精品解析：山东省青岛市市南区青岛超银中学2025-2026学年八年级上学期1月月考数学试题

2025-2026学年度1月质量检测 八年级数学 一、单选题 1. 在实数：，π，，，2π，，0.36，0.3737737773…（相邻两个3之间7的个数逐次加1），，中，无理数的个数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 2. 下列说法中正确的是（　　） （1）角平分线上任意一点到角的两边的距离相等；（2）角是轴对称图形； （3）线段不是轴对称图形（4）线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等． A. ①②③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ②③④ 3. 如图，平面直角坐标系中，已知矩形，为原点，点、分别在轴、轴上，点的坐标为，连接，将沿直线翻折，点落在点的位置，则的值是（ ） A. B. C. D. 4. 某校足球训练队开展体能测试，训练队共20人，小亮没有参加本次集体测试．老师对余下19人的测试成绩进行了统计分析，19人的平均分为90分，方差．后来小亮进行了补测，成绩恰为90分，该训练队20人的测试成绩与该队19人的测试成绩相比，下列说法正确的是（ ） A. 平均分和方差都不变 B. 平均分不变，方差变大 C. 平均分不变，方差变小 D. 平均分和方差都改变 5. 我国古代数学名著《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．设有客房x间，客人y人，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，以直角三角形两直角边为边长的两个正方形面积分别为25和144，则以斜边为边长的正方形面积为（ ） A. 60 B. 119 C. 169 D. 289 7. 如图，D为内一点，平分，，垂足为D，交于点E，．若，，则的长为（ ） A. B. C. 2 D. 1 8. 如图．在中，，．点E为边上一点，以每秒1单位的速度从点C出发，沿着的路径运动到点B为止．连接，以点C为圆心，长为半径作，与线段交于点D．设扇形面积为S，点E的运动时间为t．则在以下四个函数图象中，最符合扇形面积S关于运动时间t的变化趋势的是（ ） A. B. C. D. 9. 二次函数的图像与直线：有一个交点，与直线：有一个交点，与直线：有一个交点，……则与直线的一个交点的坐标是（　　） A. B. C. D. 二、填空题 10. 若点在x轴上，点在y轴上，则代数式的值是 _____． 11. 将一次函数的图象沿轴向下平移个单位后，得到的图象对应的函数关系式为______． 12. 二元一次方程组的解是____． 13. 如图，将矩形沿折叠，点D恰好落在边上的点F处，若，则值是_________． 14. 如图，已知等腰的顶角的大小为，点D为边上的动点（与、不重合），将绕点A沿顺时针方向旋转角度时点落在处，连接．给出下列结论：①；②；③当时，的面积取得最小值．其中正确的结论有________（填结论对应的序号）． 15. 如图，在平面直角坐标系中，直线l：y= 交x轴于点A，交y轴于点B，点A1、A2、A3，…在x轴上，点B1、B2、B3，…在直线l上．若△OB1A，△A1B2A2，△A2B3A3，…均为等边三角形，则△A5B6A6的面积是__． 三、解答题 16. 计算：． 17. （1）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C均在小正方形的顶点上． ①在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A'B'C′； ②在直线l上找一点P，使得△APC的周长最小； ③求△ABC的面积． （2）如图是5×5的正方形网格，请以DE为一边作两个位置不同的格点三角形(三角形的顶点在网格的交点上)，使所作的三角形(△DEB1、△EDB2)与△ABC全等． 18. “沱湖牌”河蟹被安徽省人民政府授予“安徽名牌农产品”称号，被中国渔业协会评定为“中国十大名蟹”．某商户为了解已经购买的1000只沱湖螃蟹的质量（单位：g）分布情况，从已购的1000只沱湖螃蟹中随机抽取50只螃蟹，所得到的数据如下表，已知表中实数x，y满足． 50只沱湖螃蟹的质量分布表 质量分组/g 频数 2 4 x y 8 14 4 （1）填空： ， ； （2）以下判断正确的是（ ） A.这组数据的众数a一定满足 B.这组数据的平均数b一定满足 C.这组数据的中位数c一定满足 （3）一般认为，当螃蟹质量不低于4两（即200g）时，就认定该螃蟹为优质螃蟹（不考虑其它因素），请估计，这批螃蟹大约有多少只优质螃蟹． 