入2e2叫做向量a关于基底e1,e2的分解式. 注意：由平面向量基本定理可知：只要向量e与e2不共线，平面内的任一向量都可以分解成形如 ā=入1+入2的形式，并且这样的分解是唯一的.入1E+入，E叫做E,E2的一个线性组合.平面向量基本 定理又叫平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础. 若d=入1E1+入2E2=入3E1+入4e2,则入1=入3，入2=入4 题型突破遷法接斌 1/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型一：判断共线 点方法 1、 判断非零向量是否共线可从向量共线定理出发，存在唯一的实数入，使=λb 2、对非共线向量à、b,则k1a+k2b与k3a+k4b共线一k1k4=k3k2 舞易结 零向量与任意向量都共线，所以零向量导致向量共线不具传递性，也会成为判断向量共线情况中的一些 L特殊情况。 1.(24-25高一下·甘肃天水月考)已知非共线向量a、6,AB=a+2b,BC=3ā-b,CD=-5a-36, 则下列说法正确的是() A.A、B、D三点共线 B.A、B、C三点共线 C.B、C、D三点共线 D.A、C、D三点共线 a b 2.(24-25高-下：安徽合肥月考)设a'石为非零向量，则“1a6”是a/6的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.(24-25高二下广西崇左·期末)已知A,B,C,D是平面中四个不同的点，则“AB=2AC-BD( 入>1)”是“A,C,D三点共线”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要 条件 4.(24-25高一下广东茂名·期末)已知，e是同一平面内两个不共线的向量，则‖b的是() A.a=28-6, 6=+2 ,1。 B.a=e+2g,万=2e+6 C.a=e-2e;,b-g+2e; D.a=e-e2,b=2e-4e2 题型二： 证明共线 点方法 1、利用定理来证明共线。如果a=b(入∈R),则a/b;反之，如果a/元b且b≠0，则一定存在唯一的 实数入，使à=λb。 2、把两向量用两个基底向量来表示，证明两基底的系数成比例关系从而判断共线。 3、证明三点共线时，可为这三点构造两个向量，找到存在的唯一的实数入，证明三点共线。 2/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 辨易特 需要找基底来证明向量共线时注意，不共线的两个向量才能作为基底。 1.(2026高三·全国·专题练习)已知任意两个不共线向量a,b,且OA=a+b,OB=a+2b,OC=a+3b, 求证：A,B,C三点共线 2.(2026高三·全国·专题练习)如图，在△ABC中，BO=OC,AT=4T0,AE=2EC.求证：B,T,E 三点共线 3.(2025高一全国·专题练习)如图，在平行四边形ABCD中，点M是AB的中点，点N在BD上， BN=BD,求证：M,N,C三点共线， 3 B M 4.(25-26高一上辽宁鞍山期末)如图，在平行四边形ABCD中，AE=2EB,DF=3FB,设AB, AD=b.注：本小题几何方法求解不得分 D (I)用a,b表示BD,AF; (2)用平面向量证明：E,F,C三点共线 题型三： 根据共线求参 点方法 对非共线向量d、b,则k1a+k2b与k3ā+k,b共线一k1k4=kk2可以通过 1.(24-25高三上广东期中)已知向量a,6不平行，（ā+b列1川ā-b),则元=(） A.-2 B.-1 C.1 D.2 2.(2025高三全国专题练习)已知，区是两个不共线的向量，MB=4-2,说=2站+总，若4，B,C 3/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 三点共线，则实数k的值为() A.-4 B.-1 C.1 D.4 3.(2025四川内江一模)已知向量a=(1,2,b=(1,1,若a-b与a+26共线，则元=() A.-1 B.1 C.2 D.-2 4.(2025湖南3用三模)设D为AAaC所在平面内一点，D=写正+C。若BC=ADC2eK, 5 5 则2的值为() A.4 B.5 C.-4 D.-5 5.(多选)(2026高三·全国专题练习)己知向量a,b不共线，若AB=,a+b,AC=a+2,b,且AB,C 三点共线，则关于实数人，2的值可以是() A.2.1 B.31 c.2 D-3 题型四： 平面向量共线定理的应用 点方法 A、B、C三点共线 一存在唯一的实数入，使得AC=入AB: =存在唯一的实数入，使得OC=OA+λAB: =存在唯一的实数入，使得OC=(1-入)OA+入OB: =存在λ+μ=1，使得OC=OA+μOB 科易结 注意对定理的理解，对系数的几何意义的理解，熟悉定理的逆用。 1.(24-25高-下湖南岳阳期末)如图，在AA8C中，N-2C,P是N上一点，若亚=1B+C, 则实数t的值为() 4/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A. D.6 2.(25-26高三上·北京·月考)已知D点为三角形ABC的BC边上一点（不含端点），E是AC边中点，若 AD=mAB+nAE,则2m+n= 1+2的最小值为一 m n 3.(25-26高三上·天津蓟州：期中)在△ABC中，已知sinB=cosAsinC,且AB.AC=4,则ICA=；若 在线段，。上存在动点，使得CP=2m CA CAI +nCB(m,n>0),则1+2的最小值为一. m n 4.(25-26高一上四川绵阳·期中)在△ABC中，AB=BC=2V2,当元∈R时，BA+2AC的最小值为 2.若AD=DB,BP=sin20BA+cos0BC,0∈R,则DP的最大值为() A.1 B.2 C.10 D.25 5.(25-26高三上·天津津南·期中)在△ABC中，点P为BC边上一点，已知 护-n元则角，的大小为 2 题型五： 基底的概念与辨析 点方法 由平面向量基本定理知，平面内任意不共线的两个向量可作为一对基底。所以判断一对向量是否能作为 「基底的关键在是否共线： 1.(24-25高一下广东东莞期末)若%，是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作为平面向量 的基底的是() uw u w A.{9,6+82 B.etez,e-e2 u w u w C.{6+e2,-2e+2e D.{e-e,-2e+2e2 2.(2026高三·全国·专题练习)设,2是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基 底的是() A.e与e-e2 B.e+e2与g-3e2 C.g-2e,与-3e+6e, 5/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D.2e+3e与g-2e 3.(2025高三·全国：专题练习)设{，为平面内的一个基底，则下面四组向量中不能作为基底的是 () A.g+e2和e-e2 B.4e+2e2和2e-4e2 C.2g+6和g+28 D.g-2e,和4e+2g 4.(多选)(24-25高一下·广东·月考)下列四个命题为真命题的是() A.已知非零向量a,b,c,若a∥b,b∥c,则a∥c B.若四边形ABCD中有AB=2DC,则AB与DC共线 C.已知巴=(-2,3)，e2=(4,-6),e,e,可以作为平面向量的一组基底 612 D.已知向量ā=(2,4，万=(-1,2，则向量方在向量。上的投影向量为55 5.(多选)(25-26高一上·辽宁沈阳·期末)下列关于平面向量的说法中，正确的是() A.若a/1b,b/1c,则a/ B.若a+b,a-b是一组基底，则a,5也是一组基底 C.若A,B,C是平面上不同的三点，且AB/BC,则A,B,C三点共线 D.若a/b,则存在唯一的实数2，使得b=入a 题型六： 用基底表示向量 点方法 1、运用向量的加法、减法、数乘等运算，理解运算的几何意义。 2、运用向量共线定理来表示向量。 1.(多选)(2026河北模拟预测)如图，在梯形ABCD中，AB11CD,AB=2CD,·且BC=3EC,F为 AE的中点.若AB,AD=b,则() 9 3 3 3 6/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.(25-26高三上·新疆·月考)在△ABC中，D是线段BC的中点，点E满足AE=2ED,则BE=() A2AB+A记 2B+4 3 B.3 3 3 -3AB+}4C C.-41 4 D. 3.(25-26高三上·河北邢台·月考)在平行四边形ABCD中，E为AC的中点，F为CD上更靠近C的三等 分点，且E关于F对称的点为G,则BG=() A.-4B+44D 12 3 B.孤+号而c.名酒+而D.名+0 6 4.(25-26高三上四川巴中·月考)如图，在△ABC中，C=2NA,WM=2MB,则下列说法正确的是 ( A.-号丽-g4c B.CB-C D.西-8丽-号C 5.(24-25高一下·黑龙江双鸭山期中)如图，已知ABa,AC=b,BC=4BD,CA=3CE,则DE= () B D B.2a+36 D. 题型七：平面向量基本定理与共线定理的应用 点方法 应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加法、减法或数 乘运算，基本方法有两种： (1)运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行化简，直至用基底表示为止. 7/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)将向量用含参数的基底表示，然后列方程或方程组，利用基底表示向量的唯一性求解. (3)三点共线定理：A,B,P三点共线的充要条件是：存在实数入，H,使OP=OA+μOB,其中 |入+μ=1,0为AB外二点. 1.(2025·黑龙江牡丹江·模拟预测)已知△ABC中，O是BC边上靠近B的三等分点，过点O的直线分别 11 交直线AB,AC于不同的两点M,N,设AB=mAM,4C=nAN,其中m>0,n>0,则m+元的最小值是 m n () A.4 B. +5 C.1+22 3 D.3+2W2 2.(多选)(25-26高一上·河北保定·期中)在△ABC中，D是BC的中点，E是线段AD上的点，过E作 一直线分别与AB,AC交于点M,N,设AE=元AD,AM=xAB,AN=yAC,其中元，x,y∈(0,1，则下列结论 正确的是() A.若BC=4,AC·AB-2,则AD=√6 B.若EA·EB=EB·EC=EC.EA,则△ABC是等边三角形 C.若x= 子则=品 4s3 2 ，则x+2的最小值为1+22 D.若1=2 3.(24-25高一下·贵州遵义·月考)在△ABC中，2BO=OC,过点O的直线分别交直线AB,AC于点M, N,设AB=mAM,AC=nAN,则2m+n的值为() A.1 B.2 C.3 D.4 4.(25-26高三上·湖北孝感·月考)在△ABC中，点P满足BP=3PC,过点P的直线与AB,AC所在的直 线分别交于点M,N,若AM=元AB,AN=uAC(孔>0,4>0)，则入+u的最小值为() M B N C A. 2 B. 21 C.3 2 D.寸 2 5.(多选)(25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期中)己知△ABC中，O是BC边上靠近B的三等分点，Q为 AO的中点，过点O的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M,N,设AB=mAM,AC=nAN,其 8/11 60学科网·上好课 ww .zx xk .com 上好每一堂课 中 m>0，n>0， ，则下列结论正确的是：() $$A . \overrightarrow { A O } = \frac { 2 } { 3 } \overrightarrow { A B } + \frac { 1 } { 3 } \overrightarrow { A C }$$ $$B . \overrightarrow { B Q } = - \frac { 2 } { 3 } \overrightarrow { A B } + \frac { 1 } { 6 } \overrightarrow { A C }$$ C.2m+n=3 $$D . \frac { 1 } { m } + \frac { 1 } { n }$$ 的最小值为 $$3 + 2 \sqrt 2$$ 能力强化 融汇實通 1.