4.2 全等三角形（题型专练，4大题型）数学新教材北师大版七年级下册

画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4.2全等三角形（答案版) A 基础达标题 题型一、全等三角形的有关概念辨析 1.A 2.A. 3.D. 4.D. 5.B. 6.△ABC≌△A'B'C'. 7.△ADC,AD,AC,∠D,∠DCA. 8.∠ACB与∠ECD,∠B与∠D,∠CAB与∠E. 9.【详解】解：△ABE和△ACF的对应角是∠ABE与LACF、LAEB与LAFC、LA与∠A; 对应边是AE与AF、BE与CF、AB与AC. △BOF和aCOE的对应角是∠BOF与LCOE、∠FBO与∠ECO、∠BFO与∠CE0; 对应边是BF与CE、F0与EO、BO与CO. 10.【详解】(1)解：其他对应边：EG和NH,EF和NM;其他对应角：∠E和∠N,∠EGF和∠NHM (2)解：：△EFG≌aNMH, .NM=EF=2.1,EG=NH=3.3, HG=EG-EH=3.3-1.1=2.2, 线段NM和线段HG的长度分别为2.1和2.2. 题型二、全等三角形的性质 11.C. 12.A. 13.B. 14.C. 1/11 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 15.B. 16.B. 17.D. 18.4. 20.【详解】解：：△ABC≌△DEF, :BC EF 即BF+FC=CE+CF, :BF=CE=3, BE=7, :BF+FC+CE=7, 即3+FC+3=7, FC=1. 题型三、将己知图形分割成几个全等的图形 21.【详解】解：如图所示： 22.【详解】解：先将图根据标记的数字画出等面积的小格，然后以阴影部分为基本图形，可以分别得出下 图所示的四种分法： 23.【详解】解：分割线如图所示： 2/11 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 24.【详解】解：如图所示： 25.【详解】解：：要求分成全等的两块， ·每块图形要包含有8个小正方形， 画法1 画法2 画法3 画法4 【点晴】本题主要考查的是作图-应用与设计作图，利用对称性和互补性解题 26.【详解】解：如图所示，第一个图，图中共有20个小方格，要分成完全相同两部分，则每个有10个小 格，则可按如图所示，沿A→B→C→D分割；第二个图同理沿E→F→G→H一→P一→Q分割即可. H 将分割出的两个图形，逆时针旋转90度，再通过平移，两部分能够完全重合，所以分割出的两部分完全相 同. 【点晴】本题考查图形全等，掌握全等图形的定义是解题的关键. 27.【详解】解：如图所示： 3/11 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 图4 (答案不唯一). B 能力提升题 题型一、“全等”与“≌”符号的区别 28.C. 29.D. 0孩2或6 31.2诚9 32.2或4. 33. 2cm或1cm. 9 34.2或5 35.1或7或6. 62号 拓展培优题 37.D. 38.【详解】(1)解：如图，△ABP或△ABP或△ABP为所求： A (2)解：如图ABC和△ABP底边相同，高相等，可知与ABC和△ABP不全等但面积相等（答案不唯一）. 4/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B 图2 39.D. 40.【详解】解：当△ABD≌△ACE时，BD=CE. 分下列两种情况讨论： ①当点E在射线CM上时. 由题意可知CE=2tcm,BD=(10-31cm, 所以10-3t=2t, 所以t=2; ②当点E在CM的反向延长线上时，如图. 由题意可知CE=2tcm,BD=(3t-10)cm, 所以2t=3t-10,所以1=10. 综上所述，当△ABD≌△ACE时，t的值为2或10. M D B 41.【详解】(1)解：由题意得：BM=t,MC=10-t; (2)解：：点N的运动速度也为每秒1cm, .NC=t,BM NC, :aDBM≌aMCN; .MC=BD=6, .10-1=6,解得1=4， ∴t=4时，△DBM≌△MCN: (3)解：由点N的运动速度和点M的速度不相等，则BM≠NC, :△DBM≌△NCM, 5/11 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .BM =MC,NC=BD=6, .M为BC中点， t=10-t,解得：t=5, 点N的速度为每秒二cm. 42.【详解】(1)解：由题意可知，当t=2时，点P的运动距离为2×2=4cm, .AC=8cm, ·当t=2时，点P在线段AC上，此时AP=4cm, 故答案为：4； (2)解：在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6cm,AC=8cm,AB=10cm, 5c-号4C9C-×68=24am, 2 :△APC的面积等于ABC面积的一半， 当点P在BC上时，如图，此时CP=(2t-8)cm, 1 AC.CP, B 1 :.2 ×8(2t-8)=12 解得：t=」 2 当点P在AB上时，如图，过点C作CD⊥AB于点D,此时AP=6+8+10-2t=(24-2)cm, 1 S△Mac=)AB.CD, 2 -D B 210CD=24, 24 ∴CD= 5cm, 6/11 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 S.=AP.CD, 24=12, 24-2 解得：t=9 综上可知，当：号或吕时，A4PC的面积等于4BC面积的一半， 故答案为：或号： (3)解：：∠E=90°，DE=4cm,DF=5cm,EF=3cm,∠C=90°，BC=6cm,AC=8cm,AB=10cm .∠A=∠D, ①当点P在AC上，点Q在AB上， B 当△APQ≌aDEF时， :AP=DE =4cm AQ DF =5cm ·点P的运动时间1=4÷2=2s, 5 :点Q的运动速度为5÷2=。