【讲义篇】新课预习讲义：专题10 比例的应用（讲义）-2025-2026学年六年级下册数学人教版

【讲义篇】2025-2026学年六年级下册数学人教版新课预习讲义 专题10 比例的应用 （知识精讲+例题讲解+巩固练习） 亲爱的同学们： 这份六年级下册数学人教版“比例的应用”预习讲义，专为你们衔接新学期比例知识实践应用核心内容打造。我们从比例尺的定义、分类与换算公式，到图形放大与缩小的特征操作，再到用正反比例解决实际问题的完整思路，都做了系统清晰的梳理。搭配各地期中期末典型真题作为例题，每道题都拆解思路、细致分析，还有分层巩固练习帮你们及时检验成果。希望大家通过这份讲义，吃透比例应用的本质与技巧，扫清预习障碍，为新学期数学学习筑牢基础，轻松开启比例知识的实践应用之旅！ 知识精讲 知识点一、比例尺 1. 比例尺的定义 （1）核心概念 ① 比例尺是表示图上距离与实际距离的比，它是一个比值，没有单位名称。 ② 计算比例尺时，必须先统一图上距离和实际距离的单位，通常转化为同级单位后再进行比的计算。 （2）本质属性：比例尺反映的是图上距离与实际距离的缩放倍数，体现了图形与实际物体的大小比例关系。 2. 比例尺的分类 （1）按表现形式分类 ① 数值比例尺：用数字的比例式或分数式表示比例尺，例如1:500000或 。 ② 线段比例尺：在地图上画一条线段，并注明线段上代表的实际距离，例如“”，表示图上1厘米代表实际10千米。 （2）按缩放关系分类 ① 放大比例尺：比例尺的前项大于后项，用于将微小物体放大绘制，例如2:1，表示图上距离是实际距离的2倍。 ② 缩小比例尺：比例尺的后项大于前项，用于将较大物体缩小绘制，例如1:1000，表示图上距离是实际距离的 。 3. 比例尺的应用公式 （1）基本换算公式 ① 图上距离 = 实际距离 × 比例尺 ② 实际距离 = 图上距离 ÷ 比例尺 ③ 比例尺 = 图上距离 : 实际距离（需统一单位后化简） 知识点二、图形的放大与缩小 1. 图形放大与缩小的核心特征 （1）形状不变性：放大或缩小后的图形与原图形对应角的大小完全相等，图形的整体形状保持一致。 （2）大小缩放性：放大或缩小后的图形与原图形对应边的长度按固定比例变化，这个比例就是放大或缩小的比例。 2. 图形放大与缩小的操作要点 （1）确定缩放比例：明确操作是放大还是缩小，放大比例大于1，缩小比例小于1（且为正数）。 （2）对应边的计算与绘制 ① 测量原图形各条边的长度，根据缩放比例计算出放大或缩小后对应边的长度。 ② 按照原图形的形状，依次画出各条边，确保对应角的大小与原图形一致。 3. 与比例尺的关联 （1）本质联系：图形的放大与缩小是比例尺在图形操作中的实际应用，放大比例对应放大比例尺，缩小比例对应缩小比例尺。 知识点三、用比例解决问题 1. 用比例解决问题的核心思路 （1）判断比例关系：首先分析题目中两种相关联的量，判断它们成正比例关系还是反比例关系。 （2）构建比例等式：根据正比例或反比例的定义，列出含有未知数的比例等式，通过解比例求出未知数。 2. 正比例关系问题的解法 （1）判断依据：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随之变化，且相对应两个数的比值（商）一定，这两种量成正比例关系。 （2）解题步骤 ① 设未知数为 ，明确未知数所代表的量。 ② 根据正比例关系的比值固定，列出比值相等的比例式，例如 （ 为已知对应量， 为已知量， 为未知数）。 ③ 解比例，求出未知数 的值，并检验合理性。 3. 反比例关系问题的解法 （1）判断依据：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随之变化，且相对应两个数的乘积一定，这两种量成反比例关系。 （2）解题步骤 ① 设未知数为 ，明确未知数所代表的量。 ② 根据反比例关系的乘积固定，列出乘积相等的等式，例如 （ 为已知对应量， 为已知量， 为未知数）。 ③ 解比例，求出未知数的值，并检验合理性。 4. 解题注意事项 （1）量的关联性验证：确保题目中的两种量是相关联的量，即一种量的变化会直接引起另一种量的变化，无关联的量不能用比例解决。 （2）比例关系的准确性：严格区分正比例和反比例的判断标准，避免因比例关系判断错误导致等式列错。 例题讲解 题型一、比例尺的意义 【典型例题】（23-24六年级下·甘肃临夏·期末）线段比例尺表示图上距离1厘米相当于实际距离( )千米，把它改写成数值比例尺是( )。 【答案】 10 1∶1000000/ 【分析】从线段比例尺可以看出，图上1厘米相当于实际距离10千米，先统一单位10千米＝1000000厘米；然后根据“比例尺＝图上距离∶实际距离”写出比例尺即可。 【详解】1厘米∶10千米 ＝1厘米∶1000000厘米 ＝1∶1000000 因此，线段比例尺表示图上距离1厘米相当于实际距离10千米，把它改写成数值比例尺是1∶1000000。 【跟踪训练】（24-25六年级下·河南省直辖县级单位·期末）毕业前夕，光明小学六（2）班的同学们为母校绘制了一张校园平面图。学校一幢教学楼的底面形状是长方形，底面的实际长是80米。在校园平面图上，这幢教学楼底面的长是8厘米。这张校园平面图的比例尺是( )。 【答案】1∶1000 【分析】根据比例尺＝图上距离∶实际距离，统一单位，代入数据计算即可解答。 【详解】8厘米∶80米 ＝8厘米∶8000厘米 ＝8∶8000 ＝（8÷8）∶（8000÷8） ＝1∶1000 所以这张校园平面图的比例尺是1∶1000。 题型二、比例尺应用 【典型例题】（23-24六年级下·河北唐山·期中）在一幅比例尺是1∶2000000的地图上，量得甲、乙两个城市之间的距离是6厘米。在另一幅比例尺是1∶3000000的地图上，这两个城市之间的距离是多少厘米？ 【答案】4厘米 【分析】分析题目，先根据实际距离＝图上距离÷比例尺求出甲、乙两个城市之间的实际距离，再根据图上距离＝实际距离×比例尺用实际距离乘比例尺即可解答。 【详解】6÷ ＝6×2000000 ＝12000000（厘米） 12000000×＝4（厘米） 答：在另一幅比例尺是1∶3000000的地图上，这两个城市之间的距离是4厘米。 【跟踪训练】（24-25六年级下·浙江温州·期中）在比例尺是的地图上，量得温州到义乌两地之间的距离是4.8厘米。一辆汽车从温州开到义乌，每小时行驶80千米，到达义乌需要几小时？ 【答案】3小时 【分析】比例尺是1∶5000000，它的意思是：地图上1厘米，对应实际地面上5000000厘米。因为1千米＝100000厘米，所以把5000000厘米换算成千米：5000000÷100000＝50千米。也就是说，地图上1厘米，实际是50千米。地图上温州到义乌是4.8厘米，因为1厘米对应实际50千米，那么4.8厘米对应的实际距离就是：4.8×50＝240千米。已知汽车速度是每小时80千米，路程是240千米。根据“时间＝路程÷速度”，即可解答。 【详解】1千米＝100000厘米 5000000÷100000＝50（千米） 4.8×50＝240（千米） 240÷80＝3（小时） 答：到达义乌需要3小时。 题型三、应用比例尺画图 【典型例题】（24-25六年级下·河北唐山·期中）社区要建一个长28米，宽15米的篮球场，请根据比例尺先算出图上距离，再在图中画出篮球场的平面图（比例尺1∶1000）。 【答案】见详解 【分析】由比例尺的意义可知，图上距离＝实际距离×比例尺，先把28米和15米转化为2800厘米和1500厘米，再求出长和宽的图上距离，然后把数值比例尺转化为线段比例尺，最后根据计算结果画出篮球场的平面图，据此解答。 【详解】28米＝2800厘米，15米＝1500厘米。 长：2800×＝2.8（厘米） 宽：1500×＝1.5（厘米） 比例尺1∶1000表示图上1厘米代表实际距离1000厘米，1000厘米＝10米，在图上把数值比例尺转化为线段比例尺。 【跟踪训练】（24-25六年级下·河南南阳·期中）芳芳家在少年宫正北方向，距少年宫400米；晶晶家在少年宫正西方向，距少年宫500米。算一算，并在下图中画出她们两家和少年宫的位置平面图。（要求在图中标出线段比例尺） 【答案】见详解 【分析】先进行单位换算：1米＝100厘米，400米为400×100＝40000厘米，500米为500×100＝50000厘米。已知比例尺为1∶20000，1∶20000＝，芳芳家到少年宫图上距离为40000×＝2厘米。晶晶家到少年宫图上距离为50000×＝2.5厘米。 以少年宫为中心，正北方向画2厘米长线段标芳芳家；正西方向画2.5厘米长线段标晶晶家。线段比例尺：画1厘米线段，代表200米。 【详解】1米＝100厘米 400×100＝40000（厘米） 500×100＝50000（厘米） 1∶20000＝ 40000×＝2（厘米） 50000×＝2.5（厘米） 如图： 题型四、图形的放大与缩小 【典型例题】（24-25六年级下·湖北武汉·期中）将三角形按1∶3缩小得到图形A，将梯形按2∶1放大得到图形B。 【答案】见详解 【分析】三角形按1∶3缩小得到图形A：原三角形的高占3格，底占6格。按1∶3缩小，就是将原三角形的各边长度变为原来的。缩小后高为3×＝1格，缩小后底为6×＝2格。据此画出缩小后的三角形A。 梯形按2∶1放大得到图形B：数出原梯形的上底、下底、高所占格数，原梯形上底占2格，下底占5格，高占2格。按2∶1放大，就是将各边长度变为原来的2倍。放大后，上底变为2×2＝4格，下底变为5×2＝10格，高变为2×2＝4格。据此画出放大后的梯形B。 【详解】 如图： 【跟踪训练】（24-25六年级下·内蒙古通辽·期中）把长方形按1∶2缩小，把平行四边形按3∶1放大。 【答案】见详解 【分析】按1∶2缩小就是把长方形的长和宽分别缩小为原来的，据此画图。 按3∶1放大就是把平行四边形的底和高分别扩大为原来的3倍，据此画图。 【详解】（格） （格） （格） （格） 画图如下： 题型五、用比例解决问题 【典型例题】（2025·广东潮州·小升初真题）小林到阳光书店购买了3本A型号的笔记本共12.6元。照这样计算，如果买5本A型号的笔记本，需要多少钱？（用比例解） 【答案】21元 【分析】因为每本A型号笔记本的单价是固定不变的，“总价÷数量＝单价（一定）”，两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随之变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（商）始终一定，那么就说这两种量成正比例关系，这两种量也被称为成正比例的量。所以笔记本的总价与购买的数量成正比例关系。 设买5本A型号笔记本需要x元。由于总价与数量成正比例，可得比例为：3∶12.6＝5∶x，然后根据比例的基本性质“两内项之积等于两外项之积”，解比例即可。 【详解】解：设买5本A型号笔记本需要x元。 3∶12.6＝5∶x 3x＝12.6×5 3x＝63 x＝63÷3 x＝21 答：需要21元钱。 【跟踪训练】（24-25六年级下·江西鹰潭·期中）晨星印刷厂准备装订一批练习本，如果每本28页，可以装订成500本。现在每本多装订7页，可以装订成多少本？（请用比例解决问题） 【答案】400本 【分析】“练习本的总页数一定”，即总页数＝每本的页数×装订的本数，由于这批练习本的总页数是固定不变的，当每本的页数增加时，装订的本数会相应减少，因此每本的页数与装订的本数成反比例。设现在可以装订成x本，原来每本28页，可装订500本；现在每本多装订7页，即每本有28＋7＝35页，根据总页数相等可列出比例式 （28＋7）x＝28×500，然后解这个比例即可。 【详解】解：设现在可以装订成x本。 （28＋7）x＝28×500 35x＝14000 35x÷35＝14000÷35 x＝400 答：现在可以装订成400本。 巩固练习 一、选择题 1．（24-25六年级下·广东中山·期末）学校操场长50米，宽30米，要把它按一定的比例画在作业本上，下面比例尺中适宜的是（    ）。 A．1∶10 B．1∶100 C．1∶1000 D．1∶10000 【答案】C 【分析】根据进率“1米＝100厘米”，先将长50米、宽30米换算成5000厘米、3000厘米；然后根据“图上距离＝实际距离×比例尺”，分别求出四个选项中长、宽的图上距离，再结合生活实际，得出哪个比例尺适合画在作业本上。 【详解】50米＝5000厘米 30米＝3000厘米 A．5000×＝500（厘米） 3000×＝300（厘米） 长500厘米、宽300厘米画在作业本上，尺寸太大，所以比例尺不适宜； B．5000×＝50（厘米） 3000×＝30（厘米） 长50厘米、宽30厘米画在作业本上，尺寸太大，所以比例尺不适宜； C．5000×＝5（厘米） 3000×＝3（厘米） 长5厘米、宽3厘米画在作业本上，尺寸合适，所以比例尺适宜； D．5000×＝0.5（厘米） 3000×＝0.3（厘米） 长0.5厘米、宽0.3厘米画在作业本上，尺寸太小，所以比例尺不适宜。 故答案为：C 2．（24-25六年级下·云南昆明·期末）一幅地图的比例尺是，在这幅地图上量得AB两地之间的距离是3cm。两地之间的实际距离是（    ）。 A．30km B．60km C．90km D．180km 【答案】C 【分析】观察线段比例尺，可知图上1cm表示实际30km，图上距离×比例尺＝实际距离，据此进行换算。 【详解】3×30＝90（km） 两地之间的实际距离是90km。 故答案为：C 3．（24-25六年级下·北京海淀·期末）教学楼的底面是长60米，宽20米的长方形。在绘制它的平面图时，乐乐选择的比例尺是1∶2000，淘气选择的比例尺是1∶1000。以下说法正确的（    ）。 ①在乐乐的平面图中，教学楼底面的图上长是实际长的 ②在淘气的平面图中，教学楼底面的实际面积是图上面积的1000倍 ③在两幅平面图中，教学楼底面的长都是宽的3倍 ④在两幅平面图中，乐乐画的教学楼底面的面积比淘气的小 A．只有① B．只有③ C．只有①③④ D．有①②③④ 【答案】C 【分析】①直接应用比例尺定义； ②面积倍数应为比例尺分母平方，而非分母本身； ③长宽比例与比例尺无关； ④比较两图的图上面积，分母越大，图上面积越小。 【详解】①在乐乐平面图中，比例尺1∶2000表示图上距离是实际距离的，原题说法正确； ②比例尺1∶1000对应实际距离是图上距离的1000倍，面积倍数为10002＝1000000倍，原题说法错误； ③实际长宽比为60∶20＝3∶1，在两幅平面图中，教学楼底面的长都是宽的3倍。原题说法正确； ④乐乐图上面积： ＝0.03×0.01＝0.0003（平方米） 淘气的图上面积： ＝0.06×0.02＝0.0012（平方米） 0.0003＜0.0012 在两幅平面图中，乐乐画的教学楼底面的面积比淘气的小。原题说法正确。 因此，说法正确的只有①③④。 故答案为：C 【点睛】本题考查比例尺的应用，根据比例尺的定义、图上距离与实际距离的关系、长方形面积公式等知识，对每个说法逐一进行分析判断。 4．（24-25六年级下·北京海淀·期末）把长方形甲按比缩小后得到长方形乙，如下图所示。根据图中信息，同学们列出了下面的四个等式，其中正确的（    ）。 ①16－12＝24－x          ②16∶24＝12∶x ③12∶16＝x∶24          ④x∶12＝16∶24 A．只有① B．只有② C．只有②③ D．只有③④ 【答案】C 【分析】根据图形缩小的方法，把长方形甲按比缩小后得到长方形乙，相对应的边的长度比相等，据此分析所给等式是否正确。 【详解】①长方形甲按比缩小得到长方形乙，缩小的比例是固定的，16－12＝24－x只是简单的边长相减，没有出现按比例缩小的关系，所以①错误。 ②因为长方形甲按比缩小得到长方形乙，所以甲的宽与长的比等于乙的宽与长的比，甲长24cm、宽16cm，乙长xcm、宽12cm，可得16∶24＝12∶x，②正确。 ③由长方形甲按比缩小得到长方形乙，可得乙的宽与甲的宽的比等于乙的长与甲的长的比，即12∶16＝x∶24，③正确。 ④x∶12＝16∶24，与按比缩小的性质不符，所以④错误。 分析可知，根据图中信息，同学们列出了四个等式，其中正确的有16∶24＝12∶x和12∶16＝x∶24。 故答案为：C 5．（24-25六年级下·福建莆田·期末）华为“麒麟980”是中国最新一代芯片，是世界上第一个采用台积电7纳米工艺制造的商用手机SOC芯片组。在一次产品发布会上，按40∶1的比例尺展示了“麒麟980的外形图片，该图片边长是70厘米。“麒麟980”实际的边长是（    ）毫米。 A．1.75 B．17.5 C．175 D．280 【答案】B 【分析】分析题目，根据实际距离＝图上距离÷比例尺求出实际距离，再根据1厘米＝10毫米把单位换算成毫米。 【详解】70÷40＝1.75（厘米） 1.75厘米＝17.5毫米 所以“麒麟980”实际的边长是17.5毫米。 故答案为：B 二、判断题 6．（24-25六年级下·新疆阿勒泰·期末）把线段比例尺改写成数值比例尺是1∶6000。( ) 【答案】× 【分析】线段比例尺表示图上1厘米代表实际距离6千米。因为1千米＝100000厘米，所以6千米为6×100000＝600000厘米。数值比例尺是图上距离与实际距离的比，所以数值比例尺为1∶600000。 【详解】1厘米∶6千米 ＝1厘米∶600000厘米 ＝1∶600000 线段比例尺改写成数值比例尺是1∶600000，题干说法错误。 故答案为：× 7．（24-25六年级下·新疆阿勒泰·期末）图上距离∶实际距离＝4cm∶2800cm＝，所以比例尺是比值。( ) 【答案】× 【分析】比例尺的定义是图上距离与实际距离的比，通常写成前项为1的比的形式（如1∶700）。题目中将4cm∶2800cm化简为，虽然数值正确，但比例尺的正确表示应为比的形式，而非分数形式。 【详解】根据比例尺的定义：比例尺＝图上距离∶实际距离。题目中图上距离为4cm，实际距离为2800cm，化简得4∶2800＝1∶700。比例尺应表示为“1∶700”，而非分数“”。因此，题目中的结论错误。 故答案为：× 8．（24-25六年级下·甘肃平凉·期中）一个三角形按5∶1图形放大后，大小发生了变化，形状不变。( ) 【答案】√ 【分析】图形的放大或缩小是指各边按比例变化，而角度保持不变。放大后的图形与原图形是相似图形，形状相同，大小不同。 【详解】根据分析可知，一个三角形按5∶1图形放大后，大小发生了变化，形状不变。 原题干说法正确。 故答案为：√ 9．（24-25六年级下·广东韶关·期中）比值小于1的比例尺，图上距离小于实际距离。( ) 【答案】√ 【分析】比值大于1的比例尺叫放大比例尺，比值小于1的比例尺叫缩小比例尺。 【详解】图上距离∶实际距离＝比例尺 比值小于1的比例尺，即＜1，图上距离小于实际距离。 原题说法正确。 故答案为：√ 10．（23-24六年级下·内蒙古阿拉善盟·期末）一个长4cm、宽3cm的长方形，按4∶1放大后，面积是48cm2。( ) 【答案】× 【分析】分析题目，根据比的意义用原长方形的长和宽分别乘4求出放大后的长方形的长和宽，再根据长方形的面积＝长×宽求出放大后的面积即可。 【详解】（4×4）×（3×4） ＝16×12 ＝192（cm2） 一个长4cm、宽3cm的长方形，按4∶1放大后，面积是192cm2；原说法错误。 故答案为：× 三、填空题 11．（24-25六年级下·山东济南·期末）济南地铁8号线全长约25千米，画在比例尺为1∶500000的地图上，应画( )厘米。 【答案】5 【分析】比例尺为1∶500000＝，已知地铁8号线全长约25千米，因为1千米＝100000厘米，所以25千米为25×100000＝2500000厘米。求图上距离是多少厘米，根据“图上距离＝实际距离×比例尺”把数据代入计算即可。 【详解】1∶500000＝ 1千米＝100000厘米 25×100000＝2500000（厘米） 2500000×＝5（厘米） 应画5厘米。 12．（2025·河北石家庄·小升初真题）这是一幅地图的线段比例尺，改写成数值比例尺是( )。如果A地到B地的实际距离是105km，在这幅地图上的距离是( )。 【答案】 1∶3000000 3.5cm 【分析】线段比例尺代表图上距离1cm，代表实际距离30km，将km单位换算为cm，再由比例尺＝图上距离∶实际距离，化简为最简整数比即为第一个空。根据图上距离＝实际距离×比例尺，在单位换算成厘米，即可求得第二个空。 【详解】30km＝3000000cm 1cm∶3000000cm＝1∶3000000 105（km） 0.000035km＝3.5cm 所以改写成数值比例尺是1∶3000000，如果A地到B地的实际距离是105km，在这幅地图上的距离是3.5cm。 13．（24-25六年级下·广东东莞·期末）在比例尺为1∶5000000的地图上，量得A、B两地的距离是4厘米，A、B两地的实际距离是( )千米；若一辆汽车以80千米/小时的速度从A地开往B地，需要( )小时。 【答案】 200 2.5 【分析】已知地图的比例尺和A、B两地的图上距离，根据“实际距离＝图上距离÷比例尺”以及进率“1千米＝100000厘米”，求出A、B两地的实际距离；再根据“时间＝路程÷速度”求出汽车从A地开往B地需要的时间。 【详解】4÷ ＝4×5000000 ＝20000000（厘米） 20000000厘米＝200千米 200÷80＝2.5（小时） A、B两地的实际距离是（200）千米；若一辆汽车以80千米/小时的速度从A地开往B地，需要（2.5）小时。 14．（24-25六年级下·河南许昌·期末）小米一家到西湖边合影留念，她发现照片上她的身高是4.4cm，旁边妈妈的身高是4.8cm。小米的实际身高是1.54m，那么妈妈的实际身高是( )m。 【答案】1.68 【分析】照片是按固定比例缩小的，即“照片上的身高”与“实际身高”的比值始终不变。根据正比例的定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，且两种量的比值一定，则这两种量成正比例关系。因此，照片上的身高与实际身高成正比例。已知小米的实际身高，设妈妈的实际身高为xcm。由于“照片身高∶实际身高”的比值固定，可列比例式为：4.4∶154＝4.8∶x，然后根据比例性质求解即可。计算过程中，注意单位的换算。 【详解】1.54m＝154cm 解：设妈妈的实际身高为xcm。 4.4∶154＝4.8∶x 4.4x＝154×4.8 4.4x＝739.2 x＝739.2÷4.4 x＝168 168cm＝1.68m 妈妈的实际身高是1.68m。 15．（24-25六年级下·广西百色·期末）在比例尺为1∶2000000的地图上，量得平果市到南宁市之间的公路长4.3厘米，李师傅开了一辆货车从平果市到南宁市用了1.2小时行驶完这段路。这段路共( )千米，李师傅开车( )（填“超速”或“不超速”）。 【答案】 86 不超速 【分析】图上距离∶实际距离＝比例尺，据此求出两地的实际距离；再根据“全程÷时间＝速度”求出行驶速度后与路牌上货车限速千米/时比对，判断是否超速，据此解答。 【详解】 （千米） （千米/时） 因为千米/时小于千米/时，故李师傅开车不超速。 四、作图题 16．（24-25六年级下·新疆巴音郭楞·期末）医院在学校的正东方向，距离学校200米；图书馆在医院的正北方向，距离医院100米。在下图中标出医院和图书馆的位置。 【答案】图见详解 【分析】根据“上北下南，左西右东”的方向原则，以及线段比例尺（图上1厘米代表实际距离100米）来确定医院和图书馆的位置。先确定医院在学校正东200米处，再确定图书馆在医院正北100米处。据此解答。 【详解】 17．（24-25六年级下·河北廊坊·期中）按要求画图。 （1）按3∶1画出三角形放大后的图形。 （2）按1∶2画出梯形缩小后的图形。 【答案】见详解 【分析】（1）已知原来三角形的底是3格，高是2格，按3∶1放大，意味着各边长度变为原来的3倍，所以放大后三角形的底为3×3＝9格，高为2×3＝6格，形状不变，据此画出放大后的三角形。 （2）已知原来梯形上底是4格，下底是8格，高是4格，按1∶2缩小，各边长度变为原来的，所以缩小后梯形的上底为4÷2＝2格，下底为8÷2＝4格，高为4÷2＝2格，形状不变，据此画出缩小后的梯形。 【详解】如图： 五、解答题 18．（24-25六年级下·湖北十堰·期中）在一幅比例尺是1∶2000000的地图上，量得甲、乙两个城市之间高速公路的距离是5.5厘米。在另一幅比例尺是1∶5000000的地图上，这条公路的图上距离是多少厘米？ 【答案】2.2厘米 【分析】已知地图的比例尺是1∶2000000，一条高速公路的图上距离是5.5厘米，根据“实际距离＝图上距离÷比例尺”求出这条公路的实际距离； 已知另一幅地图的比例尺是1∶5000000，根据“图上距离＝实际距离×比例尺”求出这条公路在这幅地图上的图上距离。 【详解】5.5÷ ＝5.5×2000000 ＝11000000（厘米） 11000000×＝2.2（厘米） 答：这条公路的图上距离是2.2厘米。 19．（2025·四川遂宁·小升初真题）在比例尺为1∶6000000的地图上量得A、B两地相距8cm，一辆货车以每小时80千米的速度从A地开往B地。需要多少小时到达？ 【答案】6小时 【分析】首先计算A、B两地之间的实际距离，A、B两地之间的实际距离＝图上距离÷比例尺；A、B两地之间的实际距离÷汽车的行驶速度＝行驶时间，把数据代入即可求解。 【详解】8÷＝48000000（厘米） 48000000厘米＝480千米 480÷80＝6（小时） 答：需要6小时到达。 20．（24-25六年级下·湖南郴州·期末）阳光小区要铺设一条煤气管道，计划每天铺设60米，5天可完成任务。由于居民着急使用，工程队决定每天铺75米，这样几天可以完成？ 【答案】4天 【分析】根据题意可知，这条煤气管道的总长度一定，即每天铺设的长度×铺设的天数＝煤气管道的总长度（一定），乘积一定，则每天铺设的长度与铺设的天数成反比例关系，据此列出反比例方程，进一步解出方程即可。 【详解】解：设每天铺75米，x天可以完成。 75x＝60×5 75x＝300 x＝300÷75 x＝4 答：工程队决定每天铺75米，这样4天可以完成。 21．（24-25六年级下·河南商丘·期中）北京的世界公园是一座大比例的微型旅游公园，公园内汇聚了全世界四十多个国家110处自然与人文景观。法国巴黎的埃菲尔铁塔高320米，世界公园里有一座埃菲尔铁塔模型，模型高度与原塔高度的比是1∶10，这座模型塔高多少米？（用比例解答） 【答案】32米 【分析】由题意可知，模型高度与原塔高度的比是1∶10，可见模型高度与原塔高度的比值是一定的，符合正比例的意义，则模型高度与原塔高度成正比例；假设这座模型塔高x米，据此列比例求解即可。 【详解】解：设这座模型塔高x米， x∶320＝1∶10 10x＝320 10x÷10＝320÷10 x＝32 答：这座模型塔高32米。 22．（24-25六年级下·云南西双版纳·期末）羚羊是动物界的快跑能手，小腿骨与大腿骨长度的比一般是5∶4。一只羚羊小腿骨长25厘米，它的大腿骨长大约是多少厘米？ 研究动物运动的专家发现一般来说，动物的小腿骨（胫骨）与大腿骨（股骨）的长度比的比值越大，跑得越快。 【答案】20厘米 【分析】设它的大腿骨长大约是厘米，根据“一只羚羊小腿骨长25厘米∶它的大腿骨长厘米＝小腿骨与大腿骨长度的比5∶4”列比例并解答。 【详解】解：设它的大腿骨长大约是厘米。 答：它的大腿骨长大约是20厘米。 试卷第1页，共3页 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 【讲义篇】2025-2026学年六年级下册数学人教版新课预习讲义 专题10 比例的应用 （知识精讲+例题讲解+巩固练习） 亲爱的同学们： 这份六年级下册数学人教版“比例的应用”预习讲义，专为你们衔接新学期比例知识实践应用核心内容打造。我们从比例尺的定义、分类与换算公式，到图形放大与缩小的特征操作，再到用正反比例解决实际问题的完整思路，都做了系统清晰的梳理。搭配各地期中期末典型真题作为例题，每道题都拆解思路、细致分析，还有分层巩固练习帮你们及时检验成果。希望大家通过这份讲义，吃透比例应用的本质与技巧，扫清预习障碍，为新学期数学学习筑牢基础，轻松开启比例知识的实践应用之旅！ 知识精讲 知识点一、比例尺 1. 比例尺的定义 （1）核心概念 ① 比例尺是表示图上距离与实际距离的比，它是一个比值，没有单位名称。 ② 计算比例尺时，必须先统一图上距离和实际距离的单位，通常转化为同级单位后再进行比的计算。 （2）本质属性：比例尺反映的是图上距离与实际距离的缩放倍数，体现了图形与实际物体的大小比例关系。 2. 比例尺的分类 （1）按表现形式分类 ① 数值比例尺：用数字的比例式或分数式表示比例尺，例如1:500000或 。 ② 线段比例尺：在地图上画一条线段，并注明线段上代表的实际距离，例如“”，表示图上1厘米代表实际10千米。 （2）按缩放关系分类 ① 放大比例尺：比例尺的前项大于后项，用于将微小物体放大绘制，例如2:1，表示图上距离是实际距离的2倍。 ② 缩小比例尺：比例尺的后项大于前项，用于将较大物体缩小绘制，例如1:1000，表示图上距离是实际距离的 。 3. 比例尺的应用公式 （1）基本换算公式 ① 图上距离 = 实际距离 × 比例尺 ② 实际距离 = 图上距离 ÷ 比例尺 ③ 比例尺 = 图上距离 : 实际距离（需统一单位后化简） 知识点二、图形的放大与缩小 1. 图形放大与缩小的核心特征 （1）形状不变性：放大或缩小后的图形与原图形对应角的大小完全相等，图形的整体形状保持一致。 （2）大小缩放性：放大或缩小后的图形与原图形对应边的长度按固定比例变化，这个比例就是放大或缩小的比例。 2. 图形放大与缩小的操作要点 （1）确定缩放比例：明确操作是放大还是缩小，放大比例大于1，缩小比例小于1（且为正数）。 （2）对应边的计算与绘制 ① 测量原图形各条边的长度，根据缩放比例计算出放大或缩小后对应边的长度。 ② 按照原图形的形状，依次画出各条边，确保对应角的大小与原图形一致。 3. 与比例尺的关联 （1）本质联系：图形的放大与缩小是比例尺在图形操作中的实际应用，放大比例对应放大比例尺，缩小比例对应缩小比例尺。 知识点三、用比例解决问题 1. 用比例解决问题的核心思路 （1）判断比例关系：首先分析题目中两种相关联的量，判断它们成正比例关系还是反比例关系。 （2）构建比例等式：根据正比例或反比例的定义，列出含有未知数的比例等式，通过解比例求出未知数。 2. 正比例关系问题的解法 （1）判断依据：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随之变化，且相对应两个数的比值（商）一定，这两种量成正比例关系。 （2）解题步骤 ① 设未知数为 ，明确未知数所代表的量。 ② 根据正比例关系的比值固定，列出比值相等的比例式，例如 （ 为已知对应量， 为已知量， 为未知数）。 ③ 解比例，求出未知数 的值，并检验合理性。 3. 反比例关系问题的解法 （1）判断依据：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随之变化，且相对应两个数的乘积一定，这两种量成反比例关系。 （2）解题步骤 ① 设未知数为 ，明确未知数所代表的量。 ② 根据反比例关系的乘积固定，列出乘积相等的等式，例如 （ 为已知对应量， 为已知量， 为未知数）。 ③ 解比例，求出未知数的值，并检验合理性。 4. 解题注意事项 （1）量的关联性验证：确保题目中的两种量是相关联的量，即一种量的变化会直接引起另一种量的变化，无关联的量不能用比例解决。 （2）比例关系的准确性：严格区分正比例和反比例的判断标准，避免因比例关系判断错误导致等式列错。 例题讲解 题型一、比例尺的意义 【典型例题】（23-24六年级下·甘肃临夏·期末）线段比例尺表示图上距离1厘米相当于实际距离( )千米，把它改写成数值比例尺是( )。 【跟踪训练】（24-25六年级下·河南省直辖县级单位·期末）毕业前夕，光明小学六（2）班的同学们为母校绘制了一张校园平面图。学校一幢教学楼的底面形状是长方形，底面的实际长是80米。在校园平面图上，这幢教学楼底面的长是8厘米。这张校园平面图的比例尺是( )。 题型二、比例尺应用 【典型例题】（23-24六年级下·河北唐山·期中）在一幅比例尺是1∶2000000的地图上，量得甲、乙两个城市之间的距离是6厘米。在另一幅比例尺是1∶3000000的地图上，这两个城市之间的距离是多少厘米？ 【跟踪训练】（24-25六年级下·浙江温州·期中）在比例尺是的地图上，量得温州到义乌两地之间的距离是4.8厘米。一辆汽车从温州开到义乌，每小时行驶80千米，到达义乌需要几小时？ 题型三、应用比例尺画图 【典型例题】（24-25六年级下·河北唐山·期中）社区要建一个长28米，宽15米的篮球场，请根据比例尺先算出图上距离，再在图中画出篮球场的平面图（比例尺1∶1000）。 【跟踪训练】（24-25六年级下·河南南阳·期中）芳芳家在少年宫正北方向，距少年宫400米；晶晶家在少年宫正西方向，距少年宫500米。算一算，并在下图中画出她们两家和少年宫的位置平面图。（要求在图中标出线段比例尺） 题型四、图形的放大与缩小 【典型例题】（24-25六年级下·湖北武汉·期中）将三角形按1∶3缩小得到图形A，将梯形按2∶1放大得到图形B。 【跟踪训练】（24-25六年级下·内蒙古通辽·期中）把长方形按1∶2缩小，把平行四边形按3∶1放大。 题型五、用比例解决问题 【典型例题】（2025·广东潮州·小升初真题）小林到阳光书店购买了3本A型号的笔记本共12.6元。照这样计算，如果买5本A型号的笔记本，需要多少钱？（用比例解） 【跟踪训练】（24-25六年级下·江西鹰潭·期中）晨星印刷厂准备装订一批练习本，如果每本28页，可以装订成500本。现在每本多装订7页，可以装订成多少本？（请用比例解决问题） 巩固练习 一、选择题 1．（24-25六年级下·广东中山·期末）学校操场长50米，宽30米，要把它按一定的比例画在作业本上，下面比例尺中适宜的是（    ）。 A．1∶10 B．1∶100 C．1∶1000 D．1∶10000 2．（24-25六年级下·云南昆明·期末）一幅地图的比例尺是，在这幅地图上量得AB两地之间的距离是3cm。两地之间的实际距离是（    ）。 A．30km B．60km C．90km D．180km 3．（24-25六年级下·北京海淀·期末）教学楼的底面是长60米，宽20米的长方形。在绘制它的平面图时，乐乐选择的比例尺是1∶2000，淘气选择的比例尺是1∶1000。以下说法正确的（    ）。 ①在乐乐的平面图中，教学楼底面的图上长是实际长的 ②在淘气的平面图中，教学楼底面的实际面积是图上面积的1000倍 ③在两幅平面图中，教学楼底面的长都是宽的3倍 ④在两幅平面图中，乐乐画的教学楼底面的面积比淘气的小 A．只有① B．只有③ C．只有①③④ D．有①②③④ 4．（24-25六年级下·北京海淀·期末）把长方形甲按比缩小后得到长方形乙，如下图所示。根据图中信息，同学们列出了下面的四个等式，其中正确的（    ）。 ①16－12＝24－x          ②16∶24＝12∶x ③12∶16＝x∶24          ④x∶12＝16∶24 A．只有① B．只有② C．只有②③ D．只有③④ 5．（24-25六年级下·福建莆田·期末）华为“麒麟980”是中国最新一代芯片，是世界上第一个采用台积电7纳米工艺制造的商用手机SOC芯片组。在一次产品发布会上，按40∶1的比例尺展示了“麒麟980的外形图片，该图片边长是70厘米。“麒麟980”实际的边长是（    ）毫米。 A．1.75 B．17.5 C．175 D．280 二、判断题 6．（24-25六年级下·新疆阿勒泰·期末）把线段比例尺改写成数值比例尺是1∶6000。( ) 7．（24-25六年级下·新疆阿勒泰·期末）图上距离∶实际距离＝4cm∶2800cm＝，所以比例尺是比值。( ) 8．（24-25六年级下·甘肃平凉·期中）一个三角形按5∶1图形放大后，大小发生了变化，形状不变。( ) 9．（24-25六年级下·广东韶关·期中）比值小于1的比例尺，图上距离小于实际距离。( ) 10．（23-24六年级下·内蒙古阿拉善盟·期末）一个长4cm、宽3cm的长方形，按4∶1放大后，面积是48cm2。( ) 三、填空题 11．（24-25六年级下·山东济南·期末）济南地铁8号线全长约25千米，画在比例尺为1∶500000的地图上，应画( )厘米。 12．（2025·河北石家庄·小升初真题）这是一幅地图的线段比例尺，改写成数值比例尺是( )。如果A地到B地的实际距离是105km，在这幅地图上的距离是( )。 13．（24-25六年级下·广东东莞·期末）在比例尺为1∶5000000的地图上，量得A、B两地的距离是4厘米，A、B两地的实际距离是( )千米；若一辆汽车以80千米/小时的速度从A地开往B地，需要( )小时。 14．（24-25六年级下·河南许昌·期末）小米一家到西湖边合影留念，她发现照片上她的身高是4.4cm，旁边妈妈的身高是4.8cm。小米的实际身高是1.54m，那么妈妈的实际身高是( )m。 15．（24-25六年级下·广西百色·期末）在比例尺为1∶2000000的地图上，量得平果市到南宁市之间的公路长4.3厘米，李师傅开了一辆货车从平果市到南宁市用了1.2小时行驶完这段路。这段路共( )千米，李师傅开车( )（填“超速”或“不超速”）。 四、作图题 16．（24-25六年级下·新疆巴音郭楞·期末）医院在学校的正东方向，距离学校200米；图书馆在医院的正北方向，距离医院100米。在下图中标出医院和图书馆的位置。 17．（24-25六年级下·河北廊坊·期中）按要求画图。 （1）按3∶1画出三角形放大后的图形。 （2）按1∶2画出梯形缩小后的图形。 五、解答题 18．（24-25六年级下·湖北十堰·期中）在一幅比例尺是1∶2000000的地图上，量得甲、乙两个城市之间高速公路的距离是5.5厘米。在另一幅比例尺是1∶5000000的地图上，这条公路的图上距离是多少厘米？ 19．（2025·四川遂宁·小升初真题）在比例尺为1∶6000000的地图上量得A、B两地相距8cm，一辆货车以每小时80千米的速度从A地开往B地。需要多少小时到达？ 20．（24-25六年级下·湖南郴州·期末）阳光小区要铺设一条煤气管道，计划每天铺设60米，5天可完成任务。由于居民着急使用，工程队决定每天铺75米，这样几天可以完成？ 21．（24-25六年级下·河南商丘·期中）北京的世界公园是一座大比例的微型旅游公园，公园内汇聚了全世界四十多个国家110处自然与人文景观。法国巴黎的埃菲尔铁塔高320米，世界公园里有一座埃菲尔铁塔模型，模型高度与原塔高度的比是1∶10，这座模型塔高多少米？（用比例解答） 22．（24-25六年级下·云南西双版纳·期末）羚羊是动物界的快跑能手，小腿骨与大腿骨长度的比一般是5∶4。一只羚羊小腿骨长25厘米，它的大腿骨长大约是多少厘米？ 研究动物运动的专家发现一般来说，动物的小腿骨（胫骨）与大腿骨（股骨）的长度比的比值越大，跑得越快。 试卷第1页，共3页 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $