专题08因式分解 寒假预习核心讲义(知识梳理+常考题型触析+强化题型突破)2025-2026学年北师大版数学八年级下册

专题08因式分解寒假预习核心讲义 【12大题型共计52题】 · 理解因式分解的本质，能准确区分 “整式乘法” 与 “因式分解” 的逆运算关系，避免概念混淆。 · 熟练掌握提公因式法，学会精准确定多项式的公因式，做到 “提净、不遗漏”。 · 吃透平方差公式和完全平方公式的分解应用，能快速判断多项式是否符合公式特征。 · 入门十字相乘法（针对二次项系数为 1 的二次三项式）和分组分解法，攻克四项式等复杂多项式的分解难点。 · 会用因式分解解决代数式求值、简便计算等简单问题，体会 “化繁为简” 的数学思想。 必备知识 点梳理 1.因式分解的定义 2.提公因式法 3.公式法 4.十字相乘法 5.分组分解法 6.因式分解的一般步骤 7.易错点警示 常考题型 精讲精炼 1.因式分解的概念判断 2.由因式分解结果反求参数 3.公因式是识别与确定 4.提公因式法分解因式 5.平方差公式分解因式 6.完全平方公式分解因式 7.公式法的综合运用 8.提公因式和公式法的综合分解 9.因式分解在有理数简算中的应用 10.十字相乘法分解因式 11.分组分解法分解因式 12.因式分解的综合应用 强化巩固 题型通关 (16题) 【知识点01.因式分解的定义】 1.概念： 把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫分解因式。 2.关键辨析：因式分解与整式乘法是互逆运算 整式乘法：m(a+b+c)=ma+mb+mc（积→和） 因式分解：ma+mb+mc=m(a+b+c)（和→积） 3.判断技巧：看变形后是不是 “整式相乘” 的形式，等式右边不能有加减号。 【知识点02.提公因式法(最基础.最常用的方法)】 1.公因式的确定方法 系数：取多项式各项系数的最大公约数； 字母：取多项式各项中相同的字母； 指数：取相同字母的最低次幂。 示例：多项式 6x2y−9xy2+3x 的公因式是 3x。 2.提公因式法的步骤 1.找：找出多项式各项的公因式； 2.提：将公因式提到括号外面，括号内为原多项式各项除以公因式后的商； 3.查：检查括号内的多项式是否还能继续分解（易错点：分解不彻底）。 3.特殊情况：公因式是多项式 示例：分解 a(x−y)−b(x−y) 公因式是 (x−y)，分解结果为 (x−y)(a−b) 【知识点03.公式法(核心方法)】 1.平方差公式分解 公式：a2−b2=(a+b)(a−b) 适用条件：多项式是两项式，且两项都能写成平方的形式，符号相反。 示例：4x2−9y2=(2x)2−(3y)2=(2x+3y)(2x−3y) 2.完全平方公式分解 公式：a2+2ab+b2=(a+b)2 a2−2ab+b2=(a−b)2 适用条件：多项式是三项式，其中两项是两个整式的平方，且符号相同，第三项是这两个整式乘积的2倍（或−2倍）。 记忆口诀：首平方，尾平方，首尾两倍放中央，符号看中央。 示例：x2+6x+9=x2+2x3+32=(x+3)2 【知识点04.十字相乘法(拓展重点,二次项系数为1)】 适用对象：二次三项式 x2+px+q 分解原理：找到两个数 m 和 n，满足 m+n=p 且 mn=q， 则 x2+px+q=(x+m)(x+n) 示例：分解 x2+5x+6 找两个数：2+3=5，2×3=6，因此 x2+5x+6=(x+2)(x+3) 【知识点05.分组分解法】 适用场景：多项式为四项及以上，无法直接提公因式或套用公式。 核心思路：通过合理分组，让每组能提公因式或套公式，再通过整体提公因式 / 套公式完成分解。 两大类型 二二分法：四项分两组（每组两项）→ 每组提公因式 → 提两组的公共因式。 三一分法：四项分两组（三项 + 一项）→ 三项凑完全平方式 → 整体套平方差公式。 关键要点：分组要 “有意义”，保证分组后能继续分解；分解需彻底。 【知识点06.因式分解的一般步骤】 1.提：先看多项式各项是否有公因式，若有，先提公因式； 2.套：再看提公因式后的多项式是否符合公式特征，套用平方差或完全平方公式； 3.分：若为四项及以上多项式，尝试分组分解（二二分法或三一分法）； 4.查：检查分解结果是否彻底，若有二次三项式，尝试用十字相乘法继续分解； 5.验：可以用整式乘法反向验证分解是否正确。 【知识点07.易错点警示】 1.分解不彻底： 提公因式后未检查剩余部分是否可继续分解。 反例：4x2−4 分解为 4(x2−1) 就停止，正确结果应为 4(x+1)(x−1)。 2.混淆运算方向： 把因式分解做成了整式乘法。 反例：(x+2)(x−2)=x2−4 是乘法，不是因式分解。 3.公式应用错误： 完全平方公式漏写 “2 倍项” 或符号错误。 反例：x2+4x+4 错写成 (x+2)2 是对的，但 x2+4x+4 错写成 (x+4)2 就错了。 4.提公因式时符号处理不当： 遇到括号内是相反数的情况，未变号。 反例：a(b−c)−d(c−b) 错写成 a(b−c)−d(b−c)，正确应为 a(b−c)+d(b−c)。 5.分组分解法的两大易错点 分组不合理：四项式强行三一分，导致无法继续分解； 分组后变号错误：第二组提负号时，括号内各项未变号。 【题型1.因式分解的概念与判断】 【典例】下列变形中是分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分解因式的定义，分解因式是将多项式化为几个整式的积的形式，据此求解即可． 【详解】A选项右边为，含加法运算“”，不符合积的形式，不符合题意． B选项左边是乘积，右边是展开后的多项式，属于整式乘法而非分解因式，不符合题意． C选项左边为单项式，分解为两个单项式的积，但分解因式针对的是多项式，故不符合题意． D选项左边为多项式，右边为两个整式的积，符合分解因式的定义， 故选D． 【跟踪专练1】下列从左到右的变形：①；②；③；④；其中是因式分解的是 ． 【答案】④ 【分析】本题考查因式分解的意义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此进行判断即可． 【详解】解：①中不是整式，它不是因式分解； ②是乘法运算，它不是因式分解； ③中等号左边是单项式，它不是因式分解； ④符合因式分解的定义，它是因式分解． 故答案为：④． 【跟踪专练2】下列从左到右的变形中，属于多项式因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解，根据因式分解的定义：把一个多项式转化为几个整式乘积的形式叫做因式分解，据此即可判断求解，理解因式分解的定义是解题的关键． 【详解】解：、，从左到右是因式分解，该选项符合题意； 、，从左到右是整式的乘法运算，不是因式分解，该选项不合题意； 、，从左到右是多项式的恒等变形，不是因式分解，该选项不合题意； 、，从左到右是单项式的恒等变形，不是因式分解，该选项不合题意； 故选：． 【题型2.由因式分解结果反求参数】 【典例】若多项式分解因式的结果为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解．根据多项式的乘法法则计算，与比较求出a和b的值，然后代入计算． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴. 故答案为：. 【跟踪专练1】因式分解，其中、、都为整数，则这样的的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了整式的乘法与因式分解，由因式分解形式可得 且，其中 、为整数． 列举所有满足，计算，并找出最大值． 【详解】解：， ，且、、为整数， ， 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 的可能值为 ， ， ， ， ， ，其中最大值为 ． 故选：C． 【跟踪专练2】将多项式进行因式分解得到，则的值为 ． 【答案】13 【分析】本题考查了多项式乘多项式以及因式分解的概念：先把运用多项式乘多项式的法则展开，再与进行比较，即可作答． 【详解】解：依题意， 因为多项式进行因式分解得到， 所以 那么，， 故，， 所以， 故答案为：． 【题型3.公因式的识别与确定】 【典例】把多项式分解因式时，应提出的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了提公因式法因式分解．根据公因式的定义即可作答． 【详解】解：中的两项，系数部分有公因数，字母a部分都有，字母c部分都有， 故在因式分解时，提的公因式为， 故选：B． 【跟踪专练1】和的公因式为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了因式分解及公因式定义，熟记公因式的定义是解题的关键． 先将两个多项式因式分解，然后根据公因式定义：每个单项式中都有的因式，即可得到答案． 【详解】解：，， ∴和的公因式为， 故答案为：． 【跟踪专练2】把多项式，提取公因式后，余下的部分是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了提公因式法分解因式，提取公因式即可得到所求结果．熟练掌握提公因式是解决问题的关键． 【详解】， 则余下的部分是x． 故选：C． 【题型4.提公因式法分解因式】 【典例】分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，利用提公因式法分解因式是解题的关键．提取公因式分解因式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【跟踪专练1】因式分解的最终结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止． 【详解】解：∵ ． 故选：D． 【跟踪专练2】若，，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值、平方差公式等，掌握二次根式的乘法法则、减法法则是解题的关键．根据二次根式的乘法法则求出，根据加法法则求出，把原式利用提公因式法因式分解，代入计算即可． 【详解】解：，， ， ， 则． 【题型5.平方差公式分解因式】 【典例】.下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了用平方差公式分解因式，熟知是解题的关键．根据平方差公式进行判断即可． 【详解】解：A、，不能用平方差公式分解因式，不符合题意； B、，能用平方差公式分解因式，符合题意； C、，不能用平方差公式分解因式，不符合题意； D、，不能用平方差公式分解因式，不符合题意； 故选：B． 【跟踪专练1】分解因式∶ ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，先提公因式，再利用平方差公式因式分解即可，掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 【跟踪专练2】下面是课堂投影屏上显示的抢答题，需要回答横线上序号处缺少的内容．下列回答错误的是（    ） 分解因式：． 解：原式 = A．①填 B．②填 C．该过程用到了提公因式法 D．该过程用到了公式法 【答案】B 【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ， 故①填，②填，同时用到了提公因式法和公式法， 故选：B． 【题型6.完全平方公式分解因式】 【典例】因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解．该多项式为完全平方式，可直接应用完全平方公式进行因式分解，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：． 【跟踪专练1】若可以用完全平方式来分解因式，则的值为（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方式，因式分解，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．根据完全平方公式即可得解． 【详解】解：∵可以用完全平方式来分解因式， ， 即， ，解得或． 故选：D ． 【跟踪专练2】如果，那么 ． 【答案】9 【分析】本题考查了同底数幂的除法、求代数式的值、完全平方公式，熟练掌握相关知识点是解题的关键．逆用同底数幂的除法和幂的乘方可得，由题意可得，再利用完全平方公式和整体代入求值即可求解． 【详解】解：， ∵ ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：9． 【题型7.公式法的综合运用.】 【典例】若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平方差公式因式分解可得，又因为可得，进而求得． 【详解】解：∵ ，， ∴ ∴ 故答案选A． 【点睛】本题主要考查了因式分解，熟练掌握乘法公式是快速解决本题的关键． 【跟踪专练1】分解因式： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解．先根据整式的乘法运算，把原式变形为，再由完全平方公式和平方差公式，即可求解． 【详解】解： 故答案为： 【跟踪专练2】设三角形的三边a、b、c满足，则这个三角形的形状是（　　） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了公式法分解因式，勾股定理的逆定理，正确分组并灵活运用公式是解题的关键． 把、、组合在一起，用完全平分公式分解因式，再与一起用平方差分解因式，根据因式的积为0，可得，用勾股定理的逆定理判定即可． 【详解】解： ∵， ∴ ∵a、b、c是三角形的三边， ∴ ∴， ∴这个三角形是直角三角形， 故选：A． 【题型8.提公因式和公式法的综合分解】 【典例】因式分解： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分解因式，先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解： 故答案为：． 【跟踪专练1】下列各选项中因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用因式分解的方法逐项进行因式分解，进而判断正误即可． 本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，进行因式分解时，有公因式的先提公因式，然后再继续因式分解，注意最后结果要分解彻底． 【详解】解：A、，故A选项错误； B、，故B选项错误； C、，故C选项错误； D、，故D选项正确． 故选：D． 【跟踪专练2】分解因式= ． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解．先根据整式的乘法运算，把原式变形为，再由完全平方公式和平方差公式，即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：． 【题型9.因式分解在有理数简算中的应用】 【典例】计算： ． 【答案】199 【分析】本题考查了利用平方差公式因式分解，正确理解用平方差公式因式分解是解题的关键．用平方差公式因式分解化简计算即可． 【详解】． 故答案为：199． 【跟踪专练1】计算：的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分解因式的运用，先将分子进行因式分解，再化简即可求解，熟练掌握利用平方差公式分解因式是解题的关键． 【详解】原式 ， 故选：C． 【跟踪专练2】已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了几个非负数之和为零，则它们均为零的问题，还考查了平方差公式的应用．根据绝对值和算术平方根的非负性即可求解． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型10.十字相乘法分解因式】 【典例】多项式分解因式为，其中a，m，n为整数，则a的取值有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个 【答案】C 【分析】本题考查了用十字相乘法进行因式分解．得出之积为，之和为是解题的关键．把分解为两个整数的积的形式，等于这两个整数的和． 【详解】时，，故； 时，，故； 时，，故； 时，，故； 的取值有4个． 故选：C． 【跟踪专练1】阅读材料：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成．例如分解时，具体做法是先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，这种方法称为“十字相乘法”．这样，我们可以得到：．利用材料中的十字相乘法，分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解——十字相乘法．对于形如的多项式，进行因式分解时，关键是要找到两个数，使这两个数的乘积等于常数项，同时这两个数的和恰好等于它的一次项系数．分解时要注意观察、尝试，并体会它的实质是二项式乘法的逆过程． 按照“十字相乘法”的步骤逐一分解即可． 【详解】解：先分解二次项系数：， 再分解常数项：， 交叉相乘，求代数和：，2等于一次项系数，如图所示： ∴， 故答案为 ：． 【跟踪专练2】甲、乙两个同学分解因式时，甲把看错分解结果为，乙把看错分解结果为，那么多项式分解的正确结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解、多项式乘以多项式，熟练掌握利用十字相乘法分解因式是解题关键．先计算，，根据甲的结果可求出的值，根据乙的结果可求出的值，再利用十字相乘法分解因式即可得． 【详解】解：， ， ∵甲把看错分解结果为，乙把看错分解结果为， ∴，， ∴， 故选：B． 【题型11.分组分解法分解因式】 【典例】因式分解 ． 【答案】 【分析】本题考查了分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解．先分组，再根据完全平方公式和平方差公式分解因式即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：． 【跟踪专练1】因式分解的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用分组分解法分解因式即可． 【详解】解：原式 ； 故选B． 【点睛】本题考查因式分解．解题的关键是掌握分组分解法分解因式． 【跟踪专练2】在对多项式进行因式分解时，我们可以把它先分组再分解：原式，这种方法叫做分组分解法．请你用以上方法，写出多项式因式分解的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，利用分组分解法进行因式分解即可． 【详解】解：原式 ； 故答案为：． 【题型12.因式分解的综合应用】 【典例】若且，则的值是（    ） A．12 B．24 C．6 D．14 【答案】C 【分析】本题主要考查平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键；根据题意及平方差公式可直接进行求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选C． 【跟踪专练1】小俊利用两种不同的方法计算下面图形的面积，并据此写出了一个因式分解的等式，请结合图形，帮助小俊补全因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解与几何图形面积的综合应用，解题的关键是将代数式转化为图形各部分面积的和，再通过整体观察图形的边长得到因式分解的结果． 长方形的面积长宽，所以 【详解】解：； 故答案为： 【跟踪专练2】多项式可以因式分解成，，为整数，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查因式分解，先将多项式提取公因式得，然后与对照，即可求出，的值，再代入计算即可．对多项式提取公因式是解题的关键． 【详解】解：∵， 又∵多项式可以因式分解成，，为整数， ∴， ∴，， ∴， 即的值是． 故选：C． 1．下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握把一个多项式化成几个整式乘积形式叫因式分解是解题的关键． 根据因式分解的定义，判断各选项是否将多项式转化为几个整式的积的形式． 【详解】解：A、右边为，是乘积与常数的和，不符合因式分解的结果是积的形式，故此选项不符合题意． B、左边乘积式，右边多项式，不是因式分解，故此选项不符合题意． C、左边提取公因数得，进一步分解为，符合因式分解的定义，故此选项符合题意． D、左边的正确分解应为，而右边为，分解错误，故此选项不符合题意． 故选：C． 2．把多项式分解因式，应提的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分解因式，观察可知两个单项式的公因式为，据此可得答案，解答本题的关键要明确：确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式(或相同多项式因式)；③定指数，即各项相同字母因式(或相同多项式因式)的指数的最低次幂． 【详解】解：， ∴多项式分解因式，应提的公因式是， 故选：C． 3．下列各式中，能用完全平方公式因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据完全平方公式的特点判断即可； 【详解】不能用完全平方公式，故A不符合题意； 不能用完全平方公式，故B不符合题意； ，能用完全平方公式，故C符合题意； 不能用完全平方公式，故D不符合题意； 故答案选C． 【点睛】本题主要考查了因式分解公式法的判断，准确判断是解题的关键． 4．因式分解：，则代数式等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查用平方差公式因式分解．先将用平方差公式因式分解得，再结合题意，即可求解． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， 故选：D． 5．在实数范围内分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，利用平方差公式将分解为，然后对再次应用平方差公式在实数范围内分解． 【详解】解： ． 故答案为：． 6．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了利用十字相乘法分解，首先根据多项式乘以多项式的法则把原式整理，可得：原式，再把看作一个整体，利用多项式乘以多项式的法则展开，可得：原式，把看作一个整体利用十字相乘法分解因式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 7．已知实数x，y，z满足，，则 ． 【答案】3 【分析】先把化为， 再代入可得，利用非负数的性质求解， 从而可得的值，再代入代数式求值即可. 本题考查的是非负数的性质，二元方程组的代换思想，求解代数式的值，运用完全平方公式分解因式，掌握“把原条件转化为非负数的和”是解题的关键. 【详解】解：， ， 代入得：， 整理得：， ，， 可得：，， ， 所以． 8．多项式的最小值为 ． 【答案】18． 【分析】利用公式法进行因式分解，根据非负性确定最小值． 【详解】解：， =， =， ∵， ∴的最小值为18； 故答案为：18． 【点睛】本题考查了因式分解和非负数的性质，解题关键是熟练运用乘法公式进行因式分解，根据非负数的性质确定最值． 9．已知，，，满足关系式，，则的值为 ． 【答案】74 【分析】本题主要考查了化简求值．熟练掌握完全平方公式，提公因式分解因式，是解题的关键． 将，这两式两边平方，再两边分别相加，提取公因式分解因式，可得，即可. 【详解】由题意得，①， ②， 得③， 得④， 得， ， ． 故答案为：74． 10．已知多项式和（m，n为常数），以下结论中正确的是 （填写相应序号） ①当且时，无论y取何值，都有； ②当时，所得的结果中不含一次项； ③当时，一定有； ④若且，则； ⑤若，且x，y为整数，则． 【答案】①②⑤ 【分析】本题考查整式的混合运算，完全平方公式，因式分解． ①当且时，，即可判断①； ②当时，，即可判断②； ③当时，，即可判断③； ④若且，可得，进而可得，，即可判断④； ⑤若，可得，进而判断，即可判断⑤． 【详解】解：①当且时， ， ， ∴， 故①正确； ②当时， ， ， ， ∴所得的结果中不含一次项， 故②正确； ③当时， ， ， ， 不确定的正负， 故③错误； ④若且， ∴ ， ∴，， 解得，， ∴， 故④错误； ⑤∵， ∴ ， ∵x，y为整数， ∴和均为整数， ∴或， 解得或， ∴， 故⑤正确． 综上所述，正确的有①②⑤． 故答案为：①②⑤． 11．关于x的三次三项式（其中a，b，c，d均为常数），关于x的二次三项式（e，f均为非零常数），下列说法有几个正确（   ） ①当的结果为关于x的三次三项式时，则； ②若二次三项式能分解成，则； ③当多项式A与B的乘积中不含项时，则； ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】①计算的值，再根据题意列方程求解；②计算的值，根据题意列方程求，的值，再计算；③先求的值，再根据题意列方程求解；④根据③所求列方程组求解即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∵的结果为关于x的三次三项式，，均为非零常数， ， ，故①正确； ， ，， ，故②正确； ， ∵多项式A与B的乘积中不含项， ∴， ，故③错误； ④ ， ， 解得：， ，故④错误； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了多项式乘法，解三元一次方程组，因式分解，整式的加减计算，正确理解题意列出对应的方程和方程组是解题的关键． 解答题 12．分解因式： (1)； (2)． (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了因式分解的知识，特别是十字相乘法； （1）利用提公因式和公式法进行因式分解即可； （2）利用十字相乘法求解即可； （3）利用十字相乘法求解即可； （4）利用完全平方公式和平方差公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：； （3）解：； （4）解： ． 13．（1）[知识再现]  在研究平方差公式时，我们在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形（），如图1，把余下的阴影部分再剪拼成一个长方形（如图2），根据图1、图2阴影部分的面积关系，可以得到一个关于a，b的等式：_____________． （2）[知识迁移]  在棱长为a的正方体上挖去一个棱长为b（）的小正方体后余下的部分（如图3）再切割拼成一个几何体（如图4）． 图3中的几何体的体积为_____________， 图4中的几何体的体积为_____________， 根据它们的体积关系得到关于a，b的等式_____________（结果写成整式的积的形式）． （3）[知识运用]  因式分解：． 【答案】（1）；（2）；；；（3） 【分析】此题主要考查因式分解的应用，解题的关键是根据已知条件找到因式分解的公式进行求解． （1）根据阴影部分面积的不同计算方法即可写出； （2）图3的几何体的体积为一个大正方体挖去一个小的正方体，故剩下的体积为；图4的几何体由 3 个几何体拼接而成，故可得出体积为；再根据体积相等，故可写出等式； （3）根据（2）中公式直接因式分解即可； 【详解】解：（1）根据如图1、如图2阴影部分的面积关系，可以得到一个关于的等式， （2）如图3中的几何体的体积为； 图4的几何体体积为； 根据它们的体积关系得到关于的等式为：； （3）根据（2）中结论可得． 14．利用分解因式计算：． 【答案】 【分析】本题考查分解因式，平方差公式，将原式中24变形为，再利用平方差公式进行计算即可求解． 【详解】解： ． 15．【提出问题】某数学活动小组对多项式乘法进行如下探究： ①； ②； ③． 通过以上计算发现： 形如的两个多项式相乘，其结果一定为（p，q为整数）， 即（p，q为整数）． 反之，（p，q为整数）． 由于因式分解与整式乘法是方向相反的变形，所以形如（p、q为整数）的多项式，可因式分解成．例如： 【初步应用】（1）用上面的方法分解因式： ； 【类比应用】（2）规律应用：若可用以上方法进行因式分解，则整数m的所有可能值是 ； 【拓展应用】（3）分解因式：． 【答案】（1）；（2）5或7或或（3） 【分析】本题主要考查了因式分解及其应用，解题关键是熟练掌握利用十字相乘法进行分解因式． （1）按照已知条件中方法进行分解因式即可； （2）先找出乘积为的两个整数有哪些，然后按照条件中的方法，求出的值即可； （3）按照已知条件中的方法，进行两次因式分解解答即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：，此时； ，此时； ，此时； ，此时； 则整数m的所有可能值是5或7或或． （3）解： ． 16．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得， 则， ， 解得：，． 另一个因式为，的值为 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值． (2)已知二次三项式有一个因式是，a是正整数，求另一个因式以及a的值． 【答案】(1)， (2)另一个因式是，a的值是2 【分析】本题考查了因式分解与整式乘法的关系，方程组的解法，正确理解因式分解与整式的乘法互为逆运算是关键． （1）设另一个因式是，则，根据对应项的系数相等即可求得和的值． （2）设另一个因式是，则利用多项式的乘法运算法则展开，然后根据对应项的系数相等列式求出、的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【详解】（1）解：设另一个因式是，则有： ， 则， 解得：， 则另一个因式是：，； （2）解：二次三项式有一个因式是，是正整数，设另一个因式是，则 ， 则， 解得，或（舍去，不符合题意）， 另一个因式是， 故另一个因式是，． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $专题08因式分解寒假预习核心讲义 【12大题型共计52题】 预习目标 ● 理解因式分解的本质，能准确区分整式乘法”与“因式分解”的逆运算关 系，避免概念混淆。 。熟练掌握提公因式法，学会精准确定多项式的公因式，做到提净、不遗 漏”。 吃透平方差公式和完全平方公式的分解应用，能快速判断多项式是否符合 公式特征。 ·入门十字相乘法（针对二次项系数为1的二次三项式）和分组分解法，攻 克四项式等复杂多项式的分解难点。 会用因式分解解决代数式求值、简便计算等简单问题，体会“化繁为简”的 数学思想。 预习内容概览 1.因式分解的定义 2.提公因式法 必备知识 3.公式法 4.十字相乘法 点梳理 5.分组分解法 6因式分解的一般步骤 7.易错点警示 1因式分解的概念判断 2.由因式分解结果反求参数 3.公因式是识别与确定 4.提公因式法分解因式 常考题型 5.平方差公式分解因式 6.完全平方公式分解因式 精讲精炼 7.公式法的综合运用 8提公因式和公式法的综合分解 9.因式分解在有理数简算中的应用 10.十字相乘法分解因式 11.分组分解法分解因式 12.因式分解的综合应用 强化巩固 (16题) 题型通关 试卷第1页，共3页 3 知识点梳理 【知识点01.因式分解的定义】 1概念 把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫分解 因式。 2.关键辨析： 因式分解与整式乘法是互逆运算 整式乘法：m(a+b+c)=ma+mb+mc(积→和) 因式分解：ma+mb+mc-=m(a+b+c)（和→积) 3.判断技巧：看变形后是不是“整式相乘”的形式，等式右边不能有加减号。 【知识点02.提公因式法（最基础.最常用的方法）】 1.公因式的确定方法 系数：取多项式各项系数的最大公约数： 字母：取多项式各项中相同的字母： 指数：取相同字母的最低次幂。 示例：多项式6xy-9xy2+3x的公因式是3x。 2.提公因式法的步骤 1.找：找出多项式各项的公因式： 2.提：将公因式提到括号外面，括号内为原多项式各项除以公因式后的商； 3.查：检查括号内的多项式是否还能继续分解（易错点：分解不彻底）。 3.特殊情况：公因式是多项式 示例：分解a(x-y)b&-y) 公因式是(x-y),分解结果为(x-y)(a-b) 【知识点03.公式法（核心方法）】 1.平方差公式分解 公式：a2-b2-(a+b)(a-b) 适用条件：多项式是两项式，且两项都能写成平方的形式，符号相反。 示例：4x2-9y2=(2x)2-(3y)2=(2x+3y)2x-3y) 试卷第1页，共3页 2.完全平方公式分解 公式：a2+2ab+b2=(a+b)2 a2-2ab+b2=(a-b)2 适用条件：多项式是三项式，其中两项是两个整式的平方，且符号相同，第三项 是这两个整式乘积的2倍（或-2倍）。 记忆口诀：首平方，尾平方，首尾两倍放中央，符号看中央。 示例：x2+6x+9=x2+2·X·3+32=(x+3)2 【知识点04.十字相乘法（拓展重点，二次项系数为1）】 适用对象：二次三项式x2+px+q 分解原理：找到两个数m和n,满足m+n=p且m·n=q, 则x2+px+q-(x+m)x+n) 示例：分解x2+5x+6 找两个数：2+3=5,2×3=6，因此x2+5x+6=(x+2)(x+3) 【知识点05.分组分解法】 适用场景：多项式为四项及以上，无法直接提公因式或套用公式。 核心思路：通过合理分组，让每组能提公因式或套公式，再通过整体提公因式/ 套公式完成分解。 二二分法：四项分两组（每组两项）→每组提公因式→提两组的公共因式。 三一分法：四项分两组（三项+一项）→三项凑完全平方式→整体套平方差 公式 关键要点：分组要“有意义”，保证分组后能继续分解；分解需彻底。 【知识点O6.因式分解的一般步骤】 1.提：先看多项式各项是否有公因式，若有，先提公因式： 2.套：再看提公因式后的多项式是否符合公式特征，套用平方差或完全平方公式： 3.分：若为四项及以上多项式，尝试分组分解（二二分法或三一分法)； 4.查：检查分解结果是否彻底，若有二次三项式，尝试用十字相乘法继续分解； 5.验：可以用整式乘法反向验证分解是否正确。 【知识点07.易错点警示】 试卷第1页，共3页 1.分解不彻底： 提公因式后未检查剩余部分是否可继续分解。 反例：4x2-4分解为4(x2-1)就停止，正确结果应为4(x+1)-1)。 2.混淆运算方向： 把因式分解做成了整式乘法。 反例：(x+2)x-2)=x2-4是乘法，不是因式分解。 3.公式应用错误 完全平方公式漏写2倍项”或符号错误。 反例：x2+4x+4错写成(x+2)2是对的，但x2+4x+4错写成(x+4)2就错了。 4.提公因式时符号处理不当： 遇到括号内是相反数的情况，未变号。 反例：ab-c)d(c-b)错写成a(b-cd(b-c),正确应为a(b-c十db-c)。 5.分组分解法的两大易错点 分组不合理：四项式强行三一分，导致无法继续分解； 分组后变号错误：第二组提负号时，括号内各项未变号。 常考题型精讲精练 【题型1.因式分解的概念与判断】 【典例】下列变形中是分解因式的是() A.x2+3x+4=x+1x+2+2 B.(3x-2)(2x+1=6x2-x-2 C.6x2y3=3xy.2xy2 D.4ab+2ac 2a(2b+c) 练1】下列从左到右的变形：①x2+3x+1=xx+3+:②a+b川Q-b ;③15x2y=3x5xy;④a2-2a+1=(a-1)2;其中是因式分解的是 【跟踪专练2】下列从左到右的变形中，属于多项式因式分解的是() A.2a'b-3ab2=ab(2a-3b) B.（x+1)(x-3)=x2-2x-3 试卷第1页，共3页 C.x2-3=(x+1(x-1)-2 D.10a'b=2a.5ab 【题型2.由因式分解结果反求参数】 【典例】若多项式x2+ax+b分解因式的结果为x+1(x-2),，则a+b的值为 【跟踪专练1】因式分解x2+mx-12=(x+p)x+q),其中m、p、9都为整数，则这样的 m的最大值是() A.1 B.4 C.11 D.12 【跟踪专练2将多项式3x2-mx+6进行因式分解得到(x-3)(3x-n),则m+n的值为 【题型3.公因式的识别与确定】 【典例】把多项式-6a2c2-18ac2分解因式时，应提出的公因式是() A.6ac2 B.-6a2c2 C.6a'c2 D.-6ac2 【跟踪专练1】9a2-12a+4和6a2-4a的公因式为 【跟踪专练2】把多项式(1+x)1-x-(1-x,提取公因式1-x)后，余下的部分是() A.(x+) B.-(x+2) C.x D.(x+2) 【题型4.提公因式法分解因式】 【典例】分解因式：a2-ab=· 【跟踪专练1】(3a+2b)(3x-2y)+a2y-3x因式分解的最终结果是() A.2a+2b)(2y-3x) B.2a+2b)(3x-2y C.2a+2b(3x-2y D.2(a+b)(3x-2yj 【跟踪专练2】若a=√2+1，b=√2-1，则代数式ab+ab2的值为 【题型5.平方差公式分解因式】 【典例】.下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是() A.x2+2 B.-x2+1 C.2x2+y2 D.-4x2-9y2 【跟踪专练1】分解因式：mx2-4m=_ 【跟踪专练2】下面是课堂投影屏上显示的抢答题，需要回答横线上序号处缺少的内容.下 试卷第1页，共3页 列回答错误的是() 分解因式：2a(x2-1-2b(x2-). 解：原式=2(x2-@四 =②四 A.①填(a-b) B.②填(x+1)(x-1) C.该过程用到了提公因式法 D.该过程用到了公式法 【题型6.完全平方公式分解因式】 【典例】因式分解：a2-4a+4= 【跟踪专练1】若x2-m+2)x+16可以用完全平方式来分解因式，则m的值为() A.±2 B.2或-6 C.±6 D.6或-10 【跟踪专练2】如果2"÷4”=8，那么(m+2n-8mn=_ 【题型7.公式法的综合运用.】 【典例】若x+y=6,x2-y2=24,则y-x的值为() A.-4 B.4 c.4 D. 【跟踪专练1】分解因式：(x+2xy+y(x+y)+xy+1)(xy-1= 【跟踪专练2】设三角形的三边a、b、c满足a4-b4-c4-2b2c2=0,则这个三角形的形状 是() A.直角三角形B.等腰三角形 C.等边三角形 D.无法确定 【题型8.提公因式和公式法的综合分解】 【典例】因式分解：32-2m2= 【跟踪专练1】下列各选项中因式分解正确的是() A.x2-1=(x-1)2 B.a-2a2+a=a(a2-2a) C.-2y2+4y=-2yy+2 D.m2n-2mn+n=n(m-1)2 【跟踪专练2】分解因式(x+y)(x+y-2xy)+(xy+1(xy-1 试卷第1页，共3页 【题型9.因式分解在有理数简算中的应用】 【典例】计算：1002-992= 【跟踪专练1】计算： (22-132-142-10-的值为() 12×22×32×…×10 99 1 11 A. C. D. 9 100 B.2 20 10 【跟踪专练2】已知m+n-2+√m-n+3=0,则m2-n2= 【题型10.十字相乘法分解因式】 【典例】多项式x2-ax-10分解因式为(x+m)(x+n,其中a,m,n为整数，则a的取值 有() A.2个 B.3个 C.4个 D.无数个 【跟踪专练1】阅读材料：将一个形如x2+px+q的二次三项式因式分解时，如果能满足 p=m+n且9=mn,则可以把x2+px+g因式分解成(x+m)(x+n).例如分解x2+3x+2时， 具体做法是先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分 别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，这 种方法称为“十字相乘法”.这样，我们可以得到：x2+3x+2=(x+1)x+2).利用材料中的十 字相乘法，分解因式：x2+2x-15= 2 1×2+1×1=3 【跟踪专练2】甲、乙两个同学分解因式x2+mx+n时，甲把m看错分解结果为x+3)(x-4) ,乙把n看错分解结果为x+1)(x+3),那么多项式x2+mx+n分解的正确结果是() A.x+2x-6B.x+6)(x-2) C.(x+4)(x-3D.(x-1(x+5) 【题型11.分组分解法分解因式】 【典例】因式分解a2-b2-c2-2bc= 【跟踪专练1】因式分解a3+ab-ab2-b3的值为() 试卷第1页，共3页 A.(a-b)'(a+b)B.(a+b)2(a-b)C.ab(a+b)' D.ab(a-b)2 【跟踪专练2】在对多项式a2-4ab+4b2-1进行因式分解时，我们可以把它先分组再分解： 原式=a2-4ab+4b2）-1=(a-2b)2-1=(a-2b+1(a-2b-1),这种方法叫做分组分解法.请 你用以上方法，写出多项式4x2+4x-y2+1因式分解的结果为 【题型12.因式分解的综合应用】 【典例】若x2-y2=12且x-y=2,则x+y的值是() A.12 B.24 C.6 D.14 【跟踪专练1】小俊利用两种不同的方法计算下面图形的面积，并据此写出了一个因式分解 的等式，请结合图形，帮助小俊补全因式分解：a2+3ab+2b2=一· a 6 6 b 6 b a 【跟踪专练2】多项式(x+2)(2x-1)-2(x+2)可以因式分解成(x+m)(2x+n),m,n为整 数，则m-n的值是() A.3 B.-1 C.5 D.-3 强化巩固 1.下列各式从左到右的变形，是因式分解的是() A.x2-4x+4=x(x-4+4 B.(x+1)2=x2+2x-1 C.2x2-2=2(x+1x-1 D.x2-1=(x-1)2 2.把多项式12ab+3ab3分解因式，应提的公因式是() A.12ab B.4ab C.3ab D.3ab 3.下列各式中，能用完全平方公式因式分解的是() A.16x2+1B.x2+2x-1 C.2-x+4 1 D.a2+2ab-4b2 4.因式分解：x2-4y2=(x+2y·A,则代数式A等于() 试卷第1页，共3页 A.x+y B.x-y C.x+2y D.x-2y 5.在实数范围内分解因式：x4-9= 6.分解因式：(x+2)(x-3)x+4)(x-5+13= 7.已知实数x,y,z满足x+y=2,2+1=xy+2y-4,则3x+2y+z=_ 8.多项式a2-2ab+2b2-6b+27的最小值为 9.已知a,b,x,y满足关系式ax+by=7,ay-bx=5,，则(a2+b2)x2+y2)的值 为 10.已知多项式A=x2+2y+m和B=y2-2x+n(m,n为常数)，以下结论中正确的是 (填写相应序号) ①当x=2且m+n=1时，无论y取何值，都有A+B≥0； ②当m=n=0时，A×B所得的结果中不含一次项； ③当x=y时，一定有A≥B; ④若m+n=2且A+B=0,则x=y; ⑤若m=n,A-B=-1且x,y为整数，则x+y=1. 11.关于x的三次三项式A=5x3-6x2+10=a(x-1)3+b(x-1)+c(x-1+d（其中a,b,c, d均为常数)，关于x的二次三项式B=x2+x+f(e,f均为非零常数)，下列说法有几个 正确() ①当A+B的结果为关于x的三次三项式时，则f=-10: ②若二次三项式B=x2+ex+∫能分解成(x-3)(x+5),则ef=-30; ③当多项式A与B的乘积中不含x4项时，则e=6; ④a-b+c=-2. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解答题 12.分解因式： (1)3x3-12xy2: (2)a2-7a-8. (3)x2-xy-12y2: 试卷第1页，共3页 (4)a2-10a+25-b2. 13.(1)[知识再现]在研究平方差公式时，我们在边长为α的正方形中剪掉一个边长为b 的小正方形(a>b),如图1，把余下的阴影部分再剪拼成一个长方形（如图2），根据图 1、图2阴影部分的面积关系，可以得到一个关于a,b的等式： (2)[知识迁移]在棱长为a的正方体上挖去一个棱长为b(a>b)的小正方体后余下的部 分（如图3）再切割拼成一个几何体（如图4). 图1 图2 a 图3 图4 图3中的几何体的体积为 图4中的几何体的体积为 根据它们的体积关系得到关于α，b的等式 (结果写成整式的积的形式)· (3)[知识运用因式分解：8x3-1. 14.利用分解因式计算：1+2452+1(54+1(5+152+1. 15.【提出问题】某数学活动小组对多项式乘法进行如下探究： ①x+2)(x+3)=x2+5x+6: ②x-4)(x+1=x2-3x-4: ③y-5)(y-3=y2-8y+15. 通过以上计算发现： 形如(x+p)(x+q的两个多项式相乘，其结果一定为x2+(p+q)x+pq(p,q为整数)， 即(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq(p,q为整数). 反之，x2+(p+qx+pg=(x+p)(x+q)(p,q为整数). 试卷第1页，共3页