精品解析：浙江省嘉兴一中实验学校2025-2026学年上学期期末考试八年级数学试题

嘉兴一实学校25-26学年第一学期八年级 数学学科长作业学情调研试题卷 检测日期：2026年1月 检测时长：120分钟 一、单选题（本大题有10小题，每题3分，共30分） 1. 下列四个图案是历届亚运会会徽图案上的一部分图形，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 点M在第二象限，点M到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，则点M坐标是（　　） A B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，有直线，则该直线过定点（ ） A B. C. D. 4. 老师让同学们分别将一根长的铁丝剪开，剪成的三段首尾顺次相接后能围成三角形．下列四位同学的剪法中符合要求的是（ ） A.    B.   C. D. 5. 关于x的不等式的解集是，则a的取值范围是（　　） A. B. C. D. 6. 下列说法不正确的是（ ） A. “相等的角是对顶角”是假命题 B. “两直线平行，同位角相等”是真命题 C. 命题“三个内角都相等三角形是等边三角形”的条件是“一个三角形是等边三角形” D. “若，则”是假命题的反例可以是 7. 聪聪想要从下边方格图的格点中再选一个点C，连接A、B、C三点后，能组成直角三角形ABC．则点C的位置有（    ）种选法． A. 3 B. 6 C. 7 D. 9 8. 检测游泳池的水质，要求三次检验的的平均值不小于7.2，且不大于7.8．已知第一次检测值为7.5，第二次检测值在7.0至7.6之间（包含7.0和7.6），若该游泳池检测合格，则第三次检测值x的范围是（） A. B. C. D. 9. 如下图，直线交轴于点，在轴正方向上取点，使；过点作轴，交于点，在轴正方向上取点，使；过点作轴，交于点，在轴正方向上取点，使；…记面积为，面积为，面积为，…则等于（ ） A B. C. D. 10. 意大利文艺复兴时期的著名画家达·芬奇利用两张一样的纸片拼出不一样的“空洞”，从而巧妙的证明了勾股定理．小明用两张全等的纸片①和②拼成如图1所示的图形，中间的六边形由两个正方形和两个全等的直角三角形组成．已知六边形的面积为，．小明将纸片②翻转后拼成如图2所示的图形，其中，则四边形的面积为（ ） A. 12 B. 10 C. 5 D. 4 二、填空题（本大题有6小题，每题3分，共18分） 11. “x的2倍与1的和是负数．”用不等式表示为_______________． 12. 如果一个等腰三角形的一边长为，周长为，那么这个等腰三角形的底边长为_____． 13. 如图，在中，的平分线交于点，点为的中点．连接，点为上一点，且．若，则的值为_______． 14. 一次函数的图象与两坐标轴围成的三角形的面积等于4，则的值等于______． 15. 如图，函数和的图象相交于点，则关于x的不等式的解集为_____________． 16. 如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，、两点分别在轴、轴上，轴，，点坐标为，将沿翻折，点落在点位置，交轴于点．则点的纵坐标为________． 三、解答题（本大题共8小题，共72分，17-18每题8分，22、23每题10分，24题12分） 17. 解下列不等式（组）： （1）； （2） 18. 如图，在边长为1的正方形网格中，，，是格点． （1）在图中画出关于直线的轴对称图形； （2）若点在直线上，则的值不可能是______．（填写序号即可） A．4 B．5 C．6 D．7 19. 如图，在四边形中，． （1）求证：； （2）求四边形的面积． 20. 已知点，，分别根据以下要求确定，的值． （1）点和点均满足横、纵坐标互为相反数； （2）点在轴上，且直线平行于直线． 21. 如图①，P为内一点，连接， （1）证明：； （2）如图②，过点P的线段分别交、于点、，且、分别在、的垂直平分线上．若，求的度数． 22. 随着人工智能的发展，智能机器人警察已经陆续出现，图1是机器人警官安安和全全，他们从街头处出发，准备前往相距450米的处（，在同一直线上）巡逻，安安警官比全全警官先出发，且速度保持不变，全全警官出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．已知安安警官、全全警官行走的路程（米），（米）与安安警官行走的时间（秒）之间的函数关系图象如图2所示． （1）求全全警官提速后的速度，并求，的值； （2）求折线①中线段所在直线的函数解析式； （3）全全警官加速后经过________秒两人相距20m． 23. 有一批产品需要生产装箱，台型机器一天刚好可以生产箱产品，而台型机器一天刚好生产箱产品．已知每台型机器比每台型机器一天多生产件． （1）求每台型、型机器一天可分别生产多少件产品？ （2）现需生产箱产品，若用台型机器和台型机器同时生产，需几天完成？（不足一天按一天算） （3）若每台机器运输安装费用元（运输安装一次可使用天），每台型机器一天的租赁费用是元，可供租赁的型机器有台，每台型机器一天的租赁费用是元，租赁的型机器台数不限，现要在天内（含天），则租赁的型机器 台，费用最省，最省的总费用为 元．（机器租赁不足一天按一天费用结算）． 24. （1）【问题背景】我们把面积相等但不全等的两个三角形称为“偏等积三角形”． 如图1，在中，，，．