(多选)(25-26高二全国假期作业)(多选)以下四个命题中，不正确的是() A.若 $$： \overrightarrow { O P } = \frac { 1 } { 2 } \overrightarrow { O A } + \frac { 1 } { 3 } \overrightarrow { O B } ，$$ ，则 P、A、B 三点共线 B.△ABC 是直角三角形的充要条件是 $$\overrightarrow { A B } \cdot \overrightarrow { A C } = 0$$ C.设{a $$i ， \overrightarrow { b }$$ $$\overrightarrow { b } ，$$ 是空间一个基底，则 $$\left\{ \overrightarrow { a } + \overrightarrow { b } ， \overrightarrow { b } + \overrightarrow { c } ， \overrightarrow { c } + \overrightarrow { a } \right\}$$ 构成空间的另一个基底 $$D . | \left( \overrightarrow { a } \cdot \overrightarrow { b } \right) | \overrightarrow { c } | = | \overrightarrow { a } | \overrightarrow { b } | \overrightarrow { c } |$$ 2.(2026高三.全国·专题练习)已知 $$e _ { 1 } ， e _ { 2 }$$ 是平面上两个不共线的向量，且 $$\overrightarrow { A B } = k \overrightarrow { e _ { 1 } } - 4 \overrightarrow { e } _ { 2 } ， \overrightarrow { C D } = - \overrightarrow { e _ { 1 } } + k \overrightarrow { e _ { 2 } } ，$$ $$\overrightarrow { C B } = \overrightarrow { e _ { 1 } } + 2 \overrightarrow { e _ { 2 } } .$$ (1)若 $$\overrightarrow { A B } ， \overrightarrow { C D }$$ 方向相反，求k的值； (2)若4，C，D三点共线，求k的值. 3.(2026高三全国专题练习) $$\overrightarrow { e _ { 1 } } ， \overrightarrow { e _ { 2 } }$$ 是平面内不共线的两个向量，已知 $$\overrightarrow { A B } = \overrightarrow { e _ { 1 } } - k \overrightarrow { e _ { 2 } } ， \overrightarrow { C B } = 2 \overrightarrow { e _ { 1 } } + \overrightarrow { e _ { 2 } } ，$$ $$\overrightarrow { C D } = 3 \overrightarrow { e _ { 1 } } - \overrightarrow { e _ { 2 } } ，$$ ，若A，B，D三点共线，则k的值是() A.3 B.-3 C.-2 D.2 4.(2026高三全国专题练习)在 △ABC 中， $$\overrightarrow { A N } = \frac { 1 } { 4 } \overrightarrow { N C } ， P$$ 是 BN 上的一点，若 $$\overrightarrow { A P } = m \overrightarrow { A B } + \frac { 2 } { 1 1 } \overrightarrow { A C } ，$$ 实数 m 的值为 9/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.(25-26高三上·湖南长沙·月考)在平行四边形ABCD中，E,F分别是AD,CD的中点，点G在线段 EF上.若AG=AB+uAD,则元+u的最大值为() A.2 B.1 c D.2 6.(多选)(2025高三·全国·专题练习)（多选）若{e,2}是平面内的一个基底，则下面的四组向量中能 作为一个基底的是() A.tete,e-e; B.3e-2e2,4e2-6e C.{+3e2,e2+3e} D.{g,g+8 9.(25-26高三上·北京海淀·月考)如图，四边形ABCD是正方形，延长CD至E,使DE=CD,若点P是 以点A为圆心，AB为半径的圆弧（不超出正方形）上的任一点，设向量AP=入AB+4AE,则+“的最 小值为最大值为一 E D B 7.(2025湖南长沙·二模)设D为△4BC所在平面内一点，若BC=2CD,则下列关系中正确的是( C.AD-3B+AC B+3AC】 2 2 D.AD 2 2 &.(25,26高三上河南月考)在6BC巾，若D=C,而号4C/B,则+-（) C.1 9.(25-26高三上·辽宁·期中)在△ABC中，D为边BC上一点，且满足BD=2DC,设AP=元AD, 10/11