奥数培优：余数问题与周期应用（讲义）-2025-2026学年六年级下册数学人教版

《小升初奥数数论：余数问题与周期应用》 【知识梳理+例题讲解+提升练习+模拟赛场】 知识梳理 基础回顾：核心概念 1.余数的定义与性质 （1）定义：对于整数 和正整数 ，存在唯一的商 和余数 ，满足 ，其中 。 （2）关键性质： 余数小于除数； 被除数 = 除数×商 + 余数； 余数可加性： 的余数 = 的余数 + 的余数 的余数； 余数可乘性： 的余数 = 的余数 × 的余数 的余数。 2.周期问题核心 （1）定义：事物重复出现的固定规律称为周期，记为 ；第 项的状态 = 第 项的状态（若 ，则为第 项）。 （2）常见类型：日期周期（每周7天）、数列周期、余数周期（如 的重复规律）。 拓展考点：小升初高频题型 1.同余定理 若 ，则 是 的倍数；且 ， 。 2.中国剩余定理（简单版） 当除数两两互质时，可通过枚举或凑数法求解“一个数除以多个数的余数已知”的问题（如：除以3余1，除以5余2，求最小数）。 3.弃九法 利用“一个数除以9的余数等于其各位数字和除以9的余数”，快速验证计算结果的正确性。 4.余数周期的应用 对于大数幂次（如 ）除以某数的余数，可通过找余数的周期简化计算。 例题讲解 【例题1】余数基本性质的直接应用 题目： （1）已知一个数除以15的商是12，余数是11，求这个数； （2）若一个数除以21余5，这个数的3倍除以21的余数是多少？ 思路分析： （1）直接利用“被除数 = 除数×商 + 余数”计算； （2）利用余数的可乘性，避免计算大数。 详细解答： （1）被除数 = ； （2）原数除以21余5，其3倍除以21的余数为 ，因15 < 21，故余数为15。 【跟踪训练1】 （1）一个数除以17商8余12，求这个数； （2）这个数的2倍除以17的余数是多少？ 【例题2】同余定理与中国剩余定理（简单版） 题目：找最小的正整数，使得它除以3余2，除以5余3，除以7余2。 思路分析： 先找满足“除以3余2且除以7余2”的数（即21的倍数加2），再从中筛选出“除以5余3”的数。 详细解答： 满足除以3和7余2的数为 （ 为整数）： 当 时， ， ，恰好满足除以5余3； 故最小正整数为23。 【跟踪训练2】 找最小的正整数，除以4余1，除以5余2，除以6余3。 【例题3】周期问题：日期与数列周期 题目： （1）2026年1月1日是星期三，2026年10月1日是星期几？ （2）数列 第2026项是多少？前2026项的和是多少？ 思路分析： （1）计算1月1日到10月1日的总天数，除以7求余数，对应星期几； （2）数列周期为4，用2026除以4的余数判断项数，再计算总和。 详细解答： （1）1-9月总天数： 天； ，余数为0，故10月1日是星期三； （2）周期 ， ，第2026项为周期内第2项：3； 前2026项和 = 。 【跟踪训练3】 （1）2026年5月1日是星期四，2026年12月25日是星期几？ （2）数列 第100项是多少？前100项和是多少？ 【例题4】余数周期与大数幂次计算 题目：求 除以13的余数是多少？ 思路分析： 通过计算前几项的余数，找到余数的周期，再用2026除以周期数的余数定位结果。 详细解答： 计算 的余数： ； 周期 ， ，对应第10个余数：10； 故 的余数为10。 【跟踪训练4】 求 除以7的余数是多少？ 提升训练 1.一个数除以23余19，除以19余16，求这个数最小是多少？ 2.2026个2相乘的积除以7的余数是多少？ 3.有一列数： 从第3项起，每一项是前两项乘积的个位数字，求第2026项是多少？ 4.某数除以3余2，除以4余1，求这个数除以12的余数是多少？ 模拟赛场（奥数难度） 1.证明：任意三个连续自然数的平方和除以3的余数是2。 2.有一堆棋子，按“二黑三白”的顺序排列，第2026颗棋子是什么颜色？前2026颗棋子中有多少颗白棋子？ 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案及解析 跟踪训练参考答案 【跟踪训练1】 （1）被除数 = ； （2） ， ，余数为7（或用余数可乘性： ， ）。 【跟踪训练2】 观察发现：这个数加3后能被4、5、6整除，4、5、6的最小公倍数是60，故最小数为 。 【跟踪训练3】 （1）5月1日到12月25日总天数： 天， ，星期四+6天=星期三； （2）周期 ， ，第100项为2；前100项和 = 。 【跟踪训练4】 计算 的余数： ，周期 ； ，对应第4个余数：4，故余数为4。 提升练习参考答案 1.这个数加4后能被23和19整除，23和19互质，最小公倍数为 ，故最小数为 。 2. 的余数周期为3：2,4,1； ，余数为2。 3.从第3项起周期为6：6,8,8,4,2,8；前2项为2,3， ，对应周期第2项：8，故第2026项为8。 4.枚举满足条件的数：5,17,29… 5除以12余5，17除以12余5，故余数为5。 模拟赛场参考答案及解析 1.证明：设三个连续自然数为 ，平方和为 ； 能被3整除，故平方和除以3余2，得证。 2.答案：白色；1215颗 解析：周期为5（2黑3白）， ，第2026颗是黑色？不对，周期顺序“二黑三白”：第1、2颗黑，第3-5颗白， 组余1颗，余的1颗是黑色； 白棋子数量： 颗，正确。 1 学科网（北京）股份有限公司 $