奥数培优：余数问题与周期应用（讲义）-2025-2026学年六年级下册数学人教版

《小升初奥数数论：余数问题与周期应用》

【知识梳理+例题讲解+提升练习+模拟赛场】

知识梳理

基础回顾：核心概念

1.余数的定义与性质

（1）定义：对于整数 和正整数 ，存在唯一的商 和余数 ，满足 ，其中 。

（2）关键性质：

余数小于除数；

被除数 = 除数×商 + 余数；

余数可加性： 的余数 = 的余数 + 的余数 的余数；

余数可乘性： 的余数 = 的余数 × 的余数 的余数。

2.周期问题核心

（1）定义：事物重复出现的固定规律称为周期，记为 ；第 项的状态 = 第 项的状态（若 ，则为第 项）。

（2）常见类型：日期周期（每周7天）、数列周期、余数周期（如 的重复规律）。

拓展考点：小升初高频题型

1.同余定理

若 ，则 是 的倍数；且 ， 。

2.中国剩余定理（简单版）

当除数两两互质时，可通过枚举或凑数法求解“一个数除以多个数的余数已知”的问题（如：除以3余1，除以5余2，求最小数）。

3.弃九法

利用“一个数除以9的余数等于其各位数字和除以9的余数”，快速验证计算结果的正确性。

4.余数周期的应用

对于大数幂次（如 ）除以某数的余数，可通过找余数的周期简化计算。

例题讲解

【例题1】余数基本性质的直接应用

题目： （1）已知一个数除以15的商是12，余数是11，求这个数； （2）若一个数除以21余5，这个数的3倍除以21的余数是多少？

思路分析： （1）直接利用“被除数 = 除数×商 + 余数”计算； （2）利用余数的可乘性，避免计算大数。

详细解答： （1）被除数 = ； （2）原数除以21余5，其3倍除以21的余数为 ，因15 < 21，故余数为15。

【跟踪训练1】 （1）一个数除以17商8余12，求这个数； （2）这个数的2倍除以17的余数是多少？

 

 

 

 

 

【例题2】同余定理与中国剩余定理（简单版）

题目：找最小的正整数，使得它除以3余2，除以5余3，除以7余2。

思路分析： 先找满足“除以3余2且除以7余2”的数（即21的倍数加2），再从中筛选出“除以5余3”的数。

详细解答： 满足除以3和7余2的数为 （ 为整数）：

当 时， ， ，恰好满足除以5余3； 故最小正整数为23。

【跟踪训练2】 找最小的正整数，除以4余1，除以5余2，除以6余3。

 

 

 

【例题3】周期问题：日期与数列周期

题目： （1）2026年1月1日是星期三，2026年10月1日是星期几？ （2）数列 第2026项是多少？前2026项的和是多少？

思路分析： （1）计算1月1日到10月1日的总天数，除以7求余数，对应星期几； （2）数列周期为4，用2026除以4的余数判断项数，再计算总和。

详细解答： （1）1-9月总天数： 天； ，余数为0，故10月1日是星期三； （2）周期 ， ，第2026项为周期内第2项：3； 前2026项和 = 。

【跟踪训练3】 （1）2026年5月1日是星期四，2026年12月25日是星期几？ （2）数列 第100项是多少？前100项和是多少？

 

 

 

 

 

 

【例题4】余数周期与大数幂次计算

题目：求 除以13的余数是多少？

思路分析： 通过计算前几项的余数，找到余数的周期，再用2026除以周期数的余数定位结果。

详细解答： 计算 的余数： ； 周期 ， ，对应第10个余数：10； 故 的余数为10。

【跟踪训练4】 求 除以7的余数是多少？