19. 已知方程是关于x，y的二元一次方程． （1）求m，n的值； （2）当时，求y的值． 20. 在物理课社团中，大家在测量一个小口圆柱形容器的壁厚时，大家大胆用到了数学知识发明了用“X型转动钳”．按如图方法进行测量，其中，，，只需测得，，就可以知道圆柱形容器的壁厚了． （1）请你利用所学习的数学知识说明； （2）求出圆柱形容器的壁厚．（用含有a，b的代数式表示） 21. 小王是某服装店的会员，他有一张会员卡，在该店购买的商品均按定价打9折（原价的90%）．元旦期间，他去服装店，发现店内正在举办元旦特惠活动：任选两件衣服，第二件打8折，如果两件衣服不同价，则按低价商品的价格打折，并且特惠活动不能使用会员卡．小王打算在该店同时购买两件衣服． （1）若小王按会员价需花费元，比参加特惠活动少花10元，则两件衣服的原价为多少元？ （2）若小王计算后发现使用会员卡与参加特惠活动两者的花费相差20元，则两件衣服的原价相差多少元？ 22. 在抗击“新冠肺炎”工作中，某医院研制了一种防治“新冠肺炎”的新药，在试验药效时发现，如果成人按规定的剂量服用，那么服药后2小时血液中含药量最高，达每毫升8微克（1微克毫克），接着逐步衰减，10小时时血液中含药量为每毫升3微克，每毫升血液中含药量（微克）随时间（小时）的变化如图所示，当成人按剂量服药后． （1）分别求出和时与之间的函数关系式； （2）如果每毫升血液中含药量为4微克或4微克以上时对治病是有效的，那么这个有效时间是多长？ 23. 如图1，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B在x轴上，以AB为边作等腰直角三角形ABC，使，，点C在第二象限． （1）若点，，且a、b满足，则______，______，点C的坐标为______； （2）如图2，过点C作轴于点M，AD平分∠BAC，交x轴于点D，交CM于点N，交BC于点P，求证：CP垂直平分DN； （3）试探究（2）中OM，OD与MN之间的关系，并说明理由． 24. （1）在如图所示的方格纸中，点P是的边上的一点，请完成下列各题： ①过点P画的垂线，垂足为M； ②在射线上找一点N，使得直线； （2）在上图中这三条线段大小关系是________________（用“<”号连接），并说明其中的数学理由：________________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度1月质量检测 八年级数学 一、单选题 1. 在实数：，π，，，2π，，0.36，0.3737737773…（相邻两个3之间7的个数逐次加1），，中，无理数的个数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【详解】解：，，＝，是分数，属于有理数；＝3，＝2，是整数，属于有理数；0.36是有限小数，属于有理数；无理数有：π，，2π，0.3737737773…（相邻两个3之间7的个数逐次加1）共4个． 故选：A． 【点睛】本题考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数． 2. 下列说法中正确的是（　　） （1）角平分线上任意一点到角的两边的距离相等；（2）角是轴对称图形； （3）线段不是轴对称图形（4）线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等． A. ①②③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ②③④ 【答案】C 【解析】 【详解】（1）角平分线上任意一点到角的两边的距离相等，故说法正确； （2）角是轴对称图形，角的平分线所在直线是它的对称轴，故说法正确； （3）线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴，故说法错误； （4）线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，符合线段垂直平分线的性质，故说法正确． 故选C． 3. 如图，平面直角坐标系中，已知矩形，为原点，点、分别在轴、轴上，点的坐标为，连接，将沿直线翻折，点落在点的位置，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、矩形与折叠的性质、勾股定理等知识． 过点D作轴于点F，设交y轴于点G，证明，可得，设，则，在中，利用勾股定理可得，，再由，可得，再利用勾股定理可得，即可求解． 