奥数培优：最大公因数与最小公倍数（讲义）-2025-2026学年六年级下册数学人教版

《小升初奥数数论：最大公因数与最小公倍数》

【知识梳理+例题讲解+提升练习+模拟赛场】

知识梳理

基础回顾：核心概念与求法

1.最大公因数（GCD）

（一）定义：几个数共有的最大因数，记作 或 。

（二）求法：

（1）分解质因数法：取各数公共质因数的最低次幂相乘，如 ；

（2）短除法：用公共除数除到互质，除数的乘积即为GCD；

（3）辗转相除法： （适用于大数计算，如 ）。

2.最小公倍数（LCM）

（一）定义：几个数共有的最小倍数，记作 或 。

（二）求法：

（1）分解质因数法：取各数所有质因数的最高次幂相乘，如 ；

（2）短除法：用公共除数除到互质，除数与商的乘积即为LCM；

（3）公式法： （仅适用于两个数，如 ， ， ）。

3.核心性质

（1）若 是 的倍数，则 ， ；

（2）互质数的 为1， 为两数乘积（如连续自然数、相邻奇数、不同质数互质）；

（3）；

（4）多个数的 是各数公共质因数的最低次幂， 是各数所有质因数的最高次幂（如 ， ）。

拓展考点：小升初高频题型

1.GCD的实际应用：解决裁剪布料、分组分配、最大规格物品等问题（本质是找多个数的最大公共度量单位）。

2.LCM的实际应用：解决周期相遇、重复事件、最小公倍数拼接等问题（本质是找多个数的最小公共周期）。

3.综合逆推问题：

（1）已知两数的GCD和LCM，求原数：设GCD为 ，则两数可表示为 、 （ 、 互质），LCM为 ，通过 求解 、 ；

（2）已知两数和/差与GCD，求原数：设GCD为 ，两数为 、 ，则和为 ，差为 ，结合 、 互质求解。

例题讲解

【例题1】基础GCD与LCM的求解 题目：求12、18、24的最大公因数和最小公倍数。

思路分析：用分解质因数法和短除法两种方法验证，明确多个数的GCD和LCM求法。

详细解答：

分解质因数： ， ， ；

GCD：取公共质因数最低次幂， ；

LCM：取所有质因数最高次幂， ； 故 ， 。

【跟踪训练1】求20、30、45的最大公因数和最小公倍数。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

【例题2】GCD的实际应用：分组与裁剪 题目：学校组织劳动，男生48人，女生36人，要分成人数相等的小组，且男女生不混合，最多可以分成多少组？每组男生和女生各有多少人？

思路分析：最多分组数即为48和36的最大公因数，再用总人数除以组数得每组人数。

详细解答：

求 ：分解质因数 ， ，GCD为 ；

每组男生人数： 人，每组女生人数： 人； 故最多分12组，每组男生4人，女生3人。

【跟踪训练2】有一块长180cm、宽120cm的长方形布料，要裁成同样大小的正方形，且没有剩余，正方形的边长最大是多少厘米？一共可以裁多少块？

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

【例题3】LCM的实际应用：周期相遇 题目：甲、乙两人去图书馆，甲每6天去一次，乙每8天去一次，他们在5月1日同时去了图书馆，下一次同时去图书馆是几月几日？

思路分析：下次相遇的天数是6和8的最小公倍数，用5月1日加上该天数即可。 详细解答：

求 ：分解质因数 ， ，LCM为 ；

5月1日+24天=5月25日； 故下一次同时去图书馆是5月25日。