4.3探索三角形全等的条件（第4课时全等三角形性质与判定的综合）（教学课件）-2024-2025学年七年级数学下册考试满分全攻略同步备课备考系列（北师大版2024）

北师大版（2024）七年级数学下册 第四章 三角形 4.3探索三角形全等的条件 第4课时 全等三角形性质与判定的综合 目录 学习目标 01 情景导入 02 新知探究 03 课本例题 04 05 课本练习 06 分层练习 08 07 课本习题 课堂小结 学习目标 1. 熟练掌握全等三角形的判定定理，全面认清条件，能正确地利用判定条件判定三角形全等. 2. 运用全等三角形的性质和判定定理解决线段相等与角相等的相关实际性问题. 3. 通过全等三角形性质与判定的证明，进一步培养推理论证能力. 情景导入 判定两个三角形全等除了定义以外，我们还学习了哪些方法？ (2)“SAS”：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等； (3)“ASA”：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等； (1)“SSS”：三边对应相等的两个三角形全等； (4)“AAS”：两角及其一角对边对应相等的两个三角形全等； 新知探究 例1 如图，AB∥CD，并且AB=CD，那么△ABD 与△CDB 全等吗?请说明理由。 分析: ①已知条件: AB=CD ②隐含条件: 公共边 BD ③可以考虑哪个定理判定： SAS ④缺少的条件： ∠1=∠2 AB∥CD 两直线平行，内错角相等 例1 如图，AB∥CD，并且AB=CD，那么△ABD 与△CDB 全等吗?请说明理由。 解：因为AB∥CD， 根据“两直线平行，内错角相等”， 所以∠1=∠2。 在△ABD和△CDB 中， 因为AB=CD，∠1=∠2，BD=DB， 根据三角形全等的判定条件“SAS”， 所以△ABD≌△CDB。 例2 如图，AC与BD相交于点O，且OA=OB，OC=OD。 （1）△AOD与△BOC全等吗?请说明理由。 分析：①已知条件: ②隐含条件: OA=OB，OC=OD ∠AOD=∠BOC ③可以用于判定的定理： 边角边 解：(1)因为∠AOD与∠BOC 是对顶角， 根据“对顶角相等”， 所以∠AOD=∠BOC。 在△AOD和△BOC 中， 因为OA=OB，∠AOD=∠BOC，OD=OC ， 根据三角形全等的判定条件“SAS”， 所以△AOD≌△ BOC。 例2 如图，AC与BD相交于点O，且OA=OB，OC=OD。 （1）△AOD与△BOC全等吗?请说明理由。 例2 如图，AC与BD相交于点O，且OA=OB，OC=OD。 （2）△ACD与△BDC全等吗?为什么? △AOD≌△ BOC AD=BC， DC=CD， AC=BD， △ACD≌△ BDC 分析： 例2 如图，AC与BD相交于点O，且OA=OB，OC=OD。 （2）△ACD与△BDC全等吗?为什么? (2) 由(1)可知，△AOD≌△ BOC ， 根据“全等三角形的对应边相等”， 所以AD=BC。 因为OA=OB，OC=OD， AC=OA+OC，BD=OB+OD， 所以AC=BD。 在△ACD和△BDC 中， 因为AD=BC，AC=BD，DC=CD， 根据三角形全等的判定条件“SSS”， 所以△ ACD ≌△ BDC。 你还能根据其他的判断条件，判定这两个三角形全等吗? 例2 如图，AC与BD相交于点O，且OA=OB，OC=OD。 （2）△ACD与△BDC全等吗?为什么? 在△ACD和△BDC 中， 因为AD=BC，∠A=∠B，AC=BD， 根据三角形全等的判定条件“SAS”， 所以△ ACD ≌△ BDC。 例2 如图，AC与BD相交于点O，且OA=OB，OC=OD。 （2）△ACD与△BDC全等吗?为什么? 例2 如图，AC与BD相交于点O，且OA=OB，OC=OD。 （2）△ACD与△BDC全等吗?为什么? 在△ACD和△BDC 中， 因为∠ACD=∠BDC，∠A=∠B，AD=BC， 根据三角形全等的判定条件“AAS”， 所以△ ACD ≌△ BDC。 在△ACD和△BDC 中， 因为∠A=∠B，AC=BD，∠ACD=∠BDC， 根据三角形全等的判定条件“ASA”， 所以△ ACD ≌△ BDC。 例2 如图，AC与BD相交于点O，且OA=OB，OC=OD。 （2）△ACD与△BDC全等吗?为什么? 回顾反思 说明一个结论正确与否时，需要给出充分的理由，你是如何找到说理思路的?对此你积累了哪些经验? 补充例题 例 如图，△ADF 和△BCE 中，∠A =∠B，点 D，E，F，C 在同一直线上，有如下三个关系式： ①AD = BC；② DE = CF；③ BE∥AF. (1) 请用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出所有你认为正确的命题(用序号写出命题书写形式，如：如果①②，那么③)； 解：如果①③，那么②； 如果②③，那么①. (2) 选择 (1) 中你写出的一个命题，说明它正确的理由. 解：对于“如果①③，那么②”理由如下： ∵ BE∥AF，∴∠AFD =∠BEC. 又∵AD = BC，∠A =∠B， ∴△ADF≌△BCE (AAS). ∴DF = CE. ∴DF－EF = CE－EF，即 DE = CF. 对于“如果②③，那么①”证明如下： ∵ BE∥AF，∴∠AFD =∠BEC. ∵ DE = CF，∴ DE + EF = CF + EF，即 DF = CE. ∴∠A =∠B，∴△ADF≌△BCE(AAS). ∴AD = BC. 概念归纳 三角形全等的条件及判定方法： 对应相等 的元素 两边及 其夹角 两角及 其夹边 两角及其中 一角的对边 三边 三角形 全等理由 SAS ASA AAS SSS 1. 三角形全等书写的三个步骤： ① 写出在哪两个三角形中； ② 摆出三个条件用大括号括起来； ③ 写出全等结论. 2. 怎样寻找已知条件：已知条件包含两部分， 一是已知中给出的， 二是图形中隐含的(如公共边、公共角等). 随堂练习 1.如图，∠A，∠D为直角，AC与DB相交于点E，BE与EC相等，在图中找出两对全等三角形。 △ABE≌△ DCE ； △ABC≌△ DCB 。 【课本P106 随堂练习 第1题】 分层练习 基础题 1. [2024温州期末] 下列条件能判定 的是( ) D A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， （第2题） 2. 如图，在和中，点 ， ，，在同一条直线上， ， ，只添加一个条件，不能判定 的是( ) C A. B. C. D. 22 （第3题） 3. [2024青岛月考] 如图， ，，与 相交 于 点，则图中的全等三角形有 ( ) C A. 2对 B. 3对 C. 4对 D. 5对 23 （第4题） 4.如图，已知， ，可根据三角 形全等得到 ，则三角形全等的依据是 ( ) B A. B. C. D. 24 （第5题） 5.如图，， ，添加下列一个条件 后，不能使 的是( ) A A. B. C. D. 25 6.根据下列已知条件，画出的 不唯一的是( ) D A.，， B. ， ， C. ，， D. ，， 26 7.如图，，，，，则 等于___。 4 （第7题） 27 8.[2024德州] 如图，是的中点， ，请添加一个条件 ________________________，使 。 （答案不唯一） （第8题） 28 9.[2024济宁月考] 如图，点，，， 在同一 直线上，，， 。说明 。请将下面的解答过程补充完整。 解：因为 ， 所以 ， 所以____ ____。 因为 ， 所以____ ____（________________________）， 两直线平行，内错角相等 29 在和 中， 因为 ____=____ _____=____ _____=____ 所以 （_____）， 所以 （________________________）。 全等三角形的对应边相等 10.如图，小明的一款等腰直角三角板形 状的玩具，恰好落在了两堆竖直摆放的 砖块之间。 试说明： 。 解：由题意知， ， ， 所以 ， ， 所以。所以 。 31 11.[2024广州模拟] 如图，，， 是 的延长线上一点。试说明： （1） ； 解：在和中，因为 所以，所以 。 32 （2） 。 解：因为，所以 ， 在和中，因为 所以，所以 。 33 12.[2024长沙期中] 如图，已知 ， ， . （1）试说明： ； 【解】因为,所以 . 又因为 ， 所以 . 又因为， ， 所以 . 34 （2）若，，请求出 的长度. 【解】由（1）得，所以 . 所以 . 35 13.[2024西安新城区期中] 如图，在 中， ，点在 的延长线上，且.过点 作，与的垂线交于 点 . 36 （1）试说明： ； 37 【解】因为 ,所以易得 . 因为 ,所以 . 所以 . 因为，所以 . 在和中, 所以 . 38 （2）若，，求 的长. 【解】由（1）得,,所以 . 又因为, ,所以 . 因为, ,所以 . 39 综合应用题 （第9题） 14.如图，在中，平分交于点 ， 延长到点，使得，连接 。若 ，则 的度数是( ) B A. B. C. D. 15. 两组邻边分别相等的四边形叫作 “筝形”.如图，四边形 是一个筝形，其中， ，， 交于点 .某同学在探究筝形的性质 时，得到如下结论：； ； C A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 ；④四边形的面积 .其中正 确的结论有( ) 41 【点拨】在和中， 所以 ，故③正确； 所以 . 在和中， 42 所以 . 所以 ， ， 故②正确. 所以 ，故①正确； 四边形 的面积 ，故④错误.故选C. （第16题） 16.如图，在和中，与 相 交于点，与相交于点，与 相交于点 ， ， ， 。给出下列结论： ； ；； 。 其中正确的结论是________（填序号）。 ①③④ 44 点拨：因为，所以，在 和 中，因为所以 ，所以 ，，，所以①③都正确，在 和 中，所以 ，故④正确， 根据已知条件无法说明②是否正确。 45 17.[2024杭州一模] 如图，点在边上（不与点，点 重 合），在边上（不与点，点重合），连接， ， 与相交于点，， . 有以下四个结论： ； ；； . （1）以上四个结论中正确的是________；（填序号） ①②③ 46 （2）请从（1）中任选一个结论进行说明. 【解】选择①： 在和中， 所以.所以 ; 选择②： 47 在和中， 所以.所以 . 又因为，所以 ，即 . 在和中， 所以.所以 ； 选择③： 在和中， 所以.所以 . 又因为，所以 ，即 . 在和中， 所以.所以 . 18.[2024武汉期中] 如图，已知点在线段上，且 和 都是等边三角形，连接，，分别交， 于点 ， . （1）试说明： ； 51 【解】因为和 都是等边三角形, 所以， ， . 所以 , 即 . 在和中, 所以 . 52 （2）试说明： . 53 【解】由（1）知 ,所以 . 又因为 , 所以 . 在和中, 所以 .所以 . 54 创新拓展题 19.在中，， ，点在 的延长线 上，是的中点，是射线上一动点，且 ，连 接，作，交的延长线于点 . （1）如图①，当点在上时，___（填“”“ ”或“ ”）； 【点拨】连接 ，如图①所示. 因为 ，所以 . 在和中， 所以 . 所以， . 因为 ， 56 所以 ,即 . 因为 ， 所以.所以 . 因为是的中点，所以 . 在和中， 所以.所以 . 所以 . （2）如图②，当点在 的延长线上 时，请根据题意将图形补全，判断与 的数量关系，并说明你的结论是正确 的. 58 【解】根据题意将图形补全，如图②所示. ，说明如下： 如图②，连接 ， 因为 ，点在 的延长线上， 所以 . 在和中， 59 所以.所以 ， . 因为 ， ， 所以 . 所以 . 因为是的中点，所以 . 在和中， 所以 . 所以.所以 . 20.[2024苏州期末] 已知线段 直线于点，点在直线 上，分别 以，为边作等边三角形和等边三角形，直线交直线 于点 。 62 （1）当点在线段 上时，如图①，试说明： （i） ； 解：因为和 都是等边三角形， 所以，， ， 所以 ， 在和中，因为 所以，所以 。 63 （ii） 。 解：由（1）得 ， ， 所以。因为 直线 ， 所以 ，所以 。 因为点，，在同一条直线上， ， 所以 ，所以，所以 。 因为， ， 所以，即 。 64 （2）当点在线段延长线上时，如图②，请写出线段，， 之间的关系，并说明理由。 [答案] 。理由如下： 由（1）易得 ， 所以 ， ， 所以 ， 所以。因为 ， 所以，即 。 65 习题 解:作法: (1)作一条线段AB=a。 (2)分别以点 A，B 为圆心，以 2a 的长为半径作弧，两弧交于点C。 (3)连接AC，BC。 △ABC 就是所要作的三角形(如图所示)。 1.如图，已知线段a，用尺规作△ABC，使AB=a，BC=AC=2a。 2.图中的两个三角形全等吗？说明理由。 解:图中的两个三角形全等。 理由：这两个三角形有两角分别相等，且其中一组等角的对边相等，符合“AAS”的判定条件，故两个三角形全等。 3.图中的两个三角形有几对相等的角?这两个三角形全等吗?请说明理由。 解:有三对相等的角，这两个三角形全等。 理由：这两个三角形的两角及其夹边分别相等(或两角和其中一组等角的对边分别相等)，所以这两个三角形全等。 解:作法: (1)作角∠DAF= ∠α， (2)在射线 AF 上截取线段AB=a。 (3)以B 为顶点，以BA 为一边， 作角∠ABE=2∠α，BE交AD于点C。 △ABC 就是所要作的三角形(如图所示)。 4. 如图，已知∠α和线段a，用尺规作一个三角形，使它的一个内角等于∠α，另外一个内角等于2∠α，且这两内角的夹边等于a。 5.如图，点E在AB上，AC=AD，∠CAB=∠DAB，△ACE与△ADE全等吗? △ACB与△ADB呢?请说明理由。 解: △ACE ≌ △ADE ，△ ACB ≌△ ADB 理由: 在△ACE 和△ADE 中， 因为AC=AD，∠CAE =∠DAE，AE=AE， 根据三角形全等的判定条件“SAS”， 所以△ACE ≌ △ADE 。 在△ACB 和△ADB 中， 因为AC=AD，∠CAB=∠DAB，AB=AB， 根据三角形全等的判定条件“SAS”， 所以△ ACB ≌△ ADB 。 5.如图，点E在AB上，AC=AD，∠CAB=∠DAB，△ACE与△ADE全等吗? △ACB与△ADB呢?请说明理由。 α 6.如图，已知直角α和线段a，b，用尺规作一个直角三角形，使它的两条直角边分别等于a，b。 解:作法: (1)作∠DBE 等于题中直角。 (2)在射线 BD 上截取线段BA= a，在射线BE上截取线段BC=b。 (3)连接AC。△ABC 就是所要作的三角形(如图所示)。 7.如图，C是线段AB的中点，∠D=∠E，∠A=∠B。 请在图中找出两对全等三角形，并说明理由。 解: △CDB≌△CEA， △DCF≌△ECG。 理由: 因为C 是线段AB 的中点， 所以BC=AC。 又因为∠D =∠E，∠B=∠A， 根据三角形全等的判定条件“AAS”， 所以△CDB≌△CEA。 所以CD= CE。 又因为∠D= ∠E，∠DCF= ∠ECG， 根据三角形全等的判定条件“ASA”， 所以△DCF≌△ECG。 (答案不唯一) 8.准备几根硬纸条。 取出三根硬纸条钉成一个三角形，你能拉动其中两边，使这个三角形的形状发生变化吗? 解: (1) 三角形的形状不会发生变化。 (2)取出四根硬纸条钉成一个四边形，拉动其中两边， 这个四边形的形状改变了吗? 钉成一个五边形，又会怎样? (2) 四边形、五边形的形状都发生了改变。 8.准备几根硬纸条。 (3)上面的现象说明了什么? (3) 三角形具有稳定性，四边形、五边形具有不稳定性。 9.两个锐角分别相等的两个直角三角形全等吗?为什么? 解:不一定全等。 理由: 如图。 △ABC 与△DEC 都是直角三角形， ∠C=90°，∠A= ∠EDC，∠B=∠DEC ， 很明显△ABC 与△DEC 并不全等。 10.如图，AB=AD，AC=AE，∠BAC=∠DAE，∠B与∠D相等吗? 小丽的思考过程如下。 在△ABC和△ADE中， 因为AB=AD，∠BAC=∠DAE，AC=AE，所以△ABC≌△ADE， 所以∠B=∠D。 请说明小丽每一步的理由。 在△ABC和△ADE中， 因为AB=AD，∠BAC=∠DAE，AC=AE，所以△ABC≌△ADE， 所以∠B=∠D。 解:第一步:根据三角形全等的判定条件“SAS”， 可以得到△ABC≌△ADE； 第二步:全等三角形的对应角相等。 11.如图， △EFG的三边相等，三个内角也相等， 点H，I，J分别在△EFG的三边上。 (1) 如果H，I，J分别为△EFG三边的中点，那么△EHJ，△FIH， △GJI全等吗?△HIJ的三边相等吗? 解: (1)全等，相等。 E F G H J I 11.如图， △EFG的三边相等，三个内角也相等， 点H，I，J分别在△EFG的三边上。 (2) 全等，相等。 E F G H J I (2) 如果HF = EF，IG = FG，JE = GE，那么△EHJ，△FIH，△GJI全等吗? △HIJ的三边相等吗? 11.如图， △EFG的三边相等，三个内角也相等，点H，I，J分别在△EFG的三边上。 (3) 请你尝试提出一个更一般的问题。 (3)如果HF=IG=JE，那么△EHJ，△FIH，△GJI全等吗? △EHJ的三边相等吗? E F G H J I 12. 如图，仪器 ABCD 可以用来平分一个角，其中AB=AD，BC=DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们落在角的两边上，沿 AC画一条射线 AE，AE就是∠PRQ的平分线。你认为这样合理吗?为什么? 解:合理。理由: 在△ABC 和△ADC 中， 因为AB=AD， BC=DC，AC=AC， 根据三角形全等的判定条件“SSS”， 所以△ABC≌△ADC。 所以∠BAC= ∠DAC，即∠QRE=∠PRE。 所以AE 就是∠PRQ 的平分线。 13.列举生活中运用三角形稳定性的案例。 14.如图，小明不慎将一块三角形模具打碎为两块，他如果只带其中的一块碎片到商店去，能否配一块与原来一样的三角形模具呢?如果可以，带哪块去合适?为什么? 解:可以。带那块含有两个完整角的碎片去合适。 因为根据三角形全等的判定条件“ASA”可知，利用这块就能配出一块与原来一样的三角形模具。 15.如图，小颖作业本上画的三角形被污染，她想重新画出一个与原来完全一样的三角形，她该怎么办?请帮助小颖想出一个办法，并说明你的理由。 解: 观察图形可知，未被墨迹污染的有两条边及其夹角，故根据三角形全等的判定条件“SAS”，可以作一个与原来完全一样的三角形。 16.先画一个△ABC，然后选择△ABC中适当的边和角，用尺规作出与△ABC全等的三角形(在所作的三角形中标出用到的条件)。 课堂小结 性质 全等三角形 全等三角形的对应边相等，对应角相等 判定条件 边边边(SSS) 角边角(ASA) 角角边(AAS) 边角边(SAS) $$