奥数培优：因数与倍数基础拓展（讲义）-2025-2026学年六年级下册数学人教版

《小升初奥数数论：因数与倍数基础拓展》

【知识梳理+例题讲解+提升练习+模拟赛场】

知识梳理

基础回顾

1.因数与倍数的定义：若 （ 均为正整数，且 ），则 是 的因数， 是 的倍数，因数与倍数相互依存。

2.常见数的整除特征：

（1）2的倍数：个位为0、2、4、6、8；

（2）3/9的倍数：各位数字之和是3/9的倍数；

（3）5的倍数：个位为0或5；

（4）4/25的倍数：末两位是4/25的倍数；

（5）11的倍数：奇数位数字和与偶数位数字和的差是11的倍数（含0）。

拓展考点

1.因数个数定理：将正整数 分解质因数为 ，则 的正因数个数为 。

2.因数和定理： 的所有正因数之和为 。

3.最大公约数（GCD）与最小公倍数（LCM）的关系：对任意正整数 ，有 。

4.互质数的特殊判定：

（1）连续自然数互质（如5和6）；

（2）连续奇数互质（如7和9）；

（3）质数与非它倍数的数互质（如11和15）；

（4）1与所有正整数互质。

5.多个数的GCD与LCM：多个数的GCD是公有质因数的最低次幂乘积；LCM是所有质因数的最高次幂乘积。

例题讲解

【例题1】因数个数与因数和计算

题目：求180的正因数个数及所有正因数的和。

思路分析：先分解180的质因数，再套用因数个数定理和因数和定理计算。

详细解答：

1.分解质因数：

2.因数个数： 个

3.因数和： 结论：180有18个正因数，所有因数和为546。

【跟踪训练1】

计算：240的正因数个数及所有正因数的和。

 

 

 

 

【例题2】最大公约数与最小公倍数的关系应用

题目：已知两个正整数的最大公约数是12，最小公倍数是72，求这两个数。

思路分析：利用 ，结合最大公约数设未知数求解。

详细解答： 设两个数为 和 （ 互质，因最大公约数为12，故 无公有质因数）。 根据关系： ，化简得 。 互质组合：

（1）→两数为12、72；

（2）→两数为24、36。 结论：这两个数为12和72，或24和36。

【跟踪训练2】

已知两个正整数的最大公约数是15，最小公倍数是180，求这两个数。

 

 

 

 

 

 

 

 

【例题3】互质数的判定与应用

题目：

1.判断下列数对是否互质：（1）17和51；（2）25和26；（3）12和35；

2.若 与 互质，且 整除 ，求证： 整除 。 思路分析：互质判定依据定义或特殊规则；证明利用互质的整除性质。 详细解答：

3.数对判定：

o17和51：51是17的倍数，不互质；

o25和26：连续自然数，互质；

o12和35：无公有质因数，互质。

4.   证明： 因为 整除 ，存在整数 使 。 又 与 互质，即 ，根据互质性质， 必须整除 。
5. 【跟踪训练3】