cm/s; 当aAQP≌aDEF时， .AP =DF =5cm AO=DE=4cm, 5 点P的运动时间t=5÷2=二s, 2 ·点Q的运动速度为4÷ 5_8cm/s: 25 B ②当点P在AB上，点Q在AC上， 7/11 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ■ 当aAPQ≌aDEF时， :AP=DE =4cm AQ=DF=5cm :点P的运动时间1=(6+8+10-4)÷2=10s, :点0的运动速度为(6+8+10-5列÷10=19。 cm/s: 10 当△AQP≌aDEF时， B RQ .AO=DE=4cm,AP DF 5cm 点P的运动时间1=(6+8+10-5列÷2= 2S, :点0的运动速度为(6+8+10-4÷19-40 219 cm/s; 综上可知，点0的运动速度为ms政cms或。 10cms或40， 我9cms时，在两点运动过程中的某时刻，恰好 △APQ与ADEF全等. 43.【详解】解：由题意得，AM=t,FN=31, 则CM=8-t, 由轴对称的性质可知直线1垂直平分BF, ∴.CF=CB=6,LBCE=∠FCE, .CN=6-31; ∠MCD+∠CMD=90°，∠MCD+∠BCE=90°， .∠CMD=∠BCE, .∠NCE=∠CMD, :.当CM=CN时，△MDC与aCEN全等， 当点N沿F→C路径运动时，8-t=6-31, 8/11 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 解得，1=-1（不合题意）， 当点N沿C→B路径运动时，8-t=3t-6, 解得，t=3.5, 当点N沿B→C路径运动时，由题意得，8-t=18-31, 解得，t=5, 当点N沿C→F路径运动时，由题意得，8-t=3t-18, 解得，t=6.5, 综上所述，当t=3.5秒或5秒或6.5秒时，△MDC与aCEN全等. 故答案为：3.5秒或5秒或6.5秒 44.D. 45.【详解】(1)解：由题意得PA=2t, .CP=AC-PA=12-2t; (2)解：当点P与点C重合时，t 12二6 2 .点Q的运动路程为1×6=6， BC=8>6, .当点P与点C重合时，点Q在从点C运动到点B的途中， .B0=BC-C0=8-6=2: 3解：点P从点A运动到点C的时间为，=6秒，点P从点A出发再回到点A的时间为2牛上=12秒 2 8 当点Q在从C运动到点B的时间为=8秒， :∠C=90°，△CPQ是等腰直角三角形， .CP =CO 当0<1≤6时，则12-21=1，解得1=4， 当6<1≤8时，则2t-6=t,解得1=12（舍去）： 当8<1≤12时，则21-6)=8-1-8)，解得1=28 ； 综上所述，1的值为4或 39 (4)解：当0<t≤6时，：△APD≌△QBE, .AP=OB, 21=8-1, 9/11 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 解得1-子 当6<t≤8时，：△APD≌△QBE, :AP=OB, 12-2(t-6)=8-1, 解得t=16（舍去)： 当8<1≤12时，：△APD≌△QBE, :AP=OB, .12-2(1-6=1-8, 邦特：器 绿士所述，的篮为安号 31 46.【详解】解：由题意得LACB=∠CEQ=∠PDC=90°， ∴.∠DPC=90°-∠PCD=∠QCE, 当点P在AC上，点Q第一次从B→C上时， PCD与△QCE全等， .PC=CO, .6-31=8-51, 1=1: 当点P在AC上，点Q从C→B上时， PCD与△QCE全等， ..PC=CO, .6-31=5t-8, 7 1=4 当点P在CB上，点Q从C→B上时， PCD与△QCE全等， ..PC=CO, .31-6=5t-8, .t=1（舍)； 当点P在CB上，点Q第二次从B→C上时， 10/11 4.2 全等三角形 题型一、全等三角形的有关概念辨析 1．若，则的对应边是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的表示方法，根据对应点的字母写在对应的位置进行解答即可求解，掌握全等三角形的表示方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴点和点是对应点，点和点是对应点， ∴的对应边是， 故选：． 2．如图，已知，则的对应角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，解答的关键是熟记全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等． 根据全等三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴，则的对应角为． 故选：A． 3．如图，已知，，和全等，则下列表示正确的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形对应点的确认，解题的关键在于熟练掌握三角形全等的定义．根据题意找出对应点，即可解题． 【详解】解：， 与相对应， ， 与相对应， ， 故选：D． 4．如图，两个三角形与全等，观察图形，判断在这两个三角形中边的对应边为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的对应边的含义．注意最长边与最长边对应，最短边与最短边对应．观察图形，找到与长度相等的边即可． 【详解】解：观察图形可知：，， ∴和是对应边， 而显然和是两个三角形中最短的边，是对应边， ∴边的对应边为． 故选D． 5．如图，，点和是对应点，点和是对应点，则的对应角是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的概念，根据全等三角形的概念即可判断，正确找出对应边，对应角是解题的关键． 【详解】解：∵，点和是对应点，点和是对应点， ∴的对应角是， 故选：． 6．已知在和中，A与，B与是对应点，则和全等用符号语言表示为： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的概念．