专题06 导数及其应用大题（4维精讲+3维精练）（7维体系35题）讲义-【新高考风向标】2026高考数学考前百日冲刺（二轮复习模考真题演练之会一题通一类系列）（新高考通用）

专题06 导数及其应用大题 （4维精讲+3维精练） 考前百日冲刺目录 引领风向--最新模考新颖题（5题） 1 最新热点热搜题（5题） 10 最新高频经典题（5题） 18 最新高考真题回顾（5题） 26 最新模考基础练（5题） 37 最新模考能力练（5题） 42 最新模考压轴练（5题） 48 引领风向--最新模考新颖题（5题） 【典例】1．（2025·江苏·模拟预测）已知函数． (1)若直线是曲线的切线，求a的值； (2)令． ①若，是的两个极值点，当时，求的值； ②设曲线在处的切线为l，若直线l上的点都不在图象的下方，求的取值范围． 【答案】(1) (2)；或. 【分析】（1）求导，利用导数的几何意义构造方程，构造新函数，利用导数分析函数单调性，进而求解； （2）先求出函数定义域，利用求导求出相应极值点，再计算求解；对函数求导，确定切线方程，构造新函数，求出新函数的最值即可求解． 【详解】（1），定义域为， 求导得， 设切点为，切线斜率， 切线方程为， 是切线，过原点， ， 令，其定义域为， 求导得，则在上，即在上单调递增， ，， 切线斜率． （2）①， ，定义域为， 若，， 当时，， 求导得， 令，解得或（舍去），故极值点为； 当时，，求导得， 令，解得（舍去）或，故极值点为； ； ②，， 令（其中） 在上单调递增，上单调递减；上单调递增；上单调递减，作出大致图象如下 ，知为上凸函数 设为左右两支的公切线且分别与左右支切于，， ，，公切线可表示为： ① 也可表示为：② ①②可分别化简为 由两式表示同一方程 ，解得 结合图象得或. 【典例】2．（2025·广东深圳·一模）已知函数，其中的解析式由下面第（1）题确定. (1)将函数的图象的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把所得图象向右平移1个单位得的图象，求的解析式； (2)若在上是单调减函数，求的最大值，其中表示不超过的最大整数； (3)证明： 【答案】(1) (2)4 (3)证明见解析 【分析】（1）根据三角函数图象变换的知识求得. （2）先求得，然后根据的范围进行分类讨论，求得的最大值. （3）根据（2）求得，利用赋值法，结合对数运算证得不等式成立. 【详解】（1）（1）将函数的图象的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）， 得到的图象，即的图象， 再向右平移1个单位之后得到，即. （2）（2）由（1）得. ，因为在上是单调减函数， 所以在上恒成立，即在上恒成立. ①当时，， 当时，不等式恒成立. ②当时，， 所以在上恒成立， 下面证明： 构造函数，， 所以函数在区间上单调递增， 而，所以. 由，得， 所以， 当时等号成立，所以， 其中时，， 所以. （3）对于，令，即， 由（2）知，在上是单调减函数， 所以当时，， 即. 令，则， 从而, 所以 . 【典例】3．（2025·重庆·模拟预测）已知函数() (1)讨论函数的单调性 (2)若函数存在两个零点，求证:； (3)已知数列的前项和为，数列是首项为2的等比数列，若存在正整数，使得对任意正整数，均有，求的最大值. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 (3)5 【分析】（1）求导，分，讨论函数的单调性. （2）极值点偏移问题，先把问题转化成，，设函数（），分析函数的单调性，即可证明. （3）先根据求数列的通项公式，再借助等比数列的通项公式，可把问题转化成，再设，，利用导数分析它们的单调性，再求的最大值. 【详解】（1）对求导有（）， ①当时，，故在单调递减； ②当时，由；由. 所以在单调递减，在单调递增. （2），令，则有， 由；由. 所以在上单调递增，在单调递减． 若函数存在两个零点，则不妨有，且有， 要证，即证，即证，即证， 即证，等价于， 令（）， 则有， 令，则有，则， 所以在上单调递增，所以，得证. （3），当时，符合，所以. 设公比为，则有，即恒成立，则， 对任意，均有，即（时）恒成立． 分别令，， 则，所以在上单调递增，在单调递减， ， 令，则， 当时，，所以在上单调递减. 所以，故，所以在上单调递减. ①当时：，解得， ②当时：，解得（不成立）， 所以的最大值为． 【典例】4．（2025·浙江绍兴·二模）已知函数． (1)设， （i）证明：，并由此求(精确到)． （ii）比较与的大小并说明理由． (2)求证：当趋于0时，． 【答案】(1)（i）证明见解析； （ii），理由见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）（i）利用导数的定义结合合理变形得到结论，再利用结论估值计算即可. （ii）合理构造函数，利用导数判断其最大值，最后得到要求证明不等式即可. （2）对原目标式子合理变形，转化为证明，再构造函数并利用导数求出，进而证明出，判断出原目标式子成立. 【详解】（1）（i）由题意得的导数一定存在， 结合导数的定义可得， 则， 故得证， 由题意得， 当时，，故， 则，，符合， 因为， 所以， 因为要进行估计，不妨取，所以. （ii）由题意得的定义域为， 构造，则， 令，，令，， 则在上单调递减，在上单调递增， 可得， 即，得到，即得证. （2）我们欲证当趋于0时，，则证即可， 即证即可，故证即可， 则证即可，令，故证即可， 因为，所以，令， 得到，令得，，令得，， 故在上单调递减，在上单调递增， 则的最小值为，得到时，， 即当时，，故， 可得，故原命题得证. 【典例】5．（2025·江苏宿迁·模拟预测）已知，． (1)判断的单调性； (2)若函数图象在处切线斜率为，求； (3)求证：． 