【详解】解：过点D作轴于点F，设交y轴于点G， ∵四边形是矩形，点的坐标为， ∴， 由折叠的性质得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， 即，， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴． 故选：B 4. 某校足球训练队开展体能测试，训练队共20人，小亮没有参加本次集体测试．老师对余下19人的测试成绩进行了统计分析，19人的平均分为90分，方差．后来小亮进行了补测，成绩恰为90分，该训练队20人的测试成绩与该队19人的测试成绩相比，下列说法正确的是（ ） A. 平均分和方差都不变 B. 平均分不变，方差变大 C. 平均分不变，方差变小 D. 平均分和方差都改变 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了方差的定义，算术平均数．根据平均数，方差的定义计算即可． 【详解】解：小亮的成绩和其他19人的平均数相同，都是90分， 训练队20人的测试成绩的平均分为90分不变， 根据方差的计算公式， ， ， 可得方差变小了， 故选：C． 5. 我国古代数学名著《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．设有客房x间，客人y人，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组解决实际问题．根据“如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房”列方程组即可． 【详解】解：根据题意，得， 故选：C． 6. 如图，以直角三角形两直角边为边长的两个正方形面积分别为25和144，则以斜边为边长的正方形面积为（ ） A. 60 B. 119 C. 169 D. 289 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的运用，考查了正方形面积的计算，掌握勾股定理是解题的关键．根据正方形面积得出，，根据勾股定理得出即可得出答案． 【详解】解：如图所示， 由题意知，，，且， ∴． ∴以斜边为边长的正方形的面积是169． 故选：C． 7. 如图，D为内一点，平分，，垂足为D，交于点E，．若，，则的长为（ ） A. B. C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】由已知条件判定，得到，的等腰三角形，进而得到，由等角对等边判定，则易求． 【详解】解：∵平分，， ，， 在与中， ， ， ， 是等腰三角形， ， 又， 是等腰三角形， ， ， ∵，， ． 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质，等腰三角形的判定与性质．熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题的关键． 8. 如图．在中，，．点E为边上一点，以每秒1单位的速度从点C出发，沿着的路径运动到点B为止．连接，以点C为圆心，长为半径作，与线段交于点D．设扇形面积为S，点E的运动时间为t．则在以下四个函数图象中，最符合扇形面积S关于运动时间t的变化趋势的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，扇形的面积公式，数形结合思想等，分点E在、上运动，根据扇形的面积公式计算特殊位置时的S，然后逐项判断即可． 【详解】解：∵在中，，．点E以每秒1个单位的速度从点C出发， ∴当时，扇形面积， ∴前半段函数图象为开口向上的抛物线的一部分，故B选项错误； 当时，随着的增大，扇形的半径增大，而扇形的圆心角减小， ∴后半段函数图象不是抛物线，故C选项错误； ∵当时，点E、D重合， ∴扇形的面积为0，故D选项错误； 故选：A． 9. 二次函数的图像与直线：有一个交点，与直线：有一个交点，与直线：有一个交点，……则与直线的一个交点的坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】观察规律得：，，，，即可得到答案． 【详解】二次函数的图像与直线：有一个交点，即， 二次函数的图像与直线：有一个交点，即， 二次函数的图像与直线：有一个交点，即， 二次函数的图像与直线：一个交点的坐标是，即， 故选：A． 【点睛】本题考查了规律题：点的坐标，观察图形的能力和理解能力，解题的关键是根据点的坐标得出规律． 二、填空题 10. 若点在x轴上，点在y轴上，则代数式的值是 _____． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标，根据点在x轴上，纵坐标为0，点在y轴上，横坐标为0，求出m和n的值，进而求出代数式的值； 【详解】点在x轴上，点在y轴上， ，， ， ， 故答案为：0 11. 将一次函数的图象沿轴向下平移个单位后，得到的图象对应的函数关系式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象与几何变换，根据“上加下减”的平移规律解答即可． 【详解】解：将一次函数的图象沿轴向下平移个单位后，得到的图象对应的函数关系式为，即． 故答案为：． 12. 二元一次方程组的解是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，直接利用代入消元法解方程组即可得到答案． 【详解】解： 把①代入②得，解得， ∴原方程组的解为， 故答案为：． 13. 如图，将矩形沿折叠，点D恰好落在边上的点F处，若，则值是_________． 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查矩形折叠问题，解直角三角形，熟练掌握折叠的性质与正切三角函数的定义是解题的关键. 根据，以及折叠的性质表示出三角形的各边长，然后利用正切三角函数的定义求解即可． 【详解】解：由折叠可得：， ∵矩形， ∴， 又∵， ∴在中，设，， 则， ∴． 14. 如图，已知等腰的顶角的大小为，点D为边上的动点（与、不重合），将绕点A沿顺时针方向旋转角度时点落在处，连接．给出下列结论：①；②；③当时，的面积取得最小值．其中正确的结论有________（填结论对应的序号）． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】依题意知，和是顶角相等的等腰三角形，可判断②；利用SAS证明， 可判断①；利用面积比等于相似比的平方，相似比为，故最小时面积最小，即，等腰三角形三线合一，D为中点时 . 【详解】∵绕点A沿顺时针方向旋转角度得到 ∴， ∴ 即 ∴ ∵ 得：（SAS） 故①对 ∵和是顶角相等的等腰三角形 ∴ 故②对 ∴ 即AD最小时最小 当时，AD最小 由等腰三角形三线合一，此时D点是BC中点 故③对 故答案为：①②③ 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，手拉手模型，选项③中将面积与相似比结合是解题的关键 . 15. 如图，在平面直角坐标系中，直线l：y= 交x轴于点A，交y轴于点B，点A1、A2、A3，…在x轴上，点B1、B2、B3，…在直线l上．若△OB1A，△A1B2A2，△A2B3A3，…均为等边三角形，则△A5B6A6的面积是__． 【答案】768. 【解析】 【分析】首先求得点A与B的坐标，即可求得∠OAB的度数，又由△OA1B1、△A1B2A2、△A2B3A3…均为等边三角形，易求得OB1=OA=，A1B1=A1A，A2B2=A2A，则可得规律：OAn=（2n﹣1）．根据A5A6=OA6﹣OA5求得△A5B6A6的边长，进而求得 【详解】解：∵点A（﹣，0），点B（0，1），∴OA=，OB=1，∴tan∠OAB==，∴∠OAB=30°． ∵△OA1B1、△A1B2A2、△A2B3A3…均为等边三角形，∴∠A1OB1=∠A2A1B2=∠A3A2B3=60°，∴∠OB1A=∠A1B2A=∠A2B3A=∠OAB=30°，∴OB1=OA=，A1B2=A1A，A2B3=A2A，∴OA1=OB1=，OA2=OA1+A1A2=OA1+A1B2=+2=3，同理：OA3=7，OA4=15，OA5=31，OA6=63，则A5A6=OA6﹣OA5=32． 则△A5B6A6的面积是768． 故答案为768． 【点睛】本题考查了一次函数的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质以及三角函数的知识．此题难度较大，注意掌握数形结合思想的应用． 三、解答题 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数混合运算，涉及零指数幂、绝对值运算及特殊角的三角函数值，熟练掌握相关运算法则是解决问题的关键． 先运用零指数幂、绝对值运算及特殊角的三角函数值求解，再由二次根式混合运算求解即可得到答案． 【详解】解： 17. （1）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C均在小正方形的顶点上． ①在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A'B'C′； ②在直线l上找一点P，使得△APC的周长最小； ③求△ABC的面积． （2）如图是5×5的正方形网格，请以DE为一边作两个位置不同的格点三角形(三角形的顶点在网格的交点上)，使所作的三角形(△DEB1、△EDB2)与△ABC全等． 【答案】 解：（1）①：如图，△A'B'C'即为所求； ②如图，点P即为所求； ③ （2）如图，是所作的三角形， 【解析】 【分析】（1）①根据轴对称的性质即可画出△A'B'C'； ②连接交直线l于点P，即可使得△APC的周长最小；③利用长方形的面积减去周围三角形的面积即可； （2）把向右边平移两个单位，再向下平移3个单位，得 再把沿直线DE对折得到，从而可得答案． 【详解】（1）①②略 ③△ABC的面积=． （2）略 【点睛】本题考查的是平移的作图，轴对称的作图，三角形的面积的计算，全等三角形的概念，利用平移与轴对称的性质作图是解本题的关键． 18. “沱湖牌”河蟹被安徽省人民政府授予“安徽名牌农产品”称号，被中国渔业协会评定为“中国十大名蟹”．某商户为了解已经购买的1000只沱湖螃蟹的质量（单位：g）分布情况，从已购的1000只沱湖螃蟹中随机抽取50只螃蟹，所得到的数据如下表，已知表中实数x，y满足． 50只沱湖螃蟹的质量分布表 质量分组/g 频数 2 4 x y 8 14 4 （1）填空： ， ； （2）以下判断正确的是（ ） A.这组数据的众数a一定满足 B.这组数据的平均数b一定满足 C.这组数据的中位数c一定满足 （3）一般认为，当螃蟹质量不低于4两（即200g）时，就认定该螃蟹为优质螃蟹（不考虑其它因素），请估计，这批螃蟹大约有多少只优质螃蟹． 【答案】（1）6，12 （2）C （3）这批螃蟹大约有520只优质螃蟹 【解析】 【分析】（1）根据题意列方程组求解即可； （2）根据众数，平均数，中位数的计算方式求解即可； （3）利用样本中螃蟹质量不低于4两（即200g）的百分比求解． 【小问1详解】 解：由题意可得：， 解得：， 故答案为：6，12； 【小问2详解】 由不知每只螃蟹的质量，则无法求解众数及平均数，故A、B不符合题意； 50只螃蟹的质量中位数应为第25只和第26只的中位数， ∵第25只和第26只质量在组内， ∴这组数据的中位数c一定满足，故C符合题意； 故选：C； 【小问3详解】 由题意可得：（只）， 答：这批螃蟹大约有520只优质螃蟹． 【点睛】本题考查众数，中位数，平均数，利用样本估计总体及列二元一次方程组求解，熟悉相关定义，利用二元一次方程组求得，是解决问题的关键． 19. 已知方程是关于x，y的二元一次方程． （1）求m，n的值； （2）当时，求y的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，二元一次方程的解，解题的关键在于熟知形如（a、b、c为常数且）的方程叫做二元一次方程，二元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值． （1）根据二元一次方程的定义进行求解即可； （2）根据（1）所求可得原方程为，把代入该方程求出y的值即可． 【小问1详解】 解：∵方程是关于x，y的二元一次方程， ∴， ． 【小问2详解】 解：由（1）知，， ∴原方程可化为． 当时，， 解得． 20. 在物理课社团中，大家在测量一个小口圆柱形容器的壁厚时，大家大胆用到了数学知识发明了用“X型转动钳”．按如图方法进行测量，其中，，，只需测得，，就可以知道圆柱形容器的壁厚了． （1）请你利用所学习的数学知识说明； （2）求出圆柱形容器的壁厚．（用含有a，b的代数式表示） 【答案】（1） 连接， 在和中， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，只要证明，可得，即可解决问题； （2）利用（1）中所求即可得出圆柱形容器的壁厚． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知， 则 ∵， ∴圆柱形容器的壁厚是 【点睛】本题考查全等三角形的应用，解题的关键是利用全等三角形的性质解决实际问题．属于中考常考题型． 21. 小王是某服装店的会员，他有一张会员卡，在该店购买的商品均按定价打9折（原价的90%）．元旦期间，他去服装店，发现店内正在举办元旦特惠活动：任选两件衣服，第二件打8折，如果两件衣服不同价，则按低价商品的价格打折，并且特惠活动不能使用会员卡．小王打算在该店同时购买两件衣服． （1）若小王按会员价需花费元，比参加特惠活动少花10元，则两件衣服的原价为多少元？ （2）若小王计算后发现使用会员卡与参加特惠活动两者的花费相差20元，则两件衣服的原价相差多少元？ 【答案】（1）两件衣服的原价分别为元，元； （2）两件衣服原价相差元 【解析】 【分析】此题考查了一元一次方程的应用． （1）设低价衣服的原价为元，则高价衣服原价为元，小王按会员价需花费元，比参加特惠活动少花10元，据此列方程，解方程即可得到答案； （2）设两件衣服原价相差元，低价衣服原价为元，则高价衣服原价为元，小王计算后发现使用会员卡与参加特惠活动两者的花费相差20元，据此列方程解方程即可． 【小问1详解】 解：设低价衣服的原价为元，则高价衣服原价为元， 则 解得 ∴（元） 答：两件衣服的原价分别为元，元； 【小问2详解】 设两件衣服原价相差元，低价衣服原价为元，则高价衣服原价为元， 根据题意得到， 解得 解得 答：两件衣服原价相差元 22. 在抗击“新冠肺炎”工作中，某医院研制了一种防治“新冠肺炎”的新药，在试验药效时发现，如果成人按规定的剂量服用，那么服药后2小时血液中含药量最高，达每毫升8微克（1微克毫克），接着逐步衰减，10小时时血液中含药量为每毫升3微克，每毫升血液中含药量（微克）随时间（小时）的变化如图所示，当成人按剂量服药后． （1）分别求出和时与之间的函数关系式； （2）如果每毫升血液中含药量为4微克或4微克以上时对治病是有效的，那么这个有效时间是多长？ 【答案】（1）y1=（），；（2）7.4小时 【解析】 【分析】（1）根据题意和图象可分别求出x≤2和x≥2时y与x之间的函数关系式； （2）将y≥4，分别求出x的取值范围，便可得出这个药的有效时间． 【详解】（1）设x≤2时y与x之间的函数关系式为y1=kx， 将（2，8）代入y1=kx， 解得k=4， 故x≤2时y与x之间的函数关系式为y1=4x（0≤x≤2）， 设x2时y与x之间的函数关系式为y2=kx+b， 将（2，8），（10，3）代入y2=k1x+b得， 解得：， 故当x2时y与x之间的函数关系式为y2=-0.625x+9.25（）； （2）令y1≥4，即4x≥4，解得x≥1， 令y2≥4，即-0.625x+9.25≥4，解得x≤8.4， 综合以上答案可得这个有效时间为1≤x≤8.4，即7.4个小时． 【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，解答一次函数的应用问题中，要注意自变量的取值范围还必须使实际问题有意义，解答要注意数形结合思想的运用． 23. 如图1，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B在x轴上，以AB为边作等腰直角三角形ABC，使，，点C在第二象限． （1）若点，，且a、b满足，则______，______，点C的坐标为______； （2）如图2，过点C作轴于点M，AD平分∠BAC，交x轴于点D，交CM于点N，交BC于点P，求证：CP垂直平分DN； （3）试探究（2）中OM，OD与MN之间的关系，并说明理由． 【答案】（1）6，3， （2） 证明：∵，AD平分∠BAC， ，， ， 轴， 轴， ， 在和中，， ， ， ， 垂直平分； （3） 解：，理由如下： 轴， ， ， ， 在中，， 又， ， 在和中，， ， ，， ， ， ∵由（2）已证， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）由算术平方根和偶次方的非负性质得，且，则，，过作于，证，得，，则，因此； （2）由等腰三角形的性质得，，再证，得，即可证明结论； （3）证，得，，由（2）知，则，从而证明，即可得出结论． 【小问1详解】 解：、满足， ， ，且， ，， 、， ，， 过作于，如图所示： 则， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 故答案为：6，3，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、坐标与图形性质、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定、平行线的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型． 24. （1）在如图所示的方格纸中，点P是的边上的一点，请完成下列各题： ①过点P画的垂线，垂足为M； ②在射线上找一点N，使得直线； （2）在上图中这三条线段大小关系是________________（用“<”号连接），并说明其中的数学理由：________________． 【答案】（1）①如图，即为所求； ②如图，即为所求． （2）；垂线段最短． 【解析】 【分析】本题考查作图—应用与设计作图、垂线、垂线段最短等知识点，理解题意、灵活运用所学知识是解题的关键． （1）①根据垂线的定义画图即可；②根据垂线的定义画图即可． （2）结合垂线段最短进行解答即可． 【详解】解：（1） 略 （2）由图可得，． 数学理由为：垂线段最短． 故答案为：；垂线段最短． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $