第三章 第14讲 二次函数的实际应用-【练客中考】2026年甘肃新中考数学精讲册PPT

《精讲册》 数学 目录 01 02 知识点梳理 重难点突破 第14讲　二次函数的实际应用 [省卷：5年3考；兰州：4年4考] 03 甘肃5年中考真题及拓展 新题好题 一练提优 能解决相应的(改动)实际问题. 建立二次函数模型解决实际问题 常见类型 关键步骤 【温馨提示】(1)求函数的最值时，要注意实际问题中自变量的取值范围对最值的影响.若对称轴的取值不在自变量的取值范围内，则最值一般在自变量取值的端点处取得； (2)建立平面直角坐标系的标准是易于求二次函数的表达式 抛物线 型问题 (1)建立方便求表达式的平面直角坐标系； (2)找到图象上三个点的坐标； (3)用待定系数法求二次函数的表达式 销售利 润问题 (1)理清各个量之间的关系，找出等量关系求得表达式； (2)根据要求确定函数的最值或建立方程求解 图形面 积问题 (1)利用几何知识用变量x表示出图形的面积y； (2)根据要求确定函数的最值或建立方程求解 新题好题 一练提优 返回目录 抛物线型问题 [2024省卷15题]如图1为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，如图2是棚顶的竖直高度y(单位：m)与距离停车棚支柱AO的水平距离x(单位：m)近似满足函数关系y＝－0.02x2＋0.3x＋1.6的图象，点B(6，2.68)在图象上.若一辆箱式货车需在停车棚下避雨，货车截面看作长CD＝4 m，高DE＝1.8 m的 矩形，则可判定货车____完全 停到车棚内.(填“能”或“不能”) 图1 图2 例1题图 能 新题好题 一练提优 返回目录 判断货车能否完全停到车棚内的一般方法 方法一：固定货车的宽，看抛物线的车棚是否足够高(相当于已知x的值，根据函数表达式求y的值，再与限制高的值比较大小). 方法二：固定货车的高，看抛物线形的车棚是否足够宽(相当于已知y的值，根据函数表达式求x的值，再与限制宽的值比较大小). 新题好题 一练提优 返回目录 [2025兰州21题]综合与实践 在学校项目化学习中，某研究小组开展主题为“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的研究.请你阅读以下材料，解决“数学建模”中的问题. 【研究背景】已知一定浓度的生长素既能促进种子发芽，也会因浓度过高抑制种子发芽.探索生长素使用的适宜浓度等最优化问题，可以借助数学模型进行解决. 【数据收集】研究小组选择某类植物种子和生长素，以生长素浓度x(标准单位)为自变量，种子的发芽率y(％)为因变量，进行“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的实验，获得相关数据： 生长素浓度 x(标准单位) 0 0.6 1 1.7 2 2.5 2.7 3 3.3 4 4.2 发芽率y(％) 35.00 49.28 56.00 62.37 63.00 61.25 59.57 56.00 51.17 35.00 29.12 新题好题 一练提优 返回目录 【数据收集】研究小组选择某类植物种子和生长素，以生长素浓度x(标准单位)为自变量，种子的发芽率y(％)为因变量，进行“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的实验，获得相关数据： 生长素浓度 x(标准单位) 0 0.6 1 1.7 2 2.5 2.7 3 3.3 4 4.2 发芽率y(％) 35.00 49.28 56.00 62.37 63.00 61.25 59.57 56.00 51.17 35.00 29.12 新题好题 一练提优 返回目录 【数据分析】如图，小组成员以表中各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点. 例2题图 说明：①当生长素浓度x＝0时，种子的发芽率为自然发芽率； ②当发芽率大于等于零且小于自然发芽率时，该生长素抑制种子发芽； ③当生长素抑制种子发芽，使得发芽率减小到0时，停止实验. 新题好题 一练提优 返回目录 【数学建模】请你结合所学知识解决下列问题： (1)观察上述各点的分布规律，判断y关于x的函数类型，并求出该函数的表达式； 【自主作答】 解：观察上述各点的分布规律，y关于x的函数是二次函数， 顶点为(2，63)，设该二次函数的表达式为y＝a(x－2)2＋63， 将(0，35)代入得，a＝－7， ∴该函数的表达式为y＝－7(x－2)2＋63＝－7x2＋28x＋35. 新题好题 一练提优 返回目录 (2)请计算抑制种子发芽时的生长素浓度范围. 【自主作答】 解：当x＝0时，y＝35， ∴种子自然发芽率为35％， 当y＝35时，－7x2＋28x＋35＝35， 解得x1＝0，x2＝4. 当y＝0时，－7x2＋28x＋35＝0，解得x1＝－1(舍去)，x2＝5， ∴抑制种子发芽时的生长素浓度范围为4＜x≤5. 新题好题 一练提优 返回目录 观察、分析表格 (1)对称轴：找对称点(纵坐标相同的点)，由(1，56)，(3，56)或(0，35)，(4，35)即可判断出对称轴为直线x＝2； (2)与坐标轴的交点：由(0，35)即可判断出与y轴交点的纵坐标为35； (3)最值：由(2，63)即可判断出顶点坐标与最值，由此判断y关于x的函数类型为二次函数，表达式可设为顶点式. 新题好题 一练提优 返回目录 抛物线型问题(省卷：5年3考；兰州：必考) 1.[2025省卷9题]如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OM，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系式是y＝－x2＋2x＋(x＞0)， 则水流喷出的最大高度是(　　) A.3 m　 B.2.75 m　 C.2 m　 D.1.75 m 4 5 3 2 1 7 6 第1题图 B 新题好题 一练提优 返回目录 2.[2022省卷17题]如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线.若不考虑空气阻力，小球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系：h＝－5t2＋20t，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间t＝___s. 第2题图 4 5 3 2 1 7 6 2 新题好题 一练提优 返回目录 3.[2025兰州一诊20题]如图1，位于甘肃某地的沙漠边缘地区常见抛物线状沙丘(一种风积地貌)，其平面轮廓呈抛物线状，它的两翼附近生长着梭梭树.建立如图2所示的平面直角坐标系，已知某一抛物线状沙丘OAB(呈对称)两翼端点的水平距离OB＝180m， 沙丘弧顶最高点A到OB的距离为 4 5 3 2 1 7 6 300 m，边界线CD与OB之间为梭梭树 生长较茂密地带，且CD∥OB，点C到 沙丘左翼端点O的水平距离OE＝30 m. 图1 图2 第3题图 新题好题 一练提优 返回目录 (1)求抛物线状沙丘OAB的表达式； 4 5 3 2 1 7 6 解：(1)由题意，抛物线的顶点为(90，300)， ∴可设抛物线的表达式为y＝a(x－90)2＋300， 把O(0，0)代入y＝a(x－90)2＋300中，解得a＝－， ∴抛物线状沙丘OAB的表达式为y＝－(x－90)2＋300. (2)把x＝30代入y＝－(x－90)2＋300中，得y＝－(30－90)2＋300＝， ∴梭梭树生长较茂密地带宽度CE的长为 m. (2)求梭梭树生长较茂密地带宽度CE的长. 新题好题 一练提优 返回目录 4.[2023兰州23题]一名运动员在10 m高的跳台进行跳水，身体(看成一点)在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面OB的高度y(m)与离起跳点A的水平距离x(m)之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点A的水平距离为1 m时达到最高点，当运动员离起跳点A的水平距离为3 m时离水面的距离为7 m. 4 5 3 2 1 7 6 第4题图 新题好题 一练提优 返回目录 (1)求y关于x的函数表达式； 4 5 3 2 1 7 6 解：(1)根据题意可得，抛物线过(0，10)和(3，7)，对称轴为直线x＝1， 设y关于x的函数表达式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)， ∴，解得， ∴y关于x的函数表达式为y＝－x2＋2x＋10. (2)求运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长. (2)在y＝－x2＋2x＋10中，令y＝0，得0＝－x2＋2x＋10， 解得x＝＋1或x＝－＋1(舍去)， ∴运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长为(＋1) m. 新题好题 一练提优 返回目录 5.[2022兰州24题]掷实心球是兰州市高中阶段学校招生体育考试的选考项目.如图1是一名女生投掷实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为 m，当水平距离为3 m时，实心球行进至最高点3 m处. 4 5 3 2 1 7 6 图1 图2 第5题图 新题好题 一练提优 返回目录 (1)求y关于x的函数表达式； 4 5 3 2 1 7 6 解：(1)设y关于x的函数表达式为y＝a(x－3)2＋3(a≠0)， 把(0，)代入函数表达式，得＝a(0－3)2＋3，解得a＝－， ∴y关于x的函数表达式为y＝－(x－3)2＋3. (2)根据兰州市高中阶段学校招生体育考试评分标准(女生)，投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于6.70 m，此项考试得分为满分10分.该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由. (2)该女生在此项考试中得满分.理由如下： 令y＝0，则－(x－3)2＋3＝0，解得x1＝7.5，x2＝－1.5(舍去)， ∵7.5＞6.70，∴该女生在此项考试中得满分. 新题好题 一练提优 返回目录 销售利润问题 6.[北师九下P50T2变式]一种进价为每件40元的T恤，若销售单价为60元，则每周可卖出300件，为提高利益，就对该T恤进行涨价销售，经过调查发现，每涨价1元，每周要少卖出10件，请求出销售单价定为多少元时，每周的销售利润最大？ 4 5 3 2 1 7 6 解：设销售单价为x(元)，该T恤涨价后每周的销售利润为y(元)， 由题意，得y＝(x－40)[300－10(x－60)]， 即y＝－10x2＋1300x－36000＝－10(x－65)2＋6250(60≤x≤90). ∵－10＜0，∴当x＝65时，y有最大值6250. 答：当该T恤销售单价定为65元时，每周的销售利润最大. 新题好题 一练提优 返回目录 图形面积问题 7.[人教九上P57T7变式]如图，学校要用一段长为36 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃ABCD，矩形的边AD为围墙的一部分，已知墙长为26 m.要想使花圃的面积最大，求AD边的长及花圃的最大面积. 4 5 3 2 1 7 6 第7题图 解：设AB为x米，矩形的面积为y平方米， 则BC＝(36－2x)米， ∴y＝x(36－2x)＝－2x2＋36x＝－2(x－9)2＋162. ∵36－2x＞0且36－2x≤26，∴5≤x＜18. ∵－2＜0，∴当x＝9时，y有最大值是162，此时AD＝BC＝18(米). 答：AD边的长为18米，花圃的最大面积为162平方米. 新题好题 一练提优 返回目录 请完成《课后提升练》P20～22习题 新题好题 一练提优 返回目录 $