点是边上一点，点是边上一点． ①当________时，和是偏等积三角形； ②若和是偏等积三角形，且的长为奇数，求的值． （2）【问题探究】如图2，在四边形中，是边上一点，是延长线上一点．，，且，．试找出图中的偏等积三角形，并证明你的结论． （3）【问题拓展】如图3，在中，，．和为偏等积三角形，且面积均为，为上一动点，当取最小值时，求_________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 嘉兴一实学校25-26学年第一学期八年级 数学学科长作业学情调研试题卷 检测日期：2026年1月 检测时长：120分钟 一、单选题（本大题有10小题，每题3分，共30分） 1. 下列四个图案是历届亚运会会徽图案上的一部分图形，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，解题的关键是掌握“轴对称图形是指沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合的图形”． 根据轴对称图形的定义，逐一判断各选项图形是否存在这样的对称轴． 【详解】解：A、找不到一条直线，使图形沿其折叠后两旁部分完全重合，此选项不符合题意； B、找不到一条直线，使图形沿其折叠后两旁部分完全重合，此选项不符合题意； C、存在竖直直线，使图形沿其折叠后两旁部分完全重合，此选项符合题意； D、找不到一条直线，使图形沿其折叠后两旁部分完全重合，此选项不符合题意； 故选：C． 2. 点M在第二象限，点M到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，则点M坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 分析】本题考查了点的坐标，熟练掌握点到坐标轴的距离的意义，各象限内点的坐标特征是解题的关键．设点的坐标是，根据点到轴的距离为3，到轴的距离为4，点在第二象限，即可求出点的坐标． 【详解】解：设点的坐标是， 点到轴的距离为3，到轴的距离为4， ，， ，， 点在第二象限， ，， ，， 点的坐标是， 故选：． 3. 在平面直角坐标系中，有直线，则该直线过定点（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征等知识点，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 将变形为，则可得出该点的坐标； 【详解】解：∵， ∴直线必经过定点， ∴直线恒过一点，则该点的坐标是， 故选：A． 4. 老师让同学们分别将一根长的铁丝剪开，剪成的三段首尾顺次相接后能围成三角形．下列四位同学的剪法中符合要求的是（ ） A.    B.   C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查构成三角形的条件，比较两条较短线段的长度之和与较长线段的长度的大小关系，即可得出结果． 【详解】解：A、，不能构成三角形，不符合题意； B、，不能构成三角形，不符合题意； C、，能构成三角形，符合题意； D、，不能构成三角形，不符合题意； 故选C． 5. 关于x的不等式的解集是，则a的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查不等式的基本性质．掌握不等式两边同除以一个正数，不等号方向不变是解题关键． 根据不等式解集的形式，确定系数符号，进而求出参数范围． 【详解】解：原不等式为解集为， ∴且， ∴． 故选：A． 6. 下列说法不正确的是（ ） A. “相等的角是对顶角”是假命题 B. “两直线平行，同位角相等”是真命题 C. 命题“三个内角都相等的三角形是等边三角形”的条件是“一个三角形是等边三角形” D. “若，则”是假命题的反例可以是 【答案】C 【解析】 【分析】根据对顶角的概念，平行线的判定，等边三角形的定义，绝对值的定义判断各项，即可得出结论． 【详解】解：A．“相等的角是对顶角”是假命题，正确，故A选项不符合题意； B．“两直线平行，同位角相等”是真命题，正确，故B选项不符合题意； C．命题“三个内角都相等的三角形是等边三角形”的条件是“三角形的三个内角都相等”，错误，故C选项符合题意； D．，，故“若，则”是假命题的反例可以是正确，故D选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了判断命题的真假，命题的条件，用反例法证明命题的真假，熟练掌握知识点是解题的关键． 7. 聪聪想要从下边方格图的格点中再选一个点C，连接A、B、C三点后，能组成直角三角形ABC．则点C的位置有（    ）种选法． A. 3 B. 6 C. 7 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】直角三角形计数问题，恰当分类且不重复是解题的关键． 分三种情况计数：点C与点A在同一列或点C与点B在同一列，或使直角，据此求解． 【详解】根据题意，直角三角形中有1个直角，要使三角形成为一个直角三角形，则点C与点A在同一列或点C与点B在同一列，或使是直角即可； 点C与点A在同一列时，有3种选法； 点C与点B在同一列时，有3种选法； 是直角时，有1种选法； （种） 连接A、B、C三点使三角形成为一个直角三角形，则点C的位置有7种选法。 故答案为：C 8. 检测游泳池的水质，要求三次检验的的平均值不小于7.2，且不大于7.8．已知第一次检测值为7.5，第二次检测值在7.0至7.6之间（包含7.0和7.6），若该游泳池检测合格，则第三次检测值x的范围是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设定变量，设第三次检测值为x，第二次检测值为y(已知)，根据题意建立平均值不等式，三次平均值必需满足，将不等式进一步整理为，结合y的取值范围分别代入y的最小值和最大值，求出x的下限和上限． 【详解】解：设第三次检测值为x，三次检测的平均值为 (其中) 由题意得不等式： 对不等式组进行变形： 进一步整理得： 当y取最小值7.0时，，即； 当y取最大值7.6时，，即； 因为该游泳池检测合格， 所以，x的范围是． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的基本性质和实际运用，正确建立出不等式是解题的关键． 9. 如下图，直线交轴于点，在轴正方向上取点，使；过点作轴，交于点，在轴正方向上取点，使；过点作轴，交于点，在轴正方向上取点，使；…记面积为，面积为，面积为，…则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象的性质，平面直角坐标系中点坐标的规律计算，理解图示，找出点坐标的规律，面积的计算方法是解题的关键． 根据题意，分别算出，，……的值，找出规律即可求解． 【详解】解：将代入得，， ∴, ∴， ∵， ∴， ∴， ∵轴，且点在直线的图象上， ∴， ∴， ∴， 依此类推，，，， ∴（为正整数）， 当时，， 故选：B ． 10. 意大利文艺复兴时期的著名画家达·芬奇利用两张一样的纸片拼出不一样的“空洞”，从而巧妙的证明了勾股定理．小明用两张全等的纸片①和②拼成如图1所示的图形，中间的六边形由两个正方形和两个全等的直角三角形组成．已知六边形的面积为，．小明将纸片②翻转后拼成如图2所示的图形，其中，则四边形的面积为（ ） A. 12 B. 10 C. 5 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质、全等三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握正方形的性质和勾股定理是解题的关键． 根据正方形的性质得到、、，根据全等三角形的性质证得、，设，证得四边形是菱形，，推出四边形是正方形，设正方形的面积为，正方形的面积为，根据六边形的面积为，列方程求解得出四边形的面积即可． 【详解】解：四边形、四边形是正方形 、、 在和中， 同理可证、、和四个三角形全等 、 设 四边形是菱形， 、 四边形是正方形 设正方形的面积为，正方形的面积为 、 六边形的面积为 四边形的面积为， 故选：B． 二、填空题（本大题有6小题，每题3分，共18分） 11. “x的2倍与1的和是负数．”用不等式表示为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，根据题意列出不等式即可求解． 【详解】解：根据题意得：， 故答案为：． 12. 如果一个等腰三角形的一边长为，周长为，那么这个等腰三角形的底边长为_____． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形的性质，腰长相等，周长为，一边长为，可能为腰长或底边长，结合三角形的周长公式即可求解． 【详解】解：若腰长为，则底边长为 ， 验证三角形三边关系：，成立； 若底边长为，则腰长为， 验证三角形三边关系：，成立； 这个等腰三角形的底边长为或， 故答案为：或． 13. 如图，在中，的平分线交于点，点为的中点．连接，点为上一点，且．若，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形中线的性质等知识，解题的关键是正确地作出辅助线． 根据三角形等高模型及，，求出，同样根据点为的中点，求出，过作于，于，根据的角平分线交于点D，将转化为三角形的面积的比即可求解． 【详解】解：，， ， 点为的中点， ， ， ， 过作于，于， 是的角平分线， ， ， 故答案为： 14. 一次函数的图象与两坐标轴围成的三角形的面积等于4，则的值等于______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知坐标轴上点的坐标特点是解答此题的关键． 先求出一次函数与坐标轴的交点坐标，再根据三角形面积公式列出方程求解． 【详解】当时，，所以与轴交点为， 当时，，解得，所以与轴交点为， 三角形的两条直角边长度分别为和， ∴， 所以， 经检验， 符合题意． 故答案为：． 15. 如图，函数和的图象相交于点，则关于x的不等式的解集为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数与一元一次不等式．求出两函数的交点坐标是解题的关键． 先求得点A的坐标值，再根据函数图象的位置关系求不等式的解，即可得出结论． 【详解】解：∵和的图象相交于点， ∴， ∴， ∴， 不等式变形，得 ． 从函数图象得，表示函数的图象在图象上方时的取值范围． 观察图象可知，当时，函数在的上方，即． ∴的解集为． 故答案为：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，、两点分别在轴、轴上，轴，，点的坐标为，将沿翻折，点落在点位置，交轴于点．则点的纵坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】考查知识点平面直角坐标系中点的坐标特征、翻折的性质、勾股定理、两点间距离公式． 首先由轴、得；由得．再翻折后，．最后设，用两点间距离公式列方程和，联立解得． 【详解】轴，，∴ C 点坐标为． 由为直角三角形，，可得轴，得． ，， 设，由得， 由得． 由①得， 由②得， 得，故， 将代入①，得 解得或（舍去） 即点 D 的纵坐标为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共72分，17-18每题8分，22、23每题10分，24题12分） 17. 解下列不等式（组）： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式（组），熟练掌握运算步骤是解答本题的关键． （1）根据“移项、合并同类项”即可得不等式的解集； （2）分别求出每个不等式的解集，再取它们的公共解集即可． 【小问1详解】 解：， ， ； 【小问2详解】 解： 解不等式①得：； 解不等式②得：， 所以，不等式组的解集为：． 18. 如图，在边长为1的正方形网格中，，，是格点． （1）在图中画出关于直线的轴对称图形； （2）若点在直线上，则的值不可能是______．（填写序号即可） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】（1）见解析 （2）A 【解析】 【分析】该题主要考查了画轴对称图形，轴对称的性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识点，解题的关键是正确作出图形． （1）根据轴对称的性质得到点A、B、C的对称点，即可求解； （2）连接交直线l于点P，连接，则的最小值为的长． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：如图，连接交直线l于点P，连接， ∵关于直线的轴对称图形为， ∴， ∴， 即的最小值为的长， ∵， 即的最小值为5． ∴的值不可能是4． 故答案为：A． 19. 如图，在四边形中，． （1）求证：； （2）求四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，理解并熟练运用相关定理解题关键． （1）连接，利用勾股定理及其逆定理证明即可； （2）结合（1）的结论，利用直角三角形面积公式求解即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即：； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 20. 已知点，，分别根据以下要求确定，的值． （1）点和点均满足横、纵坐标互为相反数； （2）点在轴上，且直线平行于直线． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标，求一次函数的解析式，一次函数的平行的性质，相反数，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据点和点均满足横、纵坐标互为相反数，得，解得，即可作答． （2）先求出，再运用待定系数法解的解析式为，又因为直线平行于直线，则，解得． 【小问1详解】 解：点，，且点和点均满足横、纵坐标互为相反数， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵点在轴上， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设直线的解析式为， 则， ∴，， ∴直线的解析式为． ∵直线平行于直线， ∴ ∴． 21. 如图①，P为内一点，连接， （1）证明：； （2）如图②，过点P的线段分别交、于点、，且、分别在、的垂直平分线上．若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形的三边关系，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，熟记线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． （1）延长交于点D，根据三角形的三边关系证明； （2）根据三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质计算，得到答案． 【小问1详解】 证明：延长交于点D， 在中，， ∵， ∴ 在中，， ①+②，得， ∴， ∵， ∴， 即； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵M、N分别在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 22. 随着人工智能的发展，智能机器人警察已经陆续出现，图1是机器人警官安安和全全，他们从街头处出发，准备前往相距450米的处（，在同一直线上）巡逻，安安警官比全全警官先出发，且速度保持不变，全全警官出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．已知安安警官、全全警官行走的路程（米），（米）与安安警官行走的时间（秒）之间的函数关系图象如图2所示． （1）求全全警官提速后的速度，并求，的值； （2）求折线①中线段所在直线的函数解析式； （3）全全警官加速后经过________秒两人相距20m． 【答案】（1）， （2） （3）全全加速后经过 6秒或 8秒时，两人相距20米 【解析】 【分析】考查知识点分段函数的应用、一次函数解析式求解、行程问题中的追及与相距、绝对值方程的解法． （1）从图象中提取全全的出发时间（15秒）、提速时间（17秒），计算原速与提速后速度．由安安的路程与时间，计算其恒定速度，进而求出 m、n． （2）确定、两点坐标，用待定系数法求段的一次函数解析式． （3）设全全加速后经过 t秒，分别表示两人的总路程．用绝对值表示距离为20米，解方程得到或，对应总时间为秒、秒． 【小问1详解】 解：全全提速前速度为： （米/秒） 全全提速后速度为：（米/秒） 全全走完全程（450米），提速后用时：（秒） 当时，安安路程为310米，故安安速度为： 米/秒 【小问2详解】 解：设所在直线的解析式为 将，代入，得： 解得： 所在直线的解析式为 【小问3详解】 解：设全全加速后经过 t秒，此时总时间为秒 安安的路程： 全全的路程： 两人相距20米，列方程： 则或， 解得：或， 全全加速后经过 6秒或 8秒时，两人相距20米． 23. 有一批产品需要生产装箱，台型机器一天刚好可以生产箱产品，而台型机器一天刚好生产箱产品．已知每台型机器比每台型机器一天多生产件． （1）求每台型、型机器一天可分别生产多少件产品？ （2）现需生产箱产品，若用台型机器和台型机器同时生产，需几天完成？（不足一天按一天算） （3）若每台机器运输安装费用元（运输安装一次可使用天），每台型机器一天的租赁费用是元，可供租赁的型机器有台，每台型机器一天的租赁费用是元，租赁的型机器台数不限，现要在天内（含天），则租赁的型机器 台，费用最省，最省的总费用为 元．（机器租赁不足一天按一天费用结算）． 【答案】（1）每台型机器一天可生产件产品，每台型机器一天可生产件产品； （2）需天完成； （3），． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用． 设每台型机器一天可生产件产品，则每台型机器一天可生产件产品，根据每箱中产品的件数相同，可列方程：，解方程即可求出结果； 由可知一箱产品有件，可得：用台型机器和台型机器同时生产件产品需要天； 因为，可知机器生产件产品的费用比机器生产件产品的费用少，所以尽量多租用机器，设租赁的型机器台，可得不等式，解不等式求出的取值范围，根据为整数，可知型机器租赁的数量，再根据安装费和租赁费计算出最少费用即可 ． 【小问1详解】 解：设每台型机器一天可生产件产品，则每台型机器一天可生产件产品， 根据题意得：， 解得：， ， 每台型机器一天可生产件产品，每台B型机器一天可生产件产品； 【小问2详解】 解：由知，箱产品有件， ， 需天完成； 小问3详解】 解：， 机器生产件产品的费用比机器生产件产品的费用少， 型机器尽量多租用，才能使总费用更少， 设租赁的型机器台， 根据题意得：， 解得：； 为整数， 最小取， 租赁台型机器和台型机器，可以在天内完成任务， 所需要的最少费用是(元)． 故答案为：，． 24. （1）【问题背景】我们把面积相等但不全等的两个三角形称为“偏等积三角形”． 如图1，在中，，，．点是边上一点，点是边上一点． ①当________时，和是偏等积三角形； ②若和是偏等积三角形，且的长为奇数，求的值． （2）【问题探究】如图2，在四边形中，是边上一点，是延长线上一点．，，且，．试找出图中的偏等积三角形，并证明你的结论． （3）【问题拓展】如图3，在中，，．和为偏等积三角形，且面积均为，为上一动点，当取最小值时，求_________． 【答案】（1）①3；②5；（2）与是偏等积三角形；证明见解析；（3）1 【解析】 【分析】（1）①根据三角形的中线平分三角形的面积即可求解； ②利用三角形的中线平分三角形的面积、三角形三边的关系即可求解； （2）过点C作交的延长线于点M；则，；由得；由，得；从而可证明，则，，再证明得，从而得，即得与是偏等积三角形； （3）由题意知点D是的中点，作点D关于的对称点E，连接，交于点F，连接，由对称性质可得，，当点P与点F重合时，取最小值，的面积等于的面积，从而得的面积为3；设，则由面积求得a，再由勾股定理求得的长，再由面积关系求得，从而求得，即可求得的面积． 【详解】解：（1）①∵和是偏等积三角形， ∴， ∵分别以为底，上的高相等， ∴， 故答案为3； ②∵和是偏等积三角形， ∴由（1）知， ∵， ∴， 即， ∵的长为奇数， ∴或7， ∵ ∴, 即， ∴； （2）与是偏等积三角形； 证明如下： 如图，过点C作交的延长线于点M； 则，； ∵， ∵； ∵，， ∴， ∵ ∴， ∴，， 即， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴与是偏等积三角形； （3）∵和为偏等积三角形， ∴点D是的中点， 如图，作点D关于的对称点E，连接，交于点F，连接，由对称性质可得，，， 当点P与点F重合时，取最小值， 由对称知的面积等于的面积， ∵和的面积均为1， ∴的面积为3； ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得：， 由勾股定理求得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，两点间线段最短等知识，作出适当的辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $