【讲义篇】新课预习讲义：专题12 数学广角——鸽巢问题（讲义）-2025-2026学年六年级下册数学人教版

【讲义篇】2025-2026学年六年级下册数学人教版新课预习讲义 专题12 数学广角——鸽巢问题 （知识精讲+例题讲解+巩固练习） 亲爱的同学们： 这份六年级下册数学人教版“数学广角——鸽巢问题”预习讲义，专为你们衔接新学期数学广角核心内容打造。我们系统梳理鸽巢问题的逻辑脉络：从基本原理与“总有”“至少”等关键术语的深度解读，到枚举法、假设法、公式法等解题策略的全面解析，再到逆向应用的思路推导和实际问题的模型转化，都做了清晰呈现。搭配各地典型真题例题，每道题细致拆解思路，还有分层巩固练习帮你检验成果。希望大家吃透鸽巢问题的本质与应用，扫清预习障碍，为新学期数学思维能力筑牢基础，开启充满逻辑思辨的数学探索之旅！ 知识精讲 知识点一、鸽巢问题的基本原理 1. 鸽巢原理的核心定义 （1）基本鸽巢原理表述 ① 把n+1个物体任意放进n个鸽巢里（n为正整数），那么总有一个鸽巢里至少放进2个物体。这是鸽巢问题最基础的形式，体现了“存在性”的必然结果，即无论如何分配，都无法避免某个鸽巢有至少2个物体。 ② 推广的鸽巢原理：把kn+1个物体任意放进n个鸽巢里（k、n为正整数），那么总有一个鸽巢里至少放进(k+1)个物体。这是对基本原理的拓展，可解决涉及更多物体数量的“至少”问题。 2. 鸽巢问题的关键术语解读 （1）“总有”与“至少”的含义 ① “总有”指的是“一定存在”，即在所有可能的分配情况中，必然会出现某个鸽巢满足后续的数量条件，不依赖于具体的分配方式。 ② “至少”指的是满足条件的最小数量，是在所有分配情况中，出现次数最少的那个“最大值”，并非唯一可能的数量，实际情况中可能存在比这个数量更多的情况。 知识点二、鸽巢问题的解题策略 1. 枚举法 （1）枚举法的适用范围与思路 ① 适用于鸽巢和物体数量较少的场景，可通过一一列举所有可能的分配方式，直观找到满足“至少”条件的结果。 ② 枚举时需覆盖所有分配情况，确保不遗漏任何一种可能，从而直接验证鸽巢原理的必然性。 2. 假设法（平均分思想） （1）假设法的核心逻辑 ① 假设每个鸽巢都先放进数量相同的物体，即尽量将物体平均分配到各个鸽巢中，这是解决鸽巢问题的核心思路，也是最常用的方法之一。 ② 通过平均分后剩余物体的分配，可直接得出“至少”的数量——剩余物体无论放进哪个鸽巢，都会使该鸽巢的物体数量达到“至少”值。 3. 公式法 （1）鸽巢问题的量化公式 ① 当物体数除以鸽巢数有余数时：至少数=商+1。其中“商”是平均每个鸽巢分到的物体数量，余数是平均分后剩余的物体数，无论余数是多少（1到n-1），只需将商加1即可得到“至少”的数量。 ② 当物体数除以鸽巢数无余数（余数为0）时：至少数=商。此时每个鸽巢分到的物体数量相同，刚好达到“至少”的最小数量，不存在额外剩余物体需要分配。 知识点三、鸽巢问题的逆向应用 1. 已知“至少数”求物体数量 （1）逆向推导的思路 ① 要保证某个鸽巢里至少有m个物体，当鸽巢数为n时，最少需要的物体数量为：物体数=(m-1)×n+1。这个公式的本质是先让每个鸽巢都有(m-1)个物体，再额外增加1个物体，必然会使某个鸽巢的物体数量达到m个，从而满足“至少”条件。 2. 已知“至少数”和物体数量求鸽巢数 （1）逆向计算的方法 ① 已知物体总数为A，要保证至少有m个物体在同一个鸽巢中，鸽巢数的最大值可通过公式计算：(A-1)÷(m-1)。若计算结果有余数，则鸽巢数为商；若无余数，则鸽巢数为商。 ② 核心逻辑是先让每个鸽巢最多容纳(m-1)个物体，用物体数减去1后除以(m-1)，得到的商就是最多能容纳的鸽巢数量，此时不会出现任何鸽巢有m个物体；若鸽巢数少于该值，则必然有鸽巢满足“至少m个”的条件。 知识点四、鸽巢问题的实际应用 1. 常见实际场景分析 （1）生活中的典型应用场景 ① 物品分配类：如抽屉放文具、书架放书籍、储物柜放物品等问题，需保证某类物品至少有一定数量在同一个容器中。 ② 随机抽取类：如摸球、抽卡片、属相统计、生日分组等问题，需确定抽取多少个样本，才能保证满足特定的“至少”条件（如至少摸出2个同色球）。 ③ 统计推断类：在数据分析中，利用鸽巢原理推断群体中必然存在的共性情况，如班级中至少有两名同学同一天生日（当班级人数超过366时，不考虑闰年则为365）。 2. 实际问题转化为鸽巢模型的关键 （1）构造“鸽巢”与“物体”的方法 ① 准确识别问题中的“鸽巢”和“物体”：通常将问题中具有相同属性的类别视为“鸽巢”，将需要分配的对象视为“物体”。例如，在属相问题中，12个属相是“鸽巢”，每个人是“物体”；在摸球问题中，球的颜色种类是“鸽巢”，单个球是“物体”。 ② 明确问题中的“至少”目标：根据题目要求，确定需要保证的至少数量，再结合鸽巢原理的公式或策略，将实际问题转化为标准的鸽巢模型进行求解。 例题讲解 题型一、鸽巢问题 【典型例题】（24-25六年级下·湖北武汉·期末）学校投篮比赛中每人投10个球，六（2）班的5名同学共投中了37个球，总有一名同学至少投中了（    ）个球。 A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】把37个球看作被分配物体，5名学生看作抽屉数，被分配物体总数÷抽屉数＝平均每个抽屉分配物体的数量……剩下物体的数量，一个抽屉至少分配物体数量＝平均每个抽屉分配物体的数量＋1；据此解答 【详解】37÷5＝7（个）……2（个） 7＋1＝8（个） 学校投篮比赛中每人投10个球，六（2）班的5名同学共投中了37个球，总有一名同学至少投中了8个。 故答案为：B 【跟踪训练】（23-24六年级下·内蒙古阿拉善盟·期末）2022年北京冬奥会中国体育代表团总人数为387人，其中运动员176人，是史上规模最大的一届。运动员中至少有( )人在同一个月过生日。 【答案】15 【分析】根据鸽巢原理，将176人看成是176个物品，12个月看成12个容器，按最不利原则，先将176个人平分到12个月，可得176÷12＝14（人）……8（人），这8人再继续分，至少有一个月的人数为14＋1＝15（人）。 【详解】176÷12＝14（人）……8（人） 14＋1＝15（人） 所以至少有一个月份有15个人过生日。 题型二、最不利原则 【典型例题】（24-25六年级下·广西河池·期末）袋子里有同样的黄球和白球各5个，要保证摸出的球一定有2个颜色相同，最少要摸出( )个。 【答案】3 【分析】分析题目，要保证有2个颜色相同的球，从最不利的情况考虑，先摸出黄球、白球各1个，再摸出1个任意一种颜色的球，与前面的一个球颜色相同，据此解答。 【详解】2＋1＝3（个） 袋子里有同样的黄球和白球各5个，要保证摸出的球一定有2个颜色相同，最少要摸出3个。 【跟踪训练】（24-25六年级下·浙江杭州·期中）用一副扑克牌（去掉大小王）玩数学游戏，至少要摸出( )张牌才能保证有2张相同花色的牌；如果在3张红桃、4张梅花、5张黑桃中摸牌，至少要摸出( )张牌才能保证有3张不同花色的牌。 【答案】 5 10 【分析】利用最不利原则，扑克牌有4种花色，最坏情况是摸到4张不同花色各1张，再摸1张，即可保证有2张相同花色的牌。 在3张红桃、4张梅花、5张黑桃中，要保证有3张不同花色，需要考虑最不利情况（摸到两种花色的所有牌），此时摸黑桃5张和梅花4张共9张，再摸1张，必为红桃，据此解答。 【详解】4＋1＝5（张） 5＋4＋1 ＝9＋1 ＝10（张） 用一副扑克牌（去掉大小王）玩数学游戏，至少要摸出5张牌才能保证有2张相同花色的牌；如果在3张红桃、4张梅花、5张黑桃中摸牌，至少要摸出10张牌才能保证有3张不同花色的牌。 巩固练习 一、选择题 1．（24-25六年级下·天津滨海新·期末）有10只鸽子飞进了3个鸽笼，总有1个鸽笼至少飞进了（    ）。 A．1只鸽子 B．3只鸽子 C．4只鸽子 D．8只鸽子 【答案】C 【分析】抽屉原理是指：假如有n＋1个元素放到n个集合中去，其中必定有一个集合里至少有两个元素。本题可将鸽笼看作抽屉，鸽子看作元素，通过计算平均每个鸽笼飞进的鸽子数，再结合余数来确定总有一个鸽笼至少飞进的鸽子数。 【详解】已知有10只鸽子要飞进3个鸽笼，用鸽子总数除以鸽笼数，可得：10÷3＝3（只）……1（只），这意味着平均每个鸽笼飞进3只鸽子后，还剩下1只鸽子。剩下的这1只鸽子无论飞进哪个鸽笼，3＋1＝4（只），那么这个鸽笼就至少有4只鸽子。 故答案为：C 2．（24-25六年级下·广东江门·期中）六（5）班有45名学生，排成6行做操，不管怎么排，总有1行至少排（    ）名学生。 A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】抽屉原理：把多于n个物体放入n个抽屉，至少有一个抽屉物体不少于2个；若m个物体放入n个抽屉得商k余r（0＜r＜n），则至少有一个抽屉物体数量≥k＋1。把6行当作6个抽屉，45名学生当作45个元素，45÷6＝7（名）……3（名），这里的商7表示平均每行能排7名，余数3表示排完6行每行7名后，还剩下3名。剩下的3名不管怎么排，都会让至少有一行的人数在原本7名的基础上再增加1名。所以，总有一行至少排的名数为：7＋1＝8（名）。 【详解】45÷6＝7（名）……3（名） 7＋1＝8（名） 即不管怎么排，总有1行至少排8名学生。 故答案为：B 3．（24-25六年级下·湖北武汉·期中）新年晚会上，老师让每名同学从一个装有许多玻璃球的口袋中摸2个球，这些球给人的手感相同，只有红、黄、白、蓝、绿之分，结果发现总有2人摸的球颜色相同，由此可知，参加摸球的至少有（    ）人。 A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】C 【分析】口袋里有红、黄、白、蓝、绿5种颜色的球，摸2个球的情况分两类：（1）两个球颜色相同，有红红、黄黄、白白、蓝蓝、绿绿5种，（2）两个球颜色不同，有红黄、红白、红蓝、红绿、黄白、黄蓝、黄绿、白蓝、白绿、蓝绿10种，共有5＋10＝15种不同的摸球结果；要保证“总有2人摸的球颜色相同”，就得考虑最不利的情况：前面15个人，每人摸的球颜色组合都不一样，这时候，再来1个人，不管他摸到哪种组合，都会和前面某个人的组合重复。所以，至少需要15＋1＝16人。 【详解】已知总有2人摸的球颜色相同，要保证这种情况发生，最不利的情况是每种颜色组合都先有1人摸到，此时再多1人，就一定会出现有2人摸的球颜色相同的情况，所以参加摸球的至少人数为15＋1＝16人。 故答案为：C 4．（24-25六年级下·河北邢台·期末）将25枚棋子放到下图的4个小方格中，则总有一个小方格内至少放了（    ）枚棋子。 A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】把4个小方格当作4个“抽屉”，25枚棋子当作25个“物体”。用棋子总数除以小方格数量，即25÷4＝6（枚）……1（枚）。这表明平均每个小方格放6枚棋子后，还剩余1枚棋子。剩余的1枚棋子无论放到哪个小方格，都会使该小方格的棋子数变为6＋1＝7枚。 【详解】25÷4＝6（枚）……1（枚） 6＋1＝7（枚） 所以总有一个小方格内至少放了7枚棋子 故答案为：C 5．（24-25六年级下·新疆阿克苏·期末）一个不透明的盒子里有红、白、蓝三种颜色的卡片各5张，至少一次抽取（    ）张卡片，可以保证抽取到两张相同颜色的卡片。 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】已知盒子里有红、白、蓝三种颜色的卡片，且每种颜色各5张，最不利的情形就是先把每种颜色的卡片都各抽了1张，因为有3种颜色，所以此时一共抽取了3张卡片，这3张卡片颜色分别为红、白、蓝，每种颜色各一张，再任意抽取1张卡片，不管这张卡片是什么颜色，它必然会和之前抽取的3张卡片中的某一张颜色相同，所以总共抽取的卡片数就是3＋1＝4张。 【详解】3＋1＝4（张） 所以至少一次抽取4张卡片，可以保证抽取到两张相同颜色的卡片。 故答案为：B 二、判断题 6．（24-25六年级下·贵州黔东南·期末）把7本书分别放进3个抽屉里，至少有一个抽屉里放3本。( ) 【答案】√ 【分析】物体的个数是7，抽屉数是3，物体的总数÷抽屉数＝每个抽屉的本数……剩余的本数（1本），剩下的1本无论放到哪个抽屉的都会使那个抽屉的本数增加1本，据此解答。 【详解】7÷3＝2（本）……1（本） 2＋1＝3（本） 因此，至少有一个抽屉放3本。 故答案为：√ 7．（24-25六年级下·湖南常德·期中）张叔叔参加射击比赛，5枪打出了43环，他至少有一枪不低于9环。( ) 【答案】√ 【分析】根据鸽巢原理，假设5枪每枪最多打8环，用8乘5计算总环数，如计算的总环数少于实际总环数，则说明至少有一枪不低于9环。据此分析解答。 【详解】假设每枪最多打8环，则总环数最多为8×5＝40（环）。实际总环数为43环，43＞40，因此假设不成立。所以至少有一枪不低于9环。原题说法正确。 故答案为：√ 8．（24-25六年级下·陕西渭南·期末）运动会上，在5分钟投篮比赛中，六（2）班的10名学生共投中了83个球，总有一名学生至少投中9个球。( ) 【答案】√ 【分析】把83个球看作被分配物体，10名学生看作抽屉数，被分配物体总数÷抽屉数＝平均每个抽屉分配物体的数量……剩下物体的数量，一个抽屉至少分配物体数量＝平均每个抽屉分配物体的数量＋1；据此解答。 【详解】83÷10＝8（个）……3（个） 8＋1＝9（个） 即运动会上，在5分钟投篮比赛中，六（2）班的10名学生共投中了83个球，总有一名学生至少投中9个球，原说法正确。 故答案为：√ 9．（20-21六年级下·河南·期末）学校将新买的19张课桌分给6个班，总有一个班至少分到4张课桌。( ) 【答案】√ 【分析】把6个班看作6个抽屉，把19张桌子看作19个元素，那么每个抽屉需要放19÷6＝3（张）……1（张），所以每个抽屉需要放3张，剩下的1张不论怎么放，总有一个抽屉里至少有3＋1＝4（张）。据此解答。 【详解】19÷6＝3（张）…1（张） 3＋1＝4（张） 所以总有一个班至少分到4张课桌。 原题说法正确。 故答案为：√ 10．（23-24六年级下·湖北黄冈·期末）盒子里装有同样大小的红球、黄球、蓝球各10个，要想摸出的球一定有3个同色的，至少要摸9个球。( ) 【答案】× 【分析】考虑最倒霉的情况，摸出的前3个都是不同颜色的球，再摸3个还是不同颜色的球，此时每种颜色各2个球，再摸一个，无论什么颜色，都可保证有3个同色的，据此分析。 【详解】3×2＋1 ＝6＋1 ＝7（个） 盒子里装有同样大小的红球、黄球、蓝球各10个，要想摸出的球一定有3个同色的，至少要摸7个球，所以原题说法错误。 故答案为：× 三、填空题 11．（24-25六年级下·天津南开·期末）有一副扑克牌去掉大小王后还剩52张牌，再从中任意抽取5张牌，至少有( )张牌是同一花色。 【答案】2 【分析】已知一副扑克牌去掉大小王后还剩52张牌，共有四种花色，每一色有13张。从中任意抽取5张牌，先将这5张牌平均分给4种花色，平均每种花色有1张，还剩下1张牌，无论是哪种花色，至少有2张牌是同一花色。 【详解】5÷4＝1（张）……1（张） 1＋1＝2（张） 至少有2张牌是同一花色。 12．（24-25六年级下·湖北随州·期末）希望小学六（1）班有学生50人，在同一个月过生日的学生至少有( )人。 【答案】5 【分析】一年有12个月，把12个月看作12个“抽屉”，50个学生看作50个“苹果”，用50除以12，求出商和余数，再用商加上1即可解答。 【详解】50÷12＝4（人）……2（人） 4＋1＝5（人） 希望小学六（1）班有学生50人，在同一个月过生日的学生至少有5人。 13．（24-25六年级下·湖南常德·期末）六（2）班“庆六一”联欢会，小明表演扑克牌“魔术”。一副扑克牌取出大小王，还剩52张牌，9人每人随意抽1张，至少有( )张牌是相同的花色。 【答案】3 【分析】此题考查抽屉原理，去掉大小王，就剩下52张牌，共4种花色，就是4个抽屉，9人每人随意抽1张，就是把9张牌放在4个抽屉里，只要使每个抽屉的元素尽量平均，用除法即可解答。 【详解】9÷4＝2（张）……1（张） 余下的一张总要放进其中1个抽屉里，所以： 2＋1＝3（张） 由此可知，六（2）班“庆六一”联欢会，小明表演扑克牌“魔术”。一副扑克牌取出大小王，还剩52张牌，9人每人随意抽1张，至少有3张牌是相同的花色。 14．（24-25六年级下·河北沧州·期末）从1、2、3、…、50中，至少取( )个不同的数，才能保证所取的数中一定有一个数是2的倍数；至少取( )个不同的数，才能保证所取的数中一定有一个数是5的倍数。 【答案】 26 41 【分析】自然数中个位数字是0、2、4、6、8的数是2的倍数（即偶数），在1到50这50个数里，奇数不是2的倍数，而奇数和偶数是交替出现的，50个数中奇数、偶数各占一半，所以不是2的倍数的数（奇数）有50÷2＝25个，考虑最不利的情况，就是先把所有不是2的倍数的数都取出来了，这时候再取1个数，就一定是2的倍数；自然数中个位数字是0或5的数是5的倍数，先算1到50中是5的倍数的数，50÷5＝10个（分别是5、10、15、20、25、30、35、40、45、50），那么不是5的倍数的数的个数就是50－10＝40个，同样考虑最不利情况，先把不是5的倍数的40个数都取出来，再取1个数就一定是5的倍数。 【详解】50÷2＝25（个） 25＋1＝26（个） 所以至少取26个不同的数，才能保证所取的数中一定有一个数是2的倍数； 50÷5＝10（个） 50－10＋1 ＝40＋1 ＝41（个） 所以至少取41个不同的数，才能保证所取的数中一定有一个数是5的倍数。 15．（24-25六年级下·河南三门峡·期末）把红、黄、蓝、绿四种颜色的球各10个放进同一个袋子里，至少需要取( )个球才可以保证取到两个颜色相同的球，至少需要取( )个球才可以保证取到两个颜色不同的球。 【答案】 5 11 【分析】最不利的情况是，前4次取球，每次取的球颜色都不同，即分别取到红、黄、蓝、绿四种颜色各1个，此时再取1个球，无论这个球是什么颜色，都会和之前取到的4个球中的某一个颜色相同，即4＋1＝5个； 最不利的情况是，先把某一种颜色的球全部取完，因为每种颜色有10个球，所以假设先把红色的10个球全部取出来了（也可以是黄、蓝、绿任意一种颜色），此时再取1个球，这个球的颜色必然是黄、蓝、绿中的一种，就会出现两个颜色不同的球，即10＋1＝11个。 【详解】4＋1＝5（个） 10＋1＝11（个） 所以至少需要取5个球才可以保证取到两个颜色相同的球，至少需要取11个球才可以保证取到两个颜色不同的球。 四、解答题 16．（24-25六年级下·云南德宏·期末）把红、蓝、绿、黄4种颜色足够多的水彩笔放到盒子里，至少抽出多少支才能保证抽到3支颜色相同的水彩笔？ 【答案】9支 【分析】要保证抽到3支同色笔，先考虑“最不利”的抽法，每次都尽量抽到不同颜色，且每种颜色都先只抽到2支。已知有红、蓝、绿、黄4种颜色，每种颜色先抽2支，共抽：4×2＝8支。此时盒子里每种颜色都有2支，再抽1支，无论抽到哪种颜色，都能让该颜色的笔达到3支。 【详解】每种颜色先抽2支，再抽1支，都能让该颜色的笔达到3支。 4×2＋1 ＝8＋1 ＝9（支） 答：至少抽出9支才能保证抽到3支颜色相同的水彩笔。 17．（2025六年级下·全国·专题练习）古时候，某地渔民出海打渔，相互之间用举红、白两种旗子来传递信号，可以举一面旗子，也可以先后举两面旗子，不举旗子不传递信号；一次出海打渔过程中，某船向其他船一共传递了13次信号，至少有几次传递的信号是相同的？如果传递了23次信号呢？ 【答案】4次；6次 【分析】这个船员可以举1白、1红、先红后白、先白后红，共4种举旗传递信号的方法。 第一问：用传递信号的总次数除以4，可知每种信号一定各有3次，那么剩下的1次无论与哪一种信号相同，都至少有4次传递的信号是相同的。用同样的方法解答第二问即可。 【详解】13÷4＝3（组）……1（次） 3＋1＝4（次） 23÷4＝5（组）……3（次） 5＋1＝6（次） 答：如果传递了13次，至少有4次传递的信号是相同的；如果传递了23次，至少有6次传递的信号相同。 试卷第1页，共3页 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $ 【讲义篇】2025-2026学年六年级下册数学人教版新课预习讲义 专题12 数学广角——鸽巢问题 （知识精讲+例题讲解+巩固练习） 亲爱的同学们： 这份六年级下册数学人教版“数学广角——鸽巢问题”预习讲义，专为你们衔接新学期数学广角核心内容打造。我们系统梳理鸽巢问题的逻辑脉络：从基本原理与“总有”“至少”等关键术语的深度解读，到枚举法、假设法、公式法等解题策略的全面解析，再到逆向应用的思路推导和实际问题的模型转化，都做了清晰呈现。搭配各地典型真题例题，每道题细致拆解思路，还有分层巩固练习帮你检验成果。希望大家吃透鸽巢问题的本质与应用，扫清预习障碍，为新学期数学思维能力筑牢基础，开启充满逻辑思辨的数学探索之旅！ 知识精讲 知识点一、鸽巢问题的基本原理 1. 鸽巢原理的核心定义 （1）基本鸽巢原理表述 ① 把n+1个物体任意放进n个鸽巢里（n为正整数），那么总有一个鸽巢里至少放进2个物体。这是鸽巢问题最基础的形式，体现了“存在性”的必然结果，即无论如何分配，都无法避免某个鸽巢有至少2个物体。 ② 推广的鸽巢原理：把kn+1个物体任意放进n个鸽巢里（k、n为正整数），那么总有一个鸽巢里至少放进(k+1)个物体。这是对基本原理的拓展，可解决涉及更多物体数量的“至少”问题。 2. 鸽巢问题的关键术语解读 （1）“总有”与“至少”的含义 ① “总有”指的是“一定存在”，即在所有可能的分配情况中，必然会出现某个鸽巢满足后续的数量条件，不依赖于具体的分配方式。 ② “至少”指的是满足条件的最小数量，是在所有分配情况中，出现次数最少的那个“最大值”，并非唯一可能的数量，实际情况中可能存在比这个数量更多的情况。 知识点二、鸽巢问题的解题策略 1. 枚举法 （1）枚举法的适用范围与思路 ① 适用于鸽巢和物体数量较少的场景，可通过一一列举所有可能的分配方式，直观找到满足“至少”条件的结果。 ② 枚举时需覆盖所有分配情况，确保不遗漏任何一种可能，从而直接验证鸽巢原理的必然性。 2. 假设法（平均分思想） （1）假设法的核心逻辑 ① 假设每个鸽巢都先放进数量相同的物体，即尽量将物体平均分配到各个鸽巢中，这是解决鸽巢问题的核心思路，也是最常用的方法之一。 ② 通过平均分后剩余物体的分配，可直接得出“至少”的数量——剩余物体无论放进哪个鸽巢，都会使该鸽巢的物体数量达到“至少”值。 3. 公式法 （1）鸽巢问题的量化公式 ① 当物体数除以鸽巢数有余数时：至少数=商+1。其中“商”是平均每个鸽巢分到的物体数量，余数是平均分后剩余的物体数，无论余数是多少（1到n-1），只需将商加1即可得到“至少”的数量。 ② 当物体数除以鸽巢数无余数（余数为0）时：至少数=商。此时每个鸽巢分到的物体数量相同，刚好达到“至少”的最小数量，不存在额外剩余物体需要分配。 知识点三、鸽巢问题的逆向应用 1. 已知“至少数”求物体数量 （1）逆向推导的思路 ① 要保证某个鸽巢里至少有m个物体，当鸽巢数为n时，最少需要的物体数量为：物体数=(m-1)×n+1。这个公式的本质是先让每个鸽巢都有(m-1)个物体，再额外增加1个物体，必然会使某个鸽巢的物体数量达到m个，从而满足“至少”条件。 2. 已知“至少数”和物体数量求鸽巢数 （1）逆向计算的方法 ① 已知物体总数为A，要保证至少有m个物体在同一个鸽巢中，鸽巢数的最大值可通过公式计算：(A-1)÷(m-1)。若计算结果有余数，则鸽巢数为商；若无余数，则鸽巢数为商。 ② 核心逻辑是先让每个鸽巢最多容纳(m-1)个物体，用物体数减去1后除以(m-1)，得到的商就是最多能容纳的鸽巢数量，此时不会出现任何鸽巢有m个物体；若鸽巢数少于该值，则必然有鸽巢满足“至少m个”的条件。 知识点四、鸽巢问题的实际应用 1. 常见实际场景分析 （1）生活中的典型应用场景 ① 物品分配类：如抽屉放文具、书架放书籍、储物柜放物品等问题，需保证某类物品至少有一定数量在同一个容器中。 ② 随机抽取类：如摸球、抽卡片、属相统计、生日分组等问题，需确定抽取多少个样本，才能保证满足特定的“至少”条件（如至少摸出2个同色球）。 ③ 统计推断类：在数据分析中，利用鸽巢原理推断群体中必然存在的共性情况，如班级中至少有两名同学同一天生日（当班级人数超过366时，不考虑闰年则为365）。 2. 实际问题转化为鸽巢模型的关键 （1）构造“鸽巢”与“物体”的方法 ① 准确识别问题中的“鸽巢”和“物体”：通常将问题中具有相同属性的类别视为“鸽巢”，将需要分配的对象视为“物体”。例如，在属相问题中，12个属相是“鸽巢”，每个人是“物体”；在摸球问题中，球的颜色种类是“鸽巢”，单个球是“物体”。 ② 明确问题中的“至少”目标：根据题目要求，确定需要保证的至少数量，再结合鸽巢原理的公式或策略，将实际问题转化为标准的鸽巢模型进行求解。 例题讲解 题型一、鸽巢问题 【典型例题】（24-25六年级下·湖北武汉·期末）学校投篮比赛中每人投10个球，六（2）班的5名同学共投中了37个球，总有一名同学至少投中了（    ）个球。 A．7 B．8 C．9 D．10 【跟踪训练】（23-24六年级下·内蒙古阿拉善盟·期末）2022年北京冬奥会中国体育代表团总人数为387人，其中运动员176人，是史上规模最大的一届。运动员中至少有( )人在同一个月过生日。 题型二、最不利原则 【典型例题】（24-25六年级下·广西河池·期末）袋子里有同样的黄球和白球各5个，要保证摸出的球一定有2个颜色相同，最少要摸出( )个。 【跟踪训练】（24-25六年级下·浙江杭州·期中）用一副扑克牌（去掉大小王）玩数学游戏，至少要摸出( )张牌才能保证有2张相同花色的牌；如果在3张红桃、4张梅花、5张黑桃中摸牌，至少要摸出( )张牌才能保证有3张不同花色的牌。 巩固练习 一、选择题 1．（24-25六年级下·天津滨海新·期末）有10只鸽子飞进了3个鸽笼，总有1个鸽笼至少飞进了（    ）。 A．1只鸽子 B．3只鸽子 C．4只鸽子 D．8只鸽子 2．（24-25六年级下·广东江门·期中）六（5）班有45名学生，排成6行做操，不管怎么排，总有1行至少排（    ）名学生。 A．7 B．8 C．9 D．10 3．（24-25六年级下·湖北武汉·期中）新年晚会上，老师让每名同学从一个装有许多玻璃球的口袋中摸2个球，这些球给人的手感相同，只有红、黄、白、蓝、绿之分，结果发现总有2人摸的球颜色相同，由此可知，参加摸球的至少有（    ）人。 A．14 B．15 C．16 D．17 4．（24-25六年级下·河北邢台·期末）将25枚棋子放到下图的4个小方格中，则总有一个小方格内至少放了（    ）枚棋子。 A．5 B．6 C．7 D．8 5．（24-25六年级下·新疆阿克苏·期末）一个不透明的盒子里有红、白、蓝三种颜色的卡片各5张，至少一次抽取（    ）张卡片，可以保证抽取到两张相同颜色的卡片。 A．3 B．4 C．5 D．6 二、判断题 6．（24-25六年级下·贵州黔东南·期末）把7本书分别放进3个抽屉里，至少有一个抽屉里放3本。( ) 7．（24-25六年级下·湖南常德·期中）张叔叔参加射击比赛，5枪打出了43环，他至少有一枪不低于9环。( ) 8．（24-25六年级下·陕西渭南·期末）运动会上，在5分钟投篮比赛中，六（2）班的10名学生共投中了83个球，总有一名学生至少投中9个球。( ) 9．（20-21六年级下·河南·期末）学校将新买的19张课桌分给6个班，总有一个班至少分到4张课桌。( ) 10．（23-24六年级下·湖北黄冈·期末）盒子里装有同样大小的红球、黄球、蓝球各10个，要想摸出的球一定有3个同色的，至少要摸9个球。( ) 三、填空题 11．（24-25六年级下·天津南开·期末）有一副扑克牌去掉大小王后还剩52张牌，再从中任意抽取5张牌，至少有( )张牌是同一花色。 12．（24-25六年级下·湖北随州·期末）希望小学六（1）班有学生50人，在同一个月过生日的学生至少有( )人。 13．（24-25六年级下·湖南常德·期末）六（2）班“庆六一”联欢会，小明表演扑克牌“魔术”。一副扑克牌取出大小王，还剩52张牌，9人每人随意抽1张，至少有( )张牌是相同的花色。 14．（24-25六年级下·河北沧州·期末）从1、2、3、…、50中，至少取( )个不同的数，才能保证所取的数中一定有一个数是2的倍数；至少取( )个不同的数，才能保证所取的数中一定有一个数是5的倍数。 15．（24-25六年级下·河南三门峡·期末）把红、黄、蓝、绿四种颜色的球各10个放进同一个袋子里，至少需要取( )个球才可以保证取到两个颜色相同的球，至少需要取( )个球才可以保证取到两个颜色不同的球。 四、解答题 16．（24-25六年级下·云南德宏·期末）把红、蓝、绿、黄4种颜色足够多的水彩笔放到盒子里，至少抽出多少支才能保证抽到3支颜色相同的水彩笔？ 17．（2025六年级下·全国·专题练习）古时候，某地渔民出海打渔，相互之间用举红、白两种旗子来传递信号，可以举一面旗子，也可以先后举两面旗子，不举旗子不传递信号；一次出海打渔过程中，某船向其他船一共传递了13次信号，至少有几次传递的信号是相同的？如果传递了23次信号呢？ 试卷第1页，共3页 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $