精品解析：北京市石景山区2025-2026学年七年级上学期期末数学试卷

2025-2026学年第一学期初一期末试卷 数学 1．本试卷共6页，共三道大题，28道小题，满分100分．考试时间100分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，选择题、作图题请用2B铅笔作答，其他试题请用黑色字迹签字笔作答，在试卷上作答无效． 4．考试结束，请将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分 一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 的相反数是（　　） A. B. C. 5 D. 2. 神舟二十一号载人飞船于2025年10月31日在酒泉卫星发射中心发射成功，再次彰显了我国航天事业的强大实力．神舟二十一号进入初始轨道后，飞船的运行速度约为每秒7.8千米（即第一宇宙速度），相当于每小时可运行约28080000米，其中28080000用科学记数法表示应为（　　） A. B. C. D. 3. 下面四个几何体中，从正面看到的图形是三角形的是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，能表示点A到直线l距离的是（ ） A. 线段长 B. 线段的长 C. 线段的长 D. 线段的长 5. 有理数在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（　　） A. B. C. D. 6. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 7. 下列生活实例中，能用“两点确定一条直线”解释的是（　　） A. 建筑工人砌墙时，通常先在墙的两端立桩拉线，然后沿着拉线砌墙 B. 从地到地架设电线，沿着线段架设会节省材料费用 C. 把原本弯曲的河道改直，河道的长度会变短 D. 写字时将笔尖看作一个点，这个点在纸上运动就形成了线 8. 幻方是一种中国传统的数字游戏，对幻方的研究体现了中国古人的智慧．幻方的游戏规则：将数字填入正方形的格子中，使每行、每列和每条斜对角线上的数的和都相等．如图1是一个完整的幻方的示例．图2是填写了部分数的幻方，根据幻方的游戏规则，其中的值为（　　） A 5 B. 3 C. 1 D. 第二部分 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 对单项式“”可以解释为：一支碳素笔元，买了3支碳素笔，共消费元．请你再对“”赋予一个实际意义___________． 10. 请你写出一个二次三项式：___． 11. 关于的一元一次方程的解是，则的值是___________． 12. 比较大小：___________（填“”“ ”或“”）． 13. 世界杯排球赛的积分规则为：比赛中以（胜3局负0局）或者取胜的球队积3分，负队积0分；比赛中以取胜的球队积2分，负队积1分．若某球队以胜了a场，以胜了b场，以负了c场，则这支球队的积分用多项式可以表示为____． 14. 我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》（1299年）一书，有一道题目是：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”译文是：“跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？”若慢马和快马从同一地点出发，设快马x天可以追上慢马，则可以列方程为______________． 15. 规定一种新运算：，例如：． （1）请计算：___________； （2）若，请计算___________． 16. 学校组织学生参加劳动实践活动．已知制作手工香囊共需要三个步骤，分别为缝粘布袋、填充香料、收口固定．规定每两个同学为一组，共同完成香囊的制作．制作要求如下： ①香囊的制作需要按照步骤逐一完成： ②每个步骤只能由一名学生完成，此步骤完成后该学生才能进行其他步骤； ③甲、乙两位同学完成每个步骤所需时间（单位：分钟）如下表所示： 缝粘布袋 填充香料 收口固定 甲 8 3 2 乙 5 6 4 在不考虑其他因素的前提下， （1）若甲、乙合作制作1枚香囊，制作完成的总用时最少为___________分钟； （2）若制作手工香囊的活动时间共20分钟，本小组甲、乙两位同学最多可制作___________枚香囊． 三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27，28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 18. 计算：． 19. 计算：． 20. 解方程：． 21. 解方程：． 22. 在学习解一元一次方程后，小石对一道一元一次方程的解答过程如下： 解方程：． 解：去分母，得． 第①步 去括号，得． 第②步 移项，得． 第③步 合并同类项，得． 第④步 系数化为1，得． 第⑤步 所以，是原方程的解． （1）解答过程中第①步的依据是___________； （2）第___________（填序号）步开始出现错误，直接写出该方程解___________． 23. 先化简，再求值： ，其中． 24. 如图，已知平面上有三个点，，．按下列要求画图，并回答问题： （1）选择恰当的工具按要求画图： ①画直线，射线，线段； ②延长线段至点，使得； ③连接． （2）根据图形可得：___________（填“”“”或“”）． 25. 已知，如图，点是线段中点，点在线段上，，． 求线段的长． 下面是小石的解题过程，但是过程中有些地方他不能确定，请你帮他补全解题过程． 解：设． ， ___________． 点是线段中点， ___________．（理由：___________）． ． 又， ___________． ___________． ___________． 26. “绿水青山就是金山银山”，科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少，若一片国槐树叶与一片银杏树叶一年的平均滞尘总量为．请分别求出一片国槐树叶和一片银杏树叶一年的平均滞尘量． 27. 已知，，平分． （1）如图，若，依题意补全图形，并求度数； （2）直接写出的大小为___________（用含的式子表示）． 28. 定义：对于数轴上不同的三点，，，点到点的距离表示为，点到点的距离表示为，点到点的距离表示为．如果满足，我们就称点是线段的倍跟随点．例如，如图，若点，，表示的数分别为，1，2．可知，，，，根据可得，此时称点是线段的5倍跟随点． （1）若点表示的数为1，点表示的数为3． ①当点表示的数为5时，点是线段的______倍跟随点． ②若点是线段的4倍跟随点，则点表示的数是___________． （2）在数轴上，，分别表示数，，，点，，同时开始在数轴上运动．若点从点处以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时，点和点分别从点和点处以每秒2个单位长度和每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动．假设运动秒后，点是线段的2倍跟随点，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期初一期末试卷 数学 1．本试卷共6页，共三道大题，28道小题，满分100分．考试时间100分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，选择题、作图题请用2B铅笔作答，其他试题请用黑色字迹签字笔作答，在试卷上作答无效． 4．考试结束，请将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分 一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 的相反数是（　　） A. B. C. 5 D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了相反数：只有符号不同的两个数互为相反数． 根据相反数的定义求解即可． 【详解】解：∵的相反数是5， 故选：C． 2. 神舟二十一号载人飞船于2025年10月31日在酒泉卫星发射中心发射成功，再次彰显了我国航天事业的强大实力．神舟二十一号进入初始轨道后，飞船的运行速度约为每秒7.8千米（即第一宇宙速度），相当于每小时可运行约28080000米，其中28080000用科学记数法表示应为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可． 【详解】解：28080000用科学记数法表示应为． 故选：D． 3. 下面四个几何体中，从正面看到的图形是三角形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三视图的识别，正确判断立体图形的主视图是解题的关键． 只需从正面观察各个立体图形，即可做出判断． 【详解】解：A、长方体从正面看到的图形是长方形，故该选项不符合题意； B、圆锥从正面看到的图形是三角形，故该选项符合题意； C、圆柱从正面看到的图形是长方形，故该选项不符合题意； D、球体从正面看到的图形是圆，故该选项不符合题意．   故选： B． 4. 如图，能表示点A到直线l距离的是（ ） A. 线段的长 B. 线段的长 C. 线段的长 D. 线段的长 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了点到直线的距离的概念，找出垂线段是解决本题的关键． 根据点到直线的距离是指从直线外一点到这条直线所作的垂线段的长度，据此概念即可求解． 【详解】观察图可知，，而，，与直线l不垂直， 由点到直线的距离的概念可知，点A到直线l的距离是线段的长． 故选：C． 5. 有理数在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了数轴、绝对值及相反数的概念，有理数的加法运算，掌握数轴上数的大小比较法则是解题的关键． 根据数轴上点的位置，得到，再逐个判断得结论． 【详解】解：由数轴得， ∴，，，． 故选：B． 6. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，去括号，解题的关键是熟练掌握合并同类项法则和去括号法则． 根据合并同类项法则和去括号法则分别判断各选项即可． 【详解】解：A、，原写法错误，故不符合题意； B、，原写法正确，故符合题意； C、与不是同类项，不能合并，原写法错误，故不符合题意； D、，原写法错误，故不符合题意； 故选：B． 7. 下列生活实例中，能用“两点确定一条直线”解释的是（　　） A. 建筑工人砌墙时，通常先在墙的两端立桩拉线，然后沿着拉线砌墙 B. 从地到地架设电线，沿着线段架设会节省材料费用 C. 把原本弯曲的河道改直，河道的长度会变短 D. 写字时将笔尖看作一个点，这个点在纸上运动就形成了线 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查对“两点确定一条直线”几何公理的理解．选项A中，通过两个桩拉线砌墙，直接体现了该公理；选项B和C涉及“两点之间线段最短”；选项D涉及“点动成线”． 【详解】解：选项A中在墙的两端立桩拉线，利用两点确定一条直线来指导砌墙，故选项A正确； 选项B和C均基于“两点之间线段最短”的原理，与题意不符； 选项D描述的是点动成线的现象，与题意不符． 故选：A． 8. 幻方是一种中国传统的数字游戏，对幻方的研究体现了中国古人的智慧．幻方的游戏规则：将数字填入正方形的格子中，使每行、每列和每条斜对角线上的数的和都相等．如图1是一个完整的幻方的示例．图2是填写了部分数的幻方，根据幻方的游戏规则，其中的值为（　　） A. 5 B. 3 C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 第一列和对角线上的数字和相等，可得，解之即可． 【详解】解：根据题意，第一列和对角线上的数字和相等， 得 解得， 故选：C． 第二部分 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 对单项式“”可以解释为：一支碳素笔元，买了3支碳素笔，共消费元．请你再对“”赋予一个实际意义___________． 【答案】一个笔记本a元，买了3本，共付款元（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查代数式的实际意义，需结合生活实际，根据单项式的特点赋予合理情境． 【详解】解：例如，一个笔记本a元，购买3本，总费用为元， 故答案为：一个笔记本a元，买了3本，共付款元（答案不唯一）． 10 请你写出一个二次三项式：___． 【答案】x2+2x+1，答案不唯一 【解析】 【分析】二次三项式即多项式中次数最高的项的次数为2，并且含有三项的多项式．答案不唯一． 【详解】例如x2+2x+1，答案不唯一． 【点睛】解题关键是弄清多项式次数是多项式中次数最高的项的次数． 11. 关于一元一次方程的解是，则的值是___________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的解，将代入方程中，得到关于的方程，解方程即可求出的值． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， 即， 解得：． 故答案为：1． 12. 比较大小：___________（填“”“ ”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角的大小比较，将转换为分的形式，再比较大小． 【详解】解：∵ ∴． 故答案为：． 13. 世界杯排球赛的积分规则为：比赛中以（胜3局负0局）或者取胜的球队积3分，负队积0分；比赛中以取胜的球队积2分，负队积1分．若某球队以胜了a场，以胜了b场，以负了c场，则这支球队的积分用多项式可以表示为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了列代数式，根据积分规则列式即可． 【详解】∵某球队以胜了a场，以胜了b场，以负了c场， ∴这支球队的积分用多项式可以表示为． 故答案为：． 14. 我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》（1299年）一书，有一道题目是：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”译文是：“跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？”若慢马和快马从同一地点出发，设快马x天可以追上慢马，则可以列方程为______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，设快马天可以追上慢马，根据追及问题中路程相等的关系，利用速度差乘以时间等于追及距离，列出方程． 【详解】解：设快马天可以追上慢马．慢马先走12天，路程为里．快马与慢马的速度差为里/天，快马天追上慢马时， ∴． 故答案为：． 15. 规定一种新运算：，例如：． （1）请计算：___________； （2）若，请计算___________． 【答案】 ①. 7 ②. 【解析】 【分析】本题考查了与有理数有关的新定义运算，代数式求值． （1）根据新定义运算，分别将，代入该式进行计算即可； （2）按照题目的新定义运算分别将两个式子化简计算即可． 【详解】解：（1）根据新运算规则，， ∴． （2）∵， ∴， ∴． 故答案为：7；． 16. 学校组织学生参加劳动实践活动．已知制作手工香囊共需要三个步骤，分别为缝粘布袋、填充香料、收口固定．规定每两个同学为一组，共同完成香囊的制作．制作要求如下： ①香囊的制作需要按照步骤逐一完成： ②每个步骤只能由一名学生完成，此步骤完成后该学生才能进行其他步骤； ③甲、乙两位同学完成每个步骤所需时间（单位：分钟）如下表所示： 缝粘布袋 填充香料 收口固定 甲 8 3 2 乙 5 6 4 在不考虑其他因素前提下， （1）若甲、乙合作制作1枚香囊，制作完成的总用时最少为___________分钟； （2）若制作手工香囊的活动时间共20分钟，本小组甲、乙两位同学最多可制作___________枚香囊． 【答案】 ①. 10 ②. 3 【解析】 【分析】本题考查了逻辑推理与时间统筹、有理数的混合运算的应用，根据制作要求得出制作步骤是解题的关键． （1）通过优化分配每个步骤由用时最少的学生完成，最小化总时间； （2）采用流水线作业方式，乙专门完成缝粘布袋，甲专门完成填充香料和收口固定，计算在20分钟内最多可完成的香囊数量． 【详解】解：（1）制作1枚香囊时，为最小化总用时，缝粘布袋由乙完成（用时5分钟），填充香料由甲完成（用时3分钟），收口固定由甲完成（用时2分钟），总用时为分钟． （2）由于步骤顺序要求，采用流水线作业，最优策略为乙负责“缝粘布袋”（用时5分钟），甲负责“填充香料”和“收口固定”（用时分钟），完成第1个香囊需分钟，之后每5分钟可完成1个，在剩余的分钟内，可再完成个， 故最多可制作枚香囊， 故答案为：10；3． 三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27，28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了有理数的加减运算，化简绝对值，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． 根据有理数的加减运算法则和绝对值的性质求解即可． 【详解】解： ． 18. 计算：． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． 利用有理数乘法分配律求解即可． 【详解】解： ． 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． 先计算乘方，然后计算乘除，最后计算加减． 【详解】解： ． 20. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤． 方程移项合并，把x系数化为1，即可求出解； 【详解】解： 移项，合并同类项得， 系数化为1得，． 21. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤． 方程去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解． 【详解】解： 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得，． 22. 在学习解一元一次方程后，小石对一道一元一次方程的解答过程如下： 解方程：． 解：去分母，得． 第①步 去括号，得． 第②步 移项，得． 第③步 合并同类项，得． 第④步 系数化为1，得． 第⑤步 所以，是原方程的解． （1）解答过程中第①步的依据是___________； （2）第___________（填序号）步开始出现错误，直接写出该方程的解___________． 【答案】（1）等式的性质2 （2）②； 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次方程． （1）根据等式的性质即可解答； （2）检查解题过程，可发现第②步去括号没有变号；先去分母、去括号，再移项，然后合并后把x的系数化为1即可． 【小问1详解】 解：根据题意可知解答过程中第①步的依据是等式的性质2， 故答案为：等式的性质2； 【小问2详解】 解：第②步开始出现错误，错误原因是去括号没有变号， 解方程， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得 ， 合并同类项，得 ， 系数化为1，得， 所以，是原方程的解． 故答案为：②，； 23. 先化简，再求值： ，其中． 【答案】；18 【解析】 【分析】本题考查了整式的化简求值，准确的计算是解决本题的关键． 先去括号，再合并同类项，最后将代入求解即可． 【详解】解： ， 当时， 原式 ． 24. 如图，已知平面上有三个点，，．按下列要求画图，并回答问题： （1）选择恰当的工具按要求画图： ①画直线，射线，线段； ②延长线段至点，使得； ③连接． （2）根据图形可得：___________（填“”“”或“”）． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了直线、射线、线段的作图，两点之间线段最短等知识，熟知相关知识是解题的关键． （1）①根据直线，射线，线段的定义进行作图即可； ②以B为圆心，以的长为半径画弧交延长线于D，点D即为所求； ③连接即可； （2）根据两点之间，线段最短判断即可． 【小问1详解】 解：如图所示， 【小问2详解】 解：根据图形可得：． 25. 已知，如图，点是线段中点，点在线段上，，． 求线段的长． 下面是小石的解题过程，但是过程中有些地方他不能确定，请你帮他补全解题过程． 解：设． ， ___________． 点是线段的中点， ___________．（理由：___________）． ． 又， ___________． ___________． ___________． 【答案】3，3，线段中点的定义，3，9，18 【解析】 【分析】本题考查了线段的和差关系，线段中点的定义，设，，根据线段的和差关系和线段中点的定义求解即可． 【详解】解：设． ， ． 点是线段的中点， ．（理由：线段中点的定义）． ． 又， ． ． ． 26. “绿水青山就是金山银山”，科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少，若一片国槐树叶与一片银杏树叶一年的平均滞尘总量为．请分别求出一片国槐树叶和一片银杏树叶一年的平均滞尘量． 【答案】一片国槐树叶一年的平均滞尘量为，一片银杏树叶一年的平均滞尘量为． 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程的应用，找出等量关系列出方程是解题关键．设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为，一片银杏树叶一年的平均滞尘量为，结合已知条件可列二元一次方程组即可完成解答． 【详解】解：设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为，一片银杏树叶一年的平均滞尘量为， 由题意得， 解得， 答：一片国槐树叶一年的平均滞尘量为22毫克，一片银杏树叶一年的平均滞尘量为40毫克． 27. 已知，，平分． （1）如图，若，依题意补全图形，并求的度数； （2）直接写出的大小为___________（用含的式子表示）． 【答案】（1）补全图形见解析，或； （2）或 【解析】 【分析】本题考查了角平分线定义，角的和差关系． （1）根据题意分两种情况讨论，然后分别求出，由角平分线的定义求出，进而利用角的和差关系求解即可； （2）同（1）的方法求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示，当在内部时， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 如图所示，当在外部时， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或； 【小问2详解】 解：如图所示，当在内部时， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 如图所示，当在外部时， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或． 28. 定义：对于数轴上不同的三点，，，点到点的距离表示为，点到点的距离表示为，点到点的距离表示为．如果满足，我们就称点是线段的倍跟随点．例如，如图，若点，，表示的数分别为，1，2．可知，，，，根据可得，此时称点是线段的5倍跟随点． （1）若点表示的数为1，点表示的数为3． ①当点表示的数为5时，点是线段的______倍跟随点． ②若点是线段的4倍跟随点，则点表示的数是___________． （2）在数轴上，，分别表示数，，，点，，同时开始在数轴上运动．若点从点处以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时，点和点分别从点和点处以每秒2个单位长度和每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动．假设运动秒后，点是线段的2倍跟随点，请直接写出的值． 【答案】（1）①3；②或6 （2）3.1或3.5 【解析】 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，绝对值意义，一元一次方程的应用等知识点，解题的关键是理解跟随点的定义． （1）①首先求出，，，然后根据求解即可； ②首先求出，，，然后根据分情况求解即可； （2）首先得到运动后点A表示的数为，点B表示的数为，点P表示的数为，然后表示出，，，然后根据分情况求解即可． 【小问1详解】 解：①∵点表示的数为1，点表示的数为3，点表示的数为5 ∴，，， ∵ ∴ ∴ ∴点是线段的3倍跟随点； ②设点表示的数是p ∴，，， ∵点是线段的4倍跟随点 ∴ 当时， 解得； 当时， ∴，不符合题意； 当时， 解得； 综上所述，点表示的数是或6； 【小问2详解】 解：根据题意得，运动后点A表示的数为，点B表示的数为，点P表示的数为， ∴，， ∵点是线段的2倍跟随点 ∴ ∴ ∴ ∴当时， 解得，不符合题意； ∴当时， 解得，符合题意； 当时， 解得，符合题意； 当时， 解得，不符合题意； 综上所述，的值为3.1或3.5． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $