精品解析：北京市西城区2025-2026学年九年级上学期期末数学试卷

北京市西城区2025—2026学年度第一学期期末试卷 九年级数学 2026．1 注意事项 1．本试卷共7页，共两部分，28道题．满分100分．考试时间120分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名和学号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，请将考试材料一并交回． 第一部分选择题 一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 二次函数的最小值是（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，将二次函数解析式写为，即可得出结果，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵二次函数为，且， ∴当时，二次函数的值最小为， 故选：A． 2. 什锦窗是中国北方古典园林建筑游廊或宅院中的装饰性窗型．下列各图是某园林中的什锦窗照片抽象成的几何图形，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意， C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：B． 3. 如图，四边形是的内接四边形，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，先根据圆内接四边形的性质求出，再由圆周角定理即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 4. 在平面直角坐标系中，将抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查抛物线平移的顶点变化，掌握“左加右减，上加下减”的规律是解答本题的关键． 根据抛物线平移规律，求出平移后的解析式，进而可得出平移后抛物线的顶点坐标． 【详解】解：抛物线向右平移1个单位长度得，再向下平移2个单位长度得， ∴新顶点坐标为． 故选C． 5. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为（ ） A. B. C. 1 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根据方程有两个相等的实数根，得到，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：． 故选：B． 6. 某手机两年前出厂时的待机时长为100小时，由于运行负荷不断增加及电池老化等原因，现在该手机待机时长变为64小时，设该手机待机时长的年平均下降率为，则满足的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，年平均下降率意味着每年待机时长按相同比例减少，两年后待机时长计算公式为初始值乘以(下降率)的平方，据此列方程即可． 【详解】解：∵初始待机时长为100小时，年平均下降率为x， ∴一年后待机时长为，两年后待机时长为， ∴． 故选B． 7. 下列说法正确的是（ ） A. “通常加热到时，水沸腾”是随机事件 B. 重复抛掷同一枚矿泉水瓶盖50次，发现这枚瓶盖落地后盖面向上的次数为20次，盖面向下的次数为30次，由此估计抛掷这枚瓶盖落地后盖面向上的概率为 C. 抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为．在某次试验中，小明前三次抛掷硬币的过程中有1次正面朝上，2次正面朝下，那么第四次抛掷该硬币一定是正面朝上 D. 小东通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计出自己投中的概率为．在接下来的投篮练习中，小东10次投篮可能投中3次 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查概率与事件的概念，A选项为必然事件，B选项频率与概率不符，C选项忽略独立性，D选项符合概率的意义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解： A、水在标准大气压下加热到必然沸腾，是必然事件，不是随机事件，故A错误； B、盖面向上的频率为，但估计概率为，与频率不符，故B错误； C、抛掷硬币每次独立，第四次结果不确定，不一定是正面朝上，故C错误； D、概率0.4表示每次投篮投中的可能性，10次投篮可能投中3次，符合概率的随机性，故D正确； 故选：D． 8. 在半径为2的中，点M为弦的中点，点P是平面内一点，且．下列说法正确的是（ ） A. 若，则长的取值范围是 B. 若，则的长可以是 C. 若，则长的最小值是 D. 若，则长的最大值是 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理、三角形的三边关系和勾股定理的应用，正确的画出图象是解决本题的关键． 根据垂径定理可得，且，设，则，当时，M轨迹为圆，求出范围；当时，可得点M在以P为圆心、2为半径的圆上，且M在圆内，结合三角形三边关系可得，再根据和求解即可． 【详解】解：∵半径为2，点M为弦中点， ∴，且， 设，则， 若，则，， ∵， ∴为P到M的距离，如下图， ∴，， ∴不成立，A选项错误，不符合题意； ∵， ∴不可以为，B选项错误，不符合题意； 若，， 由题意得，点M在以P为圆心、2为半径的圆上（），且M在圆内，如图， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， 得，； 由， ∵， ∴， ∴，最大值为， ∴C选项错误，不符合题意； ∴D选项正确，符合题意． 故选D． 第二部分非选择题 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 在平面直角坐标系xOy中，点关于原点的对称点是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标规律，根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标均互为相反数求解即可． 【详解】解：点关于原点的对称点为， 因此点关于原点的对称点的横坐标为，纵坐标为， 故对称点为． 故答案为 10. 方程的解是______． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，通过因式分解法求解，选择合适的方法进行计算是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∴，， 故答案为：，． 11. 已知的半径点在内,则_________（填>或=，<） 【答案】< 【解析】 【分析】根据点与圆的位置关系，即可求解. 【详解】解：的半径为 点在内， ． 故答案为:． 【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系. 12. 若一个扇形的圆心角是，半径为1，则它的弧长是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了求弧长，直接根据扇形的弧长公式进行计算，熟练掌握弧长公式是解此题的关键． 【详解】解：∵一个扇形的圆心角是，半径为1， ∴它的弧长是， 故答案为：． 13. 如图，在平面直角坐标系中，半径为4的正六边形的中心为点O，顶点F，C在x轴上，顶点E的坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正多边形与圆、等边三角形的判定与性质、勾股定理，连接，作轴于点，由正多边形的性质可得，，从而可得为等边三角形，由等边三角形的性质可得，再由勾股定理计算，然后根据点E所在象限即可写出坐标，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图：连接，作轴于点， ∵在平面直角坐标系中，半径为4的正六边形的中心为点O， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴顶点E的坐标是， 故答案为：． 14. 已知二次函数满足条件：①图象过点；②当时，y随x的增大而增大，写出一个满足上述所有条件的二次函数的解析式_____． 【答案】答案不唯一， 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征，能熟记二次函数的性质是解此题的关键．此题是一道开放型的题目，答案不唯一，只要写出一个符合二次函数的性质和已知条件的一个函数解析式即可． 【详解】解：当时，函数值随自变量的增大而增大， 二次函数顶点的横坐标，不妨取，抛物线开口向下，， 设函数的解析式是， 函数的图象经过点， 把代入得：， 即， 取， 所以函数的解析式可以是， 故答案：（答案不唯一）． 15. 如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点A．将直线绕点A逆时针旋转得到直线，设直线与y轴的交点为B，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质、等腰三角形的判定与性质、解直角三角形，令直线与轴交于点，求出得出，再结合旋转的性质可得，最后解直角三角形即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图：令直线与轴交于点， ∵直线：， ∴当时，，即， 当时，，解得，即， ∴， ∴， ∵将直线绕点A逆时针旋转得到直线， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 16. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，下面有四个结论： ①； ②； ③若点在该抛物线上，则方程的两个根为，； ④过点作x轴的垂线，交该抛物线于点B，交直线于点C，若线段的长度随的增大而减小，则的取值范围是． 其中所有正确结论的序号是_____． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质、待定系数法求解析式、二次函数与一元二次方程的关系以及函数图象上点的坐标特征．解题的关键是根据已知条件求出抛物线解析式中系数的关系，并结合函数性质对每个结论进行逐一验证．由抛物线经过原点可得，代入点坐标得；由知；点在抛物线上则，方程化为，根为1和；长度为，分析单调性得当时，随增大而减小． 【详解】解：抛物线经过点，代入得；经过点，代入得，解得，故①正确； ，故②错误； 点在抛物线上，则，方程，即，除以得，解得或，故③正确； 过点作轴垂线，交抛物线于点，交直线于点，则， 当时，，，该二次函数开口向下，对称轴为，在时，随的增大而减小；当时，，该二次函数开口向上，对称轴为，当时，随的增大而增大；故随t增大而减小当且仅当，故④正确． 故答案为：①③④． 三、解答题（共68分，第17-20题每题5分，第21题6分，第22题5分，第23-24题每题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 解方程：x2﹣2x﹣6＝0． 【答案】x1＝1+，x2＝1﹣． 【解析】 【分析】根据一元二次方程的配方法解题即可. 【详解】解：x2﹣2x﹣6＝0， x2﹣2x＝6， x2﹣2x+1＝1+6， （x﹣1）2＝7， x﹣1＝±， x1＝1+，x2＝1﹣． 【点睛】本题考查医院二次方程的配方法,关键在于掌握配方法步骤. 18. 已知：如图1，点是的边上一点． 求作：，使得与的两边，相切，且点在上． 作法：如图2， ①过点作，交于点H； ②作的平分线，交于点O； ③以点O为圆心，的长为半径作圆． 则即为所求作的圆、 根据上面设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，依作法在图2中补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：作于点C． ∵于点，是半径， ∴是的切线（_______）（填推理的依据）． ∵平分，，， ∴__________． ∴是的半径． ∴_____是的切线． ∴与的两边和相切，且点B在上． 【答案】（1）见解析 （2）经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线：，； 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定与性质，角平分线的性质定理，尺规作图，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据题意补全图形即可； （2）由题意可得是的切线，由角平分线的性质定理可得．从而可得是的半径．进而得出是的切线，即可得证． 【小问1详解】 解：补全图形，如图所示： 【小问2详解】 证明：作于点C， ， ∵于点，是的半径， ∴是的切线（经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线） ∵平分，，， ∴． ∴是的半径． ∴是的切线． ∴与的两边和相切，且点B在上． 19. 已知二次函数． （1）将化成的形式； （2）在平面直角坐标系中画出此函数的图象； （3）当时，结合图象，直接写出y的取值范围． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了将二次函数解析式化为顶点式，画二次函数图象，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）将二次函数解析式化为顶点式即可得出结果； （2）用描点法画出函数图象即可； （3）结合函数图象即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵， 故将化成的形式为； 【小问2详解】 解：由（1）可得，该二次函数的顶点为， 令，， 解得：或， 故该二次函数与轴的交点为和， 当时，， 故该二次函数与轴的交点为， ∵该二次函数的对称轴为直线， ∴二次函数与轴的交点关于对称轴对称的点的坐标为， 描点、画出函数图象如图所示： 【小问3详解】 解：当时，结合图象，y的取值范围为． 20. 不透明的箱子中有5件同型号的产品，其中3件是一等品，2件是二等品．将3件一等品分别记为A，B，C；2件二等品分别记为D，E． （1）从这个箱子中随机抽取1件进行检测，不放回，再随机抽取1件进行检测．请用列举法求两次抽到的产品都是一等品的概率； （2）向这个箱子中加入若干件同型号的一等品，进行如下试验：随机抽取1件进行检测，然后放回．大量重复这个试验，若发现抽到的产品是一等品的频率稳定在0.9，求加入的一等品约为多少件． 【答案】（1） （2）加入一等品的件数约为15件 【解析】 【分析】本题考查了列表法求概率，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． （1）列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可； （2）设加入一等品的件数约为x件．由题意可估计抽到的产品是一等品的频率稳定在0.9，再根据概率公式计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：从这5件产品中随机抽取1件进行检测，不放回，再随机抽取1件进行检测，所有可能的结果如下： 由上表可以看出，从这5件产品中随机抽取1件进行检测，不放回，再随机抽取1件进行检测，可能出现的结果有20种，并且它们出现的可能性相等，其中两次抽到的产品都是一等品有6种结果，即，，，，，， ∴两次抽到的产品都是一等品的概率为． 【小问2详解】 解：设加入一等品的件数约为x件． 由题意可估计抽到的产品是一等品的频率稳定在0.9， ∴． 解得，且符合题意． 答：加入一等品的件数约为15件． 21. 如图，是的直径，弦于点E．若，，求的半径． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，连接，设的半径为r，则．由垂径定理可得，，再由勾股定理计算即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图：连接， 设的半径为r， ∵， ∴． ∵是的直径，弦于点E，， ∴，． ∵在中，，且， ∴． 解得． 即的半径为． 22. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若m是正整数，方程的两个实数根都是整数，求m的值． 【答案】（1）见解析 （2）或3 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，因式分解法解一元二次方程，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据一元二次方程根的判别式计算得出，即可得证； （2）先利用因式分解法方程可得，，再结合题意分析即可得出结果． 【小问1详解】 证明： ． ∵， ∴． ∴方程总有两个实数根． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴或， 解得，． ∵m是正整数，方程的两个实数根都是整数， ∴或3． 23. 如图，将绕点B顺时针旋转得到，且满足点A，C，D在同一条直线上．连接交于点P，F是延长线上一点，连接． （1）求的度数； （2）若，求证：． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的判定： （1）根据旋转的性质可得，，从而得到，，进而得到，即可解答； （2）根据旋转的性质可得，，从而得到，再结合三角形外角的性质可得，即可解答． 【小问1详解】 解：∵将绕点B顺时针旋转得到， ∴，． ∴，． ∵点A，C，D同一条直线上， ∴． ∴． ∴． 【小问2详解】 证明：∵将绕点B顺时针旋转得到， ∴，． ∴． ∴． ∵，，， ∴． ∴． 24. 如图，为的直径，点D为弦的中点，连接并延长交于点E，过点B作的切线交的延长线于点F．记与的交点为G． （1）求证：； （2）若点G为的中点，的半径为3，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的综合题，涉及了垂径定理，切线的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质： （1）根据垂径定理可得，从而得到，再由切线的性质可得，即可解答； （2）连接，证明，可得，再由垂径定理可得，，根据勾股定理可得，进而得到，，再证明，即可解答． 【小问1详解】 证明：∵是半径，点D为弦的中点， ∴． ∴． ∴． ∵切于点B，且为的半径， ∴． ∴． ∴． 【小问2详解】 解：如图，连接． ∵是的直径， ∴． ∵点G为的中点， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵点O为的中点，点D为的中点， ∴，． ∵， ∴． ∵在中，， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∵在中，， 在中，， ∴， ∴． 25. 如图1，为了丰富学生的课余生活，某校九年级组织开展跳长绳活动．如图2，假设两名摇绳的学生握绳的手A，B之间的水平距离为，当手A，B与地面的距离均为时，绳子的最高点C与地面的距离为，此时绳子的形状可以看作是抛物线的一部分．建立平面直角坐标系，设该抛物线表示的二次函数为．当摇绳两端握绳的手同时向上平移时，绳子整体也相应向上平移且形状不变． （1）求该抛物线表示的二次函数； （2）如果参加跳长绳活动的学生身高均为，且相邻学生站位间隔均为，除摇绳的学生外，求最多有多少名学生能同时参加跳长绳活动； （3）由于还有1名学生没能同时参加跳长绳活动，在（2）的情况下，若加入这名学生，在不改变摇绳的学生手A，B之间的水平距离和绳长的情况下，只需将手A，B同时向上平移，直接写出h的最小值（精确到0.01）． 【答案】（1） （2）最多有9名学生能同时参加跳长绳活动 （3）0.05 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． （1）由题意并结合图象可得二次函数的顶点坐标为，二次函数的解析式为，将代入可得，计算即可得出结果； （2）在中，当时，，求得或，从而可得与轴的两交点间的水平距离为，再求出间隔数，即可得出结果； （3）抛物线上移后，解析式为，求出总水平距离为，令，则，求出水平距离为，由题意可得，求解即可得出结果． 【小问1详解】 解：由题意可得：，，， 由图象可得：二次函数的顶点坐标为， ∴二次函数的解析式为， 将代入可得， 解得：， ∴该抛物线表示的二次函数为； 【小问2详解】 解：在中，当时，， 解得：或， ∴与轴的两交点间的水平距离为， ∵相邻学生站位间隔均为， ∴间隔数为，取整数部分， ∴人数（人）， 故最多有9名学生能同时参加跳长绳活动； 【小问3详解】 解：抛物线上移后，解析式为， ∵需要容纳人， ∴总水平距离为， 令，则， 解得：或， ∴水平距离为， 由题意可得：， 解得：， ∴h的最小值为． 26. 在平面直角坐标系中，点，是抛物线上两个不同的点． （1）当时，求的值； （2）若对于，，都有，求的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）求出抛物线的对称轴为直线，再结合得出点，关于直线对称，即可得出结果； （2）分两种情况：若，则；若，则；结合二次函数的增减性，计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵抛物线解析式为 ∴抛物线的对称轴为直线． ∵， ∴点，关于直线对称． ∴． 【小问2详解】 解：若，则． 当时，y随着x的增大而减小；当时，y随着x的增大而增大． ∵当，时，总成立，且是关于对称轴的对称点的横坐标， ∴或． ∴． 若，则． 当时，y随着x的增大而增大；当时，y随着x的增大而减小． ∵当，时，总成立，且是关于对称轴的对称点的横坐标， ∴或． ∴． 综上，的取值范围是或． 27. 在中，，，点D是边上一点，点E在的延长线上，且．将射线绕点A逆时针旋转得到射线，作，垂足为F，连接，． （1）如图1，当时，求的度数； （2）如图2，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】（1） （2），理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由等腰直角三角形的性质可得，结合题意可得，再由等边对等角并结合三角形外角的定义及性质得出，由旋转的性质可得，求出，即可得出结果； （2）作，，连接，．由等腰直角三角形的性质可得，再证明．得出，．再证明．得出，即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵，， ∴． ∵，， ∴． ∴， ∵， ∴． ∵射线绕点A逆时针旋转得到射线， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 【小问2详解】 解：线段与的数量关系：． 证明：如图，作，，连接，． ∴，． ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴，． ∵，， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 28. 对于点P和，若存在以点P为中点且长度为2的线段与有两个不同的公共点，则称点P是的关联点，且两个公共点间距离的最大值是点P关于的关联值． 在平面直角坐标系中， （1）若的半径为1，则在点，，中，点____是的关联点，其关联值是____； （2）若的半径为，直线，点T为l上一点， ①当时，若点T是的关联点，则点T的横坐标的取值范围是_____； ②若直线l上存在长度为1的线段，使得上的所有点都是的关联点，且关联值均不超过1，直接写出m的取值范围． 【答案】（1）A，1 （2）①，② 【解析】 【分析】（1）根据题中定义对于A、B、C分别作以1为半径的圆，进而得出的直径能与存在两个交点，从而求得关联值； （2）①当时求得直线l的表达式，再根据题意分析出与的交点情况，进而得出此时点T的横坐标t的取值范围； ②根据题意可得出当点T在内时，关联值一定大于的半径1，此时，得出点T的轨迹是以点O为圆心，半径分别为与2的圆环（外圆不取等），要使得直线l存在长度为1的线段，需找出临界状态，此时分情况讨论得出m的值，进而求得m的取值范围． 【小问1详解】 解：∵对于P为中点，且长度为2的， ∴为以点P为圆心，1为半径的的直径， 如图，对于A、B、C分别作以1为半径的圆， 此时的直径能与存在两个交点， ∴点A是的关联点，关联值为1， 故答案为：A，1． 【小问2详解】 解：①当时，直线， 若点T在内部，当内含于时，不存在公共点， 如图，当点M与点N分别在上时，， ∴，，， ∴， 如图，当点T在上时，点M与点N在有交点且， 如图，当点T在外，且与相切时，与只有一个交点， 此时，， ∴，即， 综上所述，点T的横坐标t的取值范围是， 故答案为：． ②由题意知，要使点T是的关联点，且关联值均不超过1， ∴当点T在内时，关联值一定大于的半径1， ∴， ∴点T的轨迹是以点O为圆心，半径分别为与2的圆环（外圆不取等）， 要使得直线l存在长度为1的线段，需找出临界状态， ①如图，当直线l与半径为的圆相切时， ∴， ∴， 此时能使得， ②如图，当直线l与半径为2的圆刚好所截的弦长为时， 此时点O到距离为， ∴， 综上所述，m的取值范围是． 【点睛】本题考查了新定义问题的理解与应用，圆的性质，线段最值及勾股定理等知识点，解答时注意利用数形结合的方法． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市西城区2025—2026学年度第一学期期末试卷 九年级数学 2026．1 注意事项 1．本试卷共7页，共两部分，28道题．满分100分．考试时间120分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名和学号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，请将考试材料一并交回． 第一部分选择题 一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 二次函数的最小值是（ ） A. B. 2 C. D. 3 2. 什锦窗是中国北方古典园林建筑游廊或宅院中的装饰性窗型．下列各图是某园林中的什锦窗照片抽象成的几何图形，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，四边形是的内接四边形，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，将抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 若关于x一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为（ ） A. B. C. 1 D. 4 6. 某手机两年前出厂时的待机时长为100小时，由于运行负荷不断增加及电池老化等原因，现在该手机待机时长变为64小时，设该手机待机时长的年平均下降率为，则满足的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 下列说法正确的是（ ） A. “通常加热到时，水沸腾”是随机事件 B. 重复抛掷同一枚矿泉水瓶盖50次，发现这枚瓶盖落地后盖面向上的次数为20次，盖面向下的次数为30次，由此估计抛掷这枚瓶盖落地后盖面向上的概率为 C. 抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为．在某次试验中，小明前三次抛掷硬币的过程中有1次正面朝上，2次正面朝下，那么第四次抛掷该硬币一定是正面朝上 D. 小东通过大量重复定点投篮练习，用频率估计出自己投中的概率为．在接下来的投篮练习中，小东10次投篮可能投中3次 8. 在半径为2的中，点M为弦的中点，点P是平面内一点，且．下列说法正确的是（ ） A. 若，则长的取值范围是 B. 若，则的长可以是 C. 若，则长的最小值是 D. 若，则长的最大值是 第二部分非选择题 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 在平面直角坐标系xOy中，点关于原点的对称点是_______． 10. 方程的解是______． 11. 已知的半径点在内,则_________（填>或=，<） 12. 若一个扇形的圆心角是，半径为1，则它的弧长是______． 13. 如图，在平面直角坐标系中，半径为4的正六边形的中心为点O，顶点F，C在x轴上，顶点E的坐标是_____． 14. 已知二次函数满足条件：①图象过点；②当时，y随x的增大而增大，写出一个满足上述所有条件的二次函数的解析式_____． 15. 如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点A．将直线绕点A逆时针旋转得到直线，设直线与y轴的交点为B，则______． 16. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，下面有四个结论： ①； ②； ③若点在该抛物线上，则方程的两个根为，； ④过点作x轴的垂线，交该抛物线于点B，交直线于点C，若线段的长度随的增大而减小，则的取值范围是． 其中所有正确结论的序号是_____． 三、解答题（共68分，第17-20题每题5分，第21题6分，第22题5分，第23-24题每题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 解方程：x2﹣2x﹣6＝0． 18. 已知：如图1，点是的边上一点． 求作：，使得与的两边，相切，且点在上． 作法：如图2， ①过点作，交于点H； ②作的平分线，交于点O； ③以点O为圆心，的长为半径作圆． 则即为所求作的圆、 根据上面设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，依作法在图2中补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：作于点C． ∵于点，是的半径， ∴是的切线（_______）（填推理的依据）． ∵平分，，， ∴__________． ∴是的半径． ∴_____是的切线． ∴与的两边和相切，且点B在上． 19. 已知二次函数． （1）将化成的形式； （2）在平面直角坐标系中画出此函数的图象； （3）当时，结合图象，直接写出y的取值范围． 20. 不透明的箱子中有5件同型号的产品，其中3件是一等品，2件是二等品．将3件一等品分别记为A，B，C；2件二等品分别记为D，E． （1）从这个箱子中随机抽取1件进行检测，不放回，再随机抽取1件进行检测．请用列举法求两次抽到的产品都是一等品的概率； （2）向这个箱子中加入若干件同型号的一等品，进行如下试验：随机抽取1件进行检测，然后放回．大量重复这个试验，若发现抽到的产品是一等品的频率稳定在0.9，求加入的一等品约为多少件． 21. 如图，是的直径，弦于点E．若，，求的半径． 22. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若m是正整数，方程的两个实数根都是整数，求m的值． 23. 如图，将绕点B顺时针旋转得到，且满足点A，C，D在同一条直线上．连接交于点P，F是延长线上一点，连接． （1）求的度数； （2）若，求证：． 24. 如图，为的直径，点D为弦的中点，连接并延长交于点E，过点B作的切线交的延长线于点F．记与的交点为G． （1）求证：； （2）若点G为的中点，的半径为3，求的长． 25. 如图1，为了丰富学生的课余生活，某校九年级组织开展跳长绳活动．如图2，假设两名摇绳的学生握绳的手A，B之间的水平距离为，当手A，B与地面的距离均为时，绳子的最高点C与地面的距离为，此时绳子的形状可以看作是抛物线的一部分．建立平面直角坐标系，设该抛物线表示的二次函数为．当摇绳两端握绳的手同时向上平移时，绳子整体也相应向上平移且形状不变． （1）求该抛物线表示的二次函数； （2）如果参加跳长绳活动的学生身高均为，且相邻学生站位间隔均为，除摇绳的学生外，求最多有多少名学生能同时参加跳长绳活动； （3）由于还有1名学生没能同时参加跳长绳活动，在（2）的情况下，若加入这名学生，在不改变摇绳的学生手A，B之间的水平距离和绳长的情况下，只需将手A，B同时向上平移，直接写出h的最小值（精确到0.01）． 26. 在平面直角坐标系中，点，是抛物线上两个不同的点． （1）当时，求的值； （2）若对于，，都有，求取值范围． 27. 在中，，，点D是边上一点，点E在的延长线上，且．将射线绕点A逆时针旋转得到射线，作，垂足为F，连接，． （1）如图1，当时，求的度数； （2）如图2，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 28. 对于点P和，若存在以点P为中点且长度为2的线段与有两个不同的公共点，则称点P是的关联点，且两个公共点间距离的最大值是点P关于的关联值． 在平面直角坐标系中， （1）若半径为1，则在点，，中，点____是的关联点，其关联值是____； （2）若半径为，直线，点T为l上一点， ①当时，若点T是的关联点，则点T的横坐标的取值范围是_____； ②若直线l上存在长度为1的线段，使得上的所有点都是的关联点，且关联值均不超过1，直接写出m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $