第二章 第7讲 一元二次方程及其应用-【练客中考】2026年甘肃新中考数学精讲册PPT

《精讲册》 数学 目录 01 02 知识点梳理 甘肃5年中考真题及拓展 第7讲　一元二次方程及其应用 [省卷：5年4考；兰州：4年4考] 新题好题 一练提优 了解一元二次方程的根与系数的关系.(删除“*”，改为必学) 改为必学咯！ 新题好题 一练提优 返回目录 一元二次方程 概念 等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是______(二次)的方程，叫作一元二次方程 一般 形式 ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0) 解法 开平 方法 x2＝m(m≥0)⇒x＝________，(x＋m)2＝n(n≥0)⇒x＝___________ ② ③ ① 2 ± －m± 新题好题 一练提优 返回目录 解法 配方法 适用于：二次项系数化为1后，一次项系数为偶数的一元二次方程 步骤：(1)移项：将常数项移到方程的右边； (2)变形：将二次项系数化为1； (3)配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方； (4)求解：用直接开平方法求解 新题好题 一练提优 返回目录 解法 公式法 适用于所有一元二次方程，当b2－4ac≥0(a≠0)时， 实数根可写为____________________在使用求根公式 时：(1)要先将方程化为一般式，再利用公式求解； (2)a，b，c代入公式时应注意其符号 因式 分解法 通过因式分解，转化为一次方程求解： ax2＋bx＋c＝0(a≠0) (mx＋n)(px＋q)＝0 mx＋n＝0或px＋q＝0，求得x的值 注：方程求解过程中，等式两边不能同时约去含有相同未知数的因式，避免丢根 ④ x＝ 新题好题 一练提优 返回目录 【温馨提示】(1)m，n是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，则a(x－m)(x－n)＝0； (2)若a2＋a－1＝0，b2＋b－1＝0，则a，b可看作方程x2＋x－1＝0的 两根 新题好题 一练提优 返回目录 根的判别式 概念 一般地，式子_________叫作一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示它，即Δ＝b2－4ac 【温馨提示】根据字母系数求根的情况的值时应 注意： (1)使用之前一定要把方程化为一般形式，以便正确找出a，b，c的值； (2)若题目中未指明已知方程为一元二次方程，则应分情况讨论 根的情况 与判别式 的关系 (1)Δ______0⇔方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不等的实数根； (2)Δ＝0⇔方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个________的实数根； (3)Δ＜0⇔方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)_________实数根； (4)Δ≥0⇔方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个实数根 ⑧ ⑦ ⑥ ⑤ b2－4ac ＞ 相等 无 新题好题 一练提优 返回目录 根与系数的关系 根与系数 的关系 定理：若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根，则 x1＋x2＝_______，x1·x2＝_______ 逆定理：若x1＋x2＝m，x1·x2＝n，则以x1，x2为根的一元二次方程是x2－mx＋n＝0 ⑨ ⑩ － 【温馨提示】根与系数关系的常见变形： (1)＋＝；(2)＋＝(x1＋x2)2－2x1x2； (3)(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2； (4)＋＝＝；(5)｜x1－x2｜＝ 新题好题 一练提优 返回目录 一元二次方程的实际应用 常见类型 等量关系 平均增长 (下降) 率问题 设a是基础量，b为增长(下降)后的量 若x为平均增长率，2为增长次数，则b＝__________ 若x为平均下降率，2为下降次数，则b＝__________ 销售问题 (1)常用公式：利润＝售价－成本；总利润＝每件利润×销 售量； (2)单价每涨a元，少卖b件，若涨价y元，则少卖的数量为·b ⑪ ⑫ a(1＋x)2 a(1－x)2 新题好题 一练提优 返回目录 面积问题 设矩形ABCD的长为a，宽为b，空白部分的宽为x，则： S阴影＝__________________ 　S阴影＝__________________　 S阴影＝__________________ ⑬ ⑭ (a－2x)(b－2x) (a－x)(b－x) ⑮ (a－x)(b－x) 新题好题 一练提优 返回目录 传播问题 (1)细胞分裂：现有a个细胞，若每轮分裂中每一个细胞可分裂成x个细胞，则第一轮分裂后的细胞总数为ax，第二轮分裂后的细胞总数为ax2； (2)病毒传染：有一个人患流感，若每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮后共有(1＋x)个人患流感，第二轮后共有(1＋x)2个人患流感； (3)植物主干分支：一种植物的主干长出a个支干，每个支干又长出a个小分支，则主干、支干和小分支的总数为(1＋a＋a2)个 新题好题 一练提优 返回目录 循环问题 单循环问题：有n个人，相互之间握一次手，则握手总次数为(n为人数，且n≥2) 双循环问题：有n个人，每2人之间互赠一个礼物，则礼物总份数为n(n－1)(n为人数，且n≥2) 【温馨提示】实际问题需要验根，检验根是否符合实际意义 新题好题 一练提优 返回目录 解一元二次方程(省卷：2022.4) 1.[2025兰州一诊18题]用配方法解方程：x2－4x－3＝0. 4 5 3 2 1 7 6 解：移项，得x2－4x＝3， 配方，得x2－4x＋4＝3＋4， 即(x－2)2＝7， 开方，得x－2＝±， ∴x1＝2＋，x2＝2－. 用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①把方程化为一般形式； ②把方程的常数项通过移项移到方程的右边； ③方程两边同时除以二次项系数a； ④方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ⑤此时方程的左边是一个完全平方式，然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解； ⑥定解． 新题好题 一练提优 返回目录 2.按要求解下列方程： (1)(3x－7)2＝2(3x－7)(因式分解法)； 4 5 3 2 1 7 6 解：原方程可变形为 (3x－7)2－2(3x－7)＝0. ∴(3x－7)[(3x－7)－2]＝0， ∴3x－7＝0或3x－9＝0， ∴x1＝，x2＝3. 解：x2＋x－11＝0， ∵a＝1，b＝，c＝－11， ∴b2－4ac＝()2－4×1×(－11) ＝5－4×(－11)＝5＋44＝49＞0， ∴x＝＝， 即x1＝，x2＝. (2)x2＋x－11＝0(公式法). 新题好题 一练提优 返回目录 根的判别式(省卷：5年3考；兰州：必考) 3.[2025兰州6题]若关于x的一元二次方程x2＋2x＋a＝0有两个不相等的实数根，则a的值可以是(　　) A.3 B.2 C.1 D.0 4 5 3 2 1 7 6 D 4.[2024兰州9题]关于x的一元二次方程9x2－6x＋c＝0有两个相等的实数根，则c＝(　　) A.－9 B.4 C.－1 D.1 D 高频考点 新题好题 一练提优 返回目录 4 5 3 2 1 7 6 5.[2025省卷5题]关于x的一元二次方程3x2－6x＋m＝0有两个实数根，则m的取值范围是(　　) A.m＜3 B.m≤3 C.m＞3 D.m≥3 5－1变条件——有实数根 关于x的一元二次方程mx2－6x＋3＝0有实数根，则m的取值范围是____________. 5－2变条件——无实数根 关于x的一元二次方程3x2－mx＋6＝0无实数根，则m的取值范围是_______________. B m≤3且m≠0 －6＜m＜6 新题好题 一练提优 返回目录 4 5 3 2 1 7 6 根与系数的关系 6.[2025乐山]若方程x2－x－2＝0的两个根是x1和x2，则x2＋x1的值为(　　) A.－1 B.1 C.－2 D.2 C 7.[2025天水麦积区三模]设α，β是方程x2－2x－2025＝0的两个实数根，则α2＋αβ－2α的值为___. 0 新题好题 一练提优 返回目录 4 5 3 2 1 7 6 一元二次方程的实际应用 8.平均增长率问题[2025龙东地区]随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已经逐渐成为人们喜爱的交通工具.某品牌新能源汽车的月销售量由一月份的8000辆增加到三月份的12000辆，设该汽车一月至三月销售量平均每月增长率为x，则可列方程为(　　) A.8000(1＋2x)＝1200 B.8000(1＋x)2＝12000 C.8000＋8000(1＋x)＋8000(1＋x)2＝12000 D.8000×2(1＋x)＝12000 B 新题好题 一练提优 返回目录 4 5 3 2 1 7 6 9.面积问题[2025辽宁]中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何.”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？设这个矩形的宽为x步，根据题意可列方程为(　　) A.x(60－x)＝864 B.x(x－60)＝864 C.x(60＋x)＝864 D.2[x＋(x＋60)]＝864 A 新题好题 一练提优 返回目录 请完成《课后提升练》P9习题 新题好题 一练提优 返回目录 $