【答案】(1)在上单调递增； (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求导后借助因式分解与二次函数的性质可得其导函数的正负，即可得其单调性； （2）借助导数的几何意义可得，计算即可得解； （3）结合的取值范围，可将所需证明的不等式转化为证明，构造函数，，则可借助导数结合基本不等式得到的单调性，即可得证. 【详解】（1）， 由，则， 故，， 故在上恒成立，故在上单调递增； （2）由题意知， 则， 故或， 由， 故无解； 则，即，又，故； （3）由，则，， 要证，只需证， 即只需证， 由（1）知在上单调递增， 故，即， 故只需证，即只需证， 即只需证， 令，， 则， 由，当且仅当时等号成立， 由，故不能取等，即有， 则， 令，，则， 故在上单调递增，则， 即，故在上单调递增，则， 即有，即得证. 最新热点热搜题（5题） 【典例】6．（2025·黑龙江吉林·模拟预测）已知函数，． (1)求曲线在处的切线方程； (2)若当时，恒有，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用导函数，求得，进而由点斜式方程可求得切线方程； （2）令，求导，分，两种情况判断是否恒成立，可得结论. 【详解】（1）因为，所以切点为， 又，所以， 所以， 所以由点斜式方程得切线方程为，即； （2）当 时，恒有 ，即对恒成立， 令，， 求导得， 因为，所以在上单调递减，且， 所以在上单调递增，所以， 当时，，函数单调递增，所以， 即，所以； 当时，，又时，， 所以存在，使，当，， 所以在上单调递减，所以， 所以，所以对不恒成立， 综上所述：当时，恒有，实数的取值范围为． 【典例】7．（2025·江苏南京·一模）已知函数. (1)当时，求证：； (2)若对于恒成立，求的取值范围； (3)若存在，使得，求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由由，得，构造函数，求解单调性，证明结果; （2）求解令，则，分类讨论求解的范围; （3）由（2）知，设，判断单调性，，所以只需证，由，即，只需证 （*）进而证明结果. 【详解】（1）由，得. 要证，只需证. 令，则. 当时，，则单调递减， 当时，，则单调递增， 所以，故， 因此. （2） 令，则 ①当时，由，得， 因此，满足题意. ②当时，由，得， 因此，则在上单调递增. 若，则， 则在上单调递增， 所以，满足题意； 若，则， 因此在存在唯一的零点，且， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以，不合题意. 综上，的取值范围为. （3）由（2）知，设， 则在上单调递减，在上单调递增， 注意到， 故在上存在唯一的零点. 注意到，且在上单调递增. 要证明，只需证， 因为，所以只需证， 即证. 因为，即， 所以，只需证， 只需证（*） 由（1）得， 因此， 设， 则，所以在上单调递增， 所以， 从而，即，因此（*）得证， 从而. 【典例】8．（2025·山东济南·一模）已知，函数，. (1)当时，求的极值； (2)若存在零点. （i）当时，求的取值范围； （ii）求证：. 【答案】(1)答案见解析； (2)（i）；（ii）证明见解析. 【分析】（1）直接求导得，再分和讨论即可； （i）转化得有解，再设，求导后再对分类讨论，最后利用隐零点法即可得到其范围； （ⅱ）分析得表示原点与直线上的动点之间的距离，再等价转化为证明，再设新函数并多次求导即可证明. 【详解】（1）时，， 当时，，函数单调递增，既无极大值也无极小值. 当时，，，函数单调递减，，，函数单调递增， 函数的极小值是，无极大值. （2）（ⅰ）当时，因为函数存在零点，故有解， 若，此时无解，所以，有解，， ①若单调递增，此时不存在零点； ②若，令，，， 由零点存在定理可知存在， 所以在上为减函数，在上为增函数， 故，解得，故. （ⅱ）因为函数存在零点，所以有解，其中， 若，则，该式不成立，故. 故，考虑直线， 表示原点与直线上的动点之间的距离， ，所以， 时，要证，只需证， 解法一：即证. 令，则， 令，，故在上为增函数，故. 即在上为增函数， 故，故，即成立. 解法二：令,则， 令，得单调递减， 令，得单调递增， 所以. 【典例】9．（2025·山东烟台·一模）已知函数在处有极大值. (1)求实数的值； (2)若函数有三个不同的零点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意题干中的函数进行求导，根据极值与导数的关系建立方程，分别检验解得的根，可得答案； （2）由（1）明确函数解析式，利用导数求得其极值与单调性，并作图，根据零点定义，将问题等价转化为函数交点问题，可得答案. 【详解】（1）由函数，求导可得， 由函数在处取极大值，则，解得或， 当时，可得， 易知当时，；当时，， 则此时函数在处取得极小值，不符合题意，舍去； 当时，可得， 易知当时，；当时，， 则此时函数在处取得极大值，符合题意. 综上所述，. （2）由（1）可得函数，求导可得， 令，解得或，可得下表： 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以函数的极大值为，极小值为， 函数存在三个零点，等价于函数图象与直线存在三个交点， 如下图： 由图可得，则. 【典例】10．（2025·广西·一模）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围； (3)证明：． 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）求出导数，再利用导数的几何意义求出切线方程. （2）不等式对恒成立可得对恒成立，再构造函数并利用导数探讨单调性推理得证. （3）由（2）取可得不等式，再取，并借助裂项相消法求得证. 【详解】（1）函数，求导得，则，而， 所以曲线在点处的切线方程为. （2）不等式， 由时，恒成立，得， 令，由当时，恒成立， 得，，求导得，令， 求导得，而，则当，即时，， 函数在上单调递增，，函数在上单调递增， 则，符合题意，因此； 当时，由，得，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递减， 则当时，，不符合题意， 所以实数的取值范围是. （3）由（2）知，当时，， 取，则，而， 因此 ， 所以. 最新高频经典题（5题） 【典例】11．（2025·安徽·模拟预测）已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)的单调递减区间是，单调递增区间是 (2) 【分析】（1）利用导数求函数的单调性； （2）分离参数得，构造，利用导数求最大值即得. 【详解】（1）当时，函数的定义域是，， 令，得，解得，故的单调递减区间是， 令，得，解得，故的单调递增区间是， 综上，的单调递减区间是，单调递增区间是. （2）由任意，知恒成立. 因，故，在上恒成立. 设，则， 令，得，（舍去）， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 故当时，取得极大值，也是最大值，且， 所以若在上恒成立，则， 故实数的取值范围是. 【典例】12．（2025·湖北·二模）已知函数. (1)当时，讨论的单调性； (2)若，讨论方程的根的个数. 【答案】(1)答案见解析； (2)答案见解析. 【分析】（1）应用分类讨论及导数研究函数的单调区间即可； （2）根据已知有，构造并应用导数研究函数的单调性，得到，利用导数研究右侧的单调性和最值，即可得参数范围. 【详解】（1）的定义域为，则， 因，由，解得， ①当时，恒成立， 所以的无递增区间，递减区间为； ②当时，， 令，得；令，得， 所以的递增区间为，递减区间为； ③当时，， 令，得；令，得， 所以的递增区间为，递减区间为； 综上所述， 当时，无递增区间，递减区间为； 当时，的递增区间为，递减区间为； 当时，的递增区间为，递减区间为； （2）由题设， 令，则，即在上单调递增， 故上式中满足，则有，可得，    令，则，由解得. 当时，，当时，， 在上单调递增，在上单调递减， 当时，且，当时，， 故. 结合图象，可知， 当时，方程有0个实根； 当或时，方程有1个实根； 当时，方程有2个实根. 【典例】13．（2025·湖北·二模）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若有两个不同的零点，. （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）证明：. 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线斜率，根据点斜式得解； （2）（ⅰ）转化为有两个相异正根，，利用导数研究的大致情况得解； （ⅱ）设，利用导数判断函数单调性，据此可得当时，，再由及函数单调性得出得证. 【详解】（1）当时，，所以， 所以，又， 所以曲线在处的切线方程为，即 （2）（ⅰ） 易知的定义域为， 由题意得，方程有两个相异正根，， 即方程有两个相异正根，， 设，则， 因为，所以， 令，得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以， 由，及的性质知， 当且时，，， 所以当时，，又，， 所以要使有两个相异正根，，必有， 故实数的取值范围为. （ⅱ）证明：由题意可知，，不妨设，则， 设，则 ， 令， 则当时，， 所以在上单调递减，则当时，， 所以当时，， 所以在上单调递减，故当时，， 所以当时，， 所以，即， 又，， 由（ⅰ）可知，在上单调递减，所以，故. 【典例】14．（2025·四川成都·三模）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若有两个零点，为的导函数. （i）求实数的取值范围； （ii）记较小的一个零点为，证明：. 【答案】(1)答案见解析 (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）利用导数分和求解； （2）（i）由（1）知，且最小值为小于0即可得的取值范围； （ii）结合（i）知，要证，即，分和进行证明. 【详解】（1）函数的定义域为，， ①当时，，函数在单调递减； ②当时，令，解得， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增. 综上所述，当时，函数在单调递减； 当时，函数在上单调递减，在单调递增. （2）（i）若，由（1）知，至多有一个零点； 若，由（1）知，当时，取得最小值，最小值为. 因为当时，； 当时，， 所以函数有两个零点当且仅当. 设，函数在单调递增. 因为，的解集为. 综上所述，的取值范围是. （ii）因为，由，结合（i）知， 要证，即证，即， 当时，因为，，不等式恒成立； 当时，由得. 即证. 即证. 即证. 设，，由， 所以在单调递增.所以，故原不等式成立. 所以. 【典例】15．（2025·广东佛山·模拟预测）已知函数． (1)设，求的零点并判断的单调性； (2)若，且，证明： （i）； （ii）． 【答案】(1)的零点为0；在上单调递减，在上单调递增. (2)证明见解析 【分析】（1）利用导数分析的单调性，可得到在上有唯一零点.利用的单调性得到及的解，从而得到判断的单调性； （2）（i）构造新函数，通过分析新函数的单调性，结合的单调性证得，即； （ii）构造新函数，根据新函数的单调性分析，结合的单调性证得，即． 【详解】（1）由函数，得. 所以. 因为恒成立，且在上单调递增. 因为，所以在上有唯一零点. 所以的零点为0. 所以，当时，；当时，. 所以在上单调递减，在上单调递增. （2）由（1）知，在上单调递减，在上单调递增. 所以在处取得极小值，即最小值，最小值为. 若，且，则. . 令，则. 所以是增函数，所以. 由（1）知，所以，所以，即. 因为在上单调递增，所以，即. （ii）设，则 令，则. 