第三章 中考专题四 二次函数综合题-【练客中考】2026年甘肃新中考数学精讲册PPT

《精讲册》 数学 中考专题四　二次函数综合题 (针对省卷27题） [省卷：必考] 新题好题 一练提优 [2025省卷27题]如图1，抛物线y＝a(x＋)(x－4)(a≠0) 分别与x轴，y轴交于A，B(0，－4)两点，M为OA的中点. (1)求抛物线的表达式； 例题图1 解：∵抛物线y＝a(x＋)(x－4) 经过点B(0，－4)， ∴－4＝a×(0＋)(0－4)，∴a＝， ∴y＝x2－x－4(或y＝(x＋)(x－4)). 省卷必考 新题好题 一练提优 返回目录 (1)抛物线y＝a(x＋)(x－4)中只有一个未知数a，所以只需要一个点坐标即可求出a，题目中给了B(0，－4)，代入即可求出抛物线的表达式. 新题好题 一练提优 返回目录 (2)连接AB，过点M作OA的垂线，交AB于点C，交抛物线于点D，连接BD，求△BCD的面积； 例题图1 解：∵ 抛物线y＝(x＋)(x－4)交x轴于点A，∴点A(4，0). ∵点B(0，－4)，∴OA＝OB＝4.∵∠AOB＝90°，∴∠OAB＝45°. ∵M为OA的中点，∴OM＝MA＝OA＝2. ∵MD⊥OA，∠OAB＝45°， ∴点D的横坐标为2，MC＝MA＝2， ∴MD＝｜×(2＋)×(2－4)｜＝｜－｜＝， ∴CD＝MD－MC＝－2＝，∴S△BCD＝CD·OM＝××2＝. 新题好题 一练提优 返回目录 (倒推思路，从问题入手) △BCD的面积 寻找最易求的底和高(CD，OM) (2) 思路： yC－yD a.求点C坐标：想到求AB的表达式，把点C横坐标代入求纵坐标 (简单方法：C是AB中点，用中点坐标公式可求) b.求点D坐标：想到D是抛物线上一点，把横坐标代入抛物线表达式求纵坐标 c.求CD∶CD＝yC－yD 关键 核心 新题好题 一练提优 返回目录 (3)如图2，点E为线段AB上一动点(点A除外)，将线段OE绕点O顺时针旋转90°得到OF. ①【新增设问】当点E的横坐标为2时，判断△OBE的形状，并说明理由； 例题图2 G 解：△OBE是等腰三角形.理由如下： 如图2，过点E作x轴的垂线，垂足为G.当点E的横坐标为2时， OG＝2，AG＝4－2. ∵AO＝BO＝4，∴△AOB是等腰直角三角形， ∴AB＝4，∠OAB＝45°. ∵∠AGE＝90°，∠GAE＝45°， ∴△AGE是等腰直角三角形，∴AE＝4－4. ∴BE＝AB－AE＝4－(4－4)＝4. ∵OB＝4，∴OB＝BE，∴△OBE是等腰三角形. 新题好题 一练提优 返回目录 (3)① (倒推思路，从问题入手) 判断△OBE的形状 猜想：△OBE是等腰三角形 BE的长度 BE＝AB－AE(AB已知，求AE) 求AE：想到∵点E的横坐标已知，∠OAE＝45°， ∴过点E作x轴的垂线，垂足为G，易得AE的长 关键 核心 G 新题好题 一练提优 返回目录 ②当AE＝时，请在图2中画出线段OF后，求点F的坐标，并判断点F是否在抛物线上，说明理由； 例题图2 解：如图2，画出线段OF，连接BF， ∵∠EOF＝∠AOB＝90°，即∠BOF＋∠BOE＝∠AOE＋∠BOE＝90°，∴∠BOF＝∠AOE. ∵OB＝OA，OF＝OE，∴△BOF≌△AOE(SAS)， ∴∠OBF＝∠OAE＝45°，BF＝AE＝. 过点F作FQ⊥OB于点Q， ∴FQ＝BQ＝1，OQ＝OB－QB＝4－1＝3，∴点F(－1，－3). 当x＝－1时，y＝×(－1＋)(－1－4)＝－3， ∴ 点F(－1，－3)在抛物线上. F Q 新题好题 一练提优 返回目录 ② (倒推思路，从问题入手) 求点F的坐标，并判断点F是否在抛物线上 求点F横坐标及纵坐标 怎么求：想到作FQ⊥OB于点Q，求FQ，FQ直接求不出来， 寻找其他条件，想到OF＝OE，∠BOF＝∠AOE，OA＝OB， 想到连接BF，构造△AOE≌△BOF 得到什么：∠OBF＝∠OAE＝45°，BF＝AE＝ FQ＝BQ＝1，OQ＝3，此时F(－1，－3)，把点F的横坐标代入抛物线表达式，求出y与－3比较，若相等，在抛物线上，反之，不在抛物线上 关键 核心 新题好题 一练提优 返回目录 ③如图3，点P是第四象限的一动点，∠OPA＝90°，连接PF，当点E运动时，求PF的最小值. 例题图3 解：如图3，连接BF并延长交x轴于点G(若点E与点B重合，则点F与点G重合)，过点M作MH⊥BG，垂足为H，连接PM，MF.由②，同理可得∠OBF＝45°， 在△BOG中，∠BOG＝90°，∴OG＝OB＝4，∠OGB＝45°， ∴△MHG是等腰直角三角形. ∵GM＝GO＋OM＝4＋2＝6，∴MH＝3. ∵∠OPA＝90°，M为OA的中点，∴PM＝OA＝2. 要PF的值最小，只需PF＋PM的值最小. ∵PF＋PM≥MF≥MH，∴当PF＋PM＝MF＝MH时，PF＋PM取得最小值，此最小值为MH的值， ∵MH＝3，PM＝2，∴PF的最小值为3－2. H G 新题好题 一练提优 返回目录 ③解法二　定弦定角＋点圆最值 定弦OA，定角∠OPA＝90°，∴点P在以OA为直径的一段圆弧上运动，当P，M，F三点共线时PF最小(圆外一点到圆上的所有连线中，经过圆心时最短). 设点E(m，m－4)，则F(m－4，－m)， ∴MF＝＝. 当m＝3时，MFmin＝＝3， ∴PFmin＝MFmin－MP＝3－2. 新题好题 一练提优 返回目录 2 1 1.[2024省卷27题]如图1，抛物线y＝a(x－h)2＋k交x轴于O，A(4，0)两点，顶点为B(2，2)，点C为OB的中点. 图1 图2 图3 第1题图 新题好题 一练提优 返回目录 解：∵抛物线y＝a(x－h)2＋k的顶点为B(2，2)， ∴y＝a(x－2)2＋2. ∵y＝a(x－2)2＋2交x轴于点A(4，0)， ∴4a＋2＝0，解得a＝－. ∴抛物线的表达式为y＝－(x－2)2＋2. 2 1 (1)求抛物线y＝a(x－h)2＋k的表达式； 新题好题 一练提优 返回目录 2 1 (2)过点C作CH⊥OA，垂足为H，交抛物线于点E，求线段CE的长； 图1 G 解：如解图，过点B作BG⊥OA于点G.∵CH⊥OA，∴CH∥BG. ∵B(2，2)， ∴OG＝2，BG＝2. ∵点C为OB的中点，∴C(1，)， ∴CH＝BG＝，OH＝OG＝1. 当x＝1时，EH＝－×(1－2)2＋2. ∴CE＝EH－CH＝－. 新题好题 一练提优 返回目录 2 1 (3)点D为线段OA上一动点(O点除外)，在OC右侧作平行四边形OCFD. ①如图2，当点F落在抛物线上时，求点F的坐标； 图2 解：当▱OCFD的顶点F落在抛物线上时， ∵点F，C的纵坐标都等于， ∴－(x－2)2＋2＝. 解得x1＝2－(不合题意，舍去)，x2＝2＋. ∴F(2＋，). 新题好题 一练提优 返回目录 2 1 ②如图3，连接BD，BF，求BD＋BF的最小值. 图3 解：∵四边形OCFD是平行四边形， ∴OB∥DF，OC＝DF.∵OC＝BC，∴BC＝DF. 如解图，连接CD，∵BC∥DF， ∴四边形BCDF是平行四边形，∴BF＝CD. 作点B关于OA的对称点M，连接BM，交CF于点N， 交OA于点G，连接DM，CM. ∴BM＝2BG＝2×2＝4， ∴OA垂直平分BM， ∴BD＝DM，∴BD＋BF＝DM＋CD＞CM. 当C，D，M三点共线时，DM＋CD＝CM，即BD＋BF的最小值等于CM的长. M G N 新题好题 一练提优 返回目录 2 1 ∵BM⊥OA，OA∥CF， ∴BM⊥CF， ∵C是OB的中点， ∴CN＝OG＝1，BN＝BG＝， ∴NM＝BM－BN＝4－＝3， ∴CM＝＝＝2. 即BD＋BF的最小值为2. M G N 新题好题 一练提优 返回目录 2.[2023省卷27题]如图1，抛物线y＝－x2＋bx与x轴交于点A，与直线y＝－x交于点B(4，－4)，点C(0，－4)在y轴上.点P从点B出发，沿线段BO方向匀速运动，运动到点O时停止. (1)求抛物线y＝－x2＋bx的表达式； 2 1 图1 图2 第2题图 解：∵抛物线y＝－x2＋bx 过点B(4，－4)， ∴－16＋4b＝－4， ∴b＝3， ∴y＝－x2＋3x. 新题好题 一练提优 返回目录 (2)当BP＝2时，请在图1中过点P作PD⊥OA交抛物线于点D，连接PC，OD，判断四边形OCPD的形状，并说明理由； 2 1 图1 H 解：四边形OCPD是平行四边形.理由如下： 如解图，作PD⊥OA，垂足为H，连接BC. ∵点P在直线y＝－x上，∴OH＝PH，∠POH＝45°. ∵OC＝BC＝4，∴OB＝4. ∵BP＝2，∴OP＝OB－BP＝2， ∴OH＝PH＝OP＝×2＝2. 当xD＝2时，DH＝yD＝－22＋3×2＝2， ∴PD＝DH＋PH＝2＋2＝4.∵C(0，－4)，∴OC＝4，∴PD＝OC. ∵OC⊥x轴，PD⊥x轴，∴PD∥OC，∴四边形OCPD是平行四边形. 新题好题 一练提优 返回目录 (3)如图2，点P从点B开始运动时，点Q从点O同时出发，以与点P相同的速度沿x轴正方向匀速运动，点P停止运动时点Q也停止运动.连接BQ，PC，求CP＋BQ的最小值. 2 1 图2 新题好题 一练提优 返回目录 解：由题意，得BP＝OQ，如解图，连接BC， 在OA上方作△OMQ，使得∠MOQ＝45°，OM＝BC， 连接BM. ∵OC＝BC＝4，BC⊥OC， ∴∠CBP＝45°， ∴∠CBP＝∠MOQ＝∠BOQ＝45°. ∵BP＝OQ，∠CBP＝∠MOQ，BC＝OM， ∴△CBP≌△MOQ(SAS)，∴CP＝MQ， 2 1 第2题解图 新题好题 一练提优 返回目录 ∴CP＋BQ＝MQ＋BQ≥MB (当且仅当M，Q，B三点共线时等号成立)， ∴CP＋BQ的最小值为MB， ∵∠MOB＝∠MOQ＋∠BOQ＝45°＋45°＝90°， ∴MB＝＝＝4， 即CP＋BQ的最小值为4. 2 1 第2题解图 新题好题 一练提优 返回目录 $