奥数培优：最大公因数与最小公倍数（讲义）-2025-2026学年六年级下册数学人教版

《小升初奥数数论：最大公因数与最小公倍数》 【知识梳理+例题讲解+提升练习+模拟赛场】 知识梳理 基础回顾：核心概念与求法 1.最大公因数（GCD） （一）定义：几个数共有的最大因数，记作 或 。 （二）求法： （1）分解质因数法：取各数公共质因数的最低次幂相乘，如 ； （2）短除法：用公共除数除到互质，除数的乘积即为GCD； （3）辗转相除法： （适用于大数计算，如 ）。 2.最小公倍数（LCM） （一）定义：几个数共有的最小倍数，记作 或 。 （二）求法： （1）分解质因数法：取各数所有质因数的最高次幂相乘，如 ； （2）短除法：用公共除数除到互质，除数与商的乘积即为LCM； （3）公式法： （仅适用于两个数，如 ， ， ）。 3.核心性质 （1）若 是 的倍数，则 ， ； （2）互质数的 为1， 为两数乘积（如连续自然数、相邻奇数、不同质数互质）； （3）； （4）多个数的 是各数公共质因数的最低次幂， 是各数所有质因数的最高次幂（如 ， ）。 拓展考点：小升初高频题型 1.GCD的实际应用：解决裁剪布料、分组分配、最大规格物品等问题（本质是找多个数的最大公共度量单位）。 2.LCM的实际应用：解决周期相遇、重复事件、最小公倍数拼接等问题（本质是找多个数的最小公共周期）。 3.综合逆推问题： （1）已知两数的GCD和LCM，求原数：设GCD为 ，则两数可表示为 、 （ 、 互质），LCM为 ，通过 求解 、 ； （2）已知两数和/差与GCD，求原数：设GCD为 ，两数为 、 ，则和为 ，差为 ，结合 、 互质求解。 例题讲解 【例题1】基础GCD与LCM的求解 题目：求12、18、24的最大公因数和最小公倍数。 思路分析：用分解质因数法和短除法两种方法验证，明确多个数的GCD和LCM求法。 详细解答： 分解质因数： ， ， ； GCD：取公共质因数最低次幂， ； LCM：取所有质因数最高次幂， ； 故 ， 。 【跟踪训练1】求20、30、45的最大公因数和最小公倍数。 【例题2】GCD的实际应用：分组与裁剪 题目：学校组织劳动，男生48人，女生36人，要分成人数相等的小组，且男女生不混合，最多可以分成多少组？每组男生和女生各有多少人？ 思路分析：最多分组数即为48和36的最大公因数，再用总人数除以组数得每组人数。 详细解答： 求 ：分解质因数 ， ，GCD为 ； 每组男生人数： 人，每组女生人数： 人； 故最多分12组，每组男生4人，女生3人。 【跟踪训练2】有一块长180cm、宽120cm的长方形布料，要裁成同样大小的正方形，且没有剩余，正方形的边长最大是多少厘米？一共可以裁多少块？ 【例题3】LCM的实际应用：周期相遇 题目：甲、乙两人去图书馆，甲每6天去一次，乙每8天去一次，他们在5月1日同时去了图书馆，下一次同时去图书馆是几月几日？ 思路分析：下次相遇的天数是6和8的最小公倍数，用5月1日加上该天数即可。 详细解答： 求 ：分解质因数 ， ，LCM为 ； 5月1日+24天=5月25日； 故下一次同时去图书馆是5月25日。 【跟踪训练3】公交站的1路车每5分钟发一班，2路车每7分钟发一班，早上8:00两车同时发车，下一次同时发车是几点几分？ 【例题4】综合逆推：已知GCD和LCM求原数 题目：已知两个数的最大公因数是6，最小公倍数是36，求这两个数。 思路分析：设两数为 、 （ 、 互质），则 ，即 ，结合互质条件枚举 、 。 详细解答： 由 ，且 、 互质，可能的组合： ， ：两数为 ， ； ， ：两数为 ， ； 故这两个数为6和36，或12和18。 【跟踪训练4】已知两个数的和是60，最大公因数是12，求这两个数。 提升训练 1.把36个苹果、48个梨、72个橘子分给小朋友，要使每个小朋友分到的三种水果数量相等，最多可以分给多少个小朋友？每个小朋友分到的三种水果各多少个？ 2.甲、乙、丙三人绕操场跑步，甲每4分钟跑一圈，乙每6分钟跑一圈，丙每8分钟跑一圈，三人同时从起点出发，最少多少分钟后三人同时回到起点？ 3.已知两个数的最大公因数是8，最小公倍数是96，求这两个数的和。 4.一批零件，每12个装一盒剩10个，每15个装一盒剩13个，这批零件最少有多少个？ 5.求1-10中所有偶数的最小公倍数。 模拟赛场（奥数难度） 1.证明：对于任意正整数 、 （ ）， 。 2.有一块长方形地，长240m，宽180m，要在它的四周栽树，四个角都栽，相邻两棵树的距离相等，最少要栽多少棵树？ 3.求1-20中所有质数的最小公倍数。 4.已知两个数的最大公因数是15，最小公倍数是225，且两数的差是30，求这两个数。 5.一个数除以6余4，除以8余6，除以9余7，求满足条件的最小正整数。 6.把若干个苹果分给小朋友，每人分3个剩1个，每人分5个剩3个，每人分7个剩5个，求最少有多少个苹果？ 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案及解析 跟踪训练参考答案 【跟踪训练1】 分解质因数： ， ， ； GCD： ； LCM： ； 故 ， 。 【跟踪训练2】 正方形最大边长为 cm； 可裁块数： 块； 故边长最大60cm，共裁6块。 【跟踪训练3】 下次同时发车间隔为 分钟； 8:00+35分钟=8:35； 故下一次同时发车是8:35。 【跟踪训练4】 设两数为 、 （ 、 互质），则 ，即 ； 互质组合： →两数12、48； →两数24、36； 故这两个数为12和48，或24和36。 提升练习参考答案 1.最多分给 个小朋友；每个小朋友分苹果 个，梨 个，橘子 个。 2.最少时间为 分钟。 3.设两数为 、 ， ，互质组合： →和 ； →和 ；故和为104或56。 4.零件数加2能被12和15整除， ，最少 个。 5.1-10中偶数为2、4、6、8、10， 。 模拟赛场参考答案及解析 1.证明：设 ，则 ， （ 、 互质）； ， ； ； 因为 ，又 、 互质， ，同理 ，故 或2，但 ，无论 为1或2，最终 ，得证。 2.答案：14棵。 解析：相邻树的最大距离为 m；周长为 m；最少栽树 棵。 3.答案：9699690。 解析：1-20中的质数为2、3、5、7、11、13、17、19，它们互质，最小公倍数为 。 4.答案：45和75。 解析：设两数为 、 ， ，两数差 → ； 由 ， ，解得 ， ； 两数为 ， 。 5.答案：70。 解析：该数加2能被6、8、9整除， ，最小数为 。 6.答案：103个。 解析：苹果数加2能被3、5、7整除， ，最少 个。 1 学科网（北京）股份有限公司 $