精品解析：黑龙江省哈尔滨德强高级中学2025-2026学年高一上学期期末数学试题

哈尔滨德强高级中学2025-2026学年度上学期期末考试 高一年级数学试题 时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知正实数满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 3. 2026年元旦假期到了，祝愿大家元旦启新，数海扬帆，步步精进，前程璀璨！是（ ）角 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. “关于的不等式的解集为”，是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知函数，若恒成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 若点绕着坐标原点按逆时针方向旋转角到达点，则（ ） A. B. 0 C. D. 8. 设函数，则（ ） A. 是奇函数 B. 的最小正周期为 C. 在区间上单调递增 D. 的最大值为 二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.每小题给出的选项中有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分） 9. 函数，其中且，则下列结论正确的是（ ） A. 函数是奇函数 B. 方程在R上有解 C. 函数的图象过定点 D. 当时，函数在其定义域上为增函数 10. （多选）下列结论正确的是（ ） A. B. 一扇形的半径为2，圆心角为，则该扇形的弧长为60 C. 的最小正周期为 D. 点是函数图象的一个对称中心 11. 德国数学家狄利克雷（P．G．L．Dirichlet，1805-1859）在1837年时提出：“如果对于x的每一个值，y总有一个完全确定的值与之对应，那么y是x的函数．”这个定义较清楚地说明了函数的内涵．只要有一个法则，使得取值范围中的每一个x，有一个确定的y和它对应就行了，而不需管这个法则是用公式还是用图象、表格等形式表示．例如，，下列说法正确的是（ ） A. B. 为偶函数 C. 的值域为 D. 是函数的一条对称轴 12. 函数对，，且为奇函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若时，则 B. 的周期为6 C. 的图象关于中心对称 D. 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13. ，使得成立，则实数的取值范围为_______． 14. 若函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是________． 15. 已知函数的定义域为，对定义域内的任意均满足，则___________，的最大值为___________． 16. 已知函数，若恒成立，则实数的取值范围是______． 四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）已知，是第四象限角，，是第二象限角，求的值； （2）已知，，，求． 18. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求的解析式； （2）求在区间上的单调性； 19. 已知函数． （1）若的解集为，求的解析式及实数c； （2）若，解关于x的不等式． 20. 若存在常数、，使得函数对于同时满足：，，则称函数为“”类函数． （1）判断函数是否为“”类函数？如果是，写出一组的值；如果不是，请说明理由； （2）函数是“”类函数，且当时，．证明：是周期函数，并求出在上的解析式； 21. 已知函数为偶函数． （1）求实数k的值； （2）设，若函数与图象有2个公共点，求实数a的取值范围． 22. 已知函数 （1）若，判断函数在上的单调性（无需证明），并求在上的值域； （2）若关于的方程恰有三个不等实根，且. （i）求的值； （ii）求的最大值.（参考公式：） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈尔滨德强高级中学2025-2026学年度上学期期末考试 高一年级数学试题 时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由集合的并集运算求解． 【详解】因为集合，，所以． 故选：B． 2. 已知正实数满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依题意构造，再利用基本不等式计算可得； 【详解】由，又，， 所以， 当且仅当，，即、时等号成立，所以的最小值为． 故选：． 3. 2026年元旦假期到了，祝愿大家元旦启新，数海扬帆，步步精进，前程璀璨！是（ ）角 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】把写成的形式，再利用所在的象限进行判断. 【详解】因为，且为第三象限角， 所以为第三象限角. 故选：C 4. “关于的不等式的解集为”，是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先根据一元二次不等式解集为的条件，求出命题p中a的取值范围，再根据充分条件和必要条件的定义，判断p与q之间的关系即可. 【详解】因为 的解集为， 则，解得， 即命题对应的范围是， 若成立（），则一定满足（），故是的充分条件； 若成立（）， 例如取，此时的判别式，解集不是， 故不能推出，即不是的必要条件， 综上，是的充分不必要条件. 故选：A. 5. 已知函数，若恒成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用指数函数和对数函数的图像与性质，结合基本不等式，即可求得最值. 【详解】由题知，的定义域为， 分别令，如图，两函数均在内单调递增， 因为当时，，当时，， 当时，，所以要使恒成立， 则与的符号相同， 所以，即， 所以(当且仅当时，等号成立)， 所以的最小值为. 故选：D 6. 已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求函数的单调递增区间，根据是函数增区间的子集，可求的取值范围. 【详解】由于，则, 由，，. 由，，. 所以得：. 故选：B 7. 若点绕着坐标原点按逆时针方向旋转角到达点，则（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，则，利用三角函数定义可以求得，，然后利用三角恒等求解. 【详解】设，则，由三角函数的定义可知， 故：，， 由二倍角公式可得：． 故选：C． 8. 设函数，则（ ） A. 是奇函数 B. 的最小正周期为 C. 在区间上单调递增 D. 的最大值为 【答案】D 【解析】 【分析】A根据奇函数的定义可判断；B根据周期函数的定义可判断；C由特殊值，可判断；选项D由，根据基本不等式和辅助角公式可得. 【详解】对于A，因为的定义域为R， ，所以不是奇函数，A错误； 对于B，因为 ，所以的最小正周期不是，B错误； 对于C，因为， ， 而， 又因为，所以， 因为，，所以在区间上不单调，C错误； 对于D， ， 当且仅当时，取等. 故选：D 二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.每小题给出的选项中有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分） 9. 函数，其中且，则下列结论正确的是（ ） A. 函数是奇函数 B. 方程在R上有解 C. 函数的图象过定点 D. 当时，函数在其定义域上为增函数 【答案】AB 【解析】 【分析】根据函数单调性的性质，结合奇函数的定义、指数的运算法则、指数函数的单调性逐一判断即可. 【详解】对于A，的定义域为，且， 故为奇函数，A正确； 对于BC，，故方程在上有解，B正确，C错误； 对于D，当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 故在上单调递减，D错误． 故选：AB. 10. （多选）下列结论正确的是（ ） A. B. 一扇形的半径为2，圆心角为，则该扇形的弧长为60 C. 的最小正周期为 D. 点是函数图象的一个对称中心 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据三角函数的概念和性质判断ACD，根据扇形的弧长公式判断B. 【详解】选项A：因为，所以，说法正确； 选项B：因为，所以该扇形的弧长，说法错误； 选项C：的最小正周期，说法正确； 选项D：将代入得， 所以是函数图象的一个对称中心，说法正确. 故选：ACD 11. 德国数学家狄利克雷（P．G．L．Dirichlet，1805-1859）在1837年时提出：“如果对于x的每一个值，y总有一个完全确定的值与之对应，那么y是x的函数．”这个定义较清楚地说明了函数的内涵．只要有一个法则，使得取值范围中的每一个x，有一个确定的y和它对应就行了，而不需管这个法则是用公式还是用图象、表格等形式表示．例如，，下列说法正确的是（ ） A. B. 为偶函数 C. 的值域为 D. 是函数的一条对称轴 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定的分段函数，结合奇偶性、对称性逐项分析判断. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，当时，，则；当时，有， 因此对，均有，即为偶函数，B正确； 对于C，由，得，因此函数的值域为，C错误； 对于D，当时，；当时，，因此恒成立，D正确. 故选：ABD 12. 函数对，，且为奇函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若时，则 B. 的周期为6 C. 的图象关于中心对称 D. 【答案】CD 【解析】 【分析】对于A选项，首先通过奇偶性得，然后根据已知条件通过赋值进行求解；对于B选项，根据奇偶性及周期性的结论进行求解即可；对于C选项，通过奇偶性可得函数关于中心对称，再根据函数周期性即可判断正误；对于D选项，利用函数周期性可得，再根据通过赋值可得，进而可以判断选项正误. 【详解】对于A，已知为奇函数，则有， 令，得， 又，令，得， 时，因此可得，故A错误； 对于B，已知为奇函数，则有， 又，则有，由此可得， 而，可得的一个周期为12， 若的周期为6，则有，得为偶函数，与题意不符，故B错误； 对于C，已知为奇函数，则有，则可得函数的图象关于中心对称， 又函数的周期为12，所以的图象关于中心对称，故C正确； 对于D，已知函数的周期为12，则有， 又，令，得， 则，故D正确. 故选：CD 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13. ，使得成立，则实数的取值范围为_______． 【答案】 【解析】 【分析】将不等式变形分离参数，构造函数并分析其单调性，求出函数在区间上的最小值，根据存在性条件确定的取值范围. 【详解】由，，得. 设，，在上单调递减. . 存在使不等式成立，故. 故答案为： 14. 若函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据对数复合函数的区间单调性，结合二次函数、对数函数的性质列不等式求参数范围. 【详解】令，其图象开口向上且对称轴为， 所以在上单调递减，在上单调递增， 而在区间上单调递减，且在定义域上单调递增， 所以是的一个子区间，且，即， 所以. 故答案为： 15. 已知函数的定义域为，对定义域内的任意均满足，则___________，的最大值为___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】令代入原等式即可求出的值；在求的最大值时，令x替换为，得到另外一个等式，联立求解即可得到的解析式，再结合一元二次方程求解即可． 【详解】令，代入已知等式可得， 解得； 令x替换为，可得， 联立原等式，解得， 当时，， 令（），则， 又，当且仅当即时取等号， 因此，即的最大值为． 故答案为：，． 16. 已知函数，若恒成立，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】分、、三种情况讨论，结合转化为关于的不等式恒成立，即可求出实数的取值范围. 【详解】①因为函数，则 所以函数在上为减函数， 对任意的时，恒成立； ②若，即当时， 由可得， 化简得，所以，解得； ③若时，即当时， 由可得， 整理可得， 所以对任意的，不等式恒成立， 令，该二次函数的对称轴为直线， 当时，即当时，函数在上为增函数， 只需，符合题意； 当时，即当时， 此时，解得，此时； 当时，即当时，此时函数在上单调递减， 此时只需，解得，此时. 所以，当不等式对任意的恒成立， 实数的取值范围是. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）已知，是第四象限角，，是第二象限角，求的值； （2）已知，，，求． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系式、两角差的余弦公式求得. （2）利用同角三角函数的基本关系式、二倍角公式、两角和的正切公式求得. 【详解】（1）由题意，是第四象限角，是第二象限角， 所以，， 所以； （2）因为，，， 所以，，则， 所以． 18. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求的解析式； （2）求在区间上的单调性； 【答案】（1） （2）单调递增区间为，单调递减区间为． 【解析】 【分析】（1）由求得，确定最小正周期求出，再结合五点法求得即可求解； （2）由，求得，再结合正弦函数单调性即可求解. 【小问1详解】 由图象可知，解得：， 又由于，所以， 由图象及五点法作图可知：，，所以，， 因为，所以， 所以 【小问2详解】 由（1）知，， 因为，所以， 结合正弦函数的单调性可知： 当时，即时，单调递增， 当时，即时，单调递减， 所以的单调递增区间为，的单调递减区间为 19. 已知函数． （1）若的解集为，求的解析式及实数c； （2）若，解关于x的不等式． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】（1）将问题转化为有唯一零点，且开口向上，进行求解； （2）当时，将不等式等价转化为，利用分类讨论的思想进行求解． 【小问1详解】 由的解集为，知有唯一零点，且开口向上， 令，展开得：， ，解得：， ； 【小问2详解】 ， ， ， ， 由，不等式等价于， 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为， 综上：当时，解集为，当时，解集为，当时，解集为． 20. 若存在常数、，使得函数对于同时满足：，，则称函数为“”类函数． （1）判断函数是否为“”类函数？如果是，写出一组的值；如果不是，请说明理由； （2）函数是“”类函数，且当时，．证明：是周期函数，并求出在上的解析式； 【答案】（1）是“”类函数，（答案不唯一）； （2）证明见解析，. 【解析】 【分析】(1)根据余弦函数的性质可得答案； (2)根据函数的对称性确定函数的周期，根据周期和对称性可得函数解析式. 【小问1详解】 是“”类函数， 令，得，即的对称轴为， 令，得，即的对称中心为， 当时，， 可以是（答案不唯一）； 【小问2详解】 是“”类函数， ， ， ，是周期为的周期函数. 当时，， 当时，， . 故， 21. 已知函数为偶函数． （1）求实数k的值； （2）设，若函数与图象有2个公共点，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据偶函数的定义及性质直接化简求值； （2）由函数与图象有2个公共点，可得有两个实数根，再利用换元法转化为二次方程有两个根，利用判别式求参数范围． 【小问1详解】 函数的定义域为R，因为函数为偶函数． 所以，即， 所以，所以； 【小问2详解】 因为函数与图象有2个公共点， 所以， 即，， 设，则，即. 又在R上单调递增，所以方程有两个不等的正根； 所以，解得， 所以a的取值范围为． 22. 已知函数 （1）若，判断函数在上的单调性（无需证明），并求在上的值域； （2）若关于的方程恰有三个不等实根，且. （i）求的值； （ii）求的最大值.（参考公式：） 【答案】（1）在上单调递减， （2）（i）4（ii）7 【解析】 【分析】（1）先判断函数的单调性，进而求出值域. （2）（i）构造函数，判断该函数的对称轴，从而证明结论；（ii）根据（i）中的结论列出的表达式，进而可化简所求式子，最后根据二次函数的性质求出最大值即可. 【小问1详解】 若， 因为函数和均在上单调递减， 所以函数在上单调递减，故，值域为. 【小问2详解】 （i）证明：， 显然：当时，， 由于方程有三个不等实根，所以必有， 令，则，即. 显然有，由 得到，所以函数关于直线对称， 由，可得：， （ii）由得：，由（i）得：， 于是，令 当且仅当时等号成立，故的最大值为7. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $