8.3 实数及其简单运算 第1课时 实数的概念-【绿卡初中创新题】2025-2026学年七年级下册数学同步教案(人教版·新教材)河北专版

该教案聚焦实数的概念、分类及与数轴的一一对应关系，通过让学生用计算器将有理数转化为小数，发现其有限或无限循环特征，进而引出无理数，搭建从有理数到实数的学习支架。 此资料以“数形结合”为核心亮点，通过在数轴上表示√2和π，培养学生几何直观与空间观念，问题链引导实数分类探究，发展推理意识与抽象能力，助力学生构建知识体系，提升教师教学效率与学生数学思维。

8.3 实数及其简单运算 第1课时 实数 课题 实数 课型 新授课 教学内容 教材第52~54页的内容 教学目标 1.了解无理数和实数的概念，会按要求对实数进行分类. 2.知道实数与数轴上的点具有一一对应的关系，体会“数形结合”思想． 教学重难点 教学重点：正确认识实数的概念，会对实数按照一定的标准进行分类； 教学难点：无理数概念的探究过程． 教 学 过 程 备 注 1.创设情境，引入课题 利用计算器，把下列有理数写成小数的形式，你发现了什么？ 4，，－，，，. 【师生活动】学生用计算器计算，主动阐述自己的发现，教师要充分引导，师生共同归纳得出结论：事实上，任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式．反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数． 2.类比探究，学习新知 【探究1】无理数与实数的概念 【问题1】小数除了有限小数和无限循环小数外，还会有什么类型？我们前两节学过的部分平方根、立方根，如，，能转化为什么小数？ 【师生活动】通过对数的归纳辨析，与有理数对照，师生共同归纳出前两节学过的很多平方根和立方根都是无限不循环小数，它们是一类不同于有理数的数，由此教师给出无理数的概念：无限不循环小数叫作无理数．进而指出：无理数不能写成两个整数之比（分数）的数，有理数和无理数统称实数. 像有理数一样，无理数也有正负之分，例如，，π是正无理数，－，－，－π是负无理数． 【探究2】实数的分类 【问题2】学习了实数的概念，同学们能否对我们学过的数进行分类呢？ 【师生活动】教师参与讨论，启发学生类比有理数的分类，明确分类的基本原则：按照某个标准，不重复，不遗漏．学生独立思考后进行小组讨论，教师进行总结： 实数 【追问】非0有理数和无理数都有正负之分，那么非0实数也有正负之分，你能按照与0的大小关系，对实数进行分类吗？ 【师生活动】学生得到下面的分类： 实数 【探究3】实数与数轴上的点的关系 【问题3】你能在数轴上找到表示无理数的点吗? 【师生活动】学生独立思考后小组讨论交流，教师利用教具在数轴上找出表示的点．如图，以单位长度为边长画一个正方形，以原点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与正半轴的交点就表示，与负半轴的交点就表示－． 【追问1】以单位长度为直径画一个圆，它的周长等于π．如图，从原点开始，将这个圆沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点O到达点O'，点O'对应的数是多少? 【师生活动】教师参与并指导实际操作，指出OO'的长是这个圆的周长π，所以点O'对应的数是π．这样，数轴上的点O'就表示无理数π． 老师进行最后总结：当数的范围从有理数扩充到实数后，每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．因此，实数与数轴上的点是一一对应的． 【追问2】在数轴上表示的有理数，右边的总比左边的大，在数轴上表示的实数是否有同样的性质？ 【师生活动】教师引导学生思考并进行总结：对于数轴上的任意两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大． 3.学以致用，应用新知 【例1】下列实数中，哪些是有理数？哪些是无理数？ 5，3.14，0，，－，－π，0.，，0.101 001 000 1…（相邻两个1之间依次多一个0）． 解：有理数：5，3.14，0，－，0.，； 无理数：，－π，0.101 001 000 1…（相邻两个1之间依次多一个0）． 【例2】判断下列说法是否正确，并说明理由． (1)无理数都是无限小数； (2)实数包括正实数、0、负实数； (3)不带根号的数都是有理数； (4）所有有理数都可以用数轴上的点表示，反过来，数轴上所有的点都表示有理数． 解：（1）（2）正确，（3）（4）错误． 4.随堂训练，巩固新知 （1）下列各数，是无理数的是（ ） A． B． C． D．0. 答案：A （2）下列说法正确的是( ) A．a一定是正实数 B．是有理数 C．2是有理数 D．数轴上任一点都对应一个有理数 答案：B （3）点A在数轴上和原点相距3个单位长度，点B在数轴上和原点相距个单位长度，则A，B两点之间的距离是 ． 答案：3± （4）在数轴上表示实数的点可能是点 ． 答案：M 5.课堂小结，自我完善 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答： （1）什么样的数是无理数？ （2）实数如何分类？ （3）实数与数轴上的点有什么关系？ 6.布置作业 课本P54练习，P57习题8.3第1，2，6，9题． 学生利用计算器将有理数转化为小数的形式，体会有理数都可以写成有限小数或无限不循环小数． 让学生回忆曾经学过的无限不循环小数是不同于有理数的数，并联系前面所学的部分平方根、立方根，为教师引出无理数的概念作准备． 通过学生互相的讨论和交流，可以加深对无理数和实数的理解，同时让学生明确实数的分类可以有不同的方法，初步形成对实数整体性的认识． 通过引导学生从熟悉的无理数入手,理解无理数也可以在数轴上表示,并通过具体的图形(如圆和正方形)帮助学生直观感受无理数的长度和表示方法,最终目的是让学生掌握实数与数轴上点的一一对应关系，提高数学理解和应用能力. 通过例题巩固学生课堂所学，加深对实数概念的理解． 帮助学生加深对所学知识的理解运用，在问题的选择上以基础为主，让学生灵活运用所学知识解决问题，巩固新知． 通过小结，帮学生梳理本节课所学内容，掌握实数的相关概念． 板书设计 实数 1. 无理数的概念：无限不循环小数叫作无理数． 2. 实数的概念：有理数和无理数统称实数. 3. 实数的分类 （1）按定义分 实数 （2）按正负分 实数 4. 实数与数轴的关系 提纲挈领，重点突出. 教后反思 反思教学过程和教师表现，进一步优化操作流程，提升自身素质. 学科网（北京）股份有限公司 $