奥数培优：因数与倍数基础拓展（讲义）-2025-2026学年六年级下册数学人教版

《小升初奥数数论：因数与倍数基础拓展》 【知识梳理+例题讲解+提升练习+模拟赛场】 知识梳理 基础回顾 1.因数与倍数的定义：若 （ 均为正整数，且 ），则 是 的因数， 是 的倍数，因数与倍数相互依存。 2.常见数的整除特征： （1）2的倍数：个位为0、2、4、6、8； （2）3/9的倍数：各位数字之和是3/9的倍数； （3）5的倍数：个位为0或5； （4）4/25的倍数：末两位是4/25的倍数； （5）11的倍数：奇数位数字和与偶数位数字和的差是11的倍数（含0）。 拓展考点 1.因数个数定理：将正整数 分解质因数为 ，则 的正因数个数为 。 2.因数和定理： 的所有正因数之和为 。 3.最大公约数（GCD）与最小公倍数（LCM）的关系：对任意正整数 ，有 。 4.互质数的特殊判定： （1）连续自然数互质（如5和6）； （2）连续奇数互质（如7和9）； （3）质数与非它倍数的数互质（如11和15）； （4）1与所有正整数互质。 5.多个数的GCD与LCM：多个数的GCD是公有质因数的最低次幂乘积；LCM是所有质因数的最高次幂乘积。 例题讲解 【例题1】因数个数与因数和计算 题目：求180的正因数个数及所有正因数的和。 思路分析：先分解180的质因数，再套用因数个数定理和因数和定理计算。 详细解答： 1.分解质因数： 2.因数个数： 个 3.因数和： 结论：180有18个正因数，所有因数和为546。 【跟踪训练1】 计算：240的正因数个数及所有正因数的和。 【例题2】最大公约数与最小公倍数的关系应用 题目：已知两个正整数的最大公约数是12，最小公倍数是72，求这两个数。 思路分析：利用 ，结合最大公约数设未知数求解。 详细解答： 设两个数为 和 （ 互质，因最大公约数为12，故 无公有质因数）。 根据关系： ，化简得 。 互质组合： （1）→两数为12、72； （2）→两数为24、36。 结论：这两个数为12和72，或24和36。 【跟踪训练2】 已知两个正整数的最大公约数是15，最小公倍数是180，求这两个数。 【例题3】互质数的判定与应用 题目： 1.判断下列数对是否互质：（1）17和51；（2）25和26；（3）12和35； 2.若 与 互质，且 整除 ，求证： 整除 。 思路分析：互质判定依据定义或特殊规则；证明利用互质的整除性质。 详细解答： 3.数对判定： o17和51：51是17的倍数，不互质； o25和26：连续自然数，互质； o12和35：无公有质因数，互质。 4. 证明： 因为 整除 ，存在整数 使 。 又 与 互质，即 ，根据互质性质， 必须整除 。 5. 【跟踪训练3】 1.判断19和76、21和22、18和25是否互质； 2.已知 与 互质， 整除 （ 为正整数），求证： 整除 。 【例题4】因数与倍数的综合应用 题目：学校图书馆有120本科技书和180本故事书，要分成若干组，每组中科技书和故事书数量分别相等，最多可以分成多少组？每组各有多少本？ 思路分析：最多分组数即两数的最大公约数，每组数量用总数除以组数计算。 详细解答： 1.求 ：分解质因数得 ， ，故 。 2.每组数量： （1）科技书： 本； （2）故事书： 本。 结论：最多分60组，每组科技书2本、故事书3本。 【跟踪训练4】 幼儿园有150本漫画书和210本童话书，要分给若干班级，每个班级分得的漫画书和童话书数量分别相同，最多可以分给多少个班级？每个班级分得两种书各多少本？ 提升训练 1.求360的正因数个数及所有正因数的和。 2.已知两个数的最大公约数是20，最小公倍数是120，求这两个数的所有可能组合。 3.已知 与12互质，且 整除 （ 为正整数），求证： 整除 。 4.有一批零件，每12个装一盒余10个，每15个装一盒余13个，每18个装一盒余16个，这批零件最少有多少个？ 模拟赛场（奥数难度） 1.求1-200中，所有能被3或5整除的数的因数个数之和的平均值（保留两位小数）。 2.已知三个正整数 的最大公约数是6，最小公倍数是1260，且 ，求这三个数。 3.若两个互质数的最小公倍数是1989，求这两个数的和的所有可能值。 4.有一个数，它的因数个数是10个，且这个数小于100，求这个数。 5.证明：任意两个连续奇数都是互质数。 6.学校组织学生活动，每4人一组多1人，每5人一组多2人，每6人一组多3人，最少有多少名学生？ 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案及解析 跟踪训练参考答案 【跟踪训练1】 （1）因数个数： 个 （2）因数和： 【跟踪训练2】 设两数为 （ 互质），由 得 ，互质组合为 、 ，故两数为15和180，或45和60。 【跟踪训练3】 1.19和76：不互质（76是19的倍数）；21和22：互质（连续自然数）；18和25：互质（无公有质因数）。 2.证明： 与 互质则 ， 整除 ，根据互质性质， 整除 。 【跟踪训练4】 ，最多分30个班级；每组漫画书 本，童话书 本。 提升练习参考答案 1.，因数个数 个；因数和 。 2.两数为20和120，或40和60。 3.证明： 与12互质则 ， 整除 ，根据互质性质， 整除 。 4.零件数+2是12、15、18的最小公倍数180，故最少 个。 模拟赛场参考答案及解析 1.答案：约4.21 解析：1-200中能被3或5整除的数共93个，计算所有数的因数个数总和约为391，平均值 。 2.答案：12、84、90 解析：设 ，则 ， ，结合质因数组合得 ，对应 。 3.答案：134、166、230、1990 解析： ，互质组合为 、 、 、 ，和分别为1990、230、166、134。 4.答案：48、80 解析：因数个数10=5×2，数的形式为 ，符合条件的有 、 。 5.解析：设连续奇数为 和 ，若存在大于1的公约数 ，则 整除差2，但奇数不能被2整除，矛盾，故互质。 6.答案：57 解析：学生数+3是4、5、6的最小公倍数60，故最少 名。 1 学科网（北京）股份有限公司 $