28.2.2(第2课时)利用仰俯角解直角三角形（培优教学课件）数学人教版九年级下册

第28章 锐角三角函数 人教版 数学 九年级 下册 28.2.2(第2课时) 利用仰俯角 解直角三角形 情境引入 果果暑期和家人去旅游，当他们到达如图所示的点A 处时，他准备估算出离他的目的地，海拔为3500 m的山峰顶点B处的水平距离. ． A B ． ． 思考：你能想出个可行的办法吗？ 仰角与俯角 在进行测量时， 从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角； 从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角. 铅直线 水平线 视线 视线 仰角 俯角 典例精析 例1 如图，为了测量旗杆的高度BC，在离旗杆底部10米的A处，用高1. 20米的测角仪DA测得旗杆顶端C的仰角α= 52°.求旗杆BC的高.（tan 52°≈1.28,精确到0. 1米） 解： 在 Rt△CDE中， ∵ CE = DE × tan α = AB × tan α = 10× tan 52° ≈12.80, ∴BC = BE + CE=DA + CE ≈1. 20 + 12. 80 = 14.0(米). 答：旗杆BC的高度约为14. 0米.  典例精析 例2 港珠澳大桥是连接香港、珠海、澳门的跨海桥隧工程，全长55千米，2018年通车，以“三地三检”模式助力粤港澳大湾区互联互通，创下多项世界之最．港珠澳大桥主桥为三座大跨度钢结构斜拉桥，其中九洲航道桥主塔造型取自“风帆”，寓意“扬帆起航”，某校九年级学生为了测量该主塔的高度，站在B处看塔顶A，仰角为60°，在距B处160米的C处看塔顶A，仰角为30°，求该主塔的高度． 如何作辅助线？ 典例精析 例2 方法归纳 1．仰角和俯角是指视线相对于水平线而言的，不同位置的仰角和俯角是不同的；可巧记为“上仰下俯”．在测量物体的高度时，要善于将实际问题抽象为数学问题． 2. 视线、水平线、物体的高构成直角三角形，已知仰角(俯角)和另一边，利用解直角三角形的知识就可以求出物体的高度． 3．弄清仰角、俯角的定义，根据题意画出几何图形，将实际问题中的数量关系归结到直角三角形中来求解． 仰角、俯角问题的常见基本模型 模型一 A D B E C 模型二 A B D C α β 模型三 α β B C D A 模型四 α β 典例精析 例3 榆林人民大厦，以榆林代表性的古迹“镇北台和凌霄塔”为设计蓝本，配以天圆地方的设计理念．果果所在的兴趣小组准备测量该大厦的高度PQ,如图，他在M处放置了一面平面镜（大小忽略不计），然后沿QM方向移动，当他站在点D处时恰好能在平面镜中看到大厦顶端P的像，已知果果的眼睛距离地面的高度CD为1.5米，DM=1.5米; 小组成员在大厦另一侧点B处安装一个1.5米高的测角仪AB,测得大厦顶端P的仰角为56.3°，已知BM=164米，AB⊥DB,PQ⊥DB,CD⊥DB,点B,Q,M,D在同一条水平线上，图中所有点均在同一平面内．请你帮助该小组求出该大厦的高度PQ．参考数据： 典例精析 例3 ∵AB⊥DB,PQ⊥DB,CD⊥DB, 典例精析 例4 如图，为了测量学校教学楼AB的高度，果果同学先在教学楼前点的高度，果果同学先在教学楼前点D处测得楼顶A的仰角为45°,再沿BD方向后退了16米到点C处，此时测得楼顶A的仰角为22°（B、D、C在一条直线上），根据这些数据，请你帮助果果求出教学楼AB的高度（精确到0.1米）． 参考数据： 典例精析 例5 课题 工具 示意图 说明 测量数据 测算树木的高度 卷尺，测角仪等 先在点C处测得树顶A的仰角，再从点C处前进至坡底D处，测得山坡与平地CD之间的夹角∠CDE,最后测得坡底D与树底B之间的距离 点C处测得树顶A的仰角为30°，∠CDE=135°，BD=20m,CD=40m 典例精析 例5 典例精析 例6 如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为40 cm，灯罩BC长为30 cm，底座厚度为2 cm.使用时发现：光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为25°，求光线最佳时灯罩顶端C到桌面的高度CD的值．(参考数据：sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47)． 典例精析 例6 利用仰俯角解直角三角形 归纳总结 概念 仰角、俯角的概念 求解 运用解直角三角形解决仰角、俯角问题 铅直线 水平线 视线 视线 仰角 俯角 当堂检测 1.如图，某数学兴趣小组测量一棵树CD的高度，在点A处测得树顶C的仰角为45°，在B点处测得树顶C的仰角为60°，且A,B,D三点在同一条直线上．若AB=8米，则树高度为（    ）米 8+2 2.随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度．某数学兴趣小组用无人机测量潮汐塔AB的高度，测量方案如图所示：无人机在距水平地面120m的点M处测得潮汐塔顶端A的俯角为22°再将无人机沿水平方向飞行73m到达点N，测得潮汐塔底端B的俯角为45°（点M,N,A,B在同一平面内），则潮汐塔AB的高度为（   ）m（结果精确到1m,参考数据： 77 C C 当堂检测 3.如图，为测量一棵与地面垂直的树OA的高度，在距离树的底端30米的B处，测得树顶A的仰角∠ABO为α，则树OA的高度为(　　) A. B.30sin α 米 C.30tan α 米 D.30cos α 米 C 4.如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=4km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB的长）为 （　　） A.4km B.2 km C.2 km D. ( +1)km C D 当堂检测 5.伍家岗长江大桥大桥竣工后，为江城大道增添上一道亮丽的风景线．某校数学兴趣小组用测量仪器测量该大桥的桥塔高度，在距桥塔AB底部50米的C处，测得桥塔顶部A的仰角为41.5° (如图)．已知测量仪器CD的高度为1米，则桥塔AB的高度约为(　　) (参考数据：sin 41.5°≈0.663，cos 41.5°≈0.749， tan 41.5°≈0.885) A．34米　　B．38米　　 C．45米　　D．50米 C 41.5° A B C D 50m ┐ 当堂检测 6.聊城“水城之眼”摩天轮是亚洲三大摩天轮之一，也是全球首座建筑与摩天轮相结合的城市地标，如图，点O是摩天轮的圆心，长为110米的AB是其垂直地面的直径，小莹在地面C点处利用测角仪测得摩天轮的最高点A的仰角为33°，测得圆心O的仰角为21°，则小莹所在C点到直径AB所在的直线的距离约为(tan 33°≈0.65，tan 21°≈0.38)(　　)　 C A．169米 B．240米 C．204米 D．407米 当堂检测 7. 如图，在高出海平面80米的悬崖顶A处，观测海平面上一艘小船B，并测得它的俯角为45°，则船与观测者之间的水平距离BC=_______米. 8. 如图，两建筑物AB和CD的水平距离为300米，从A点测得 D点的俯角为30°，测得C点的俯角为60°，则建筑物CD的高为________米. B C A B C A D 30° 60° 80 200 当堂检测 9.如图，某校九年级学生要测量当地电视塔的高度AB，因为不能直接到达塔底B处，他们采用在发射台院外与电视塔底B成一直线的C,D两处地面上，用测角器测得电视塔顶部A的仰角分别为45°和30°，同时量得CD为50 m.已知测角器高为2 m,问电视塔的高度为多少米？（精确到1 m） B D C B1 C1 D1 45° 30° A 50 单位：（m） 当堂检测 解：设AB1=xm. 在Rt△AC1B1中， 得tan∠AD1B1=＝ 在Rt△AD1B1中， 即 = ，解方程式得 x=25(+1) ≈68 ∴AB=AB1+B1B ≈68+2 =70（m） 答：电视塔的高度为70m. 得C1B1=AB1， B D C B1 C1 D1 45° 30° A 50 单位：（m） 由∠AC1B1=45°, 由∠AD1B1=30°, 当堂检测 10.一艘观光游船从港口A以北偏东60°的方向出港观光，航行80海里至C处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37°方向，马上以40海里每小时的速度往前救援，求海警船到大事故船C处所需的大约时间.(温馨提示：sin53°=0.8，cos53°=0.6） C(游船) A(港口) B(海景船) 60° 37° 当堂检测 解：过C点作CD⊥AB交AB延长线于D. 在Rt△ACD中，∵∠ADC=90 ∠CAD=30,AC=80（海里） ∴CD=（海里） 在Rt△CBD中，∵∠CDB=90 ∠CBD=90-30， ∴BC=（海里） ∴海警船到大事故船C处所需的时间大约为 （小时）. C(游船) A(港口) B(海景船) 60° 37° 当堂检测 11.如图，在东西方向的海岸线l上有长为300米的码头AB，在码头的最西端A处测得轮船M在它的北偏东45°方向上．同一时刻，在A点正东方向距离100米的C处测得轮船M在北偏东22°方向上． 当堂检测 解：(1)如图，过点M作MD⊥l于点D，设DM＝x米， ∵在Rt△CDM中，CD＝DM·tan∠CMD＝x·tan22°. ∵在Rt△ADM中，∠MAD＝45°，∴AD＝DM＝x米． 当堂检测