奥数培优：数的整除特征汇总（讲义）-2025-2026学年六年级下册数学人教版

《小升初奥数数论：数的整除特征汇总》 【知识梳理+例题讲解+提升练习+模拟赛场】 知识梳理 基础回顾：核心整除特征 1.2/5的倍数：个位数字为0、2、4、6、8（2的倍数）；个位为0或5（5的倍数）。 2.4/25的倍数：末两位数字组成的数能被4或25整除。 3.8/125的倍数：末三位数字组成的数能被8或125整除。 4.3/9的倍数：各位数字之和能被3或9整除（一个数除以9的余数等于各位数字和除以9的余数）。 5.10的倍数：个位数字为0。 拓展考点：小升初高频特征 1.11的倍数：两种判断方法 （1）奇位数字和与偶位数字和的差（大减小）能被11整除（差可为0）； （2）从右往左每两位分段，各段数字之和能被11整除。 2.7/13的共同特征：末三位数字组成的数与前面剩余数字组成的数的差（大减小）能被7或13整除（可重复使用该技巧，直到差足够小）。 3.99/999的倍数：从右往左每两位（99）或三位（999）分段，各段数字之和能被99或999整除。 4.合数的整除判断：将合数分解为互质的数的乘积，若数能同时被这些互质数整除，则能被该合数整除（如：被6整除=同时被2和3整除；被12整除=同时被3和4整除；被15整除=同时被3和5整除）。 5.整除的基本性质 （1）传递性：若 ， ，则 ； （2）可加性：若 ， ，则 ； （3）倍数性：若 ，则 （ 为整数）。 例题讲解 【例题1】基础整除特征的直接应用 题目：判断下列数能被哪些常见数（2、3、4、5、7、9、11、13）整除：1236、7890、1001、121。 思路分析：逐一匹配各数的整除特征，对7、11、13优先用截断差法，11可补充奇偶位和差法。 详细解答： （1）1236：个位6是2的倍数；各位和 能被3整除；末两位36能被4整除；故能被2、3、4整除。 （2）7890：个位0，能被2、5、10整除；各位和 能被3整除；末三位890与前面数字7的差为 ， 、 均不整除；奇位和 ，偶位和 ，差 不能被11整除；故能被2、3、5、10整除。 （3）1001：末三位001与前面数字1的差为 ，0能被7、11、13整除；各位和 不能被3、9整除；故能被7、11、13整除。 （4）121：奇位和 ，偶位和2，差0能被11整除；121是 ，故能被11整除。 【跟踪训练1】判断3456、9999、12345、56789能否被2、3、5、7、11、13整除，写出所有符合的数。 【例题2】合数整除的综合应用 题目：（1）判断五位数43212能否被6、12、24整除；（2）求100-200之间能同时被15和18整除的数。 思路分析：（1）将合数分解为互质因数乘积，分别验证： ， ， ；（2）先求15和18的最小公倍数，再找范围内的倍数。 详细解答： （1）①被6整除：个位2是2的倍数，各位和 能被3整除，故能被6整除； ②被12整除：末两位12能被4整除，各位和12能被3整除，故能被12整除； ③被24整除：末三位212÷8=26.5，不能被8整除，故不能被24整除。 （2） ， ，最小公倍数 ；100-200之间90的倍数为 ，故答案为180。 【跟踪训练2】（1）判断四位数7254能否被6、15、36整除；（2）求200-300之间能同时被12和18整除的数。 【例题3】7/11/13的综合判断 题目：判断多位数1234567能否被7、11、13整除。 思路分析：对7和13用末三位截断法，对11用奇偶位和差法或截断法。 详细解答： （1）被7/13整除：末三位是567，前面剩余数字是1234，差为 ； ， ，均不整除，故1234567不能被7、13整除； （2）被11整除：奇位和（从左数） ，偶位和 ，差 不能被11整除，故不能被11整除。 结论：1234567不能被7、11、13整除。 【跟踪训练3】判断多位数987654321能否被7、11整除。 【例题4】带未知数的整除问题 题目：五位数2a34b能同时被9和11整除，求a和b的值。 思路分析：先利用9的整除特征得数字和关系，再用11的整除特征列等式，联立求解。 详细解答： （1）被9整除：各位和 需是9的倍数，即 （舍去，a、b为0-9数字）或 ； （2）被11整除：奇位和（从左数） ，偶位和 ，差 需能被11整除，即 或11（11时 ，舍去），故 即 ； （3）联立 ，解得 ， 。 验证：五位数为25344，各位和 能被9整除；奇位和 ，偶位和 ，差0能被11整除，符合条件。 【跟踪训练4】四位数1a2b能同时被2、3、5整除，求所有可能的四位数。 提升训练 1.判断1234567890能否被6、11、15整除，并说明理由。 2.求所有满足条件的三位数：既能被7整除，且各位数字之和为15。 3.六位数a1234b能被99整除，求a和b的值。 4.已知连续自然数组成的数 能被9整除，求最小的正整数n。 模拟赛场（奥数难度） 1.证明：任意一个三位数，将其数字反转得到的新数与原数的差能被9和11整除。 2.六位数2026ab能被99整除，求 的值。 3.求所有满足条件的两位数：既能被3整除，又能被11整除，且个位数字是偶数。 4.已知数 ，判断N能否被11整除，并说明理由。 5.一个数能同时被7、11、13整除，且各位数字之和为21，求最小的这样的数。 6.四位数abcd满足 ，且abcd能被11整除，证明： 或 。 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案及解析 跟踪训练参考答案 【跟踪训练1】 3456：个位6能被2整除；各位和 能被3、9整除；末两位56能被4整除；故能被2、3、4、9整除； 9999：各位和 能被3、9整除；奇位和 ，偶位和 ，差0能被11整除；末三位999-9=990， ， ，故能被3、9、11整除； 12345：个位5能被5整除；各位和 能被3整除；故能被3、5整除； 56789：各位和 不能被3、9整除；末三位789-56=733， ， ；奇位和 ，偶位和 ，差7不能被11整除；故无符合的数。 【跟踪训练2】 （1）①被6整除：个位4能被2整除，各位和 能被3整除，故能被6整除； ②被15整除：个位4不能被5整除，故不能被15整除； ③被36整除：末两位54÷4=13.5，不能被4整除，故不能被36整除； （2）12和18的最小公倍数是36，200-300之间36的倍数为： ， ， ，故答案为216、252、288。 【跟踪训练3】 被7整除：末三位432，前面剩余数字98765，差 ；继续截断： ， ，不能被7整除，故987654321不能被7整除； 被11整除：奇位和 ，偶位和 ，差 不能被11整除，故不能被11整除。 【跟踪训练4】 被2、5整除：个位 ； 被3整除：各位和 能被3整除，a可取0、3、6、9； 故所有可能的四位数为1020、1320、1620、1920。 提升练习参考答案 1.①被6整除：个位0能被2整除，各位和 能被3整除，故能被6整除； ②被11整除：奇位和 ，偶位和 ，差 不能被11整除，故不能被11整除； ③被15整除：个位0能被5整除，各位和45能被3整除，故能被15整除。 2.设三位数为abc， ，且 （k为整数）；枚举得符合条件的数为924、861、735。 3.，且9与11互质； 被9整除： 是9的倍数，即 或17； 被11整除：奇位和 ，偶位和 ，差 能被11整除，即 或11； 联立：若 ， ，解得 ， ；若 ， ，解得 （舍去）；故 ， 。 4.一个数能被9整除当且仅当各位数字和能被9整除；1-9数字和为45，能被9整除，故最小 。 模拟赛场参考答案及解析 1.证明：设三位数为 ，反转后为 ；差为 ；99是9和11的倍数，故差能被9和11整除。 2.答案：8 解析：99的倍数特征：分段和 能被99整除； → → ， ；故 。 3.答案：66 解析：能被3和11整除的两位数是33、66、99；其中个位偶数的是66。 4.答案：不能 解析：被11整除的特征：奇位数字和与偶位数字和的差能被11整除；计算1-2026所有数字的奇位和与偶位和： 总奇位和： ； 总偶位和： ； 差： ， 不能整除，故N不能被11整除。 5.答案：1060059 解析：7、11、13的最小公倍数是1001，故数为1001的倍数；数字和21为奇数，需找奇数位的1001倍数（偶数位倍数数字和为偶数）；最小的数为 ，数字和 ，符合条件。 6.证明：四位数abcd能被11整除，则 能被11整除；已知 ，即 ；代入得 能被11整除；11是质数，故 即 ，或 即 。 $