令，则. 所以在上单调递增，即在上单调递增. 所以，所以在上单调递增. 所以. 所以，当时，恒成立，即. 即. 两边同乘以，得. 因为，所以， 所以， 即. 因为，所以，所以，即. 所以，. 因此，得证. 最新高考真题回顾（5题） 【典例】16．（2025·全国一卷·高考真题）（1）求函数在区间的最大值； （2）给定和，证明：存在使得； （3）设，若存在使得对恒成立，求b的最小值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用导数结合三角变换得导数零点，讨论导数的符号后得单调性，从而可求最大值；或者利用均值不等式可求最大值. （2）利用反证法可证三角不等式有解； （3）先考虑时的范围，对于时，可利用（2）中的结论结合特值法求得，从而可得的最小值；或者先根据函数解析特征得，再结合特值法可得，结合（1）的结果可得的最小值. 【详解】（1）法1：， 因为，故，故， 当时，即， 当时，即， 故在上为增函数，在为减函数， 故在上的最大值为. 法2：我们有 . 所以： . 这得到，同时又有， 故在上的最大值为，在上的最大值也是. （2）法1：由余弦函数的性质得的解为，， 若任意与交集为空， 则且，此时无解， 矛盾，故无解；故存在，使得， 法2：由余弦函数的性质知的解为， 若每个与交集都为空， 则对每个，必有或之一成立. 此即或，但长度为的闭区间上必有一整数， 该整数不满足条件，矛盾. 故存在，使得成立. （3）法1：记， 因为， 故为周期函数且周期为,故只需讨论的情况. 当时，， 当时，， 此时， 令，则， 而， ，故， 当，在（2）中取，则存在，使得， 取，则，取即， 故，故， 综上，可取，使得等号成立. 综上，. 法2：设. ①一方面，若存在，使得对任意恒成立， 则对这样的，同样有. 所以对任意恒成立，这直接得到. 设，则根据恒成立，有 所以均不超过， 再结合， 就得到均不超过. 假设，则， 故. 但这是不可能的，因为三个角和单位圆的交点将单位圆三等分， 这三个点不可能都在直线左侧. 所以假设不成立，这意味着. ②另一方面，若，则由（1）中已经证明， 知存在，使得. 从而满足题目要求. 综合上述两个方面，可知的最小值是. 【典例】17．（2025·全国二卷·高考真题）已知函数，其中． (1)证明：在区间存在唯一的极值点和唯一的零点； (2)设分别为在区间的极值点和零点. （i）设函数.证明：在区间单调递减； （ii）比较与的大小，并证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析； (2)（i）证明见解析；（ii），证明见解析. 【分析】（1）先由题意求得，接着构造函数，利用导数工具研究函数的单调性和函数值情况，从而得到函数的单调性，进而得证函数在区间上存在唯一极值点；再结合和时的正负情况即可得证在区间上存在唯一零点； （2）（i）由（1）和结合（1）中所得导函数计算得到，再结合得即可得证； （ii）由函数在区间上单调递减得到，再结合， 和函数的单调性以以及函数值的情况即可得证. 【详解】（1）由题得， 因为，所以，设， 则在上恒成立，所以在上单调递减， ，令， 所以当时，，则；当时，，则， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在上存在唯一极值点， 对函数有在上恒成立， 所以在上单调递减， 所以在上恒成立， 又因为，时， 所以时， 所以存在唯一使得，即在上存在唯一零点. （2）（i）由（1）知，则，， ， 则 ， ， ， 即在上单调递减. （ii），证明如下： 由（i）知：函数在区间上单调递减， 所以即，又， 由（1）可知在上单调递减，，且对任意， 所以. 【典例】18．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数 (1)若，且，求的最小值； (2)证明：曲线是中心对称图形； (3)若当且仅当，求的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）求出后根据可求的最小值； （2）设为图象上任意一点，可证关于的对称点为也在函数的图像上，从而可证对称性； （3）根据题设可判断即，再根据在上恒成立可求得. 【详解】（1）时，，其中， 则， 因为，当且仅当时等号成立， 故，而成立，故即， 所以的最小值为.， （2）的定义域为， 设为图象上任意一点， 关于的对称点为， 因为在图象上，故， 而， ， 所以也在图象上， 由的任意性可得图象为中心对称图形，且对称中心为. （3）因为当且仅当，故为的一个解， 所以即， 先考虑时，恒成立. 此时即为在上恒成立， 设，则在上恒成立， 设， 则， 当，， 故恒成立，故在上单调递增， 故即在上恒成立. 当时，， 故恒成立，故在上单调递增， 故即在上恒成立. 当，则当时， 故在上单调递减，故，不合题意，舍； 综上，在上恒成立时. 而当时， 而时，由上述过程可得在递增，故的解为， 即的解为. 综上，. 【点睛】思路点睛：一个函数不等式成立的充分必要条件就是函数不等式对应的解，而解的端点为函数对一个方程的根或定义域的端点，另外，根据函数不等式的解确定参数范围时，可先由恒成立得到参数的范围，再根据得到的参数的范围重新考虑不等式的解的情况. 【典例】19．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程； （2）解法一：求导，分析和两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可；解法二：求导，可知有零点，可得，进而利用导数求的单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可. 【详解】（1）当时，则，， 可得，， 即切点坐标为，切线斜率， 所以切线方程为，即. （2）解法一：因为的定义域为，且， 若，则对任意恒成立， 可知在上单调递增，无极值，不合题意； 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值， 由题意可得：，即， 构建，则， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为； 解法二：因为的定义域为，且， 若有极小值，则有零点， 令，可得， 可知与有交点，则， 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值，符合题意， 由题意可得：，即， 构建， 因为则在内单调递增， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为. 【典例】20．（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数． (1)当时，求的极值； (2)当时，，求的取值范围． 【答案】(1)极小值为，无极大值. (2) 【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的单调性和零点可求函数的极值. （2）求出函数的二阶导数，就、、分类讨论后可得参数的取值范围. 【详解】（1）当时，， 故， 因为在上为增函数， 故在上为增函数，而， 故当时，，当时，， 故在处取极小值且极小值为，无极大值. （2）， 设， 则， 当时，，故在上为增函数， 故，即， 所以在上为增函数，故. 当时，当时，， 故在上为减函数，故在上， 即在上即为减函数， 故在上，不合题意，舍. 当，此时在上恒成立， 同理可得在上恒成立，不合题意，舍； 综上，. 【点睛】思路点睛：导数背景下不等式恒成立问题，往往需要利用导数判断函数单调性，有时还需要对导数进一步利用导数研究其符号特征，处理此类问题时注意利用范围端点的性质来确定如何分类. 最新模考基础练（5题） 【典例】21．（2026·四川巴中·一模）已知在处取得极小值． (1)求在处的切线方程； (2)若，讨论零点的个数． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）由题意可得，联立等式可得函数，根据导数的几何意义可求得切线方程； （2）根据导数及三次函数性质可得其图象，结合图象可得答案. 【详解】（1）由题意得．因为在处取得极小值， 则，解得，， 所以，， 故，， 则切线方程为，即； （2）令，所以． 令，解得或．则，，的关系如下表： 2 0 0 单调递增 单调递减 单调递增 作出函数的图象如下： 所以，①当或时，有两个零点； ②当或时，有一个零点； ③当时，有三个零点． 【典例】22．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）已知函数，且曲线在点处的切线与x轴平行． (1)求a，b； (2)求的极值点个数． 【答案】(1)， (2)两个 【分析】（1）由题意知，，，求导数，代入计算，即可得解； （2），令，则问题转化为函数的变号零点的个数，对函数求导，判断的正负，得到函数的单调性，进而判断变号零点个数，从而得解. 【详解】（1）由题得，解得， 又，则，解得， 故， （2）由（1）可知， 令，则 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 又，，， ，使得，故， 所以当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 则在内单调递增，在单调递减，在递增， 所以有两个极值点． 【典例】23．（2025·贵州毕节·模拟预测）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依据题意求出切点，利用导数的几何意义求出斜率，进而得到切线方程即可. （2）利用导数求出的最小值，再建立不等式并结合给定条件求出参数范围即可. 【详解】（1）当时，， 而，则切点坐标为， 易得，得到切线斜率为， 故曲线在点处的切线方程为， 即. （2）由题意得的定义域为， 且， 而，令，，令，， 即的单调递减区间为，单调递增区间为， 则当时，有最小值， 得到，解得， ，，即的取值范围为. 【典例】24．（2025·安徽蚌埠·模拟预测）已知函数，其中． (1)当时，求函数的图象在处的切线方程； (2)若恒成立，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求导，得到，利用导数几何意义求出切线方程； （2）转化为，令，求导得到单调性和最小值，即可得出结果. 【详解】（1）当时，，则 所以，又， 则所求切线方程为． （2），其中， 所以问题转化为（）恒成立， 记，则， 令，得；令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 的最大值为，所以． 【典例】25．（2025·辽宁·三模）已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据导数的几何意义，求函数在处的切线方程. （2）分析函数的单调性，求函数的最小值，根据可证. 【详解】（1）因为，所以， 则，则. 因为， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）的定义域为， 令，得. 令，得，则在上单调递减； 令，得，则在上单调递增. . 因为，所以，即. 最新模考能力练（5题） 【典例】26．（2026·河北·模拟预测）设函数. (1)当时，求函数在点处的切线方程． (2)已知是函数的导函数，若恒成立，求的最大值． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）求导，根据切点横坐标求出切线斜率和该点坐标，再结合直线点斜式求切线方程; （2）根据可得，设函数，求导求解最小值. 【详解】（1）由，知 则,得， 故函数在点处的切线方程为，即. （2）由恒成立，可得， 即在恒成立， 设，，则， 当时，，在单调递增， 当时，，在单调递减， 所以，即的最小值为1， 所以，即的最大值为1． 【典例】27．（2026·河北沧州·一模）已知函数． (1)过原点是否存在一条直线与的图象相切？并说明理由； (2)当时． ①若，求的取值范围； ②证明：当时，． 【答案】(1)过原点不存在一条直线与的图象相切，理由见解析 (2)①；②证明见解析 【分析】（1）利用导数来求切线方程，利用切线过原点可得参数的方程，通过方程无解，来判断过原点的切线不存在； （2）①利用导数来求函数在的值域，再结合不等式恒成立，转化为，从而可得的取值范围；②利用极值点偏移证明方法，结合分析法来构造函数求导证明即可. 【详解】（1）设为图象上的任意一点， 因为， 所以在点处的切线斜率为， 所以切线方程为， 假设存在一条切线经过坐标原点，则， 因为，所以，即， 此时等式显然不成立，即方程无解， 所以假设不成立，所以过原点不存在一条直线与的图象相切． （2）①当时，，其中， 当时，，在单调递减， 当时，，在单调递增， 则当时，在处取得最小值为， 因为时，，而， 所以在处取得最大值为， 因为，所以， 即的取值范围为． ②当时，因为在单调递减，在单调递增， 所以不妨设，要证， 只需要证明，又因为，在单调递增， 所以只需要证明， 由于，即只需要证明， 令， ， 因为，所以， 则， 故在上单调递减， 故当时，， 即，其中，所以成立， 故． 【典例】28．（2026·河北邢台·一模）已知函数在处取得极小值. (1)求的值; (2)证明：时，. 【答案】(1) (2)证明见解析. 【分析】（1）先进行求导，根据极值的定义，求解的值，将的值进行检验得出结果； （2）将不等式进行转化，构造函数，利用导数研究函数的性质，总结得出结论即可. 【详解】（1）由题知，则，又因为，所以. 检验：若， 则， 当 时，单调递减，当时，单调递增， 为的极小值点，符合题意. 所以：. （2）由（1）知， 证，即证， 即证，即证. 设，则， 令，得或， 当时，单调递增； 当时，单调递减； 当时，单调递增. 又，所以. 所以当时，. 【典例】29．（2025·安徽合肥·一模）已知函数. (1)求的单调区间； (2)若对于任意，总存在，使得，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）先求解出，然后根据的正负可求解出的单调区间； （2）根据的单调性将问题转化为“在上有解” ，然后通过分离参数、构造函数以及换元法求解出与新函数最值的关系，由此可求的取值范围. 【详解】（1）函数的定义域为, 则， 令，可得或，令，可得或， 则的单调递增区间为和，单调递减区间为和 （2）由（1）知：在上单调递增，在上单调递减， 故当时，， 由已知：在上有解， 在上有解，在上有解， ，； 令，则， 在上单调递增，， 令，，则在上单调递增， 则，故. 的取值范围为. 【典例】30．（2025·广东广州·模拟预测）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)若函数有三个零点，求的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）先求出导函数，再根据导数值得出切线斜率，最后由点斜式得出切线即可求解； （2）先求出导函数，再分类讨论当，时，分导函数的正负得出单调区间； （3）结合（2）知，再构造函数，再求导数得出最值再结合零点个数计算求参. 【详解】（1）当时，， 在点处的切线方程为： （2）定义域为， （i）当时，，令得， 所以在上单调递增，在上单调递减； （ii）当时，则由得或， 当时，，所以在单调递增； 当时，，令得 所以在和上单调递增，在上单调递减； 当时，，令得 所以在和上单调递增，在上单调递减. 综上所述， 当时在上单调递增，在上单调递减； 当时在和上单调递增，在上单调递减； 当时在单调递增； 当时在和上单调递增，在上单调递减. （3）由（2）知且， ， 记，则且， 当时，；当时 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以有，所以，等号成立当且仅当 故当时，由（2）知有且只有一个零点，舍去 当且时，， 要使得有三个零点，则，解得 所以的取值范围是 最新模考压轴练（5题） 【典例】31．（2026·河北沧州·一模）已知函数． (1)讨论的零点个数； (2)当时，证明：； (3)若，求的取值集合． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）令，可得，然后通过研究值域可得答案； （2）由题可得在上单调递增，由零点存在性定理可得存在唯一，使得，从而可得，最后由题意及基本不等式可完成证明； （3）分，，，四种情况，结合多次求导分析与0大小关系可得答案. 【详解】（1）由，得， 设，则， 所以在上单调递增，所以， 所以当时，无零点；当时，有一个零点； （2）当时，，则， 易知在上单调递增， 因为， 所以存在唯一，使得． 当时，， 当时，，所以在上单调递减，在上单调递增， 所以． 由，得，即， 所以， 又，所以， 所以． （3）由，得， 设， 则，令， 则， ①当时， 当时，，所以， 当时，． 则在上单调递增，所以， 所以为在上的唯一极小值点， 则，所以时，恒成立； ②当时， 当时，，有， 当时，，有. 又，所以， 即在上单调递增． 注意到， 又，所以存在，使得， 当时，，在上单调递减，所以，不符合题意； ③当时，同②有为增函数， 当时，．则， 又因为，所以存在，使得， 当时，，在上单调递增，所以，不符合题意； ④当时， 当时，，有， 当时，，有， 又，所以，在上单调递增， 又因为，所以当时，，不符合题意． 综上所述，的取值集合为． 【典例】32．（2026·湖北·模拟预测）（1）已知函数. （i）若，求曲线在点处的切线方程； （ii）若时，恒成立，求的最大值； （2）不等式对任意的成立，求的取值范围. 【答案】（1）（i）；（ii）；（2） 【分析】（1）（i）先求出导函数得出切线斜率，再点斜式得出切线方程；（ii）根据已知构造新函数，应用导函数正负得出函数单调性得出参数的最大值； （2）先应用参数分离得出，再应用特殊值代入得出，最后构造函数，化简得出值域范围即可判断. 【详解】（1）（i）若时，，则，，， 所以曲线在点处的切线方程为：. （ii）设，则， 又，设，则， 若，则， 故存在，使得，总有， 故在为增函数，故， 故在为增函数，故，与题设矛盾. 若，则， 证：对任意，总有成立， 证明：设，故， 故在上为减函数，故即成立. 由上述不等式有， 故总成立，即在上为减函数，所以. 当时，有， 所以在上为减函数，所以. 综上：，即的最大值为. （2）不等式对任意的成立， 即， 令，则， 下证时，恒成立， 因为，所以， 即要证， 设 得证. 综上可得，. 【典例】33．（2025·湖北·模拟预测）已知函数，， (1)判断在上零点的个数并证明 (2)当，求证： 【答案】(1)1个，证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）首先得到的解析式，并通过导数研究它在上的单调性，判断值的正负，由零点存在性定理即可得到在上零点的个数； （2）将原不等式转化为证明，借助导数分别求出在上的最小值及在上的最大值，即可得证. 【详解】（1）因为， 所以，则. 令，得或，由，得或； 故当在上变化时，，的变化情况如下表： 1 + 0 0 + 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 根据上表知的极大值为， 又因为， ， 所以由零点存在性定理可知，函数g在上零点的个数为1个； （2）要证明，即证明. 令，则.令可得. 所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以. 设函数，则. 令，则， 易知在上单调递增. 因为，所以存在，使得， 从而函数在上单调递减，在上单调递增. 所以，， 故存在，使得， 即当时，；当时，， 从而函数在上单调递减；在上单调递增. 因为，，故当时，. 因为，所以 ， 所以. 【典例】34．（2026·重庆·一模）设定义在上的可导函数满足，且. (1)用表示，并求的单调区间； (2)若，记在点处的切线为，证明:除切点外，曲线在上的图象位于切线上方； (3)证明:当时，. 【答案】(1)，函数的递减区间为，没有递增区间. (2)证明见详解 (3)证明见详解 【分析】（1）由等式得，令并求的值，通过导数即可求得的值域，从而得到的范围，即可求得函数的单调区间. （2）写出切线方程，然后令，求导数，通过函数的导数，求得函数单调性，从而得到的单调区间，即可求得的值域，从而得证； （3）令，求导数，在令，通过导数得到在单调性，从而求得的值域，即可求得的值域，从而得到函数的值域，即可得证. 【详解】（1）∵，∴， 令函数， 则， 当时，，即，函数单调递增，∴， 当时，，即，函数单调递减，∴， ∴， ∴， 即函数的递减区间为，没有递增区间. （2）在切线， 即， 令函数， 则，则， 由（1）可知，令， 则， 当时，，，∴且， ∴，即函数单调递增； ∴当时，，即，∴单调递减， 当时，，即，∴单调递增， ∴，即， ∴除切点外，曲线在上的图象位于切线上方； （3）令函数，则， ，∵， ∴， 令，则， 当时，，，故，即函数单调递增， ∴， 即当时，， ∴，即， ∴. 【典例】35．（2026·湖北荆州·一模）设函数. (1)若对，成立，求实数a的取值范围； (2)（ⅰ）当时，比较与的大小； （ⅱ）证明；当，时，. 【答案】(1) (2)（ⅰ）当时，；（ⅱ）证明见详解 【分析】（1）求导，根据题意结合端点效应可得，解得，并代入检验其充分性即可； （2）（ⅰ）设，，利用导数法得在区间上单调递减，进而可得结果；（ⅱ）由（1）可知：当时，，当，时，可得，由（ⅰ）可得，进而放缩可得，利用裂项相消法求和即可证明. 【详解】（1）因为，则， 若对，成立，注意到， 则，解得， 若，则， 可知在内单调递减，则，即符合题意； 综上所述：实数a的取值范围为. （2）（ⅰ）设，，则， 令，，则， 可知在区间上单调递减，则， 即，可知在区间上单调递减， 则，所以当时，； （ⅱ）由（1）可知：当时，，等价于， 当，时，可得， 又因为当时，，可得， 则， 即， 则， 所以当，时，. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 导数及其应用大题 （4维精讲+3维精练） 考前百日冲刺目录 引领风向--最新模考新颖题（5题） 1 最新热点热搜题（5题） 2 最新高频经典题（5题） 3 最新高考真题回顾（5题） 4 最新模考基础练（5题） 5 最新模考能力练（5题） 6 最新模考压轴练（5题） 7 引领风向--最新模考新颖题（5题） 【典例】1．（2025·江苏·模拟预测）已知函数． (1)若直线是曲线的切线，求a的值； (2)令． ①若，是的两个极值点，当时，求的值； ②设曲线在处的切线为l，若直线l上的点都不在图象的下方，求的取值范围． 【典例】2．（2025·广东深圳·一模）已知函数，其中的解析式由下面第（1）题确定. (1)将函数的图象的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把所得图象向右平移1个单位得的图象，求的解析式； (2)若在上是单调减函数，求的最大值，其中表示不超过的最大整数； (3)证明： 【典例】3．（2025·重庆·模拟预测）已知函数() (1)讨论函数的单调性 (2)若函数存在两个零点，求证:； (3)已知数列的前项和为，数列是首项为2的等比数列，若存在正整数，使得对任意正整数，均有，求的最大值. 【典例】4．（2025·浙江绍兴·二模）已知函数． (1)设， （i）证明：，并由此求(精确到)． （ii）比较与的大小并说明理由． (2)求证：当趋于0时，． 【典例】5．（2025·江苏宿迁·模拟预测）已知，． (1)判断的单调性； (2)若函数图象在处切线斜率为，求； (3)求证：． 最新热点热搜题（5题） 【典例】6．（2025·黑龙江吉林·模拟预测）已知函数，． (1)求曲线在处的切线方程； (2)若当时，恒有，求实数的取值范围． 【典例】7．（2025·江苏南京·一模）已知函数. (1)当时，求证：； (2)若对于恒成立，求的取值范围； (3)若存在，使得，求证：. 【典例】8．（2025·山东济南·一模）已知，函数，. (1)当时，求的极值； (2)若存在零点. （i）当时，求的取值范围； （ii）求证：. 【典例】9．（2025·山东烟台·一模）已知函数在处有极大值. (1)求实数的值； (2)若函数有三个不同的零点，求实数的取值范围. 【典例】10．（2025·广西·一模）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围； (3)证明：． 最新高频经典题（5题） 【典例】11．（2025·安徽·模拟预测）已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围. 【典例】12．（2025·湖北·二模）已知函数. (1)当时，讨论的单调性； (2)若，讨论方程的根的个数. 【典例】13．（2025·湖北·二模）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若有两个不同的零点，. （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）证明：. 【典例】14．（2025·四川成都·三模）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若有两个零点，为的导函数. （i）求实数的取值范围； （ii）记较小的一个零点为，证明：. 【典例】15．（2025·广东佛山·模拟预测）已知函数． (1)设，求的零点并判断的单调性； (2)若，且，证明： （i）； （ii）． 最新高考真题回顾（5题） 【典例】16．（2025·全国一卷·高考真题）（1）求函数在区间的最大值； （2）给定和，证明：存在使得； （3）设，若存在使得对恒成立，求b的最小值． 【典例】17．（2025·全国二卷·高考真题）已知函数，其中． (1)证明：在区间存在唯一的极值点和唯一的零点； (2)设分别为在区间的极值点和零点. （i）设函数.证明：在区间单调递减； （ii）比较与的大小，并证明你的结论． 【典例】18．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数 (1)若，且，求的最小值； (2)证明：曲线是中心对称图形； (3)若当且仅当，求的取值范围． 【典例】19．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 【典例】20．（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数． (1)当时，求的极值； (2)当时，，求的取值范围． 最新模考基础练（5题） 【典例】21．（2026·四川巴中·一模）已知在处取得极小值． (1)求在处的切线方程； (2)若，讨论零点的个数． 【典例】22．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）已知函数，且曲线在点处的切线与x轴平行． (1)求a，b； (2)求的极值点个数． 【典例】23．（2025·贵州毕节·模拟预测）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若恒成立，求的取值范围． 【典例】24．（2025·安徽蚌埠·模拟预测）已知函数，其中． (1)当时，求函数的图象在处的切线方程； (2)若恒成立，求a的取值范围． 【典例】25．（2025·辽宁·三模）已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若，证明：. 最新模考能力练（5题） 【典例】26．（2026·河北·模拟预测）设函数. (1)当时，求函数在点处的切线方程． (2)已知是函数的导函数，若恒成立，求的最大值． 【典例】27．（2026·河北沧州·一模）已知函数． (1)过原点是否存在一条直线与的图象相切？并说明理由； (2)当时． ①若，求的取值范围； ②证明：当时，． 【典例】28．（2026·河北邢台·一模）已知函数在处取得极小值. (1)求的值; (2)证明：时，. 【典例】29．（2025·安徽合肥·一模）已知函数. (1)求的单调区间； (2)若对于任意，总存在，使得，求的取值范围. 【典例】30．（2025·广东广州·模拟预测）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)若函数有三个零点，求的取值范围. 最新模考压轴练（5题） 【典例】31．（2026·河北沧州·一模）已知函数． (1)讨论的零点个数； (2)当时，证明：； (3)若，求的取值集合． 【典例】32．（2026·湖北·模拟预测）（1）已知函数. （i）若，求曲线在点处的切线方程； （ii）若时，恒成立，求的最大值； （2）不等式对任意的成立，求的取值范围. 【典例】33．（2025·湖北·模拟预测）已知函数，， (1)判断在上零点的个数并证明 (2)当，求证： 【典例】34．（2026·重庆·一模）设定义在上的可导函数满足，且. (1)用表示，并求的单调区间； (2)若，记在点处的切线为，证明:除切点外，曲线在上的图象位于切线上方； (3)证明:当时，. 【典例】35．（2026·湖北荆州·一模）设函数. (1)若对，成立，求实数a的取值范围； (2)（ⅰ）当时，比较与的大小； （ⅱ）证明；当，时，. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $