4.2.1 课时1等差数列的概念与通项公式 课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

4.2.1 课时1 等差数列的概念与通项公式 第四章 数列 亚运会几年举办一届？ 杭州亚运回顾 每 4 年举办一届 1954，1958，1962，1966，1970... 这些年份我们可以看成一组数列，今天，我们要研究一些这样具有特殊变化规律的数列。 新课导入 情境1 北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，最中间是圆形的天心石，围绕天心石的是 9 圈扇环形的石板，从内到外各圈的石板数依次为 9，18，27，36，45，54，63，72，81. ① 新课导入 情境2 XXS，XS，S，M，L，XL，XXL，XXXL型号的女装对应的尺码分别是： 38，40，42，44，46，48 ② 新课导入 情境3 测量某地垂直地面方向上海拔500m以下的大气温度，得到从距离地面20m起每升高100m处的大气温度(单位：℃)依次为： 25.0，24.4，23.8，23.2，22.6 ③ 新课导入 思考：通过这三个实例，你发现了什么规律？ 情境①： 9，18，27，36，45，54，63，72，81 情境②：38，40，42，44，46，48 情境③：25，24.4，23.8，23.2，22.6 从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数 新课导入 (一) 等差数列的概念 如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列；这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 d 表示. 如数列①的公差 d＝9) (公差＝后一项－前一项， 符号表示：an+1－an＝d (d 为常数，n∈N*) 新课导入 例1 判断下列数列是否为等差数列？如果是，写出它的公差 d. （1）5，9，13，17，21； （2）14，12，10，8，6； （3）1，-2，3，-4，5，-6； （4）5，5，5，5，5，5； （5）-8，-6，-4. 典例剖析 不是 判断下列数列是否为等差数列，如果是，写出它的公差． （1） 1， 3， 5， 7， 9， 2， 4， 6， 8， 10 （2） 3，3，3，3，3，3 （3） 95，82，69，56，43，30； （4） 1，1.1，1.11，1.111，1.1111 （5） （6） 3x，6x，9x，12x，15x 不是 是，公差d＝0，常数列 是，公差d＝－13 是，公差d＝3x 是，公差d＝ 知识运用 判断题： ① 数列 a，2a，3a，4a，… 是等差数列（ ） ② 数列 a－2，2a－3，3a－4，4a－5，… 是等差数列（ ） ③ 若 an－an+1＝3(n∈N*)，则{an}是公差为3的等差数列（ ） ④ 若 a2－a1＝a3－a2， 则数列{an}是等差数列（ ） 知识运用 ①判断一个数列是不是等差数列，主要是由定义判断 an+1－an 是 不是同一个常数. ②公差 d 是每一项(第2项起)与它的前一项的差，千万别把被减数 与减数弄颠倒。 ③公差可以是正数，负数，也可以为 0 . 【注意】 知识讲解 新知讲解 思考：在如下的两个数之间，插入一个什么数后这三个数就会成为一个等差数列？ ① 2 ，（ ），6 ； ② -12，（ ），0 . 4 -6 若三个数 a，A，b 组成等差数列，则 A 叫做 a 与 b 的等差中项。 根据等差数列的定义满足 A－a＝b－A， (二) 等差中项 整理得：2A＝a＋b 如：等差数列38，40，42中，40是38与42的等差中项，且2×40=38+42. 知识讲解 1. 写出等差中项： （1）－1 ， ， 5； （2）0 ， ， 0. 知识运用 3 0 2. 如果三个数 2a，3，a－6 成等差数列，则 a 的值为( 　 ) A．－1 B．1 C．3 D．4 D 【解析】由等差中项的性质可知2a＋(a－6)＝2×3，解得a＝4 若等差数列{an}的首项为 a1， 公差是 d，根据定义得: a2－a1＝d， a3－a2＝d， a4－a3＝d， …… an－an－1＝d， 由此可归纳得， 等差数列的通项公式为: an＝____________. a1＋(n－1)d 即 a2＝a1＋d； 即 a3＝a2＋d＝a1＋2d； 即 a4＝a3＋d＝a1＋3d； 即an＝a1＋(n－1)d； 将各式累加得， 等差数列的通项公式为: an＝a1＋(n－1)d. 不完全归纳法 累加法 新知讲解 (三) 等差数列的通项公式 首项为 a1，公差为 d 的等差数列{an}的通项公式为： an＝a1＋(n – 1)d 归纳：在等差数列{an}的通项公式中，有a1、d、an、n 四个量，若已知其中三个，可以求余下一个 知识讲解 知识运用 求下列等差数列的通项公式； ①9，18，27，36，45，54，63，72...； ②38，40，42，44，46，48... 【解析】 典例剖析 例2 按要求回答下列问题. (1)已知等差数列{an }的通项公式为 an = 5 – 2n，求{an }的公差和首项； (2)求等差数列 8，5，2，··· 的第 20 项. 于是 d＝a2－a1＝1－3＝－2. 所以数列{an}的首项为3，公差为－2. 令 n＝1，得 a1＝5－2×1＝3， 令 n＝2，得 a2＝5－2×2＝1. 【解析】(1) 典例剖析 例2 按要求回答下列问题. (1)已知等差数列{an }的通项公式为 an = 5 – 2n，求{an }的公差和首项； (2)求等差数列 8，5，2，··· 的第 20 项. 由题意可得，公差d ＝ 5－8＝-3， 把 a1＝8，d＝-3 代入 an＝a1 + (n－1) d 得：an＝ 11－3n， 令n＝20，得a20＝11－3×20＝-49 ； 所以这个等差数列的第 20 项是-49 . 【解析】(2) 在下列等差数列{an}中， (1)已知a1＝2，d＝3，n＝10，求 a10； 解：a10＝a1＋9d＝2＋9×3＝29 (2)已知a1＝3，an＝21，d＝2，求 n 解：∵21＝3＋(n－1)×2， (3)已知a1＝12，a6＝27，求 d； 解：∵a6＝a1＋5d，即27＝12＋5d， ∴d＝3 ∴a1＝10 ∴n＝10 (4)已知 d＝ ，a7＝8，求 a1 解：∵a7＝a1＋6d，即8＝a1＋6×( )， 知识运用 an＝a1＋(n－1) d 等差数列的通项公式：an＝a1＋(n－1)d 推论：an＝am＋(n－m)d，n≠m 【求公差的方法】 (四) 通项公式的性质 知识讲解 在等差数列中，已知a5＝10，a12＝31，求首项与公差. 【解析】设数列的首项为a1，公差为d 即这个等差数列的首项是-2，公差是3. 知识运用 由题意可知 a1＋4d＝10 a1＋11d＝31 解得 a1＝-2 d＝3 【解析】设数列{an}的公差为d. 在等差数列{an}中，已知a1＋a6＝12，a4＝7，求 a9 ∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1， 由已知得， a1＋a1＋5d＝12 a1＋3d＝7 a1＝1 d＝2 解得 知识运用 ∴a9＝2×9－1＝17 典例剖析 例3 -401是不是等差数列 -5，-9，-13，···的项？如果是，是第几项？ 【解析】由题意可得 a1 ＝-5，d＝-9－(-5)＝-4； 由 an＝a1＋(n－1)d ，得：an ＝-4n -1， 令 -4n -1＝-401，解得n＝100. 所以 -401是等差数列 -5，-9，-13，··· 的第100项. 等差数列－3，1，5，…的第15项的值是( 　 ) A．40 B．53 C．63 D．76 知识运用 B ∴a15＝a1＋14d＝－3＋4×14＝53. 【解析】a1＝－3，d＝4， 等差数列1，－1，－3，－5，…，－89，它的项数为( 　 ) A．92 B．47 C．46 D．45　 知识运用 C a1＝1，d＝－1－1＝－2， ∴an＝1＋(n－1)×(－2)＝－2n＋3， 由－89＝－2n＋3，得 n＝46. 【解析】 6 已知 m 和 2n 的等差中项是 8，2m 和 n 的等差中项是10，则 m 和 n 的等差中项是 . 两式相加，得 3(m＋n)＝36 m＋n＝12 m＋2n＝8×2 2m＋n＝10×2 【解析】由题意得 则 m 和 n 的等差中项是 6 . 知识运用 【解析】由题意得 t2－t＋t2＋t＝8， 已知数列{an}是等差数列，a1＝t2－t，a2＝4，a3＝t2＋t，求数列的通项公式an. t＝2时，a1＝2，公差d＝2，所以an＝2n t＝-2时，a1＝6，公差d＝-2，所以an＝8－2n 所以，t＝±2 知识运用 ★ 定义法合作探究 知识拓展 等差数列的证明与判定的方法： an＋1－an＝d 或 an－an-1＝d ★ 等差中项法 2an＋1＝an＋an＋2 通项公式法 形如 an＝pn＋q(p，q为常数)⇔{an}是等差数列 ⇔ {an}是等差数列 ⇔ {an}是等差数列 例4 已知数列{an}满足 a1＝2，an＋1＝ . (1)数列{ }是否为等差数列？说明理由；(2)求 an. 典例剖析 知识运用 已知数列{an}满足a1＝4， ，记 . 求证：数列{bn}是等差数列． 证明：[定义法] 又 ∴ 数列{bn}是首项为 ，公差为 的等差数列 已知数列{an}满足a1＝4， ，记 . 求证：数列{bn}是等差数列． 证明：[等差中项法] ∴ 数列{bn}是等差数列 ∵ ∴ ∴ 等差数列 an=a1+(n-1)d 直线上均匀排开的一群孤立的点 1.定义: 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数 公差：d=an-an-1 (n≥2，n∈N*) 2.通项公式： 推导公式： an=am+(n－m)d 4.图象： 3.等差中项：a，A，b成等差数列 2A=a+b 课堂总结 $