根据全等三角形的概念求解即可． 【详解】解：A与，B与是对应点，则和全等用符号语言表示为， 故答案为：． 7．如图，若沿直线对折，与重合，则 ，的对应边是 ，的对应边是 ，的对应角是 ，的对应角是 ． 【答案】 【分析】本题考查翻折变换及全等三角形的相关概念，解题的关键是掌握翻折的性质及找全等三角形对应边、角的方法． 根据翻折的性质解答即可． 【详解】解：若沿直线对折，与重合，则，的对应边是，的对应边是，的对应角是，的对应角是， 故答案为：，，，，． 8．如图，已知．写出对应边、对应角． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的对应边与对应角．把两个全等的三角形重叠到一起时，重合的顶点叫作对应顶点，重合的边叫作对应边，重合的角叫作对应角．据此即可解答． 【详解】解：对应边：与，与，与； 对应角：与，与，与． 9．如下图，已知，指出这两对全等三角形中所有的对应边和对应角． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质，解题的关键在于熟练掌握全等三角形的对应角、对应边相等． 根据全等三角形的性质，判断各全等三角形的对应边、角即可． 【详解】解：和的对应角是与与与； 对应边是与与与． 和的对应角是与与与； 对应边是与与、与． 10．如图，，和是对应角． 在中，是最长边．在中，是最长边，且． (1)写出其他对应边及对应角； (2)求线段及线段的长度． 【答案】(1)其他对应边：和，和；其他对应角：和，和 (2)线段和线段的长度分别为和 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、线段的和差等知识点，熟练找出两个全等三角形的对应角、对应边是解此题的关键． （1）根据，和是对应角可得到两个三角形中对应相等的三边和三角； （2）根据全等三角形的性质以及线段的和差即可解答． 【详解】（1）解：其他对应边：和，和；其他对应角：和，和． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴线段和线段的长度分别为和． 题型二、全等三角形的性质 11．如图，，若，则的长为（　　） A．3 B． C．4 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形对应边相等． 根据全等三角形的对应边相等可知，，进而可求解 ． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． 故选：C． 12．如图，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键，由可得，进而可得的度数． 【详解】解：， ， 由图可知， ， 故选A． 13．如图，两个三角形全等，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用全等三角形的对应角相等即可求解． 本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键． 【详解】解：∵图中的两个三角形是全等三角形， 又∵第一个三角形中，边长为的对角是， ∴在第二个三角形中，边长为的对角也是， ∴． 故选：B． 14．一个三角形的三边长分别为3，5，7，另一个三角形的三边长分别为，若这两个三角形全等，则（   ） A．4 B．5 C．4或5 D．3或5 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的性质：对应边相等、对应角相等，解决此类边长对应问题时，需先确定明确的对应边，再对剩余边进行分类讨论． 由于两个三角形全等，且第二个三角形中有一条边为3，因此这条边必须与第一个三角形中的边3对应，剩余两边对应第一个三角形中的5和7，有两种对应情况，分别解方程组求和，再计算． 【详解】解：两个三角形全等，且第二个三角形有一边为3， 此边必与第一个三角形的边3对应， 情况一：且， 相加得， ，代入得， ； 情况二：且， 相加得， ，代入得， ； 或． 故选：． 15．若，点和点，点和点是对应顶点，若的周长为，，则的长为（   ） A．5 B．6 C．9 D．5或9 【答案】B 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键； 根据全等三角形的对应边相等，由对应顶点关系确定对应，再通过周长求出即可得． 【详解】解：，点和点，点和点是对应顶点， 与为对应边，即 的周长为，， ， 即， ， 故选：B． 16．如图，已知，若，，则的长为（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质；根据全等三角形的性质可得，进而可得，即可得解． 【详解】解：， ， ， ， ，， ， ， ， 故选：． 17．已知图中的两个三角形全等，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质． 根据全等三角形的性质找出对应角即可作答． 【详解】解：∵图中的两个三角形全等，a与a，c与c分别是对应边，那么它们的夹角就是对应角， ∴， 故选：D． 18．如图，已知，，，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了全等三角形的性质，线段的和差，根据全等三角形的性质得到，进而得到． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：4． 19．如图，点B，E在上，，若，，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的性质，得到，根据线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∵，，， ∴； 故答案为：． 20．如图，已知， 的对应角为， 的对应角为，若，求的长． 【答案】1 【分析】本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的对应边相等，可得，进而可得，结合即可求解． 【详解】解：， ， 即， ， ， ， 即， ． 题型三、将已知图形分割成几个全等的图形 21．如示例图将的棋盘沿格线划分成两个全等的图形，请再用另外3种方法将的棋盘沿格线划分成两个全等图形（约定分割线必须经过网格线）． 【答案】详见解析 【分析】此题主要考查全等形，理解全等形的概念是解题关键． 直接利用全等图形的性质来构造图形． 【详解】解：如图所示： 22．手工劳动课上，老师给每个小组发一张硬纸板（如图），要求每个小组把它分成四个形状相同、面积相等的图形．他们该怎么分？请你试一试． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查了分割大小形状的图像，先将图根据标记的数字画出等面积的小格，然后以阴影部分为基本图形，画出形状相同、面积相等的图形． 【详解】解：先将图根据标记的数字画出等面积的小格，然后以阴影部分为基本图形，可以分别得出下图所示的四种分法： 23．把如图所示的由16个小正方形组成的图形，用三种不同的方法沿网格线分割成两个全等图形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的概念，结合图形的对称性和互补性，利用面积相等以及图形全等分别分割即可． 【详解】解：分割线如图所示： 24．沿虚线，画出四种方案，分别将下面的正方形划分成两个全等的图形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查作图，以及全等图形的定义．可以利用图形的对称性和互补性来分隔成两个全等的图形． 【详解】解：如图所示： 25．如图1，把大小为的正方形网格分割成了两个全等形．请在图2中，沿着虚线画出四种不同的分割方法，把的正方形网格分割成两个全等形．      【答案】见解析 【分析】可以利用图形的对称性和互补性来分隔成两个全等的图形． 【详解】解：∵要求分成全等的两块， ∴每块图形要包含有8个小正方形．    【点睛】本题主要考查的是作图-应用与设计作图，利用对称性和互补性解题． 26．方格纸上有2个图形，你能沿着格线把每一个图形都分成完全相同的两个部分吗？请画出分割线． 【答案】见解析 【分析】观察第一个图，图中共有20个小方格，要分成完全相同两部分，则每个有10个小格，则可按如图所示，沿A→B→C→D分割；第二个图同理沿E→F→G→H→P→Q分割即可． 【详解】解：如图所示，第一个图，图中共有20个小方格，要分成完全相同两部分，则每个有10个小格，则可按如图所示，沿A→B→C→D分割；第二个图同理沿E→F→G→H→P→Q分割即可． 将分割出的两个图形，逆时针旋转90度，再通过平移，两部分能够完全重合，所以分割出的两部分完全相同． 【点睛】本题考查图形全等，掌握全等图形的定义是解题的关键． 27．知识重现：“能够完全重合的两个图形叫做全等图形．” 理解应用：我们可以把的正方形网格图形划分为两个全等图形． 范例：如图1 和图2是两种不同的划分方法，其中图3 与图1视为同一种划分方法． 要求：请你再提供2种与上面不同的划分方法，分别在图4 中画出来． （请将所划分的两个全等图形之一用铅笔描黑） 【答案】见解析（答案不唯一） 【分析】本题考查了全等图形的概念，根据能够完全重合的图形为全等图形，在图中画出即可，熟知全等图形的概念是解题的关键． 【详解】解：如图所示： （答案不唯一）． 题型一、“全等”与“≌”符号的区别 28．已知等腰三角形的周长为，，与全等，则的边（    ） A．2 B．5或8 C．2或5或8 D．2或7或8 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键，根据等腰三角形的性质，分为腰和为底两种情况，求出三角形的边长，再根据全等三角形的性质，可能等于三角形的任意一边． 【详解】解：∵等腰三角形的周长为，， 当为腰时，另一腰长为8，底边长为； 当为底时，两腰长均为； ∴三角形的边长可能为8，8，2或5，5，8； ∵， ∴可能等于三角形的任意一边，即或5或8． 故选：C． 29．如图，，，、分别为线段和射线上的一点，若点从点出发向点运动，同时点从点出发向点运动，二者速度之比为，运动到某时刻同时停止，在射线上取一点，使与全等，则的长为（　　） A．2 B．3 C．2或3 D．2或6 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，利用分类讨论思想是解答此题的关键． 设，则，使与全等，由可知，分两种情况： 情况一：当，时，列方程解得，可得的长度； 情况二：当，时，列方程解得，可得的长度． 【详解】解：∵点与点运动速度之比为， ∴时间相同时，， 令，， ∵，则， 若， 则有（全等三角形对应边相等）， 则， 解得：， 此时； 若， 则有（全等三角形对应边相等）， 则， 解得， 此时， 综上所述，如果使与全等，则的长为或． 故选：D． 30．如图，，垂足为A，厘米，厘米，射线，垂足为B，一动点P从点A出发以3厘米/秒的速度沿射线运动，同时动点D从点B出发沿射线运动．设点D运动的速度为v厘米/秒，当 厘米/秒时，能够在某一时刻使与全等． 【答案】或2或6 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，设点P运动的时间为秒，则厘米，厘米，厘米，当点P在线段上时，只有这种情况，当点P在的延长线上时，只存在和两种情况，据此根据全等三角形的性质建立方程组求解即可． 【详解】解：设点P运动的时间为秒，则厘米，厘米，厘米， ∵，， ∴， 当点P在线段上时， ∵， ∴此时只有这种情况， ∴厘米，厘米， ∴， 解得； 当点P在的延长线上时，， ∴只存在和两种情况， 当时，则厘米，厘米， ∴， 解得； 当时，则厘米，厘米， ∴， 解得； 综上所述，v的值为或2或6． 故答案为：或2或6． 31．如图，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时点在射线上运动，当点运动结束时，点随之结束运动，当点运动到某处时有与全等，则的运动速度是 ． 【答案】或． 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，一元一次方程的应用（几何问题）等知识点，运用全等三角形对应边相等列方程是解题的关键． 设点在射线上运动速度为，它们运动的时间为，则，，，，根据题意分两种情况讨论：①，，②，，然后分别列出方程求解即可． 【详解】解：设点在射线上运动速度为，它们运动的时间为， 则，，，， 若， 则，， ，， 解得：，； 若， 则，， ，， 解得：，； 综上，的运动速度是或， 故答案为：或． 32．如图，在四边形中，，，，点在线段上由点向点运动，同时点在线段上由点向点运动．当△与△全等时， ． 【答案】2或4 【分析】本题考查全等三角形的性质，关键是要分两种情况讨论．当△△时，得到；当△△时，推出，得到，即可得到答案． 【详解】解：当△△时， ； 当△△时， ， ， 或． 故答案为：或． 33．如图，，，点在线段上以的速度由点向点运动．同时，点从点出发在射线上以的速度运动，它们运动的时间为（当点运动结束时，点运动随之结束）．在射线上取点，在、运动到某处时，有与全等，则此时的长度为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，一元一次方程的运用，掌握全等三角形的性质正确列式是关键． 根据题意得到，，则，结合全等三角形的性质分类讨论，并列式求解即可． 【详解】解：点在线段上以的速度由点向点运动， ∴点从的时间为， ∵它们运动的时间为， ∴，，则， 当时， ∴， ∴， 解得：， ∴； 当时， ∴， ∴， 解得：， ∴； 综上所述，的长度为或， 故答案为：或． 34．如图，等腰中，，，，点为中点，如果点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段上由点C向点A运动．当与全等时，点Q的运动速度为 ． 【答案】2或 【分析】本题考查了全等三角形的对应边相等的性质，等边对等角的性质．根据等边对等角可得，然后表示出，再根据全等三角形对应边相等，分①、是对应边，②与是对应边两种情况讨论求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 设点P、Q的运动时间为t， ， ∵， ∴， ∵与全等， ∴或， ①当时，， 解得：， 则， 故点Q的运动速度为：； ②当时， ∵， ∴，， ∴（秒）． 故点Q的运动速度为． 故答案为：2或． 35．如图，中，，，，，直线l经过点C且与边相交．动点P从点A出发沿路径向终点B运动；动点Q从点B出发沿路径向终点A运动．点P和点Q的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点P到达终点B时计时结束．设运动时间为t秒．在某时刻分别过点P和点Q作于点E，于点F，当 为何值时，与全等． 【答案】1或或6 【分析】分点在上，点在上；点与点重合；与重合三种情况，根据全等三角形的性质列式计算即可．本题考查的是全等三角形的性质，一元一次方程的应用，以及分类讨论的数学思想，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． 【详解】解：∵，， ， ， ； ∵， ∴点P运动3秒到达点C，点Q运动2秒到达点C； ①如图1，当点在上，点在上时， 由题意得，，， ，， ，， ∵与全等， ∴只存在这种情况， ∴， 即， 解得； ②如图2，当点与点重合时，则，此时满足， ∵， ， 解得； ③如图3，当点与重合时， ∵与全等， ∴只存在这种情况， ∴， 即， 解得； 综上所述：当或或时，与全等． 故答案为：1或或6． 36．如图，在中，是上的一点，，，，动点从点出发向点运动，速度为，同时动点从点出发向点匀速运动，连接、，在运动过程中，存在某一时刻使与全等，则点的运动速度为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了全等三角形的性质，设运动时间为，则，，再分和两种情况，利用全等三角形的性质解答即可求解，掌握全等三角形的性质并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：设运动时间为，则， ∴， ∵， 当时，，， ∴，， 解得，， ∴点的运动速度为； 当时，，， ∴，， 解得， ∴点的运动速度为； 综上，点的运动速度为或， 故答案为：或． 37．如图，的两条高与交于点，，．点在射线上，且，动点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发，沿射线以每秒个单位长度的速度运动，当点到达点时，，两点同时停止运动，设运动时间为秒，当与全等时，则的值为（    ） A．秒 B．秒 C．秒或秒 D．秒或秒 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． 分情况讨论点分别在延长线上或在之间时，，根据对应边相等，解一元一次方程求得值即可选出结果． 【详解】解：①当点在延长线上时：设秒时，、分别运动到如图位置，． ， ∵，， ∴当时，， ∵，， ∴， 解得． ②当点在之间时：设秒时，、分别运动到如图位置，． ∵，， ∴当时，， ∵，， ∴， 解得． 综上，或， 故选：D． 38．如图，在的方格纸中，的三个顶点都在格点上，请按以下要求画格点三角形． (1)在图1中，画出一个与全等（不包含）的； (2)在图2中，画出一个与不全等但面积相等的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析，答案不唯一 【分析】本题考查了全等的性质，三角形面积问题．熟练掌握全等三角形对应边相等与三角形的面积公式是解题的关键． （1）根据全等三角形对应边相等作图即可； （2）根据三角形不全等但面积相等的性质画出同底等高三角形即可． 【详解】（1）解：如图，或 或为所求： （2）解：如图和底边相同，高相等，可知与和不全等但面积相等（答案不唯一）． 39．如图1，与满足，，，，我们称这样的两个三角形为“伪全等三角形”．如图2，，则图中共有“伪全等三角形”（    ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】D 【分析】本题考查了新定义，全等三角形的性质，理解题意，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．根据，结合“伪全等三角形”的定义：两个三角形的两边相等，一个角相等，且这个角不是夹角，据此对图中的三角形分析判断，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴在和中，，，，符合“伪全等三角形”的定义； 在和中，，，，符合“伪全等三角形”的定义； 在和中，，，，符合“伪全等三角形”的定义； 在和中，，，，符合“伪全等三角形”的定义； 综上所述，共有4对“伪全等三角形”． 故选：D． 40．如下图，在中，已知，，，直线，动点D从点C出发沿射线CB以3cm/s的速度运动，同时动点E从点C出发在直线CM上以2cm/s的速度运动，连接AD，AE，设运动时间为ts．当时，求t的值． 【答案】2或10 【分析】本题考查了全等三角形的性质的运用，一元一次方程的运用，解答时分类讨论是重点也是难点，熟练掌握全等三角形的性质是解决问题的关键． 分两种情况讨论，如图，当点在射线上时，当点在的反向延长线上时，由全等三角形的性质得到，建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解：当时，． 分下列两种情况讨论： ①当点在射线上时． 由题意可知，， 所以， 所以； ②当点在的反向延长线上时，如图． 由题意可知，， 所以，所以． 综上所述，当时，的值为或． 41．如图，在中，，，点在上，且；点从出发以每秒的速度向点运动，同时，点从出发向点运动，设运动时间为秒，连接、． (1)用含t的式子表示、； (2)若点N的运动速度也为每秒，t为何值时，； (3)若点N的运动速度和点M的速度不相等，要使，则点N的运动速度为多少？全等时t为多少？ 【答案】(1)，； (2)； (3)点N的速度为每秒，全等时 【分析】本题考查了全等三角形的性质，解一元一次方程，列代数式，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据题意列代数式即可； （）由点的运动速度也为每秒，则，，再由，则，所以，然后求解即可； （）由点的运动速度和点的速度不相等，则，，则，，即为中点，所以，然后求解即可； 【详解】（1）解：由题意得：，； （2）解：∵点的运动速度也为每秒， ∴，， ∵； ∴， ∴，解得， ∴时，； （3）解：由点的运动速度和点的速度不相等，则， ∵， ∴，， ∴为中点， ∴，解得：， ∴点的速度为每秒． 42．如图①，在中，，，，，现有一动点从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为秒． (1)如图①，当时，___________； (2)如图①当___________时，的面积等于面积的一半； (3)如图②，在中，，，，，在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止，在两点运动过程中的某时刻，恰好，求点的运动速度． 【答案】(1)4 (2)或 (3)点的运动速度为或或或时，在两点运动过程中的某时刻，恰好与全等． 【分析】本题主要考查全等三角形的性质及三角形面积、一元一次方程的几何应用，分类讨论思想，掌握全等三角形的性质及分情况讨论是解题的关键． （1）当时，点在线段上，则点的运动距离即为的长； （2）先求出，进而得出，分两种情况讨论：当点在上时，，利用三角形面积公式求解即可；解得：；当点在上时，过点作于点，此时，先利用等面积法求出，再利用三角形面积公式求解即可； （3）分两种情况讨论：①当点在上，点在上；②当点在上，点在上，根据全等三角形的性质，得到，，再分别求出点的运动时间，进而求出点的运动速度即可． 【详解】（1）解：由题意可知，当时，点的运动距离为， ， 当时，点在线段上，此时， 故答案为：； （2）解：在中，，，，， ， 的面积等于面积的一半， 当点在上时，如图，此时， ， 解得：； 当点在上时，如图，过点作于点，此时， ， ， ， ， ， 解得：， 综上可知，当或时，的面积等于面积的一半， 故答案为：或； （3）解：∵，，，，，，，， ∴， ①当点在上，点在上， 当时， ，， 点的运动时间， 点的运动速度为； 当时， ∴，， ∴点的运动时间， ∴点的运动速度为； ②当点在上，点在上， 当时， ，， 点的运动时间， 点的运动速度为； 当时， ∴，， ∴点的运动时间， ∴点的运动速度为； 综上可知，点的运动速度为或或或时，在两点运动过程中的某时刻，恰好与全等． 43．如图，中，，直线l经过点C．若，，点B与点F关于直线l对称，连接，，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿边向终点C运动，同时动点N从点F出发，以每秒3个单位长度的速度沿F→C→B→C→F向终点F运动，点M、N到达相应的终点时停止运动，过点M作于点D，过点N作于点E，设运动时间为t秒．当 时，与全等． 【答案】秒或5秒或6.5秒 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，分点N沿F→C路径运动，点N沿C→B路径运动，点N沿B→C路径运动，点N沿C→F路径运动四种情况，根据全等三角形的判定定理列式计算． 【详解】解：由题意得，，， 则， 由轴对称的性质可知直线l垂直平分， ∴，， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴当时，与全等， 当点N沿F→C路径运动时，， 解得，（不合题意）， 当点N沿C→B路径运动时，， 解得，， 当点N沿B→C路径运动时，由题意得，， 解得，， 当点N沿C→F路径运动时，由题意得，， 解得，， 综上所述，当秒或5秒或6.5秒时，与全等． 故答案为：秒或5秒或6.5秒 44．如图，在四边形中，，，点P为上的点不与点A，C重合，观察下列图形中全等三角形的对数．其中，图1中有3对全等三角形，图2中有6对全等三角形，图3中有10对全等三角形，…．按此规律，图25中有（   ）对全等三角形． A．196 B．256 C．325 D．351 【答案】D 【分析】本题考查了图形规律与组合数计算，解题的关键是通过分析线段上的点数，归纳出全等三角形对数的公式． 观察图1到图3上的点数对应（为图序号），全等对数为（为上的点数）；结合图序号与点数的关系，代入公式计算图的对数． 【详解】解：图1中,上有3个点，全等对数为； 图2中,上有4个点，全等对数为； 图3中,上有5个点，全等对数为；得规律：第个图中,上有个点，全等对数为 当时， 故选：D． 45．在中，，动点从点出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度做往返运动（到达后立即沿返回），连接．当点到达点时，同时停止运动．设点的运动时间为秒（）． (1)在点从运动到的过程中，线段的长为______；（用含的代数式表示） (2)当点与点重合时，求线段的长； (3)当为等腰直角三角形时，求值； (4)分别过点作于点，于点．当时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)2 (3)4或 (4)或 【分析】本题考查了等腰直角三角形的定义，全等三角形的性质，一元一次方程的应用等；能用分类讨论的思想进行求解是解题的关键． （1）用的长减去点P运动的路程即可得到答案； （2）当点P与点C重合时求得，则可证明此时点Q从点C运动到点B的途中，由即可求解； （3）分三种情况：，和，根据等腰直角三角形的定义可得，据此建立方程求解即可； （4）分三种情况：，和，由全等三角形的性质可得，据此建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， ∴； （2）解：当点P与点C重合时，， ∴点Q的运动路程为， ∵， ∴当点P与点C重合时，点Q在从点C运动到点B的途中， ∴； （3）解：点P从点A运动到点C的时间为秒，点P从点A出发再回到点A的时间为秒，当点Q在从C运动到点B的时间为秒， ∵，是等腰直角三角形， ∴； 当时，则，解得， 当时，则，解得（舍去）； 当时，则，解得； 综上所述，t的值为4或； （4）解：当时，∵， ∴， ∴， 解得； 当时，∵， ∴， ∴， 解得（舍去）； 当时，∵， ∴， ∴， 解得； 综上所述，t的值为或． 46．如图，中，，，，顶点在直线上，点以的速度沿向终点运动，同时点以的速度从点开始，在线段上往返运动（即运动），当点到达终点时，，同时停止运动．过，分别作直线的垂线段，垂足分别为，．设运动时间为，当与全等时，求运动时间． 【答案】1或或 【分析】本题考查了全等三角形的性质、一元一次方程的应用．分四种情况讨论，由与全等，，①当点P在上，点Q第一次从上时，则；当点P在上，点Q从上时，则；当点P在上，点Q从上时，则；当点P在上，点Q第二次从上时，则，分别解方程并检验即可． 【详解】解：由题意得， ， 当点在上，点第一次从上时， 与全等， ， ， ； 当点在上，点从上时， 与全等， ， ， ； 当点在上，点从上时， 与全等， ， ， （舍）； 当点在上，点第二次从上时， 与全等， ， ， ； 综上所述：的值为1或或． 试卷第2页，共37页 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.2 全等三角形 题型一、全等三角形的有关概念辨析 1．若，则的对应边是（    ） A． B． C． D． 2．如图，已知，则的对应角是（    ） A． B． C． D． 3．如图，已知，，和全等，则下列表示正确的是（   ）    A． B． C． D． 4．如图，两个三角形与全等，观察图形，判断在这两个三角形中边的对应边为（   ） A． B． C． D． 5．如图，，点和是对应点，点和是对应点，则的对应角是（   ） A． B． C． D． 6．已知在和中，A与，B与是对应点，则和全等用符号语言表示为： ． 7．如图，若沿直线对折，与重合，则 ，的对应边是 ，的对应边是 ，的对应角是 ，的对应角是 ． 8．如图，已知．写出对应边、对应角． 9．如下图，已知，指出这两对全等三角形中所有的对应边和对应角． 10．如图，，和是对应角． 在中，是最长边．在中，是最长边，且． (1)写出其他对应边及对应角； (2)求线段及线段的长度． 题型二、全等三角形的性质 11．如图，，若，则的长为（　　） A．3 B． C．4 D．6 12．如图，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 13．如图，两个三角形全等，则等于（    ） A． B． C． D． 14．一个三角形的三边长分别为3，5，7，另一个三角形的三边长分别为，若这两个三角形全等，则（   ） A．4 B．5 C．4或5 D．3或5 15．若，点和点，点和点是对应顶点，若的周长为，，则的长为（   ） A．5 B．6 C．9 D．5或9 16．如图，已知，若，，则的长为（   ） A． B．1 C．2 D．3 17．已知图中的两个三角形全等，则的度数是（    ） A． B． C． D． 18．如图，已知，，，则 ． 19．如图，点B，E在上，，若，，则的长是 ． 20．如图，已知， 的对应角为， 的对应角为，若，求的长． 题型三、将已知图形分割成几个全等的图形 21．如示例图将的棋盘沿格线划分成两个全等的图形，请再用另外3种方法将的棋盘沿格线划分成两个全等图形（约定分割线必须经过网格线）． 22．手工劳动课上，老师给每个小组发一张硬纸板（如图），要求每个小组把它分成四个形状相同、面积相等的图形．他们该怎么分？请你试一试． 23．把如图所示的由16个小正方形组成的图形，用三种不同的方法沿网格线分割成两个全等图形． 24．沿虚线，画出四种方案，分别将下面的正方形划分成两个全等的图形． 25．如图1，把大小为的正方形网格分割成了两个全等形．请在图2中，沿着虚线画出四种不同的分割方法，把的正方形网格分割成两个全等形．      26．方格纸上有2个图形，你能沿着格线把每一个图形都分成完全相同的两个部分吗？请画出分割线． 27．知识重现：“能够完全重合的两个图形叫做全等图形．” 理解应用：我们可以把的正方形网格图形划分为两个全等图形． 范例：如图1 和图2是两种不同的划分方法，其中图3 与图1视为同一种划分方法． 要求：请你再提供2种与上面不同的划分方法，分别在图4 中画出来． （请将所划分的两个全等图形之一用铅笔描黑） 题型一、“全等”与“≌”符号的区别 28．已知等腰三角形的周长为，，与全等，则的边（    ） A．2 B．5或8 C．2或5或8 D．2或7或8 29．如图，，，、分别为线段和射线上的一点，若点从点出发向点运动，同时点从点出发向点运动，二者速度之比为，运动到某时刻同时停止，在射线上取一点，使与全等，则的长为（　　） A．2 B．3 C．2或3 D．2或6 30．如图，，垂足为A，厘米，厘米，射线，垂足为B，一动点P从点A出发以3厘米/秒的速度沿射线运动，同时动点D从点B出发沿射线运动．设点D运动的速度为v厘米/秒，当 厘米/秒时，能够在某一时刻使与全等． 31．如图，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时点在射线上运动，当点运动结束时，点随之结束运动，当点运动到某处时有与全等，则的运动速度是 ． 32．如图，在四边形中，，，，点在线段上由点向点运动，同时点在线段上由点向点运动．当△与△全等时， ． 33．如图，，，点在线段上以的速度由点向点运动．同时，点从点出发在射线上以的速度运动，它们运动的时间为（当点运动结束时，点运动随之结束）．在射线上取点，在、运动到某处时，有与全等，则此时的长度为 ． 34．如图，等腰中，，，，点为中点，如果点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段上由点C向点A运动．当与全等时，点Q的运动速度为 ． 35．如图，中，，，，，直线l经过点C且与边相交．动点P从点A出发沿路径向终点B运动；动点Q从点B出发沿路径向终点A运动．点P和点Q的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点P到达终点B时计时结束．设运动时间为t秒．在某时刻分别过点P和点Q作于点E，于点F，当 为何值时，与全等． 36．如图，在中，是上的一点，，，，动点从点出发向点运动，速度为，同时动点从点出发向点匀速运动，连接、，在运动过程中，存在某一时刻使与全等，则点的运动速度为 ． 37．如图，的两条高与交于点，，．点在射线上，且，动点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发，沿射线以每秒个单位长度的速度运动，当点到达点时，，两点同时停止运动，设运动时间为秒，当与全等时，则的值为（    ） A．秒 B．秒 C．秒或秒 D．秒或秒 38．如图，在的方格纸中，的三个顶点都在格点上，请按以下要求画格点三角形． (1)在图1中，画出一个与全等（不包含）的； (2)在图2中，画出一个与不全等但面积相等的． 39．如图1，与满足，，，，我们称这样的两个三角形为“伪全等三角形”．如图2，，则图中共有“伪全等三角形”（    ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 40．如下图，在中，已知，，，直线，动点D从点C出发沿射线CB以3cm/s的速度运动，同时动点E从点C出发在直线CM上以2cm/s的速度运动，连接AD，AE，设运动时间为ts．当时，求t的值． 41．如图，在中，，，点在上，且；点从出发以每秒的速度向点运动，同时，点从出发向点运动，设运动时间为秒，连接、． (1)用含t的式子表示、； (2)若点N的运动速度也为每秒，t为何值时，； (3)若点N的运动速度和点M的速度不相等，要使，则点N的运动速度为多少？全等时t为多少？ 42．如图①，在中，，，，，现有一动点从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为秒． (1)如图①，当时，___________； (2)如图①当___________时，的面积等于面积的一半； (3)如图②，在中，，，，，在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止，在两点运动过程中的某时刻，恰好，求点的运动速度． 43．如图，中，，直线l经过点C．若，，点B与点F关于直线l对称，连接，，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿边向终点C运动，同时动点N从点F出发，以每秒3个单位长度的速度沿F→C→B→C→F向终点F运动，点M、N到达相应的终点时停止运动，过点M作于点D，过点N作于点E，设运动时间为t秒．当 时，与全等． 44．如图，在四边形中，，，点P为上的点不与点A，C重合，观察下列图形中全等三角形的对数．其中，图1中有3对全等三角形，图2中有6对全等三角形，图3中有10对全等三角形，…．按此规律，图25中有（   ）对全等三角形． A．196 B．256 C．325 D．351 45．在中，，动点从点出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度做往返运动（到达后立即沿返回），连接．当点到达点时，同时停止运动．设点的运动时间为秒（）． (1)在点从运动到的过程中，线段的长为______；（用含的代数式表示） (2)当点与点重合时，求线段的长； (3)当为等腰直角三角形时，求值； (4)分别过点作于点，于点．当时，直接写出的值． 46．如图，中，，，，顶点在直线上，点以的速度沿向终点运动，同时点以的速度从点开始，在线段上往返运动（即运动），当点到达终点时，，同时停止运动．过，分别作直线的垂线段，垂足分别为，．设运动时间为，当与全等时，求运动时间． 试卷第2页，共37页 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $