19.1.1二次根式的概念课件+教案--2025-2026学年人教版数学八年级下册

新人教版数学8年级下册培优备课课件 19.1.1二次根式的概念 第十九章　二次根式 授课教师： Home . 班 级： . 时 间：2026年01月18日 . 新疆吐鲁番市托克逊县第一中学 1 1．了解二次根式的概念． 2．理解并掌握二次根式有意义的条件．（重点） 学习目标 问题1 什么叫作平方根？ 一般地，如果一个数 x 的平方等于 a，即 x2＝a，那么这个数 x 叫作 a 的平方根． 问题2 什么叫作算术平方根？ 正数 a 有两个平方根，其中正的平方根 叫作 a 的算术平方根．正数 a 的算术平方根记为 ． 用带有根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点： （1）一个长方形围栏，长是宽的 2 倍，面积为 130 m2，则它的宽为______m． （2）一个大正方形的面积是一个边长为 a 的正方形与另一个边长为 1 的正方形的面积之和，则大正方形的边长为_______． (3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t(单位：s)与开始落下时离地面的高度 h(单位：m)满足关系 h＝5t2．如果用含有 h 的式子表示 t ，那么 t 为_______． 你发现这些结果有哪些共同特征？ 用带有根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点： ， ，，它们表示一些正数的算术平方根． 我们知道，一个正数有两个平方根；0 的平方根为 0；在实数范围内，负数没有平方根．因此，在实数范围内开平方时，被开方数只能是正数或 0． 一般地，我们把形如 (a≥0)的式子叫作二次根式，“ ”称为二次根号．二次根式也是代数式. 1．被开方数 a 可以是非负的数或单项式、多项式、分式等； 2．“ ”中一般把根指数 2 省略，写成“ ”． 7 返回 A 1. 下列各式中，是二次根式的是(　　) 中考考法 8 返回 2. C 下列各式中，一定是二次根式的是(　　) 中考考法 （1）； （2）； （3）； （4）； （5）（a≥2）； （6）（a＜b）． 例1 指出下列哪些是二次根式. √ √ √ 二次根式 必须含有二次根号“”； 被开方数 a≥0 ； 被开方数 a 可以表示一个数，也可以表示一个含有字母的式子． 只有在满足条件 a≥0 时才叫二次根式．即 a≥0 是 为二次根式的前提条件． 1．二次根式有意义的条件是被开方数（式）为非负数，反之也成立，即： 有意义 ⇔ a≥0． 2．二次根式无意义的条件是被开方数（式）为负数，反之也成立，即： 无意义 ⇔ a＜0． 例2 当 x 满足什么条件时，在实数范围内有意义？ 解：由 x－2≥0， 得 x≥2． 所以当 x≥2 时，在实数范围内有意义． 返回 3. D 中考考法 返回 4. D 中考考法 返回 5. 解：x≤0. (16分)[教材P3练习T2变式]当x满足什么条件时，下列各式在实数范围内有意义？ x为任意实数． 中考考法 返回 6. 已知一个正方体的表面积为12 dm2，则这个正方体的棱长为________dm． 中考考法 思考 当x是怎样的实数时， 在实数范围内有意义？ 呢？ 前者x为全体实数；后者x≥0. 当 a 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ （1）；（2）；（3）;（4）． 解：（1）由 a－1≥0， 得 a≥1． 所以当 a≥1 时，在实数范围内有意义． （2）由≥0 且 3－a≠0 ，得 a＜3． 所以当 a＜3 时，在实数范围内有意义． 解：（3）因为不论 a 为何值，≥0 恒成立， 所以 a 取任意实数，在实数范围内都有意义． （4）由 x－4≥0，得 x≥4． 由 x－6≠0，得 x≠6． 当 x≥4 且 x≠6 时，在实数范围内有意义． 当 a 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ （1）；（2）；（3）;（4）． 　　求使式子有意义的字母取值范围： 　　（2）分式型： 　　（3）零指数幂型：a0＝1 　　（1）二次根式型： 被开方数≥0 分母≠0 底数≠0 例3 （1）当 x =2时，二次根式的值为 ； （2）当 x =2时，二次根式的值为 . 解析：（1）当 x =－2时， =16. 所以==4． （2）当 x =2时， =5. 所以=． 4 返回 7. 中考考法 返回 8. D 中考考法 返回 9. 2 中考考法 24 返回 10. (4分)[教材P5习题T3变式]有一个长、宽之比为5∶1的长方形过道，其面积为10 m2，求这个长方形过道的长和宽． 中考考法 25 11. 中考考法 26 返回 中考考法 27 二次根式 概念 含有二次根号 被开方数为非负数 有意义的条件 被开方数（式子）为非负数， 中 a≥0 A． B． C．2 D． A． B． C． D． [2025连云港中考]若在实数范围内有意义，则x的取值范围是(　　) A．x≤1 B．x≥1 C．x≤－1 D．x≥－1 下列x的值能使二次根式无意义的是(　　) A．x＝－5 B．x＝0 C．x＝2 D．x＝3 x≥－. x≤. (3)； (4)． (1)； (2)； “海阔千江辏，风翻大浪随．”海浪的大小与风速和风压有很大的关系，用风速v(单位：m/s)估计风压wp(单位：Pa)的通用公式为wp＝，试用含wp(wp≥0)的式子表示v，则v＝__________． 如果代数式有意义，那么实数x的取值范围是(　　) A．x≥2 B．x≠2 C．x≤2 D．x>2 当x＝________时，式子＋2取最小值，这个最小值为________． 解：设这个长方形过道的长为5x m，则宽为x m， 由题意，得5x·x＝10，∴x＝±. ∵x>0，∴x＝.∴5x＝5 . 答：这个长方形过道的长和宽分别为5 m和 m. (8分)[2025唐山期中](1)若x，y为实数，且y＝＋－2，求的值； 解：由题意得∴x＝3， ∴y＝＋－2＝0＋0－2＝－2， ∴＝＝. (2)已知b＝＋－a＋7，求a－b的值． 解：由题意得∴ab＝10，∴b＝－a＋7，∴a＋b＝7， ∴(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝72－4×10＝9， ∴a－b＝±3. $ 第十九章 二次根式《二次根式的概念》教案 一、教学目标 1. 知识与技能：理解二次根式的定义，掌握二次根式有意义的条件，能判断一个式子是否为二次根式。 2. 3. 过程与方法：通过实例探究、小组讨论，培养学生观察、归纳、概括的能力，渗透数形结合思想。 4. 5. 情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，感受数学与生活的联系，培养严谨的思维习惯。 6. 二、教学重难点 重点：二次根式的概念及有意义的条件。 难点：灵活运用二次根式有意义的条件解决问题。 三、教学过程 （一）情境导入（5分钟） 出示问题：1. 一个正方形花坛面积为a平方米，它的边长是多少？2. 一个直角三角形的斜边长，已知两条直角边分别为3和5，斜边长是多少？引导学生列出式子√a、√(3²+5²)，提问这类式子有什么共同特征，引出课题。 （二）探究新知（15分钟） 1. 观察上述式子，结合算术平方根的意义，归纳定义：一般地，形如√a（a≥0）的式子叫做二次根式，其中“√”是二次根号，a叫做被开方数。 2. 强调关键条件：被开方数a必须是非负数，二次根式才有意义；若a<0，√a无意义。 3. 实例辨析：判断√2、√(-3)、√x²+1是否为二次根式，讲解判断依据，巩固概念。 （三）巩固练习（15分钟） 1. 基础题：下列式子中，哪些是二次根式？（略） 2. 3. 变式题：求下列二次根式中x的取值范围：√(x-2)、√(3x+1)。小组讨论解题思路，教师点拨：被开方数大于等于0，列不等式求解。 4. （四）课堂小结（3分钟） 师生共同总结：二次根式的定义、有意义的条件，强调解题时要牢记a≥0的核心。 （五）布置作业（2分钟） 基础作业：教材对应习题；拓展作业：思考√a（a≥0）的取值范围。 四、板书设计 二次根式的概念：1. 定义：√a（a≥0）；2. 有意义条件：a≥0；3. 辨析与应用。 19.1 二次根式及其性质 第1课时 二次根式的概念 教学设计 课题 19.1第1课时 二次根式的概念 授课人 教学目标 1.理解二次根式的概念，能够识别二次根式. 2.掌握二次根式有意义的条件，会求二次根式中被开方数的取值范围. 1. 3.经历从平方根到二次根式的抽象过程，体会从具体到抽象的数学思想. 教学重点 二次根式的概念及二次根式有意义的条件. 教学难点 熟练求较复杂二次根式有意义的条件. 授课类型 新授课 课时 1 教学步骤 师生活动 设计意图 复习导入 问题1 什么叫作平方根？ 一般地，如果一个数 x 的平方等于 a，即 ＝a，那么这个数 x 叫作 a 的平方根． 问题2 什么叫作算术平方根？ 正数 a 有两个平方根，其中正的平方根叫作 a 的算术平方根．正数 a 的算术平方根记为． 通过回顾旧知为学习新知作好准备. 探究新知 1.二次根式的定义 用带有根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点： （1）一个长方形围栏，长是宽的 2 倍，面积为 130 m2，则它的宽为 m． （2）一个大正方形的面积是一个边长为 a 的正方形与另一个边长为 1 的正方形的面积之和，则大正方形的边长为 ． (3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t(单位：s)与开始落下时离地面的高度 h(单位：m)满足关系 h＝5t2．如果用含有 h 的式子表示 t ，那么 t 为 ． 你发现这些结果有哪些共同特征？ ， ，，它们表示一些正数的算术平方根． 我们知道，一个正数有两个平方根；0 的平方根为 0；在实数范围内，负数没有平方根．因此，在实数范围内开平方时，被开方数只能是正数或 0． 一般地，我们把形如(a≥0)的式子叫作二次根式，“”称为二次根号．二次根式也是代数式. 1．被开方数 a 可以是非负的数或单项式、多项式、分式等； 2．“”中一般把根指数 2 省略，写成“”． （链接例1） 2.二次根式有意义的条件 只有在满足条件 a≥0 时才叫二次根式．即 a≥0 是 为二次根式的前提条件． 1．二次根式有意义的条件是被开方数（式）为非负数，反之也成立，即： 有意义 ⇔ a≥0． 2．二次根式无意义的条件是被开方数（式）为负数，反之也成立，即： 无意义 ⇔ a＜0． （链接例2、针对练习） 求使式子有意义的字母取值范围： 　　（1）二次根式型： 被开方数≥0 　　（2）分式型： 分母≠0 　　（3）零指数幂型：a0＝1 底数≠0 3.求二次根式的值 （链接例3） 通过问题探究和讨论，帮助学生理解二次根式的定义及其特征.通过观察和讨论，帮助学生发现二次根式的性质，并掌握其应用. 典例精析 【例1】 指出下列哪些是二次根式. （1）； √ （2）； （3）； （4）； √ （5）（a≥2）； √ （6）（a＜b）． 【方法总结】二次根式 必须含有二次根号“”； 被开方数 a≥0 ； 被开方数 a 可以表示一个数，也可以表示一个含有字母的式子． 【例2（教材P2例题）】 当 x 满足什么条件时，在实数范围内有意义？ 【解】由 x－2≥0， 得 x≥2． 所以当 x≥2 时，在实数范围内有意义． 思考 当x是怎样的实数时，在实数范围内有意义？ 呢？ 前者x为全体实数；后者x≥0. 【针对练习】当 a 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ 【解】（1）由 a－1≥0， 得 a≥1． 所以当 a≥1 时，在实数范围内有意义． （2）由≥0 且 3－a≠0 ，得 a＜3． 所以当 a＜3 时，在实数范围内有意义． （3）因为不论 a 为何值，≥0 恒成立， 所以 a 取任意实数，在实数范围内都有意义． （4）由 x－4≥0，得 x≥4． 由 x－6≠0，得 x≠6． 当 x≥4 且 x≠6 时，在实数范围内有意义． 【例3】 （1）当时，二次根式的值为 ； （2）当时，二次根式的值是 ． 【解】（1）当时， ． （2）当时，． 通过例题和练习帮助学生掌握所学知识，培养学生的应用能力. 随堂检测 1．下列各式：，，，（a＞0），其中是二次根式的有（　B　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如果是二次根式，则 x 的取值范围是（　D　） A．x≠－5 B．x≥－5 C．x＜－5 D．x＞－5 3.当 a 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ （1）；（2）；（3）；（4）． 【解】（1）由 a－7≥0，得 a≥7． 当 a≥7 时，在实数范围内有意义． （2）由 2a＋3≥0，得 a≥． 当 a≥时，在实数范围内有意义． （3）由 －a≥0，得 a≤0． 当 a≤0 时，在实数范围内有意义． （4）由 5－a≥0，得 a≤5． 当 a≤5 时，在实数范围内有意义． 4.要画一个面积为18 cm^2 的长方形，使它的长与宽之比为3:2，它的长、宽各应取多少？ 【解】设长为3x cm，宽为2x cm， ∴3x﹒2x=18， ∴6x²=18, 解得x=. ∴3x=3,2x=2. 答：长为3cm，宽为2 cm． 通过设置随堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的. 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 小结： 1．二次根式的定义 2．二次根式有意义的条件 巩固所学知识，加深对本节知识的理解. 作业布置 板书设计 19.1第1课时 二次根式的概念 1.二次根式的定义 一般地，我们把形如(a≥0)的式子叫作二次根式，“”称为二次根号．二次根式也是代数式. 2.二次根式有意义的条件 3.二次根式的实际应用 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $