精品解析：云南省昭通市威信县2025-2026学年九年级上学期1月学生综合素养阶段性练习数学试题

2025年秋季学期学生综合素养阶段性练习 九年级数学 【命题范围：上册完】 （全卷三个大题，共27个小题，共6页；满分100分，练习用时120分钟） 注意事项： 1．学生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在练习、草稿纸上作答无效． 2．练习结束后，请将练习和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共15小题，每小题2分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 根据中心对称图形的概念求解即可． 【详解】解：A、该图形不是中心对称图形，不符合题意； B、该图形不是中心对称图形，不符合题意； C、该图形不是中心对称图形，不符合题意； D、该图形是中心对称图形，符合题意； 故选：D． 2. 下列事件中，是必然事件的是（） A. 明天北京会下雨 B. 车辆随机到达一个路口，遇到绿灯 C. 如果，那么 D. 掷一枚正方体骰子，向上一面的点数是0 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查事件的分类，必然事件是指一定会发生的事件，据此对各选项逐一判断即可． 【详解】解：A．明天北京下雨不确定，是随机事件； B．车辆随机到达一个路口，遇到绿灯是随机事件； C．若，则恒成立，是必然事件； D．正方体骰子点数为1，2，3，4，5，6，无0点，因此向上一面的点数是0是不可能事件． 故选：C． 3. 一元二次方程化成一般形式，它的一次项系数与常数项的和为（ ） A. B. 1 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确把握定义是解题的关键．将方程化为一般形式后，识别系数并求和． 【详解】解：原方程：， 移项得：， ，，， ， 故选：A． 4. 若是二次函数，则的值为（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的定义，二次函数的一般形式为()，根据定义列出关于的方程与不等式，进而求解的值． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴，且． 由，得，解得或． 又∵，即， ∴． 故选：A． 5. 如图，是的直径，、是的三等分点，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆的基本性质，圆周角定理，等腰三角形的性质等；由等腰三角形的性质得，由圆周角定理得，由、是的三等分点即可求解． 【详解】解：， ， ， ， 、是的三等分点， ， ， ， 故选：B． 6. 判断一元二次方程“”根的情况时，甲同学说：“方程有两个不相等的实数根”；乙同学说：“方程有两个相等的实数根”；丙同学说：“方程没有实数根”；丁同学说：“无法判断”，他们的说法正确的是（ ） A. 甲 B. C. 丙 D. 丁 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了运用判别式的值来判断一元二次方程的根的情况，结合，得，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴方程没有实数根， 故丙同学正确， 故选：C． 7. 二次函数的图象如图，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，二次函数图象与轴交点个数与判别式的关系；由图象得，，，图象与轴无交点，即可求解． 【详解】解：由图得 ，，， ， A 、C 、D都正确； 图象与轴无交点， ， B的结论错误； 故选：B． 8. 某校八年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排21场比赛，则八年级班级的个数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】设有x个班级参加比赛，根据题目中的比赛规则，可得一共进行了x(x−1)场比赛，即可列出方程，求解即可． 【详解】解：设有x个班级参加比赛， x(x−1)=21， ， 解得：（舍）， 则共有7个班级参加比赛， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，得到比赛总数的等量关系． 9. 张老师计划在一个直角三角形花坛内建造一个圆形喷泉，要求喷泉与花坛的三条边都相切，如图所示，设切点分别为，已知米，米，则圆形喷泉的半径是（ ） A. 2米 B. 2.5米 C. 3米 D. 4米 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查直角三角形内切圆半径的计算，可通过勾股定理先求出斜边长度，再利用面积法求解． 【详解】解：∵在中，，米，米， ∴（米）． 如图，连接，，，，，，设内切圆半径为，则， ∵的面积可以表示为，也可以表示为， ∴， 解得． 故选：C． 10. 把函数的图象，先向右平移6个单位长度，再向下平移7个单位长度，可以得到函数图象的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移变换，核心知识点是“左加右减，上加下减”的平移规律．先根据向右平移的规则对自变量进行变换，再根据向下平移的规则对函数整体进行变换，从而得到平移后的函数解析式． 【详解】解：原函数为，根据二次函数图象平移规律“左加右减，上加下减”， 先将图象向右平移个单位长度，得到函数； 再将所得图象向下平移个单位长度，得到， 化简得． 故选：A． 11. 如图，在一个直角墙角处，两面墙互相垂直，即，已知，．甲机器人从点沿方向以每秒的速度爬行，同时乙机器人从点沿方向以每秒的速度爬行．设运动秒后，分别到达点的位置，这时的面积恰好为，由题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的综合题，准确地理解题意并列出代数式是解题的关键．设运动秒后，分别到达点的位置，根据路程公式，可得、的长，继而得、的长，根据的面积恰好为，即可列出关于t的一元二次方程． 【详解】解：设运动秒后，分别到达点的位置， 由题意得，， 故选：D． 12. 已知点都在抛物线的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质．先确定抛物线的开口方向与对称轴，再计算各点到对称轴的距离，结合开口方向判断函数值的大小关系． 【详解】解：∵抛物线的解析式为()， ∴抛物线开口向下，且对称轴为直线． ∵对于开口向下的抛物线，抛物线上的点到对称轴的距离越远，对应的函数值越小， ∴点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为． ∵， ∴，即． 故选：C． 13. 手工课上，小丽用一张半径为，圆心角为的扇形纸片制作一个圆锥形的玩偶纸帽（接缝处不重叠），则这个圆锥形玩偶纸帽的底面圆的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了扇形弧长的相关计算．设这个圆锥形玩偶纸帽的底面圆的半径为，根据圆锥的底面周长等于扇形的弧长列出方程，求解即可． 【详解】解：设这个圆锥形玩偶纸帽的底面圆的半径为，则 ， 解得， ∴这个圆锥形玩偶纸帽的底面圆的半径为． 故选：B． 14. 如图，在滑雪大跳台比赛中，运动员从跳台滑出后，在空中飞行的高度（米）与时间（秒）之间满足函数关系：，则运动员从起跳到落地所需要的时间为（ ） A. 2秒 B. 3秒 C. 3.5秒 D. 4秒 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是熟练地解一元二次方程． 令，解方程求即可． 【详解】解：令，则， 解得（舍去），， 运动员从起跳到落地所需要的时间为秒． 故选：D． 15. 如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为，连接．当点在同一条直线上时，线段的长度为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 根据旋转的性质可得，从而得到，，进而得到是等腰直角三角形，然后利用勾股定理解题即可． 【详解】解：∵将绕点逆时针旋转得到， ， ∴，， 点A，D，E在同一条直线上， ， 又， ， 是等腰直角三角形， ． 故选：D 二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分． 16. 已知的半径为，若点在上，则点到圆心的距离为___________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内． 根据点与圆的位置关系判断即可． 【详解】解：∵的半径为，点在上， ∴点P到圆心O的距离为． 故答案为3． 17. 若实数是一元二次方程的两个根，则多项式的值为___________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 根据一元二次方程根与系数的关系，求出和的值，然后代入多项式计算． 【详解】解：∵m，n是一元二次方程的两个根， ∴根据根与系数的关系，， ∴， 故答案为：1． 18. 若二次函数的图象与轴只有一个交点，那么的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查抛物线与轴的交点，明确题意，找出所求问题需要的条件，知道二次函数的图象与轴只有一个交点，说明是解答本题的关键； 根据二次函数图象与轴只有一个交点，可得判别式即可求解． 【详解】解：对于二次函数，其中，一次项系数为，， 判别式， ∵二次函数的图象与轴只有一个交点， ∴，得，解得或， 故答案为：． 19. 在一个不透明的抽奖箱中装有张奖券，分别印有“中奖”和“谢谢参与”两种字样，除字样外其他都相同．经统计，抽到“中奖”奖券的频率稳定在左右，则抽奖箱中“中奖”奖券可能有___________张． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查概率公式，解题的关键是明确概率的计算方法，会计算一定条件下的概率．根据频率与概率的关系，频率稳定值可近似作为概率，从而估算中奖奖券数量． 【详解】解：设“中奖”奖券有张，则抽到“中奖”的频率为， ， 解得， 故答案为． 三、解答题：本题共8小题，共62分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 20. 解下列方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程； （1）用配方法解一元二次方程即可； （2）用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， 移项：， 配方：， 即， 开方： 解得：． 【小问2详解】 解： 移项： 因式分解： 或 解得：． 21. 如图，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上． （1）作出绕点顺时针方向旋转后得到的； （2）作出关于原点成中心对称的，并写出的坐标． 【答案】（1）如图，即为所求： （2）如图，即为所求，的坐标为： 【解析】 【分析】（1）根据题意所述的旋转三要素，依次找到各点旋转后的对应点，顺次连接可得到； （2）根据中心对称点平分对应点连线，可找到各点的对应点，顺次连接可得，结合直角坐标系可得出点的坐标． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 某新能源汽车充电站9月份的充电服务收入为4万元，随着电动汽车的普及，收入稳步提升，11月份的收入达到万元． （1）求该充电站10月、11月的月平均增长率； （2）如果收入还保持相同的月平均增长率，则该充电站12月份的收入是多少万元？ 【答案】（1）该充电站10月、11月的月平均增长率为． （2）该充电站12月份的收入是6.912万元． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解题意，设该充电站10月、11月的月平均增长率为，9月份的充电服务收入为4万元， 11月份的收入达到万元进行列式计算，即可作答． （2）结合该充电站10月、11月的月平均增长率为，进行列式计算，得出该充电站12月份的收入是6.912万元，即可作答． 【小问1详解】 解：设该充电站10月、11月的月平均增长率为， 根据题意得：， 解得：（舍去）． 答：该充电站10月、11月的月平均增长率为． 【小问2详解】 解：由（1）得该充电站10月、11月的月平均增长率为． （万元）， 答：该充电站12月份的收入是万元． 23. 某校举行班级文化展示活动，展示主题有《传统文化》《科技创新》和《绿色环保》（分别用字母，依次表示这三个主题），要求各班从这三个主题中任选一个参加展示． （1）用画树状图或列表的方法表示九年级（1）班和九年级（2）班选主题的所有可能的结果； （2）求出九年级（1）班和九年级（2）班选中同一主题的概率． 【答案】（1） 解：由题意可列表如下， 九年级（2）班选的主题 九年级（1）班选的主题 由表可知，所有可能的结果共有9种． （2） 【解析】 【分析】本题考查了列表法求概率，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，运用列表法表示出所有的情况，即可作答． （2）由（1）的列表可知，共有9种等可能的结果，运用概率公式进行列式计算，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）的列表可知，共有9种等可的结果， 两个班选中同一主题的情况有3种，即： 选中同一主题的概率． 24. 如图所示，是圆的直径，和是圆的弦，于点于点，连接，． （1）若，求圆的半径； （2）当时，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由垂径定理得，由勾股定理得，即可求解； （2）结合，由等边三角形的判定方法得是等边三角形，由等边三角形的性质得，，由三角函数得，，由即可求解． 【小问1详解】 解： 为的直径，， ， 设，则， ， ， 故圆的半径为． 【小问2详解】 解：连接，如图． ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了圆的基本性质，垂径定理，勾股定理，三角函数，全等三角形的判定及性质，扇形的面积等；能熟练利用垂径定理，勾股定理，三角函数进行求解是解题的关键． 25. 某水果店销售榴莲，成本价为40元/千克，经市场调查，每周销售量（千克）与销售单价（元/千克）之间的关系如图所示，规定每千克售价不能低于成本价且不得高于成本价的倍． （1）求出与之间的函数关系式； （2）设每周的总利润为元，当销售单价定为多少元时，该水果店每周的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）当销售单价定为100元时，该水果店每周的利润最大，最大利润是4800元． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．确定变量，建立函数模型，注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值）是解题的关键． （1）设与之间的函数关系式为，将点代入一次函数表达式，即可求解； （2）由题意得：，根据二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：设与之间的函数关系式为， 将分别代入，得： ， 解得， 与之间的函数关系式为． 【小问2详解】 解： 当时，随的增大而增大， ， 当时，最大，为4800元． 答：当销售单价定为100元时，该水果店每周的利润最大，最大利润是4800元． 26. 已知抛物线与轴交于两点，点的坐标为（1，0），抛物线与轴交于点为坐标原点． （1）求抛物线的解析式； （2）若该抛物线上存在一点，使得的面积是面积的，请求出点的坐标． 【答案】（1） （2）点的坐标为 【解析】 【分析】本题考查二次函数的解析式求解与面积相关的综合应用，包括待定系数法求二次函数解析式、抛物线与坐标轴交点的求解、三角形面积公式的应用，以及通过面积关系建立方程求解点坐标等． (1)利用抛物线经过的两个已知点的坐标，代入解析式建立方程组，从而求出未知系数； (2)先计算出的面积，再根据面积关系求出的面积，结合的长度确定点的纵坐标，最后代入抛物线解析式求出横坐标，得到点的坐标． 【小问1详解】 解：∵抛物线过点和， ∴将代入解析式，得， 将代入解析式，得，解得 ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 ∵，，， ∴，， ∴． ∵，∴． 令，解得，， ∴，则． 设点的坐标为， ∵， ∴，得． 当时，，即，解得， ∴或； 当时，，即，解得， ∴． 综上，点的坐标为． 27. 如图，内接正方形与交于点是的劣弧上的任意一点，连接，，延长至，使． （1）的度数为___________； （2）求证：直线是的切线； （3）当，时，求线段的长度． 【答案】（1） （2） 证明：在正方形中，， ． ， ， ， ． 是的半径， 是的切线． （3） 【解析】 【分析】本题考查圆内接正方形的性质、圆周角定理(圆周角等于对应圆心角的一半)、圆周角定理的推论、切线的判定定理、全等三角形的判定()与性质等知识． （1）先利用圆内接正方形的性质得到圆心角；再根据圆周角定理，直接计算出的度数； （2）先结合与得到，可推出；又因为是的半径，满足“直线垂直于半径外端”的切线判定条件，从而证明是的切线； （3）延长至，使，连接；利用圆内接正方形的性质和圆内接四边形的性质，根据判定定理可证；由全等三角形的性质得、，进而推出，即是等腰直角三角形，结合等腰直角三角形斜边与直角边的关系，可算出；再根据直径所对的圆周角，在中，设，则，结合，利用勾股定理列方程，解得或；最后结合在劣弧上的位置特征，以及正方形边长(由对角线推导)，可知，排除，最终确定． 【小问1详解】 解：，∵内接正方形 ∴， ∴． 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，延长至，使，连接，则． 四边形是正方形， ． 四边形是圆内接四边形， ． ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 设，则． 为的直径， ， 在Rt中，， 即，解得， ， 等腰中，， 是的劣弧上的任意一点， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季学期学生综合素养阶段性练习 九年级数学 【命题范围：上册完】 （全卷三个大题，共27个小题，共6页；满分100分，练习用时120分钟） 注意事项： 1．学生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在练习、草稿纸上作答无效． 2．练习结束后，请将练习和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共15小题，每小题2分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列事件中，是必然事件的是（） A. 明天北京会下雨 B. 车辆随机到达一个路口，遇到绿灯 C. 如果，那么 D. 掷一枚正方体骰子，向上一面的点数是0 3. 一元二次方程化成一般形式，它的一次项系数与常数项的和为（ ） A. B. 1 C. D. 4 4. 若是二次函数，则的值为（ ） A. B. 4 C. D. 5. 如图，是的直径，、是的三等分点，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 判断一元二次方程“”根的情况时，甲同学说：“方程有两个不相等的实数根”；乙同学说：“方程有两个相等的实数根”；丙同学说：“方程没有实数根”；丁同学说：“无法判断”，他们的说法正确的是（ ） A. 甲 B. C. 丙 D. 丁 7. 二次函数的图象如图，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 某校八年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排21场比赛，则八年级班级的个数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 9. 张老师计划在一个直角三角形花坛内建造一个圆形喷泉，要求喷泉与花坛的三条边都相切，如图所示，设切点分别为，已知米，米，则圆形喷泉的半径是（ ） A. 2米 B. 2.5米 C. 3米 D. 4米 10. 把函数的图象，先向右平移6个单位长度，再向下平移7个单位长度，可以得到函数图象的解析式是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在一个直角墙角处，两面墙互相垂直，即，已知，．甲机器人从点沿方向以每秒的速度爬行，同时乙机器人从点沿方向以每秒的速度爬行．设运动秒后，分别到达点的位置，这时的面积恰好为，由题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 12. 已知点都在抛物线的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 13. 手工课上，小丽用一张半径为，圆心角为的扇形纸片制作一个圆锥形的玩偶纸帽（接缝处不重叠），则这个圆锥形玩偶纸帽的底面圆的半径为（ ） A. B. C. D. 14. 如图，在滑雪大跳台比赛中，运动员从跳台滑出后，在空中飞行的高度（米）与时间（秒）之间满足函数关系：，则运动员从起跳到落地所需要的时间为（ ） A. 2秒 B. 3秒 C. 3.5秒 D. 4秒 15. 如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为，连接．当点在同一条直线上时，线段的长度为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分． 16. 已知的半径为，若点在上，则点到圆心的距离为___________． 17. 若实数是一元二次方程的两个根，则多项式的值为___________． 18. 若二次函数的图象与轴只有一个交点，那么的值为___________． 19. 在一个不透明的抽奖箱中装有张奖券，分别印有“中奖”和“谢谢参与”两种字样，除字样外其他都相同．经统计，抽到“中奖”奖券的频率稳定在左右，则抽奖箱中“中奖”奖券可能有___________张． 三、解答题：本题共8小题，共62分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 20. 解下列方程： （1） （2） 21. 如图，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上． （1）作出绕点顺时针方向旋转后得到的； （2）作出关于原点成中心对称的，并写出的坐标． 22. 某新能源汽车充电站9月份的充电服务收入为4万元，随着电动汽车的普及，收入稳步提升，11月份的收入达到万元． （1）求该充电站10月、11月的月平均增长率； （2）如果收入还保持相同的月平均增长率，则该充电站12月份的收入是多少万元？ 23. 某校举行班级文化展示活动，展示主题有《传统文化》《科技创新》和《绿色环保》（分别用字母，依次表示这三个主题），要求各班从这三个主题中任选一个参加展示． （1）用画树状图或列表的方法表示九年级（1）班和九年级（2）班选主题的所有可能的结果； （2）求出九年级（1）班和九年级（2）班选中同一主题的概率． 24. 如图所示，是圆的直径，和是圆的弦，于点于点，连接，． （1）若，求圆的半径； （2）当时，求图中阴影部分的面积． 25. 某水果店销售榴莲，成本价为40元/千克，经市场调查，每周销售量（千克）与销售单价（元/千克）之间的关系如图所示，规定每千克售价不能低于成本价且不得高于成本价的倍． （1）求出与之间的函数关系式； （2）设每周的总利润为元，当销售单价定为多少元时，该水果店每周的利润最大？最大利润是多少元？ 26. 已知抛物线与轴交于两点，点的坐标为（1，0），抛物线与轴交于点为坐标原点． （1）求抛物线的解析式； （2）若该抛物线上存在一点，使得的面积是面积的，请求出点的坐标． 27. 如图，内接正方形与交于点是的劣弧上的任意一点，连接，，延长至，使． （1）的度数为___________； （2）求证：直线是的切线； （3）当，时，求线段的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $